पोजीट-अंकगणित: अपने क्षेत्र में एक अस्थायी बिंदु को पराजित करना। भाग २

भाग 1

4. संख्यात्मक प्रणालियों की मात्रात्मक तुलना

4.1। दशमलव सटीक

सटीकता त्रुटि के विपरीत है। यदि हमारे पास संख्याओं की संख्या x और y (गैर-शून्य और एक संकेत) है, तो परिमाण के क्रम में उनके बीच की दूरी है $$$\ mid log_ {10} (x / y) \ mid$ दशमलव क्रम, यह वही माप है जो सबसे छोटी और सबसे बड़ी अभ्यावेदन वाली सकारात्मक संख्या x और y के बीच की गतिशील सीमा को परिभाषित करता है। एक वास्तविक संख्या प्रणाली में 1 और 10 के बीच दस संख्याओं का आदर्श वितरण 1 से 10 के क्रम में संख्याओं का समान वितरण नहीं होगा, लेकिन घातांक: $$$1, 10 ^ {1/10}, 10 ^ {2/10}, ..., 10 ^ {9/10}, 10$ । यह रिश्तों को व्यक्त करने के लिए इंजीनियरों द्वारा लंबे समय तक इस्तेमाल किया जाने वाला डेसिबल स्केल है, उदाहरण के लिए, 10 डेसिबल दस गुना अनुपात है। 30db का अर्थ है गुणांक $$$10 ^ 3 = 1000$ । 1db अनुपात लगभग 1.26 का कारक है, यदि आप 1db की सटीकता के साथ मूल्य जानते हैं, तो आपके पास 1 दशमलव स्थान की सटीकता है। यदि आप मान को 0.1 db की सटीकता के साथ जानते हैं, तो इसका मतलब है कि सटीकता के 2 संकेत, आदि। दशमलव सटीक सूत्र है $$$log_ {10} (1 / \ mid log_ {10} (x / y) \ mid) = - log_ {10} (\ mid log_ {10} (x / y) \ mid)$ , जहां x और y या तो वैध मान हैं जिन्हें राउंडिंग सिस्टम का उपयोग करके गणना की जाती है, जैसे कि फ्लोट और पॉज़िट प्रारूप में उपयोग किए जाने वाले, या ऊपरी और निचले सीमाएं यदि अंतराल का उपयोग करने वाले सख्त सिस्टम का उपयोग किया जाता है, या मान्य मान।

4.2। फ्लोट को परिभाषित करना और तुलना सेट प्रस्तुत करना

हम फ्लोट के स्केल मॉडल बना सकते हैं और प्रत्येक 8 बिट्स को पॉज़िट संख्या दे सकते हैं। इस दृष्टिकोण का लाभ यह है कि 256 मान एक छोटा सा पर्याप्त सेट है ताकि हम इसे पूरी तरह से परख सकें और हर चीज की तुलना कर सकें $$$256 ^ 2$ इसके अलावा, घटाव, गुणा और भाग के संचालन के लिए तालिकाओं में घटनाएँ। 1/4 की सटीकता के साथ वास्तविक संख्याओं में एक साइन बिट, घातांक के चार बिट्स और आंशिक भाग के तीन बिट्स होते हैं, और IEEE 754 के सभी नियमों का पालन करते हैं। सबसे छोटी पॉजिटिव संख्या (भाजित) 1/1024 है, सबसे बड़ी पॉजिटिव 240 है, डायनेमिक रेंज असममित और समान है 5.1 दशमलव आदेश। 14 बिट संयोजन NaN का प्रतिनिधित्व करते हैं।

