बस विभाजन, या गणितीय सिद्धांत कैसे बनाया जाए और इस पर $ 400K कमाएं। श्रृंखला दो, तपस्या

पिछली श्रृंखला में, हमने भिन्नात्मक संख्याओं की जांच की जिसमें तर्कसंगत संख्याएँ शामिल नहीं थीं। आज, यह ठीक ही है, जिसे हिस्सा नहीं माना जाता है, जो हमारे लिए इंतजार कर रहा है, और हम असतत लघुगणक के साथ अवशेष वर्गों के छल्ले या तुलना मोड्यूलो जैसे शब्दों का उपयोग किए बिना थोड़ा और अधिक जटिल अंतिम भाग के लिए भी तैयार करेंगे। इसके अलावा रुचि रखने वालों के तीसरे भाग में, $ 400K के पुरस्कार इंतजार कर रहे हैं। तीसरे में क्यों? क्योंकि विषय से परिचय किए बिना, उन कारणों को समझना हमेशा आसान नहीं होता है, जिनके लिए पुरस्कार प्राप्त करना इतना आसान नहीं होता है। और पढ़ने के बाद - केवल भाग्य और कुछ उद्देश्यपूर्ण, रोगी, लेकिन बहुत मुश्किल नहीं, गतिविधि, जो आपको चाहिए।

तर्कसंगत सितारे

तर्कसंगत संख्याओं के बारे में पहले पूछे गए सवालों के जवाब देने के लिए, हमें फिर से एक छोटे से विषयांतर की आवश्यकता है। सबसे पहले, याद रखें कि "कोने" द्वारा विभाजित करने की प्रक्रिया में हम लगातार विभाजक द्वारा विभाज्य संख्या के एक निश्चित भाग को विभाजित करने से शेष प्राप्त करते हैं। इस स्थिति में, विभाजन के पूरे भाग को परिणाम में लिखा जाता है, और विभाजन के शेष भाग को संख्या प्रणाली के आधार से गुणा किया जाता है, जिसके बाद शेष के साथ विभाजन की प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि अवधि का पता नहीं लग जाता है या विभाजक के सभी कारक कम हो जाते हैं और हमें अंतिम अंश मिल जाता है।

यह इस तरह दिखता है:

5 | 3 ------ 1.66(6) 3 20 18 20 18 2 ... 

यहां, 20 में से 18 घटाकर शेष हमेशा दो के बराबर होता है, जिसे हम तब दशमलव संख्या प्रणाली के आधार से गुणा करते हैं।

अब विचार करते हैं कि 5 से 3 का विभाजन कैसे अलग है, उदाहरण के लिए, 1 का विभाजन 3 से? जवाब सरल है - परिणामस्वरूप पूर्णांक भाग की उपस्थिति। लेकिन हम उस अवधि और उस भाग के बारे में सोचते थे जो अवधि से पहले चला जाता है (जिसे पूर्व-अवधि कहा जाता है), लेकिन परिणाम के पूरे भाग में शामिल नहीं है। इसलिए, हमें पूरे हिस्से पर विचार करने की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, इस उदाहरण में, 3 या उससे अधिक की सभी संख्याओं को विचार से बाहर रखा जा सकता है। और क्या और भी दिलचस्प है - विभाजन के कानून कई मामलों में एक को छोड़कर किसी भी अन्य संख्या के बिना प्रकट होते हैं। यही है, यह पूर्णांकों, बड़ी इकाइयों की एक श्रृंखला में एक इकाई के विभाजन का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है, और हम समझेंगे कि पूछे गए सभी प्रश्नों के उत्तर कैसे दें, और साथ ही हम नए सितारों की एक बहुत ही सभ्य संख्या से मिलेंगे।

इस बीच, हमने विषय का गंभीर अध्ययन शुरू नहीं किया है - कुछ ट्रिक्स। क्या आप जानते हैं कि साझाकरण "इसके विपरीत" किया जा सकता है? ऐसे नहीं जैसे हम स्कूल से आते हैं, लेकिन अंत से शुरू करते हैं। इसे एक और उदाहरण में दिखाते हैं, जिसमें हम अंतिम शेष को लेते हैं और, इसे शुरू करते हुए, हम अंश अवधि की गणना करते हैं। याद रखें कि 5 को 3 से विभाजित करने में शेष 2 के बराबर था। एक ड्यूस प्राप्त करने के लिए हमने अंतिम संख्या को घटाया था? हमें याद रखने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हम जानते हैं कि हम हमेशा पिछली शेष संख्याओं को 10 से गुणा करके घटाते हैं, अर्थात, घटने का अंतिम अंक हमेशा 0. के बराबर होता है। इसका मतलब है कि यह ट्रिपल के उत्पादों को 1 से 9, = (3,6) की संख्या के आधार पर छाँटने के लिए पर्याप्त है। , 9,12,15,18,21,24,27), यह देखने के लिए - उनमें से, केवल 8 के साथ समाप्त होता है और शेष 2 के साथ कुल मिलाकर, एक के अंतिम अंक में शून्य होता है। तो इससे पहले कि हम 2 के शेष को प्राप्त करें, हमने 18 को 20 से घटाया। 20 से क्यों? क्योंकि अंतिम अंक में शून्य के साथ कोई अन्य संख्या अंतर X0-18 को तीन या उससे अधिक शून्य से कम देगी। उसी तरह, हम अन्य सभी संख्याओं की गणना करते हैं:

2 - ज्ञात अवशेष
18 - शून्य के साथ संख्या के अलावा, साथ ही परिणाम के रूप में अगले अंक का मूल्य दिखा रहा है - 6 (6 * 3 = 18)
20 शून्य के साथ एक उपयुक्त संख्या है
2 - 10 से गुणा करने से पहले शून्य के साथ एक संख्या (= 20/10)
18 - शून्य के साथ संख्या के अतिरिक्त
20 शून्य के साथ एक उपयुक्त संख्या है
...

नतीजतन, हमें एक ही अनुक्रम मिलता है जैसे कि एक कोने से विभाजित होता है, लेकिन "दूसरी तरफ।" तो आप किसी भी आवधिक अंश की अवधि "अंत से" की गणना कर सकते हैं। और पूर्व-अवधि (और दिखाए गए तरीके से इस मामले के लिए इसकी गणना की अप्रासंगिकता) क्या है, हम आगे देखेंगे। इकाई के लाभांश के रूप में उपयोग करते समय परिणाम का पूरा हिस्सा हमेशा शून्य होता है, इसलिए फिर से हम अवधि को छोड़कर, कुछ और गणना करने की आवश्यकता से वंचित होते हैं।

