बाइनरी पंक्तियों और तंत्रिका नेटवर्क में "000 ... / 111 ..." प्रकार की श्रृंखला बनाम पास्कल का त्रिकोण

श्रृंखला "सफेद शोर एक काले वर्ग को खींचता है"

इन प्रकाशनों के चक्र का इतिहास इस तथ्य से शुरू होता है कि G.Sekey की पुस्तक "Paradoxes in Probability Theory and गणितीय सांख्यिकी" ( पृष्ठ 43 ) में निम्नलिखित कथन की खोज की गई थी:


अंजीर। 1।

विश्लेषण के अनुसार, पहले प्रकाशनों पर टिप्पणी ( भाग 1 , भाग 2 ) और बाद में तर्क ने इस प्रमेय को अधिक दृश्य रूप में प्रस्तुत करने के विचार को चीर दिया है।

द्विपदीय संभावना वितरण और कई संबंधित कानूनों के परिणामस्वरूप समुदाय के अधिकांश सदस्य पास्कल त्रिकोण से परिचित हैं। पास्कल के त्रिकोण के गठन के तंत्र को समझने के लिए, हम इसके गठन के प्रवाह की तैनाती के साथ, इसे और अधिक विस्तार से विस्तारित करेंगे। पास्कल त्रिकोण में, नोड्स 0 और 1 के अनुपात से बनते हैं, नीचे का आंकड़ा।


अंजीर। 2।

एर्डमाइसेस-रेनी प्रमेय को समझने के लिए, हम एक समान मॉडल की रचना करेंगे, लेकिन नोड्स उन मूल्यों से निर्मित होंगे जिनमें सबसे बड़ी श्रृंखलाएं मौजूद हैं, जिसमें समान मूल्यों का क्रमिक रूप से समावेश होता है। क्लस्टरिंग निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाएगा: चेन 01/10, क्लस्टर "1" करने के लिए; श्रृंखला 00/11, क्लस्टर "2" के लिए; चेन 000/111, क्लस्टर "3", आदि के लिए। इस मामले में, हम पिरामिड को दो सममित घटकों में विभाजित करेंगे चित्रा 3।


अंजीर। 3।

आपकी आंख को पकड़ने वाली पहली बात यह है कि सभी आंदोलन निचले क्लस्टर से उच्चतर तक होते हैं और इसके विपरीत नहीं हो सकते हैं। यह स्वाभाविक है, क्योंकि यदि आकार जे की एक श्रृंखला बन गई है, तो यह अब गायब नहीं हो सकता है।

संख्याओं की सांद्रता के एल्गोरिथ्म को निर्धारित करते हुए, हम निम्नलिखित पुनरावृत्ति फार्मूला प्राप्त करने में कामयाब रहे, जिसका तंत्र आंकड़े 4-6 में दिखाया गया है।

उन तत्वों को निरूपित करें जिनमें संख्याएँ संकेंद्रित होती हैं। जहाँ n वर्णों की संख्या (बिट्स की संख्या) है, और अधिकतम श्रृंखला की लंबाई m है। और प्रत्येक तत्व एक सूचकांक n प्राप्त करेगा; एमजे।
निरूपित करें कि तत्वों की संख्या n से पारित हुई है; mJ से n + 1; m + 1J, n; mjn + 1; m + 1।


अंजीर। 4।

चित्रा 4 से पता चलता है कि पहले क्लस्टर के लिए प्रत्येक पंक्ति के मूल्यों को निर्धारित करना मुश्किल नहीं है। और यह निर्भरता इसके बराबर है:


अंजीर। 5।

हम दूसरे क्लस्टर के लिए निर्धारित करते हैं, श्रृंखला की लंबाई एम = 2, चित्रा 6 के साथ।


अंजीर। 6।

चित्रा 6 दर्शाता है कि दूसरे क्लस्टर के लिए, निर्भरता इसके बराबर है:


अंजीर। 7।

हम तीसरे क्लस्टर के लिए निर्धारित करते हैं, श्रृंखला की लंबाई एम = 3, चित्रा 8 के साथ।


अंजीर। 8।

अंजीर। 9।

प्रत्येक तत्व का सामान्य सूत्र रूप लेता है:


अंजीर। 10।


अंजीर। 11।

की जाँच करें।

सत्यापन के लिए, हम इस अनुक्रम की संपत्ति का उपयोग करते हैं, जो चित्र 12 में दिखाया गया है। इस तथ्य में यह है कि एक निश्चित स्थिति से एक पंक्ति के अंतिम सदस्य बढ़ती हुई रेखा की लंबाई के साथ सभी लाइनों के लिए एक ही मूल्य लेते हैं।