तुलनीय 8-बिट पॉज़िट es = 1 का उपयोग करता है, इसमें सकारात्मक संख्या 1/4096 से 4096 तक होती है, जो 7.2 दशमलव आदेशों की एक सममित गतिशील रेंज है। कोई NaN मान नहीं हैं। जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है, हम दोनों सेटों में सकारात्मक संख्याओं के दशमलव सटीक रेखांकन को प्लॉट कर सकते हैं। 7. ध्यान दें कि पॉज़िट नंबरों द्वारा दर्शाए गए मूल्यों में फ्लोट नंबरों की तुलना में परिमाण के दो दशमलव क्रम अधिक गतिशील रेंज हैं, और सटीकता सभी मानों के लिए समान या अधिक है, जहां फ्लोट संख्या ओवरफ्लो या विरोधी अतिप्रवाह के करीब हैं। दोनों प्रणालियों के लिए रेखांकन का इंडेंटेशन एक टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य का एक लघुगणक अनुमान है। फ्लोट संख्या में, सटीकता केवल बाईं ओर घटती है, एंटीपर्सनेंस के करीब क्षेत्र में, दाईं ओर, फ़ंक्शन टूट जाता है, क्योंकि फिर NaN के मानों पर आते हैं। पॉज़िट संख्या में किनारों के चारों ओर एक अधिक सममित घटते हुए सटीक कार्य होते हैं।


अंजीर। 7. फ्लोट और पॉज़िट संख्या की दशमलव सटीकता की तुलना

4.3। एकल तर्क संचालन की तुलना करना

4.3.1। उलटा मूल्य

1 / x फ़ंक्शन के प्रत्येक संभावित इनपुट x मान के लिए, परिणाम दिए गए सेट में किसी अन्य मूल्य के अनुरूप हो सकता है, या इसे गोल किया जा सकता है, इस मामले में हम धारा 4.1 से सूत्र का उपयोग करके दशमलव त्रुटि को माप सकते हैं, फ्लोट संख्या के लिए, परिणाम ओवरफ्लो हो सकता है। या NaN। अंजीर देखें। 8।



अंजीर। 8. उलटा मूल्य की गणना करते समय फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना

दाएं ग्राफ पर वक्र उलटे मूल्य की गणना में त्रुटि की भयावहता को दर्शाते हैं, जबकि फ्लोट संख्या में एनएएन हो सकता है। बड़ी संख्या में मामलों में तैरने के लिए पोज़िट संख्या बेहतर होती है, और यह श्रेष्ठता पूरे रेंज में बनी रहती है। असंबद्ध फ्लोट संख्याओं के व्युत्क्रम की गणना करने से अतिप्रवाह होता है, जो एक अनंत त्रुटि मान की ओर जाता है, और निश्चित रूप से, NaN तर्क NaN का व्युत्क्रम देता है। उलटा मान गणना के सापेक्ष सकारात्मक संख्याएं बंद हैं।

4.3.2। वर्गमूल

वर्गमूल फ़ंक्शन अतिप्रवाह या विरोधी अतिप्रवाह के लिए नेतृत्व नहीं करता है। नकारात्मक तर्कों के लिए, और NaN के लिए, परिणाम NaN होगा। याद रखें कि हमारे पास फ्लोट और पॉज़िट नंबरों का "स्केल मॉडल" है, डेटा सटीकता बढ़ने के साथ पॉज़िट के फायदे बढ़ते हैं। 64-बिट फ्लोट और पॉज़िट के लिए, पॉज़िट एरर 1/2 के बजाय फ्लोट एरर का 1/30 होगा।

4.3.3। वर्ग

एक और आम एकरी ऑपरेशन है $$$x ^ 2$ । एक फ्लोट को स्क्वर करते समय ओवरफ्लो और एंटी-ओवरफ्लो आम हैं। एक फ्लोट के लगभग आधे हिस्से के लिए, स्क्वेरिंग एक सार्थक परिणाम नहीं देता है, जबकि पॉज़िट संख्या को चुकाने से हमेशा संख्या पॉज़िट होती है (अहस्ताक्षरित अनंत का वर्ग अनन्तता अनंत होता है)।


अंजीर। 9. गणना करते समय फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना $$$\ sqrt x$


अंजीर। 10. गणना करते समय फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना $$$x ^ 2$

4.3.4। आधार 2 लघुगणक

हमने बेस 2 लॉगरिदम फ़ंक्शन को कवर करने के लिए एक तुलना की, यानी जिसमें मामलों का प्रतिशत $$$log_2 (x)$ सटीक रूप से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और अगर यह सटीक रूप से प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, तो हम कितने दशमलव स्थानों को खो देते हैं। इस मामले में फ्लोट नंबरों का एकमात्र लाभ है: उनका उपयोग प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है $$$log_2 (0)$ कैसे $$$- \ infty$ और $$$log_2 (\ infty)$ कैसे $$$\ infty$ , लेकिन यह पॉज़िट संख्या के लिए दो के पूर्णांक शक्तियों के एक बड़े शब्दकोश द्वारा ऑफसेट से अधिक है।