अब याद रखें कि हम इकाई को तीन में कैसे विभाजित करते हैं: $$$1/3 = 0.3 (3)$ । यहां सब कुछ सरल है, अवधि कम है, कोई पूर्व-अवधि नहीं है, ऐसा लगता है कि कुछ भी उल्लेखनीय नहीं है। लेकिन चलो विभाजन के परिणाम को फिर से तीन से गुणा करने का प्रयास करें: $$$0.3 (3) * 3 = 0.9 (9)$ वह है $$$0.9 (9) / 3=0.3 (3)$ । और शुरुआत में यह इस तरह था: $$$1/3 = 0.3 (3)$ । अंतर नज़र नहीं आता? इनपुट पर एक था, और प्रत्यक्ष और रिवर्स एक्शन के बाद, हमें मिलता है ... मैं इसे कैसे आसान कह सकता हूं? यही है, अगर हम अनन्तता को पूरी श्रृंखला का पता लगाते हैं, तो हम समझेंगे कि हमारे पास एक इकाई है, लेकिन फिर भी यह किसी भी तरह से ऐसा नहीं है, क्या आप इसे ढूंढते हैं? ठीक है, मूल की तरह नहीं है, और यह बात है गणितज्ञ कहेंगे कि ये केवल एक ही संख्या के अंकन के दो रूप हैं, लेकिन "समान" की रोजमर्रा की समझ ऐसी परिभाषाओं के प्रति थोड़ा विद्रोह करती है। सिद्धांत रूप में, गणितज्ञों के साथ असहमत होना मुश्किल है, क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद कई नौ एकरूपता से पूरी तरह से अलग, असीम रूप से छोटे और सीमा में शून्य से भिन्न होते हैं। लेकिन विशेष रूप से, क्या आप अपने मन के साथ इस अनन्तता के पूरे सेट को शामिल कर सकते हैं? अनन्त की संख्या, अनंत तक छोटे अंतर, अनंत तक निन की एक श्रृंखला के साथ चलते समय शून्य तक। और अब इस तरह के रिकॉर्ड के साथ तुलना करें - 1. एक संकेत - और सब कुछ हमारे लिए स्पष्ट है। और अनंत की संख्या के बारे में चर्चा करने के लिए कितने संकेत थे? यही है, वहाँ अभी भी एक अंतर है? या क्या आपका मस्तिष्क मतभेदों के एक सेट में आसानी से इस तरह के trifles को अनदेखा करता है? लेकिन अगर हम नौसिखियों की सूची में अंतहीन मानसिक टकटकी पर नहीं जाते हैं, तो जिस स्थान पर हम रुकते हैं, वहाँ तुरंत एक अंतर होगा कि गणितज्ञ भी महत्वपूर्ण के रूप में पहचानते हैं - यदि आप अन्य सभी नौ नहीं देखते हैं, तो हम बिल्कुल भी नहीं हैं। इसलिए, सवाल उठता है - क्या आप सभी अनंत की गहराई को देख सकते हैं? सामान्य तौर पर, आप जो भी चाहते हैं, गणितज्ञों ने इस घटना को उसी संख्या पर विचार करने का आदेश दिया है। इसलिए, इस तारे पर विचार करने के साथ (एक अजीब चमक के साथ), हम अगले एक पर चलते हैं।

एक दिलचस्प निष्कर्ष यह है कि अनंत की संख्या का पता लगाने के तथ्य से - यदि किसी का विभाजक 3 से अधिक है, तो परिणामी अवधि हमेशा 9 से विभाजित होती है, ठीक है, निश्चित रूप से 3 से, और इसकी लंबाई भी एक वर्ण से अधिक है, 11 से, और जब इससे भी अधिक वर्ण - 13, 37, 101 और इसी तरह। और यह सब इकाई विभाजक की परवाह किए बिना है, अगर केवल यह सरल और तीन से अधिक था। आप इसे स्वयं जांच सकते हैं, उदाहरण के लिए, 1/85 की अवधि को 142857 के बराबर 3, 9, 11, 13, 37 से विभाजित करें।

खैर, ढेर से पहले हम एक साधारण सवाल पूछते हैं - क्या यह संभव है कि अवधि का निर्माण स्वयं करें? हाँ आप कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम 0123456789 अवधि प्राप्त करना चाहते हैं, क्या हम कुछ ऐसा ही लाभांश और लाभांश दे सकते हैं? आप कर सकते हैं! लेकिन संख्या के बिना 8. फिर यह 1/81 होगा। और इसलिए कि संख्या 8 अपने सही स्थान पर दिखाई देती है, हमें दशमलव बिंदु के बाद या दशमलव बिंदु के बिना, संख्या 81 को कुछ अंकों में जोड़ने की आवश्यकता होगी, लेकिन तब कई शून्य अवधि में मौजूद होंगे।

एक और नियमितता - कुछ इकाई विभाजकों के लिए हम अवधि की गणना बिल्कुल नहीं कर सकते हैं, लेकिन जब हम किसी संख्या से लाभांश (इकाई) को गुणा करते हैं, तो इसे चक्रीय रूप से स्थानांतरित करते हैं। उदाहरण के लिए - 1/7 = 0. (142857), और 2/7 = 0. (285714), 5/7 = 0. (714285), 3/7 = 0. (428571) और इसी तरह। यदि लाभांश 7 से अधिक है, तो विभाजन परिणाम का पूरा हिस्सा दशमलव बिंदु से पहले भाग में चला जाएगा, और अवधि में अभी भी समान छह अंक होंगे, लेकिन फिर से चक्रवात - 25/7 = 3. (571428), 86/7 = 12 को स्थानांतरित कर दिया जाएगा। (२ (५ (१४) आदि। आपको कैसा लगा? 7 से विभाजित होने पर कोई भी संख्या समान संख्याओं का एक सेट देती है! किसी भी! बिल्कुल किसी भी। और हाँ, ये "कोई भी संख्या" एक अनंत संख्या है। और परिणाम में हमेशा एक ही संख्या के 6 शामिल होते हैं। इसके अलावा, आप समझेंगे कि संख्याओं की दुनिया इतनी संरचित क्यों है, लेकिन अभी के लिए, हम ध्यान दें कि जब इकाई को 7 से विभाजित किया जाता है, तो हमें किसी भी अन्य संख्या के परिणाम से अवधि की गणना करने के लिए पूरी तरह से सभी आवश्यक जानकारी प्राप्त होती है, क्योंकि हम जानते हैं कि यह सिर्फ एक को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त है विभाजन का एकमात्र परिणाम। यही है, यह एक बार फिर से पुष्टि की जाती है कि अध्ययन के लिए चुने गए नंबर से, एक को छोड़कर, किसी भी संख्या के विभाजन से निपटने की कोई आवश्यकता नहीं है। सच है, कुछ संख्याओं को गुणा करना और मध्यवर्ती परिणाम याद रखना आवश्यक हो सकता है, लेकिन बाद में उस पर और अधिक।

अब अधिक सामान्य दृश्य के लिए, हम "युद्ध का नक्शा" दिखाएंगे। अध्ययन के तहत इकाई द्वारा संख्या को विभाजित करने के लिए एक नक्शा तैयार किया जाता है, जबकि अध्ययन के तहत संख्या से कम आधार वाले सभी संख्या प्रणालियों में विभाजन किया जाता है। मानचित्र में विभाजन का परिणाम शामिल नहीं है, अर्थात्, प्रश्न में अंश की अवधि, लेकिन इसके बजाय, नक्शे में "कोने" द्वारा विभाजन के प्रत्येक चरण में प्राप्त अवशेष शामिल हैं। यह कैसा दिखता है:


उपरोक्त तालिका में आप लाइनों को देखते हैं, 0 से 6. 0 तक भी संख्या प्रणाली का आधार है। क्या आप असहमत हैं? चलिए समझाने की कोशिश करते हैं। एक संख्या प्रणाली क्या है? यह आधार है, एक निश्चित मूल्य से गुणा किया जाता है, और फिर परिणाम में जोड़ा जाता है, जो बहुत शुरुआत में शून्य है। तो सभी संख्याएँ प्राप्त की जाती हैं, उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या प्रणाली में। और अगर आधार शून्य है? फिर शून्य से गुणा किए जाने वाले सभी शब्द भी शून्य के बराबर होंगे। लेकिन वह क्या बदलता है? क्या हमने चुनी हुई संख्या प्रणाली में संख्याओं के निर्माण के नियम का उल्लंघन किया है? इसलिए, लड़ाई के नक्शे पर तस्वीर की व्यापकता के लिए, हम नंबर 7 का अध्ययन करने के मामले में 0 से 6 तक सभी नंबर सिस्टम का उपयोग करते हैं। लेकिन सामान्यता के अलावा, शून्य के साथ लाइन का एक अतिरिक्त उद्देश्य होगा।