अंजीर। 12।

यह संपत्ति इस तथ्य के कारण है कि पूरी पंक्ति में आधे से अधिक की चेन लंबाई के साथ, केवल एक ऐसी श्रृंखला संभव है। हम इसे चित्र 13 के आरेख में दिखाते हैं।


अंजीर। 13।

तदनुसार, के <n-2 के मूल्यों के लिए, हम सूत्र प्राप्त करते हैं:


अंजीर। 14।

वास्तव में, Z का मान संभावित संख्याओं (n बिट्स के एक स्ट्रिंग में विकल्प) है जिसमें k समान तत्वों की एक श्रृंखला होती है। और पुनरावृत्ति सूत्र के अनुसार, हम संख्या की संख्या (n बिट्स के एक स्ट्रिंग में विकल्प) निर्धारित करते हैं जिसमें k समान तत्वों की श्रृंखला सबसे बड़ी है। अभी के लिए, मुझे लगता है कि मान Z आभासी है। इसलिए, क्षेत्र n / 2 में, यह वास्तविक स्थान में गुजरता है। चित्रा 15 में, गणनाओं के साथ एक स्क्रीन।


अंजीर। 15।

आइए हम 256-बिट शब्द का एक उदाहरण दिखाते हैं, जो इस एल्गोरिथम द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।


अंजीर। 16।

यदि GSPCH के लिए 99.9% विश्वसनीयता के मानकों द्वारा निर्धारित किया जाता है, तो 256-बिट कुंजी में 5 से 17 की संख्या के साथ समान वर्णों की लगातार श्रृंखलाएं होनी चाहिए। अर्थात्, GSPCH के लिए मानकों के अनुसार, ताकि यह 99.9% विश्वसनीयता के साथ यादृच्छिकता की समानता की आवश्यकता को पूरा करे। GSPCH, 2000 परीक्षणों में (256-बिट बाइनरी नंबर के रूप में एक परिणाम जारी करते हुए) केवल एक परिणाम देना चाहिए जिसमें समान मानों की अधिकतम श्रृंखला लंबाई: 4 से कम या 17 से अधिक हो।


अंजीर। 17।

जैसा कि चित्र 17 में दिखाए गए आरेख से देखा जा सकता है, लॉग 2 एन श्रृंखला विचाराधीन वितरण के लिए एक विधा है।

अध्ययन के दौरान, इस क्रम के विभिन्न गुणों के कई संकेत मिले। यहाँ उनमें से कुछ हैं:

• इसे ची-स्क्वायर की कसौटी पर अच्छी तरह से परखा जाना चाहिए;
• भग्न गुणों के अस्तित्व के संकेत देता है;
• विभिन्न यादृच्छिक प्रक्रियाओं की पहचान करने के लिए अच्छे मानदंड हो सकते हैं।

और कई अन्य कनेक्शन।

जाँच की जाती है कि क्या ऐसा क्रम टी -ऑन लाइन इनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ इंटेगर सीक्वेंस (OEIS) (ऑनलाइन एन्साइक्लोपीडिया ऑफ़ इंटेगर सीक्वेंस) के अनुक्रम संख्या A006980 में मौजूद है , संदर्भ में जिया यूकास , बाइनरी लिंडन शब्दों के विशेष सेट, एर्स कॉम्बिन की गणना की गई है। , 31 (1991), पी। 21-29 , जहां पृष्ठ 28 (तालिका में) पर अनुक्रम दिखाया गया है। प्रकाशन में, पंक्तियों की संख्या 1 कम है, लेकिन मान समान हैं। सामान्य तौर पर, प्रकाशन लिंडन के शब्दों के बारे में है, अर्थात् , यह बहुत संभव है कि शोधकर्ता को यह भी संदेह नहीं था कि यह श्रृंखला इस पहलू से संबंधित थी।