अंजीर। 11. गणना करते समय फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना $$$log_2 (x)$

ग्राफ वर्गमूल के समान है, दोनों मामलों में लगभग आधे मामले NaN देते हैं, लेकिन सकारात्मक संख्याओं में दशमलव सटीकता का आधा नुकसान होता है। यदि आप गणना कर सकते हैं $$$log_2 (x)$ , आपको केवल प्राप्त करने के लिए स्केलिंग कारक द्वारा परिणाम को गुणा करना होगा $$$ln (x)$ या $$$log_ {10} (x)$ या किसी अन्य कारण से लघुगणक।

4.3.5। प्रदर्शक $$$2 ^ x$

इसी तरह, यदि आप गणना कर सकते हैं $$$2 ^ x$ , आप आसानी से प्राप्त करने के लिए स्केलिंग कारक का उपयोग कर सकते हैं $$$e ^ x$ या $$$10 ^ x$ आदि स्थिति संख्याओं में एक अपवाद है, $$$2 ^ x$ तर्क होने पर NaN की बराबरी करता है $$$\ pm \ infty$ ।


अंजीर। 12. गणना करते समय फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना $$$2 ^ x$

सकारात्मक संख्याओं के लिए अधिकतम दशमलव हानि के बाद से बड़ा लग सकता है $$$2 ^ {मैक्सपोस}$ अधिकतम करने के लिए वापस गोल किया जाएगा। इस उदाहरण में, केवल थोड़ी संख्या में त्रुटियां उतनी ही बड़ी हैं $$$log_ {10} (24096) \ approx1233$ दशमलव के आदेश। यह तय करें कि कौन सा बेहतर है: एक हजार से अधिक दशमलव क्रम खो दें, या अनंत संख्या में दशमलव क्रम खो दें? यदि आप इतनी बड़ी संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं, तो सकारात्मक संख्या अभी भी जीतती है, क्योंकि छोटे मूल्यों के साथ त्रुटियां बहुत बेहतर हैं। सभी मामलों में जब आप पॉज़िट नंबरों का उपयोग करते समय बड़ी संख्या में दशमलव ऑर्डर खो देते हैं, तो इनपुट तर्क उस सीमा से बहुत आगे निकल जाता है जो फ्लोट संख्याओं को भी व्यक्त कर सकता है । रेखांकन दिखाते हैं कि कैसे गतिशील रेंज के संदर्भ में पॉज़िट संख्या अधिक स्थिर है जिसमें परिणाम समझ में आता है, और इस सीमा के भीतर सटीकता में बेहतर है।

साधारण एकरी संचालन के लिए $$$1 / x, \ sqrt x, x ^ 2, log_2 (x)$ और $$$2 ^ x$ , पॉज़िट नंबर बिट्स की समान संख्या के साथ फ्लोट संख्या की तुलना में पूरी तरह से और हमेशा के लिए अधिक सटीक हैं, और एक व्यापक गतिशील रेंज में सार्थक परिणाम उत्पन्न करते हैं। अब हम अपना ध्यान चार प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं की ओर मोड़ते हैं जिनमें दो तर्क होते हैं: जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन।

4.4। दो तर्कों के संचालन की तुलना करना

हम दो तर्कों के अंकगणितीय कार्यों जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और भाग का अध्ययन करने के लिए एक संख्या प्रणाली के स्केल मॉडल का उपयोग कर सकते हैं। 65536 परिणामों की कल्पना करने के लिए, हम 256 * 256 का एक "कवरेज ग्राफ" बनाते हैं, जो स्पष्ट रूप से दिखाता है कि परिणामों का क्या अनुपात सटीक है, गलत है, अतिप्रवाह, विरोधी अतिप्रवाह या NaN का कारण बनता है।