लेकिन इन सभी लाइनों का क्या मतलब है? प्रत्येक पंक्ति हमें संख्या प्रणाली में सात से इकाई को विभाजित करते हुए अवशेषों के अनुक्रम को दिखाती है, जो बाएं स्तंभ में हस्ताक्षरित है। यही है, 0 के आधार के साथ एक प्रणाली में 1/7 को विभाजित करते समय, हमारे पास 1 का प्रारंभिक शेष (वह इकाई जिसे हम विभाजित करते हैं) है। इसके अलावा, जैसा कि हमने हमेशा एक कोने से विभाजित करते समय किया था, हम संख्या प्रणाली के आधार द्वारा पहले शेष को गुणा करते हैं। हम शून्य हो जाते हैं। अब शून्य वर्तमान शेष है। आमतौर पर, जब शेष के बराबर शून्य प्राप्त करने के बाद भागफल की गणना करते हैं, और यदि विभाज्य संख्या में कोई अतिरिक्त अंक नहीं होते हैं, तो विभाजन रोक दिया जाता है (जब से परिणाम प्राप्त होता है)। लेकिन हमारे मामले में, हम एक तालिका को भरते हैं जो शून्यता को सहन नहीं करता है, और अधीरता के अलावा, इसमें अतिरिक्त गुण होते हैं जो सभी कोशिकाओं में किसी भी संख्या की उपस्थिति की आवश्यकता होती है। इसलिए, हम शेष 0 को 7. से विभाजित और विभाजित करना जारी रखते हैं। आमतौर पर, जबकि शेष भाग भाजक से छोटा होता है, इसे संख्या प्रणाली के आधार से गुणा किया जाता है, लेकिन कई बार शून्य से गुणा करना व्यर्थ है, इसलिए हम बस लिखते हैं कि शून्य से गुणा करने के बाद शेष फिर शून्य हो जाता है, और अब इसे अगली सेल में टेबल पर रख दें। फिर प्रक्रिया को दोहराएं। और इसलिए हम शून्य के साथ पहली पंक्ति में सभी कोशिकाओं को भरते हैं। और फिर दूसरी लाइन में भरें। लेकिन यह पहले से ही संख्या प्रणाली का एक और आधार है - एक इकाई। 1 को 7 से विभाजित करने के बाद, हमारे पास पहला शेष है - एक। फिर हम संख्या प्रणाली के आधार से गुणा करते हैं, अर्थात, एक से। हम फिर से मिलते हैं। 1. हम उचित सेल में लिखते हैं। फिर से हम 1 से गुणा करते हैं, फिर से हमें 1 मिलता है, हम फिर से लिखते हैं। और इसलिए जब तक दूसरी लाइन नहीं भरी जाती है। लेकिन हर मामले में इन दो अद्भुत लाइनों के बाद, हम आखिरकार एक और अधिक सार्थक विभाजन में आते हैं - बाइनरी सिस्टम में (और पहले दो सिस्टम का अर्थ बाद में स्पष्ट हो जाएगा)। पहले हमारे पास एक ही इकाई है। यूनिट को तीसरी पंक्ति में लिखें। फिर हम संख्या प्रणाली (2 से) के आधार से गुणा करते हैं। हमें 2. 2 सात से कम मिलता है, हम अभी तक घटा नहीं सकते हैं, इसलिए हम तालिका में शेष 2 लिखते हैं। दोबारा, हम 2 से गुणा करते हैं, हमें 4 मिलता है, जो फिर से 7 से कम है, इसलिए फिर से यह परिवर्तन के बिना तालिका में जाता है। लेकिन अगले चरण में हमें 8 मिलता है, जो 7 से अधिक है, इसलिए हमें घटाना होगा। परिणाम 1. हम तालिका में लिखते हैं। लेकिन पहले हमारे पास एक इकाई थी, इसलिए अन्य सभी चरण समान होंगे - इसलिए हम तीसरी पंक्ति को अंत तक जोड़ देंगे। और इसी तरह हम बाकी पंक्तियों को जोड़ देंगे, लेकिन यह नहीं भूलना चाहिए कि हमें संख्या प्रणाली के एक और आधार से गुणा करना होगा।

इसलिए, जब हमें अंत में पूर्ण तालिका मिली, तो हम कुछ निष्कर्ष निकाल सकते हैं। सबसे पहले, पुनरावृत्ति पर ध्यान दें। बाइनरी सिस्टम के लिए, हमारे पास 1,2,4,1,2,4,1, यानी दो बार 1,2,4 और फिर एक और समय 1. यहां, सूची 1,2,4 परिणामी बाइनरी अंश की अवधि से मेल खाती है। यही है, अवधि लंबाई होगी 3. और यद्यपि हमने अवधि से संख्याओं के बजाय अवशेषों का उपयोग किया था, लंबाई इस से ग्रस्त नहीं थी, और इसलिए सभी जानकारी सहेज ली गई है। और इससे भी अधिक - तालिका में वास्तव में अधिक जानकारी शेष है। लेकिन उस बारे में और बाद में, लेकिन अभी के लिए, हम ध्यान दें कि सभी लाइनें अध्ययन की आसानी के लिए और इसी तरह के कई उपयोगी गुणों की उपस्थिति के कारण समान लंबाई से बनी हैं। इसलिए लाइनें इकाइयों के साथ शुरू और समाप्त होती हैं, जो संख्या 7 के गुणों को अच्छी तरह से अलग करती हैं। और अगर हमने लाइनों को अवधि की अवधि तक कम कर दिया है, तो हम संख्या 7 के सार के सममित प्रदर्शन की सुंदरता का आनंद नहीं ले पाएंगे।

अब जानकारी के बारे में। बैलेंस ने अवधि की संख्या में असमान रूप से संख्या निर्धारित की है, इसलिए इस प्रतिनिधित्व में जानकारी नहीं खोई है, लेकिन चूंकि शेष राशि अधिक हो सकती है, उदाहरण के लिए, एक दशमलव स्थिति (यानी 9) की अधिकतम, उनकी भागीदारी के बारे में जानकारी सबसे पूर्ण हो जाती है, क्योंकि सिस्टम में एक स्थिति। रेकिंग हमें यह नहीं बता सकता है कि शेष था, उदाहरण के लिए, 19, लेकिन शेष 19 आपको स्पष्ट रूप से बताएगा कि अवधि में क्या आंकड़ा है और पिछले शेष से हमने लाभांश के उत्पाद को घटाया ("अंत से ध्यान केंद्रित करें" विभाजन को याद रखें)। और इसके अलावा, हम तुरंत एक साधारण बात नोटिस करते हैं - इससे अधिक कोई अवशेष नहीं हो सकता है $$$एन -1$ जहाँ $$$एन$ - जांच संख्या जिसके द्वारा हम इकाई को विभाजित करते हैं। यह बहुत महत्वपूर्ण बिंदु है। इसके अलावा, यह आसानी से साबित किया जा सकता है कि यदि एक कोने से विभाजित करते समय पहले से सामना किए गए अवशेषों को दोहराया जाता है, तो अवशेषों के पूरे अनुक्रम का दोहराव होगा जो पहले दोहराए गए मूल्य का पालन करते थे। तो हमें इसे लेने की जरूरत नहीं है, एक बार अवधि मिल जाने के बाद। यदि हम अवधि से केवल संख्याओं को रिकॉर्ड करते हैं, तो अवधि में संख्याओं को दोहराने का मतलब गणना का पूरा होना नहीं है। इसलिए, अवधि की तुलना में संतुलन अधिक महत्वपूर्ण हैं। लेकिन सबसे दिलचस्प बात सब कुछ के अवशेष हैं $$$एन -1$ , और इसलिए अवधि लंबी है $$$एन -1$ नहीं हो सकता। इसलिए, यहाँ हमने इस अवधि में अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा को पाया, जो अवधि के वास्तविक अंकों से शेष राशि की ओर बढ़ रहा है। जैसा कि वे कहते हैं, हाथ की आसान आवाजाही और कोई धोखाधड़ी नहीं। यह अधिक संपूर्ण जानकारी का लाभ है। खैर, इसलिए, 7 मैचों के लिए हमारे "बैटल मैप" की चौड़ाई 6 + 1 कॉलम है, यानी सभी संभावित अवशेषों के लिए 6 कॉलम और इकाइयों से समरूपता का पता लगाने के लिए 1 कॉलम, जो कि सभी नंबरों के लिए अनिवार्य नहीं है, और इसलिए यह नहीं है यह एक कॉलम के तहत अंतरिक्ष को छुपाने लायक है।