आइए हम Erds-Renyi प्रमेय पर लौटते हैं। इस प्रकाशन के परिणामों के अनुसार, यह कहा जा सकता है कि प्रस्तुत सूत्रीकरण में, यह प्रमेय सामान्य मामले को संदर्भित करता है, जो मुवरे-लाप्लास प्रमेय द्वारा निर्धारित किया जाता है। और संकेतित प्रमेय, इस सूत्रीकरण में, किसी श्रृंखला की यादृच्छिकता के लिए एक अस्पष्ट मानदंड नहीं हो सकता है। लेकिन भंगुरता, और इस मामले के लिए यह व्यक्त किया जाता है कि संकेतित लंबाई की जंजीरों को लंबी लंबाई की जंजीरों के साथ जोड़ा जा सकता है, हमें इस प्रमेय को अस्वीकार्य रूप से अस्वीकार करने की अनुमति न दें, क्योंकि निर्माण में एक अशुद्धि संभव है। एक उदाहरण यह तथ्य है कि यदि किसी संख्या की 256-बिट संभावना के लिए जहां 8 बिट्स की अधिकतम श्रृंखला 0.244235 है, तो, अन्य, लंबे अनुक्रमों के साथ संयोजन में, 8 बिट्स की एक संख्या में मौजूद होने की संभावना पहले से ही है - .४९,०२,३४,३७५। यही है, अब तक, इस प्रमेय को अस्वीकार करने का कोई असमान अवसर नहीं है। लेकिन यह प्रमेय दूसरे पहलू में काफी अच्छी तरह से फिट बैठता है, जिसे बाद में दिखाया जाएगा।

व्यावहारिक अनुप्रयोग

आइए VDG उपयोगकर्ता द्वारा प्रस्तुत उदाहरण को देखें: "... एक न्यूरॉन की वृक्ष के समान शाखाओं को थोड़ा अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक शाखा और फिर पूरे न्यूरॉन को ट्रिगर किया जाता है, जब इसके किसी भी स्थान पर सिनेप्स की एक श्रृंखला सक्रिय होती है। न्यूरॉन को सफेद शोर का जवाब नहीं देने का काम है, क्रमशः, श्रृंखला की न्यूनतम लंबाई, जहां तक ​​मुझे नूमेंटी के साथ याद है, पिरामिड 10 न्यूरॉन्स में अपने 10 हजार synapses के साथ न्यूरॉन है। और हमें जो सूत्र मिलता है उसके अनुसार: Log_ {2} 10000 = 13.287। यही है, लंबाई में 14 से कम की चेन प्राकृतिक शोर के कारण होगी, लेकिन न्यूरॉन को सक्रिय नहीं करेगी। यह पूरी तरह से सही है । ”

हम एक ग्राफ का निर्माण करेंगे, लेकिन इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि एक्सेल 2 ^ 1024 से अधिक मूल्यों पर विचार नहीं करता है, हम अपने आप को 1023 synapses की संख्या तक सीमित कर देंगे और इसे ध्यान में रखते हुए, हम परिणाम को टिप्पणी द्वारा इंटरपोल करेंगे, जैसा कि चित्र 18 में दिखाया गया है।


अंजीर। 18।

एक जैविक तंत्रिका नेटवर्क है जो m = log2N = 11 की एक श्रृंखला के संकलित होने पर काम करता है। यह श्रृंखला एक मोडल मान है, और 0.78 की स्थिति में कुछ प्रकार के परिवर्तन की एक सीमा मूल्य, संभाव्यता है। और त्रुटि की संभावना 1- 0.78 = 0.22 है। मान लीजिए कि काम किए गए 9 सेंसर की एक श्रृंखला, जहां क्रमशः घटना का निर्धारण करने की संभावना 0.37 है, त्रुटि की संभावना 1 - 0.37 = 0.63 है। यही है, 0.63 से 0.37 तक त्रुटि की संभावना में कमी प्राप्त करने के लिए, यह आवश्यक है कि 933 कार्यों में से 3.33 श्रृंखलाएं काम करती हैं। 11 और 9 तत्वों के बीच का अंतर 2 क्रम का है, जो कि 2 ^ 2 = 4 गुना है, जो यदि पूर्णांकों के लिए गोल है, क्योंकि तत्व पूर्णांक मान देते हैं, तो 3.33 = 4. हम 8-8 पर सिग्नल संसाधित करते समय त्रुटि को कम करने के लिए देखते हैं। तत्वों, हम पहले से ही 8 तत्वों की 11 ट्रिगर चेन की जरूरत है। मुझे लगता है कि यह एक तंत्र है जो आपको स्थिति का आकलन करने और जैविक वस्तु के व्यवहार को बदलने के बारे में निर्णय लेने की अनुमति देता है। यथोचित और कुशलता से पर्याप्त, मेरी राय में। और इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि हम प्रकृति के बारे में जानते हैं कि यह संसाधनों को यथासंभव आर्थिक रूप से उपयोग करता है, इस तंत्र को जैविक प्रणाली का उपयोग करने वाली परिकल्पना उचित है। और जब हम तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित करते हैं, तो हम वास्तव में, त्रुटि की संभावना को कम करते हैं, क्योंकि त्रुटि को पूरी तरह से समाप्त करने के लिए हमें एक विश्लेषणात्मक संबंध खोजने की आवश्यकता होती है।