4.4.1। जोड़ और घटाव

क्योंकि $$$x - y = x + (- y)$ फ्लोट और पॉज़िट दोनों के लिए बढ़िया काम करता है, अलग से घटाव का अध्ययन करने की आवश्यकता नहीं है। अतिरिक्त संचालन के लिए, हम सटीक मान की गणना करते हैं $$$z = x + y$ , और संख्या प्रणाली में से प्रत्येक में लौटी राशि से इसकी तुलना करें। ऐसा हो सकता है कि परिणाम गलत हो, फिर उसे निकटतम परिमित नॉनजरो संख्या, अतिप्रवाह या विरोधी अतिप्रवाह, या प्रपत्र की अनिश्चितता हो सकती है $$$\ infty- \ infty$ जिसके परिणामस्वरूप एन.एन. इनमें से प्रत्येक मामले को रंग में चिह्नित किया गया है, और हम एक नज़र में पूरे जोड़ तालिका को कवर कर सकते हैं। परिणामों को गोल करने के मामले में, रंग काले (सटीक मूल्य) से बैंगनी में बदल जाता है (सकारात्मक और फ्लोट के लिए सटीक मूल्य)। अंजीर। 13 दिखाता है कि फ्लोट और अनम नंबर के लिए कवरेज का ग्राफ कैसा दिखता है। जैसा कि एकरी संचालन के साथ है, लेकिन बहुत अधिक अंक होने पर, हम सार्थक और सटीक जानकारी देने के लिए प्रत्येक संख्या प्रणाली की क्षमता के बारे में निष्कर्ष निकाल सकते हैं:


अंजीर। 13. फ्लोट और पॉज़िट नंबर जोड़ने के लिए पूर्ण कवरेज ग्राफ


अंजीर। 14. इसके अलावा फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना

पहली नज़र में, यह स्पष्ट हो जाता है कि पॉज़िट में इसके अतिरिक्त ग्राफ पर काफी अधिक अंक हैं, जिस पर परिणाम सटीक है। फ्लोट के लिए कवरेज ग्राफ पर व्यापक काली विकर्ण पट्टी अधिक सटीकता के लिए की तुलना में अधिक व्यापक होगी, क्योंकि यह एक असमान संख्या क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें फ्लोट संख्या को समान अंतराल पर निर्धारित किया जाता है, जैसे फिक्स्ड-पॉइंट नंबर, ऐसे नंबर एक बड़ा अनुपात बनाते हैं। केवल 8-बिट संख्या के मामले में कुल संख्या।

4.4.2। गुणन

हम इसी तरह के दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं कि फ्लोट और पॉज़िट संख्या कितनी अच्छी है। इसके अलावा, गुणा फ्लोट संख्या के विरोधी अतिप्रवाह का कारण बन सकता है। "क्रमिक विरोधी अतिप्रवाह", वह क्षेत्र जिसे आप चित्र 15 में केंद्र में देख सकते हैं। बाईं ओर। ( जिसका अर्थ संख्याओं की संख्या है। लगभग अनुवाद। ) इस क्षेत्र के बिना, नीले रंग के विरोधी अतिप्रवाह क्षेत्र में हीरे का आकार होगा। पॉज़िट नंबरों के लिए गुणा का ग्राफ कम रंगीन है, जो बेहतर है। केवल दो पिक्सल को NaN के रूप में हाइलाइट किया जाता है, उस जगह के करीब जहां अक्षों का शून्य चिह्न स्थित है ( केंद्र में क्षैतिज रूप से केंद्र में सबसे नीचे और पिक्सेल क्षैतिज रूप से सबसे नीचे हैं। लगभग। अनुवाद। ) कई गुणा परिणाम हैं। $$$\ pm \ infty \ cdot 0 = NaN$ । फ्लोट संख्या में अधिक मामले हैं जहां उत्पाद सटीक है लेकिन एक भयानक कीमत पर है। जैसा कि चित्र 15 में दिखाया गया है, सभी फ्लोट उत्पादों का लगभग 1/4 ओवरफ्लो या एंटी-ओवरफ्लो होता है, और फ्लोट सटीकता में वृद्धि के साथ यह अंश घटता नहीं है।