ठीक है, अब इसकी उपयोगिता के संदर्भ में उपरोक्त "मानचित्र" पर एक नज़र डालें। आप तुरंत सरल पैटर्न का एक सेट देख सकते हैं। प्रत्येक पंक्ति एक इकाई से शुरू होती है, और इसके साथ समाप्त होती है। प्रत्येक पंक्ति की दूसरी स्थिति संख्या प्रणाली के आधार को इंगित करती है, लेकिन प्रत्येक पंक्ति के मध्य में N-1 या 1. होता है। ध्यान दें कि हमने इस क्रम में तालिका में संख्याओं को व्यवस्थित करने के लिए कोई प्रयास नहीं किया, सिवाय तालिका में विभाजन के परिणामों को ठीक करने के। लेकिन हमारे किसी भी आदेश (विभाजन के चरणों के अनुक्रम को छोड़कर) की अनदेखी करने के बावजूद, यह आदेश कहीं से भी उत्पन्न हुआ और हमें इकाइयों से पत्र पी को आकर्षित किया, इस पर एक शून्य की टोपी (एक से एक टोपी का छज्जा) डाल दिया, तालिका को इकाइयों के मध्य स्तंभ द्वारा विभाजित किया, और संख्या 7 में इसका जोड़ (सूत्र 7-1 = 6 के अनुसार)। इसके अलावा, आदेश ने खुद को दूसरे कॉलम में नंबर सिस्टम रखा। इसकी तुलना पहले बाएँ स्तंभ में संख्याओं के साथ करें, उन्हें सिर्फ जानबूझकर जोड़ा जाता है, ताकि हमें पता चले कि नंबर सिस्टम कहाँ है। ठीक है, हम आसानी से परिणामी अंशों की अवधि की गणना आसानी से कर सकते हैं, हालांकि सुविधा के लिए इसे स्तंभ के मान के साथ कॉलम में दर्शाया गया है = 1 एन।

वास्तव में, इससे पहले कि आप एक आवर्त सारणी की तरह कुछ है, लेकिन रसायन विज्ञान के लिए नहीं है, लेकिन संख्या सिद्धांत के लिए। उसी तरह से मेंडेलीव के रूप में, आप बस तालिका को देख सकते हैं कि एक निश्चित पैटर्न मिल जाए, और फिर, मेंडेलीव के बाद की तरह, इस पैटर्न के अस्तित्व को उचित ठहराया जा सकता है और यह साबित किया जा सकता है कि यह सभी संख्याओं के लिए दोहराई गई है, जो परिस्थितियों के एक निश्चित सेट को संतुष्ट करता है। और इस तरह की तालिकाओं में यह सबसे महत्वपूर्ण बात है। बस पैटर्न को देखते हुए, आप कानूनों की खोज कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, संख्या सिद्धांत। खैर, अधिक विचारशील पाठकों के लिए, एक पूर्ण चक्र का मार्ग यहां खुलता है - एक पैटर्न खोजने के बाद, आपको सभी नंबरों के लिए, या एक निश्चित वर्ग के नंबरों के लिए इसकी प्रासंगिकता साबित करने की आवश्यकता है।

जैसा कि नोट किया गया था, इस तालिका में अभाज्य संख्या 7 के बारे में पूरी जानकारी है। लेकिन इस जानकारी से हम सभी अनुमानों के बारे में परिकल्पना प्राप्त कर सकते हैं। और यहां तक ​​कि इनमें से कुछ परिकल्पनाएं पहले ही हमारे लिए साबित हो चुकी हैं, इसलिए हमें सिर्फ दूसरों के निष्कर्षों की जांच करनी होगी। इस तरह के प्रसिद्ध लोगों द्वारा साक्ष्य दिए गए थे, उदाहरण के लिए, फ़र्मेट और यूलर। फार्म ने हमें यह सूत्र दिया $$$a ^ {(p-1)} \ pmod p = 1$ (यहां मॉड ऑपरेशन बाईं ओर के मूल्य को दाईं ओर से विभाजित करने के शेष भाग को लेता है, प्रोग्रामिंग में यह आमतौर पर% प्रतीक द्वारा इंगित किया जाता है), अर्थात, शेष का विभाजन $$$a ^ {(p-1)}$ पी पर हमेशा सभी अपराधों के लिए एक के बराबर होता है (अर्थात् primes, यह महत्वपूर्ण है)। लेकिन संख्या 7 भी प्रमुख है। और प्रत्येक पंक्ति में प्रत्येक अवशेषों की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है: $$$b ^ i \ pmod N = r$ । यहाँ b संख्या प्रणाली (अंग्रेजी आधार से) का आधार है, मैं लाइन में स्थिति संख्या (अंग्रेजी सूचकांक से), पहली स्थिति के लिए शून्य से शुरू कर रहा है, एन जांच के तहत संख्या है (इस मामले में - 7), r शेष है (अंग्रेजी अनुस्मारक से) ) एक कोने से विभाजित करने के आई-वें चरण में गठित और तालिका के आई-वें कॉलम में निहित है। आइए हम Fermat सूत्र और इंडेक्स I द्वारा निर्दिष्ट शेष की गणना के लिए सूत्र की तुलना करें। वे अवशेषों के सभी अनुक्रमों के अंतिम सदस्य के लिए समान हैं। और फ़र्मैट सूत्र के अनुसार पूर्ण, स्थिति में प्रत्येक शेष के लिए $$$एन -1$ हमारे पास एकता के लिए समानता है। यही है, इकाइयों के एक कॉलम के रूप में नग्न आंखों द्वारा मनाया गया पैटर्न फ़र्मट के समय में पुष्टि और वापस साबित हुआ था (हालांकि फ़र्मैट ने हमें सबूतों के साथ लिप्त नहीं किया, लेकिन आमतौर पर उनके सभी कथन सत्य थे)। यूलर ने फर्मट के फॉर्मूले में इसे न केवल प्राइम्स के लिए, बल्कि कंपोजिट नंबर के लिए भी इस्तेमाल करने की सुविधा दी। सच है, आपको एक संख्या के सभी विभाजक जानने की जरूरत है, लेकिन छोटी संख्या के लिए यह कोई समस्या नहीं है। तो दूसरी तालिका (नीचे) में हम संख्या 21 के लिए अवशेषों का क्रम देखते हैं, जो कि समग्र है। यूलर ने साबित किया कि एक मनमानी संख्या को डिग्री की संख्या के बराबर विभाजित करने की शेष संख्या छोटी है और एन के साथ आम भाजक नहीं होना भी एक के बराबर है। और यह वास्तव में यह तथ्य है कि हम 21 नंबर के लिए तालिका में निरीक्षण करते हैं, जिसके लिए 20 निम्न संख्याओं में से 8 में 21 के साथ एक सामान्य भाजक है, और 12 नहीं है। इसलिए, हम 12 वीं कॉलम (जब स्क्रैच से अनुक्रमण करते हैं) में कई इकाइयां देखते हैं। और ये इकाइयां लाइनों के अंत में नहीं हैं, क्योंकि 21 से कम संख्या वाले कुछ में 21 के साथ आम भाजक हैं।लेकिन अभाज्य संख्याओं के लिए, एक छोटी संख्या में उनके साथ सामान्य भाजक नहीं होते हैं, इसलिए सरल में सामान्य भाजक के बिना संख्याओं की संख्या हमेशा समग्र से अधिक होती है। और इसलिए, सरल लोगों के लिए तालिका में इकाई अवशेष यौगिक लोगों की तुलना में अधिक दूर हैं। लेकिन ध्यान दें - 21 के लिए तालिका के 12 वें कॉलम में सभी मान एक के बराबर नहीं हैं। क्या ईयूलर गलत है? नहीं, उसने सिर्फ संख्याओं के साथ काम करने के लिए अपने फार्मूले का उपयोग करने का इरादा नहीं किया था, जो कम हो सकते हैं, और सिर्फ उन पंक्तियों में जो 3 और 7 के गुणक हैं (21 के भाजक) हमारे पास यूलर फॉर्मूला के साथ विसंगति है। सामान्य तौर पर, यह पता चलता है कि फरमेट और ईयूलर ने हमें संख्याओं की विभाज्यता की समस्याओं को समझने के लिए उपयुक्त सूत्र दिए, और उनकी सभी महिमा में उपरोक्त सारणियां यूलर और फरमेट के परिणामों की पुष्टि करती हैं।