हम संख्यात्मक डेटा के विश्लेषण की ओर मुड़ते हैं। संख्यात्मक डेटा के विश्लेषण में, हम फॉर्म y = f (xi) में एक विश्लेषणात्मक निर्भरता चुनने की कोशिश करते हैं। और पहली अवस्था में हम उसे पाते हैं। इसे खोजने के बाद, मौजूदा श्रृंखला को द्विआधारी के रूप में दर्शाया जा सकता है, रिग्रेशन समीकरण के सापेक्ष, जहां हम 1 को सकारात्मक मान और नकारात्मक को 0 प्रदान करते हैं। और फिर हम समान तत्वों की एक श्रृंखला पर विश्लेषण करते हैं। हम श्रृंखला की लंबाई के साथ सबसे बड़ी निर्धारित करते हैं, छोटी श्रृंखलाओं का वितरण।

अगला, हम एर्डोस-रेनी प्रमेय की ओर मुड़ते हैं, यह इस प्रकार है कि जब यादृच्छिक मूल्य के बड़ी संख्या में परीक्षणों का आयोजन किया जाता है, तो उत्पन्न संख्या के सभी रजिस्टरों में समान तत्वों की एक श्रृंखला बनाई जानी चाहिए, अर्थात, एम = एम 2 एन। अब, जब हम डेटा की जांच करते हैं, तो हमें नहीं पता होता है कि वास्तव में श्रृंखला की मात्रा क्या है। लेकिन यदि आप पीछे मुड़कर देखते हैं, तो यह अधिकतम श्रृंखला हमें यह मानने का कारण देती है कि आर एक पैरामीटर है जो यादृच्छिक चर के क्षेत्र को चित्रित करता है, चित्र 19।


अंजीर। 19।

अर्थात्, R और N की तुलना करते हुए, हम कई निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

1. यदि आर <एन, तो यादृच्छिक प्रक्रिया को ऐतिहासिक डेटा पर कई बार दोहराया जाता है।
2. यदि आर> एन, तो यादृच्छिक प्रक्रिया में उपलब्ध डेटा की तुलना में अधिक आयाम है, या हमने उद्देश्य फ़ंक्शन के समीकरण को गलत तरीके से निर्धारित किया है।

फिर पहली बार हम 2 ^ मी सेंसर के साथ एक तंत्रिका नेटवर्क डिजाइन कर रहे हैं, मुझे लगता है कि हम बदलावों को पकड़ने के लिए सेंसर की एक जोड़ी जोड़ सकते हैं, और हम इस नेटवर्क को ऐतिहासिक डेटा पर प्रशिक्षित करते हैं। यदि प्रशिक्षण के परिणामस्वरूप नेटवर्क सीखने में सक्षम नहीं है और 50% की संभावना के साथ सही परिणाम देगा, तो इसका मतलब है कि पाया गया उद्देश्य फ़ंक्शन इष्टतम है और इसे सुधारना असंभव है। यदि नेटवर्क सीख सकता है, तो हम विश्लेषणात्मक निर्भरता में और सुधार करेंगे।

यदि श्रृंखला का आयाम एक यादृच्छिक चर के आयाम से अधिक है, तो यादृच्छिक चर की भिन्नता संपत्ति का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि आकार मीटर की किसी भी श्रृंखला में निचले आयामों के सभी उप-वर्ग होते हैं। मुझे लगता है कि इस मामले में यह चेन मीटर को छोड़कर सभी डेटा पर तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित करने के लिए समझ में आता है।

तंत्रिका नेटवर्क के डिजाइन के लिए एक और दृष्टिकोण पूर्वानुमान अवधि हो सकती है।

निष्कर्ष रूप में, यह कहा जाना चाहिए कि, इस प्रकाशन के रास्ते में, कई पहलुओं की खोज की गई थी जहाँ डेटा के विश्लेषण में एक यादृच्छिक चर और उसके खोजे गए गुणों के परिमाण को अन्य कार्यों के साथ प्रतिच्छेद किया गया था। लेकिन अभी के लिए, यह सब बहुत कच्चे रूप में है और भविष्य के प्रकाशनों के लिए छोड़ दिया जाएगा।

पिछला भाग: भाग १ , भाग २