चित्रा 15. फ्लोट और पॉज़िट संख्याओं को गुणा करने के लिए पूर्ण कवरेज ग्राफ

स्थिति संख्याओं के लिए गोलाई का सबसे खराब मामला तब होता है $$$मैक्सपोस \ टाइम अधिकतम$ जिसे फिर से अधिकतम करने के लिए गोल किया जाता है। ऐसे मामलों (बहुत दुर्लभ) के लिए, त्रुटि 3.6 दशमलव आदेश है। अंजीर में ग्राफ के रूप में। 16, सकारात्मक संख्या फ्लोट की तुलना में काफी बेहतर होती है, गुणन त्रुटि को कम करती है।


अंजीर। 16. गुणन के लिए फ्लोट और पॉज़िट संख्या की मात्रात्मक तुलना

डिवीजन ऑपरेशन के लिए कवरेज ग्राफ गुणन के लिए ग्राफ के समान है, लेकिन ज़ोन को स्वैप किया जाता है, अंतरिक्ष को बचाने के लिए, यह यहां नहीं दिखाया गया है। विभाजन के लिए मात्रात्मक संकेतक लगभग गुणा के समान हैं।

4.5। भावों का मूल्यांकन करने के लिए फ्लोट और पॉज़िट संख्या की तुलना

4.5.1। टेस्ट "32-बिट सटीक बजट"

टेस्ट आमतौर पर न्यूनतम रनटाइम के आधार पर किए जाते हैं, और अक्सर यह पूरी तरह से सही परिणाम नहीं देता है। एक अन्य प्रकार का परीक्षण वह है जिसमें हम त्रुटि के बजट को निर्धारित करते हैं, अर्थात, प्रति चर बिट्स की संख्या, और परिणामस्वरूप अधिकतम दशमलव सटीकता प्राप्त करने का प्रयास करें। यहां एक अभिव्यक्ति का एक उदाहरण है जिसका उपयोग हम 32 बिट्स प्रति संख्या के बजट के साथ संख्यात्मक प्रणालियों की तुलना करने के लिए कर सकते हैं:

$$

$$X = \ left (\ dfrac {27/10-e} {\ pi - (\ sqrt 2+ \ sqrt 3)} \ right) ^ {67/16} = 302.8827196 \ dotsb$$

नियम यह है कि हम संख्याओं के सर्वोत्तम प्रतिनिधित्व से शुरू करते हैं $$$\ pi$ और $$$ई$ संभव है कि प्रत्येक संख्यात्मक प्रणाली में, और सभी संकेतित पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और हम देखते हैं कि अभिव्यक्ति में नौ संचालन करने के बाद कितने दशमलव अंक एक्स के वास्तविक मूल्य से मेल खाते हैं। हम नारंगी में गलत संख्या को उजागर करेंगे।

इस तथ्य के बावजूद कि 32-बिट IEEE फ्लोट नंबरों में दशमलव सटीकता होती है, जो 7.3 से 7.6 दशमलव ऑर्डर तक होती है, एक्स की गणना में गोलाई त्रुटियों का संचय 302 का उत्तर देता है। 912 , जो केवल तीन वैध अंक हैं। यह एक कारण है कि उपयोगकर्ताओं को हर जगह 64-बिट फ्लोट का उपयोग करने की आवश्यकता महसूस होती है, क्योंकि सरल अभिव्यक्तियों में भी सटीकता खोने का खतरा होता है, ताकि परिणाम बेकार हो सके।

32-बिट पॉज़िट संख्या में परिवर्तनीय दशमलव सटीकता होती है, जो लगभग 1. के निरपेक्ष मान के साथ संख्या के लिए 8.2 और 8.5 दशमलव के बीच होती है। X की गणना करते समय, वे हमें 302.882 31 का उत्तर देते हैं, जिसमें कई महत्वपूर्ण अंक दो बार होते हैं। यह भी मत भूलो कि 32-बिट पॉज़िट संख्या में 144 से अधिक दशमलव स्थानों की एक गतिशील रेंज है, और 32-बिट फ़्लोट में 83 बिट्स की बहुत छोटी गतिशील रेंज है। इसलिए, गतिशील रेंज को सीमित करके परिणाम की अतिरिक्त सटीकता प्राप्त नहीं की जाती है।