हालांकि यह ध्यान देने योग्य है कि उपरोक्त तालिका के बारे में न तो फ़र्मेट और न ही यूलर को पता था। और अगर वे जानते थे, तो उसके बारे में किसी को नहीं बताया गया था। हालांकि, दूसरी ओर, उनके दिनों में, वैकल्पिक दशमलव अंक हमारे समय की तुलना में कुछ कम लोकप्रिय थे। तब भी हर कोई दशमलव प्रणाली के बारे में नहीं जानता था, लेकिन वे केवल उंगलियों पर गिने जाते थे। और इसलिए, कटौती किए गए फ़र्मेट, और फिर आधार और डिग्री को जोड़ने के लिए यूलर द्वारा विस्तारित सूत्र, हमें इस तालिका के अन्य कानूनों का स्पष्टीकरण नहीं देते हैं। इसलिए, अधिक सितारे हमारे लिए इंतजार कर रहे हैं, और फिर परमाणुओं के इलेक्ट्रॉन के गोले के सशर्त उद्घाटन की अवधि, जिसकी मदद से केमिस्टों ने आखिरकार आवर्त सारणी के जादुई पूर्वानुमान गुणों को समझाया। लेकिन चलो जादू के साथ शुरू करते हैं।

सितारों से लेकर जादू तक

पहेली प्रेमी तथाकथित "जादू वर्ग" को जानते हैं। ये टेबल हैं जिसमें आपको संख्याओं को इस तरह व्यवस्थित करने की आवश्यकता होती है कि ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और दो विकर्णों के साथ समरूप समान हैं। बहुत से लोगों ने लंबे समय तक मात्राओं पर प्रतिबंधों के प्रेडस्ट्रियन बिस्तर में संख्याओं को डाला और यहां तक ​​कि बहुत बड़े वर्गों को भरने में भी कामयाब रहे। लेकिन आज हम बहुत अधिक शक्तिशाली जादू से मिले। हां, संख्या सिद्धांत के लिए आवधिक तालिका में कई और प्रतिबंध हैं, और यहां तक ​​कि एक पहला-ग्रेडर जो "कोने" को साझा करना सीख सकता है, उसे भर सकता है। इसके बारे में सोचें - सबसे चतुर लोगों ने जादू के वर्गों को भर दिया, लेकिन उन्हें भरने की एक आम विधि नहीं मिली, या आकार में दुखी सौ स्तंभों तक भी उन्नत। और पहले-ग्रेडर पूरी तरह से एक अरब के साथ सामना करेंगे, अगर केवल उसके पास पर्याप्त समय उपलब्ध था।यहाँ इस तरह की एक आकाशगंगा है, जो नेत्रगोलक के तारों से भरी हुई है, संख्यात्मक वर्गों में हमारी प्रतीक्षा कर रही है।

चलो स्पष्ट पैटर्न सूचीबद्ध करना शुरू करते हैं

गुणन। तालिका की किसी भी पंक्ति को किसी अन्य द्वारा गुणा किया जा सकता है। परिणाम एक ऐसी श्रृंखला होगी जिसकी संख्या की गणना अध्ययन के तहत शेष द्वारा विभाजित गुणक श्रृंखलाओं की संख्याओं के उत्पाद के रूप में की जाती है। यही है, अगर हम पंक्ति 3 से पंक्ति 2 को तालिका 3 से 7 के लिए गुणा करते हैं, तो हमें पंक्ति 6 ​​मिलती है। और अगर हम पंक्ति 4 को पंक्ति 6 ​​से गुणा करते हैं, तो हमें 24 मॉड 7 = 3 मिलता है, यानी तीसरी पंक्ति। और डिवीजन मोडुलो की बहुत संपत्ति (जो शेष के साथ है) सभी संख्या प्रणालियों को बनाता है, अध्ययन के तहत संख्या से बड़ा, अनावश्यक। इसलिए हमें आधार 24 के साथ एक नंबर सिस्टम की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि इसमें अवशिष्टों के मान बिल्कुल उसी तरह होंगे जैसे आधार 3 के साथ सिस्टम में। हम 1/7 डिवीजन से जो भी संख्या प्रणाली की गणना करते हैं, हमें हमेशा एक परिणाम मिलता है जो पहले से ही है तालिका में है। Anecdotally? और यह केवल शुरुआत है।

समरूपता। प्रत्येक दूसरे कॉलम में ऊपरी और निचले हिस्से होते हैं, जो एक दूसरे का प्रतिबिंब होते हैं। और शेष कॉलम में एन परिलक्षित संतुलन के पूरक के बराबर मूल्य हैं। वह है, संख्या 7 के लिए तालिका के दूसरे कॉलम में, संख्या 1 6 से 7, 2 पूरक 5 और 3 पूरक। 4. परिणामस्वरूप, ऊपर माना गया सूत्र$$b i( आधुनिकएन ) = आर निम्न प्रणाली द्वारा पूरक है:$b^i \pmod N = r$

$$( एन - जे ) मैं( आधुनिकN ) = r , विषम कॉलम के लिए$(N-j)^i \pmod N = r$
$$जे आई( आधुनिकएन ) = आर , यहां तक ​​कि कॉलम के लिए भी$j^i \pmod N = r$
$$j = N - b यहाँ N अध्ययन के अंतर्गत संख्या है (उदाहरण 7 के लिए), b संख्या प्रणाली का आधार है, मैं शून्य से शुरू होने वाला कॉलम इंडेक्स है, r दिए गए b और i सेल में शेष मान है।$j=N-b$