4.5.2। फोरफोल्ड टेस्ट: गोल्डबर्ग की पतली त्रिकोण समस्या

एक क्लासिक "पतली त्रिभुज" समस्या है [1]: पक्षों के साथ एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें a, b , c जब दोनों पक्षों में से b और c कम से कम महत्वपूर्ण अंक की केवल 3 इकाइयाँ हैं (अंतिम स्थान में इकाइयाँ, ULPs) लंबे समय से आधे से अधिक पक्ष (चित्र 17)।


अंजीर। 17. गोल्डबर्ग की पतली त्रिभुज समस्या

क्षेत्र A के लिए शास्त्रीय सूत्र मध्यवर्ती चर s का उपयोग करता है:

$$

$$s = \ frac {a + b + c} 2; A = \ sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}$$

इस सूत्र में खतरा यह है कि s , a और मान के मान के बहुत करीब है $$$(s)$ गोलाई त्रुटि को बहुत बढ़ाता है। आइए 128-बिट की कोशिश करें (चार गुना सटीकता के साथ) जिसके लिए IEEE फ्लोट संख्या $$$a = 7, b = c = 7/2 + 3 \ टाइम्स 2 ^ {- 111}$ । (यदि आप माप की इकाई के रूप में प्रकाश वर्ष लेते हैं, तो लघु पक्ष प्रोटॉन व्यास के केवल 1/200 से लंबे लंबे आधे से अधिक होगा। लेकिन यह शीर्ष पर द्वार की ऊंचाई को त्रिकोण बनाता है।) हम 128-बिट पॉज़िट संख्या का उपयोग करके ए के मूल्य की गणना भी करते हैं ( es = 7)। निम्नलिखित परिणाम हैं:

$$$ $ प्रदर्शन $ $ \ शुरू {मैट्रिक्स} \ textrm {सही मूल्य:} और 3.14784204874900425235885265494550774498 \ dots \ टाइम्स 10 ^ {- 16} \ _ \ _ textrm {128-बिट IEEE फ़्लोट:} और 3. रंग \ नारंगी {{}। 6348149084233213472592051615808076762727}} \ dots \ टाइम्स 10 ^ {- 16} \\ \ textrm {128-बिट पॉज़िट:} और 3.14784204874900252258852654945507744 \ रंग {नारंगी} {39} \ d \ _ \ _ 10_ {10} $ $ प्रदर्शित करें

पॉज़िट संख्याओं में व्यापक दशमलव रेंज में चार गुना सटीक फ्लोट से अधिक सटीकता के 1.8 दशमलव अंक हैं: से $$$2 \ गुना 10 ^ {- 270}$ को $$$5 \ गुना 10 ^ {- 269}$ । यह इस विशेष मामले में त्रुटि को बढ़ाने के भयावह परिणामों को रोकने के लिए पर्याप्त है। यह भी ध्यान रखना दिलचस्प है कि पॉज़िट प्रारूप में उत्तर फ्लोट प्रारूप की तुलना में अधिक सटीक होगा, भले ही अंत में हम इसे 16-बिट पॉज़िट में बदल दें।

4.5.3। द्विघात समीकरण का हल

जड़ों की गणना करते समय गोलाई की त्रुटियों से बचने के लिए डिज़ाइन किया गया एक क्लासिक ट्रिक है $$$r_1$ । $$$r_2$ समीकरण $$$कुल्हाड़ी ^ 2 + bx + c = 0$ सामान्य सूत्र का उपयोग करना $$$r_1, r_2 = (- b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}) / (2a)$ जब b, a और c से बहुत बड़ा होता है , जो बाईं ओर से अंकों के गायब होने की ओर जाता है $$$\ sqrt {b ^ 2-4ac}$ बहुत करीब बी । लेकिन प्रोग्रामर को रहस्यमयी चाल को याद करने के लिए मजबूर करने के बजाय, एक ट्यूटोरियल से एक सरल सूत्र का उपयोग करके गणना को सुरक्षित बनाने के लिए बेहतर होना चाहिए। रखना $$$a = 3, b = 100, c = 2$ और परिणाम की तुलना 32-बिट फ्लोट और पॉज़िट के प्रारूप में करें।

तालिका 5. द्विघात समीकरण का हल


संख्यात्मक रूप से अस्थिर जड़ - $$$r_1$ , लेकिन ध्यान दें कि 32-बिट पॉज़िट फ्लोट के लिए 4 के बजाय 6 सही अंक देता है।

4.6। क्लासिक LINPACK परीक्षण के लिए फ़्लोट्स और पोज़िट सिस्टम की तुलना

लंबे समय तक, सुपर कंप्यूटर के मूल्यांकन की मुख्य विधि हल हो रही थी $$$n \ n n$ रेखीय समीकरण प्रणाली $$$\ mathbf Ax = b$ । अर्थात्, परीक्षण 0 से 1 तक छद्म यादृच्छिक संख्याओं के साथ मैट्रिक्स A को भरता है, और वेक्टर b, A के पंक्तियों के साथ । इसका मतलब है कि समाधान x एक वेक्टर है जिसमें इकाइयां शामिल हैं। परीक्षण कटौती दर की गणना करता है $$$\ | \ mathbf Ax-b \ |$ शुद्धता को सत्यापित करने के लिए, हालांकि अंकों का कोई कठिन सेट नहीं है जो उत्तर में सही होना चाहिए। सटीकता के कई अंकों का एक विशिष्ट नुकसान परीक्षण के लिए विशिष्ट है, और 64-बिट फ़्लोट्स आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं (जरूरी नहीं कि IEEE)। प्रारंभ में, परीक्षण n = 100 के लिए प्रदान किया गया था, लेकिन यह आकार सबसे तेज सुपर कंप्यूटरों के लिए बहुत छोटा था, इसलिए n को 300 तक बढ़ा दिया गया, फिर 1000 तक, और अंत में (पहले लेखक से), परीक्षण स्केलेबल हो गया और प्रत्येक सेकंड के संचालन की संख्या देता है। इस तथ्य के आधार पर कि परीक्षण प्रदर्शन करता है $$$\ frac {2} {3} n ^ 3 + 2n ^ 2$ गुणा और जोड़ संचालन।

पोजिट और फ्लोट की तुलना करते हुए, हमने परीक्षण की थोड़ी सी खामी पर ध्यान दिया: सामान्य मामलों में उत्तर इकाइयों का एक क्रम नहीं है, जो कि पंक्तियों में रकम में गोल चक्कर की त्रुटियों के कारण है। इस तरह की त्रुटि को समाप्त किया जा सकता है अगर हम पाते हैं कि ए में योगदान 1 बिट में कैसे होता है, जो संभावित सटीकता की सीमा के बाहर है, और इस बिट को 0. पर सेट करें। यह हमें विश्वास दिलाएगा कि लाइन ए का योग गोल के बिना प्रतिनिधित्व करने योग्य है, और इसका उत्तर एक्स है वास्तव में एक सदिश इकाई है। कार्य के मूल संस्करण के लिए, 100x100 के आकार के साथ, 64-बिट IEEE फ़्लोट इस प्रकार का उत्तर देता है:

0.9999999999999 633626401873698341660201549530029296875
1.00000000000000 11102230246251565404236316680908203125
$$$\ vdots$
1.0000000000000 22648549702353193424642086029052734375