क्षैतिज समरूपता इकाइयों के पहले से उल्लेख किए गए चरम स्तंभों और इकाइयों के मध्य स्तंभ द्वारा व्यक्त की गई है और एन के लिए इसका पूरक है। यह ठीक अपराधों के लिए काम करता है, लेकिन घटकों के लिए विचलन हैं। इसके अलावा (फिर से केवल अपराधों के लिए, लेकिन कभी-कभी घटकों के लिए भी), विभाजित मध्य स्तंभ हमेशा या तो अवशिष्टों के दोहराए जाने की अवधि की एक इकाई के साथ शुरू होता है, या दाएं श्रृंखला के बाएं आधे भाग के लिए एन को परिवर्धन की एक श्रृंखला देता है। यही है, यदि इकाई मध्य स्तंभ में है, तो बाएं भाग दोहराता है। यदि N में कोई जोड़ है, तो वही बाईं ओर जाता है, लेकिन N से घटने के बाद। इस प्रकार, पूरी तालिका से (अभाज्य संख्याओं के लिए) आप केवल ऊपरी बाएँ वर्ग को छोड़ सकते हैं।$$( एन - 1 ) / 2 (एक शून्य पंक्ति के बिना), और अन्य सभी अवशिष्ट मूल्य ऐसे वर्ग से जानकारी के आधार पर स्पष्ट रूप से प्राप्त होते हैं। यद्यपि आपको यह नहीं भूलना चाहिए कि सामान्य तौर पर पूरी तालिका एक एकल संख्या - विभाजक के ज्ञान से ली गई है, जबकि लाभांश एक स्थिर बराबर 1.अब योग है। मूल रूप से सरल, लेकिन कभी-कभी यौगिक के लिए, नीचे दिखाए गए नियमों का पालन किया जाता है। क्षैतिज योग (अंतिम स्तंभ के बिना स्पष्टता के लिए जोड़ा गया) हमेशा जांच के तहत संख्या का एक गुणक होता है। जांच के तहत ऊर्ध्वाधर योग हमेशा संख्या का एक गुणक होता है। एक से एक अवधि के भीतर शेष राशि के योग (अवधि तालिका की चौड़ाई से कम हो सकती है) या तो जांच के तहत संख्या के बराबर या उससे अधिक हैं।$(N-1)/2$



आगे विभाजन। इकाइयों (अवशिष्टों की अवधियों) के बीच अवशिष्टों की पंक्तियाँ अलग-अलग लंबाई की हो सकती हैं, लेकिन प्राइम्स के लिए पंक्तियों की सभी लंबाई हमेशा एक पूर्णांक द्वारा तालिका की कुल लंबाई को विभाजित करती है। यही है, अगर इकाइयों के बीच कम से कम एक पंक्ति पूरी तरह से तालिका की कुल लंबाई को विभाजित नहीं करती है, तो यह एक समग्र संख्या है (21 और 7 के लिए तालिकाओं की तुलना करें)।

लंबाई और विशिष्टता। तालिका की चौड़ाई से भी लंबी और छोटी प्रत्येक पंक्ति में दो भाग होते हैं - बीच के अवशेषों की एक श्रृंखला और इसके बाद अवशेषों की प्रारंभिक श्रृंखला के लिए एन को परिवर्धन की एक श्रृंखला। इसके अलावा, अवधि के भीतर सभी मूल्य अद्वितीय हैं, अर्थात्, वे केवल अवधि की पुनरावृत्ति के साथ दोहराए जाते हैं, लेकिन इस अवधि के भीतर वे कभी भी दोहराए नहीं जाते हैं।

गुणन। यदि तालिका के प्रत्येक सेल को एक पूर्णांक से गुणा किया जाता है, तो हम या तो तालिका की चौड़ाई के बराबर अवधि अवधि के मामले में अवशेषों का एक चक्रीय शिफ्ट प्राप्त करते हैं, या उन मामलों में एक नई श्रृंखला है जहां अवधि तालिका की चौड़ाई से कम है। इसके अलावा, छोटी अवधि के मामले में, नई श्रृंखला के सभी मूल्य अद्वितीय होंगे, अर्थात् उनमें से कोई भी इकाई को अध्ययन के तहत संख्या से विभाजित करके प्राप्त श्रृंखला में नहीं है, साथ ही साथ श्रृंखला में अन्य संख्याओं से गुणा करके और मूल श्रृंखला में प्राप्त की गई है, जिसे हम एक स्थिरांक से गुणा किया जाता है। कुल में, अद्वितीय अवधियों की संख्या अवधि की लंबाई से विभाजित तालिका की चौड़ाई के बराबर है (अभाज्य संख्याओं के लिए)। और सभी संभावित अवधियों में घटकों के लिए "निषिद्ध" अवशेष नहीं हैं, जो, जब अध्ययन के तहत संख्या के विभाजकों द्वारा विभाज्य पंक्तियों द्वारा गुणा किया जाता है, तो शेष शून्य देते हैं, लेकिन बाद में उस पर अधिक।

श्रृंखला गुणा के परिणामस्वरूप, कोई भी चक्रीय अवधि बदलाव या नई अवधि प्राप्त कर सकता है। नई अवधि को चक्रीय रूप से स्थानांतरित किया जा सकता है, इसे अन्य मूल्यों से गुणा किया जा सकता है। एक पारी या एक नई अवधि चुनने का सामान्य नियम सरल है - यदि शेष अवधि में एक संख्या है जिसके द्वारा हम गुणा करते हैं, तो हमें एक चक्रीय पारी मिलेगी, और यदि ऐसी कोई संख्या नहीं है, तो हमें एक नई श्रृंखला मिलेगी। और निश्चित रूप से, यह सीधे आवधिक अंशों पर लागू होता है, उनके अवधियों के लिए अधिक सटीक होता है (अंश रिकॉर्ड में अवधियों से अवधि से शेष राशि को अलग करना आवश्यक होता है, हालांकि आमतौर पर संदर्भ से अंतर स्पष्ट होता है)। इसलिए संख्या 7 के पहले दिखाए गए उदाहरण में, हमने देखा कि आप चाहे जिस तरह से 7 से विभाजित होने का परिणाम गुणा करते हैं, हमें हमेशा उसी अवधि में अंकों का एक ही सेट मिलता है, लेकिन मानक विभाजन 1/7 के सापेक्ष चक्रीय रूप से स्थानांतरित हो जाता है। संख्या 7 के मामले में, हमारे पास एक अवधि (दशमलव संकेतन में) एक लंबाई के साथ है,तालिका की चौड़ाई के साथ मेल खाना, इसलिए, इसमें कोई अन्य संख्याएं प्राप्त नहीं की जा सकती हैं (कोई और शेष उपलब्ध नहीं हैं), लेकिन केवल चक्रीय बदलाव संभव हैं। लेकिन एक और बिंदु है - हमने दशमलव प्रणाली में साझा किया है, लेकिन तालिका में ऐसी कोई रेखा नहीं है। इसका मतलब यह है कि इसे खोजने के लिए हमें 10 को 7 से विभाजित करने और शेष प्राप्त करने की आवश्यकता है - 3. यह आधार 3 के साथ संख्या प्रणाली है जो पूरी तरह से दशमलव प्रणाली के व्यवहार को अवशेषों के संबंध में दोहराता है, इसलिए यह तीसरी पंक्ति में है कि हम पूर्ण अवधि को देखते हैं, अर्थात् लंबाई के बराबर। तालिका की चौड़ाई। और शेष राशि से दशमलव शर्तों में अवधि प्राप्त करने के लिए, आप किसी भी शेष को ले सकते हैं और इसे कोने से विभाजित करना शुरू कर सकते हैं, फिर परिणामस्वरूप अंश अवधि के सभी अंक होंगे। गुणा के दौरान अवधि की पारी अवशिष्टों की श्रृंखला में एन द्वारा कारक के शेष भाग को खोजने के द्वारा निर्धारित की जाती है। शिफ्ट पाए गए शेष के सूचकांक के बराबर होगा,अर्थात्, हमें हमेशा चक्रवात को शेष बचे हुए सूचकांक के बराबर अंकों की संख्या से दाएं से बाएं स्थानांतरित करने की आवश्यकता होती है।

और अध्ययन किए गए विभिन्न नंबरों के बीच कुछ निर्भरताएं:


यहां हम बाइनरी सिस्टम में 2 से 39 तक की संख्या के लिए पंक्तियों को देखते हैं। नीचे की पंक्ति पर ध्यान दें। 1,2,4,8,16,32 संख्याओं के स्तंभ इससे ऊपर जाते हैं। संख्या 32 के बाद, हम एक (25,26,27, ...) द्वारा बढ़ते मूल्यों का एक स्तंभ देखते हैं। अगले कॉलम में, मान तीन से बढ़ जाते हैं। फिर 6, 13, 26, आदि पर। एक मान तक पहुँचने के बाद "स्विच" में वृद्धि जो जांच के तहत संख्या से अधिक है (ब्रैकेट में बाईं ओर कॉलम, अवधि के पहले)। तो एक के विकास में दो से वृद्धि, फिर तीन से, आदि। सामान्य तौर पर, ऐसे सभी कॉलम शुरू होते हैं$$2 i , जहां मैं कॉलम इंडेक्स है। नीचे$2^i$$$2 मैं मान नहीं बदलता है, लेकिन ऊपर यह सूत्र के अनुसार बदलता है$2^i$$$2 i / j , जहाँ j एक पंक्ति ऊपर (शून्य से अधिक) स्थानांतरित करते समय वृद्धि होती है। वह है, जबकि पंक्ति संख्या बीच में है$2^i/j$$$$2^i/j$ और $$2 i / ( j + 1 ) , वेतन वृद्धि j के बराबर है। सीमा पार करने के बाद$2^i/(j+1)$$$2 i / ( j + 1 ) , वेतन वृद्धि बराबर हो जाती है$2^i/(j+1)$$$j + 1 है , तो सीमा होगी$j+1$$$2 i / ( j + 2 ) , इसके बाद वेतन वृद्धि होगी$2^i/(j+2)$$$$j+2$ आदिबिल्कुल समान नियमितता किसी भी संख्या प्रणाली के आधार के लिए विशेषता है, अर्थात, सभी पंक्तियों को संख्या प्रणाली 10 की पंक्तियों द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (और छवि में हम बाइनरी सिस्टम के लिए परिणाम देखते हैं), या कोई अन्य, और एक ही समय में नियमितता संरक्षित की जाएगी, लेकिन प्रतिस्थापन 2 के सूत्र में संख्या प्रणाली के एक और आधार पर।

उपरोक्त पैटर्न की पूरी सूची नहीं है, लेकिन पहेली प्रेमियों के पास पहले से ही समान वर्ग में भरने की कोशिश करने के लिए पर्याप्त है, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 11, 13, 17 के लिए। कोशिश करें, लेकिन कोने या घातांक द्वारा विभाजन की विधि का उपयोग न करें। अचानक आप कुछ अन्य नियमितता की खोज करेंगे जिसके द्वारा ऐसे वर्ग बनते हैं!

भविष्यवाणियों

क्रिस्टल बॉल के मालिक भविष्य की भविष्यवाणी करते हैं, लेकिन हम अपनी तालिकाओं से भी कुछ भविष्यवाणी कर सकते हैं। आपने शायद पहले ही देखा है - इकाइयों के अंतिम कॉलम भी केवल अपराधों में पाए जाते हैं। यही है, तालिका पर एक नज़र यह समझने के लिए पर्याप्त है कि कोई संख्या एक प्रमुख संख्या है या नहीं। यह हमारे क्रिस्टल बॉल के लिए पहली भविष्यवाणी है। दूसरी भविष्यवाणी संख्या प्रणाली में अंश अवधि है$$k ger N - 1 (यहां k किसी भी पूर्णांक शून्य से अधिक है) हमेशा 2 होता है। संख्या प्रणाली में अंश अवधि$k*N-1$$$कश्मीर * एन + 1 हमेशा होता है 1 के बराबर है और यह में सभी मान भी 1. करने के लिए उदाहरण के लिए परीक्षण संख्या N = 11 के लिए, है, हम है के बराबर कर रहे हैं कश्मीर = 1 के साथ$k*N+1$$$कश्मीर * एन के - 1 = 10 , यानी, दशमलव प्रणाली में$k*N-1=10$$$1 / 11 = 0. ( 09 ) , अवधि की लंबाई के रूप में ऊपर की भविष्यवाणी की, 2 के बराबर है। अब हम यूलर और फ़र्मट फ़ार्मुलों के पूरक की भविष्यवाणी करते हैं। सबसे पहले, याद रखें कि प्रत्येक शेष की गणना सूत्र की संख्या और संख्या प्रणाली के आधार के आधार पर की जा सकती है$1/11=0.(09)$

$$b i( आधुनिकएन ) , जहां बी संख्या प्रणाली का आधार है, मैं शून्य से शुरू होने वाली स्थिति है, एन जांच के तहत संख्या है। यह सूत्र Fermat और Euler के सूत्रों से मेल खाता है, अगर इसमें हम Fermat और Euler द्वारा प्रस्तावित मूल्यों के बराबर स्थिति लेते हैं। लेकिन पैटर्न के अलावा$b^i \pmod N$$$ए ( पी - 1 )( आधुनिकp ) = 1 Fermat द्वारा हमें दिया गया, मध्य स्तंभ की नियमितता हमें एक समान सूत्र देती है -$a^{(p-1)} \pmod p = 1$$$a ( p - 1 ) / 2( आधुनिकp ) = { 1 , p - 1 } , अर्थात, किसी भी संख्या में अभाज्य की शक्ति, माइनस 2 से विभाजित, हमें या तो एकता देगा या p-1, जहाँ p एक अभाज्य है। सूत्र को उस स्थिति तक बढ़ाया जा सकता है जब पूरी तालिका के भीतर एक से एक तक की अवधि विषम हो और अवधि की अवधि सम हो।$a^{(p-1)/2} \pmod p = \{1,p-1\}$ तो $$a k( आधुनिकp ) = p - ( a ( p - 1 ) / 2 + k( आधुनिकp ) ) , जहां k कोई पूर्णांक है, p एक अभाज्य है। यह सूत्र समान लंबाई की अवधि के दूसरे भाग की पुनरावृत्ति की नियमितता को दर्शाता है, लेकिन अध्ययन की गई संख्या से घटाव के साथ, यह निर्भरता थोड़ी अधिक बताई गई थी। सम समयावधि की समयावधि के लिए, कोई भी सूत्र के द्वारा व्यक्त कर सकता है कि अवधि के दाईं ओर से अवशेषों की निर्भरता बाएं आधे से अवशेषों पर। अब हम अनुमान लगाते हैं कि ऐसी तालिका से किसी संख्या के सभी विभाजक कैसे प्राप्त करें। ऐसा करने के लिए, 21 नंबर की तालिका को फिर से देखें:$a^k \pmod p = p - (a^{(p-1)/2+k} \pmod p)$