100 में से कोई भी संख्या सही नहीं है; वे 1 के करीब हैं, लेकिन कभी भी 1 के बराबर नहीं हैं। सकारात्मक संख्याओं के साथ, हम एक अद्भुत काम कर सकते हैं। 32-बिट पॉज़िट संख्या और समान एल्गोरिथ्म का उपयोग करके, हम अवशेषों की गणना करते हैं $$$r = \ mathbf Ax - b$ मर्ज ऑपरेशन का उपयोग करना एक अदिश उत्पाद है। फिर तय करें $$$\ mathbf Ax '= r$ (पहले से संसाधित का उपयोग करके $$$\ mathbf A$ ) और उपयोग करें $$$x '$ सुधार के लिए: $$$x \ leftarrow x-x '$ । परिणाम LINPACK परीक्षण के लिए अभूतपूर्व सटीक उत्तर है: $$$\ {1, 1, ..., 1 \}$ ।क्या LINPACK नियम नई 32-बिट प्रकार की संख्याओं के उपयोग पर रोक लगा सकते हैं, जिनके उपयोग से शून्य त्रुटि के साथ एक पूर्ण परिणाम प्राप्त करने की अनुमति मिलती है, या 64-बिट फ्लोट के उपयोग पर जोर देना जारी रहता है, जो इसे अनुमति नहीं देता है? यह निर्णय उन लोगों द्वारा किया जाएगा जो इस परीक्षण के लिए जिम्मेदार हैं। उन लोगों के लिए जिन्हें सुपर कंप्यूटर की गति की तुलना करने के बजाय वास्तविक समस्याओं को हल करने के लिए रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने की आवश्यकता है, पॉज़िट आश्चर्यजनक लाभ प्रदान करता है।

5. निष्कर्ष

पोजीट अपने खेल में फ्लोट को हरा देता है: इसके साथ, आप गणना कर सकते हैं और राउंडिंग त्रुटियों को कम कर सकते हैं। पोजिट संख्या में अधिक सटीकता, अधिक गतिशील रेंज और अधिक कवरेज है। वे एक ही बिट गहराई के एक फ्लोट की तुलना में बेहतर परिणाम प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, या (जो एक भी अधिक प्रतिस्पर्धी लाभ हो सकता है), कम बिट गहराई के साथ एक ही परिणाम। चूंकि सिस्टम बैंडविड्थ सीमित है, छोटे ऑपरेंड का उपयोग करने का मतलब है तेज गति और कम बिजली की खपत।
चूंकि वे एक फ्लोट के रूप में काम करते हैं, न कि अंतराल प्रणाली के रूप में, उन्हें फ्लोट के लिए एक सीधा प्रतिस्थापन माना जा सकता है, जैसा कि यहां प्रदर्शित किया गया था। यदि फ्लोट का उपयोग करने वाला एल्गोरिथ्म परीक्षण पास करता है, और समय और स्थिरता "काफी अच्छी" है, तो यह सकारात्मक के साथ और भी बेहतर काम करेगा। पॉज़िट में उपलब्ध फ़्यूज़ ऑपरेशंस, राउंडिंग त्रुटियों के संचय को रोकने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं, और कुछ मामलों में आपको अनुप्रयोगों में 64-बिट फ़्लोट के बजाय 32-बिट पॉज़िट संख्या का सुरक्षित रूप से उपयोग करने की अनुमति देते हैं, जिनमें उच्च प्रदर्शन की आवश्यकता होती है। सामान्य तौर पर, यह एप्लिकेशन प्रदर्शन को 2-4 गुना बढ़ाएगा, और बिजली की खपत को कम करेगा, ऊर्जा की बचत करेगा और डेटा स्टोरेज की लागत को कम करेगा। हार्डवेयर समर्थन स्थिति हमें मूर के कानून के एक या दो चरणों के बराबर देगी,ट्रांजिस्टर के आकार को कम करने या लागत बढ़ाने की आवश्यकता के बिना। फ्लोट के विपरीत, पॉज़िट सिस्टम आईईईई 754 मानक के मुख्य दोष को समाप्त करते हुए, अलग-अलग प्रणालियों पर परिणाम की बिट-बाय-बिट प्रजनन क्षमता प्रदान करता है। पॉज़िट नंबर फ्लोट की तुलना में सरल और अधिक सुरुचिपूर्ण हैं, और उनका समर्थन करने के लिए उपकरणों की मात्रा को कम करते हैं। हालांकि फ्लोट नंबर अब सर्वव्यापी हैं, पॉज़िट नंबर जल्द ही उन्हें अप्रचलित कर सकते हैं।

संदर्भ:

1. डेविड गोल्डबर्ग। फ्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित के बारे में हर कंप्यूटर वैज्ञानिक को क्या पता होना चाहिए।
ACM कम्प्यूटिंग सर्वे (CSUR), 23 (1): 5–48, 1991. DOI: doi: 10.1145 / 103162.103163।
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