यह तुरंत स्पष्ट है कि बहुत कम पंक्तियाँ एक इकाई के साथ समाप्त होती हैं, यह संख्या की समग्र प्रकृति को इंगित करता है। जैसा कि यूलर ने 1 के शेष भाग के साथ एक कंपाउंड नंबर की डिग्री की तुलना करने के लिए अपने फॉर्मूले में दिखाया, इस मामले में घातांक कम्पाउंड नंबर माइनस एक के बराबर नहीं हो सकता है (अर्थात, मान जो तालिका में सबसे सही स्थिति निर्धारित करता है), इसलिए नंबर 21 के मामले में हम बहुमत देखते हैं एक इकाई के बिना अंत में पंक्तियाँ। फिर भी, हम इकाइयों के साथ कई पंक्तियों को भी देखते हैं। उनके लिए यूलर फॉर्मूला क्यों पूरा नहीं हुआ? उनकी अवधि पर ध्यान दें, यह 2 या 1 के बराबर है। जैसा कि कई सूत्रों के लिए विशिष्ट है, यूलर सूत्र हमें सेट से एक समाधान देता है, और इस सेट में इकाइयों को सूत्र द्वारा इंगित किए गए पदों पर सटीक रूप से गारंटी दी जाती है, अर्थात अंतिम स्थान से पहले। तालिका में, लेकिन चूंकि अवधि कम है, तो वह,कई बार दोहराते हुए, कभी-कभी यह सफलतापूर्वक तालिका की कुल चौड़ाई में फिट बैठता है और हमें कुछ पंक्तियों के अंत में एक मिलता है। यह स्थिति संख्याओं के एक पूरे सेट के लिए विशिष्ट है, जिसे छद्म-सरल कहा जाता है, क्योंकि वे सरल को प्रतिरूपण करते हैं, कुछ पंक्तियों में सही पंक्ति में इकाइयों को लगाते हैं। लेकिन यह हमें उन श्रृंखलाओं को देखने से नहीं रोकता है, जिनमें अंत में कोई इकाई नहीं है, और इसलिए यह स्थिति किसी भी तरह से प्रस्तावित तालिका के अनुसार संख्या की सादगी या समग्र प्रकृति को निर्धारित करने की मौलिक संभावना को प्रभावित नहीं करती है। हालांकि वास्तव में, सिद्धांत अक्सर हमारी क्षमताओं की सीमाओं के साथ पाए जाते हैं, लेकिन बाद में उस पर अधिक।कुछ पंक्तियों में दाईं ओर इकाइयाँ लगाना। लेकिन यह हमें उन श्रृंखलाओं को देखने से नहीं रोकता है, जिनमें अंत में कोई इकाई नहीं है, और इसलिए यह स्थिति किसी भी तरह से प्रस्तावित तालिका के अनुसार संख्या की सादगी या समग्र प्रकृति को निर्धारित करने की मौलिक संभावना को प्रभावित नहीं करती है। हालांकि वास्तव में, सिद्धांत अक्सर हमारी क्षमताओं की सीमाओं के साथ पाए जाते हैं, लेकिन बाद में उस पर अधिक।कुछ पंक्तियों में दाईं ओर इकाइयाँ लगाना। लेकिन यह हमें उन श्रृंखलाओं को देखने से नहीं रोकता है, जिनमें अंत में कोई इकाई नहीं है, और इसलिए यह स्थिति किसी भी तरह से प्रस्तावित तालिका के अनुसार संख्या की सादगी या समग्र प्रकृति को निर्धारित करने की मौलिक संभावना को प्रभावित नहीं करती है। हालांकि वास्तव में, सिद्धांत अक्सर हमारी क्षमताओं की सीमाओं के साथ पाए जाते हैं, लेकिन बाद में उस पर अधिक।

अब संख्या 21 के भाजक। उनकी अवधि इकाइयों द्वारा नहीं, बल्कि स्वयं भाजक द्वारा शुरू और समाप्त होती है। यही स्थिति उन सभी पंक्तियों पर लागू होती है जो विभाजक के गुणक हैं। तो भाजक 3 के लिए हम देखते हैं कि पंक्ति संख्या 3 में अवधि एक त्रिगुण से शुरू होती है और इसके साथ समाप्त होती है। पंक्ति संख्या 7 के लिए समान (इस तथ्य के बावजूद कि अवधि की लंबाई एक के बराबर है)। और इसी तरह तीन और सात पंक्ति संख्या के सभी गुणक एक ही तरीके से व्यवहार करते हैं। अर्थात्, अवधियों में एक इकाई की अनुपस्थिति अध्ययन के तहत संख्या के भाजक का पता लगाने का संकेत है, या एक मूल्य जो भाजक का एक बहु है। खैर, ऐसी श्रृंखला की शुरुआत में इकाई हमें पूर्व-अवधि की लंबाई के बारे में बताती है। एक समग्र संख्या के लिए, पूर्व-अवधि केवल संख्या प्रणालियों में मौजूद होती है जो संख्या के विभाजकों के गुणक होते हैं। इसलिए यदि आप पूर्व-अवधि के साथ कुछ अंश में आते हैं, तो आपको पता होना चाहिए कि यह समग्र संख्या को विभाजित करने के बाद प्राप्त किया गया था।प्रीपरियोड की लंबाई श्रृंखला की शुरुआत में अवशेषों की संख्या के बराबर है जो अवशेषों की अवधि में शामिल नहीं हैं। इकाई को अध्ययनित संख्या से विभाजित करते समय, पूर्व-अवधि हमेशा शून्य से मिलकर बनेगी। यदि हम किसी अन्य संख्या से विभाजन का परिणाम गुणा करते हैं (या, समतुल्य रूप से, कारक को N से विभाजित करते हैं), तो हमें वही अवधि मिलती है, जिसके विवरण के लिए नियम ऊपर दिए गए हैं, साथ ही पूर्व-अवधि में पुराने बिट्स द्वारा कारक को गुणा करने के परिणाम का हिस्सा है। यदि गुणा संख्या N से अधिक है, तो सबसे महत्वपूर्ण बिट्स का हिस्सा परिणाम के पूर्णांक भाग में जाएगा, और पूर्व-अवधि समान लंबाई रहेगी।इसके विवरण के लिए नियम ऊपर दिए गए हैं, साथ ही कारक को उस अवधि से गुणा करने के परिणाम का हिस्सा जो पूर्व-अवधि में उच्च अंकों से दूर हो गया। यदि गुणा संख्या N से अधिक है, तो सबसे महत्वपूर्ण बिट्स का हिस्सा परिणाम के पूर्णांक भाग में जाएगा, और पूर्व-अवधि समान लंबाई रहेगी।इसके विवरण के लिए नियम ऊपर दिए गए हैं, साथ ही कारक को उस अवधि से गुणा करने के परिणाम का हिस्सा जो पूर्व-अवधि में उच्च अंकों से दूर हो गया। यदि गुणा संख्या N से अधिक है, तो सबसे महत्वपूर्ण बिट्स का हिस्सा परिणाम के पूर्णांक भाग में जाएगा, और पूर्व-अवधि समान लंबाई रहेगी।

ध्यान दें कि अगर हम अध्ययन के तहत संख्या के किसी भी भाजक के एक समग्र संख्या से समग्र संख्या के लिए गुणा करते हैं, तो हमें तालिका का अध: पतन मिलता है जब यह अपने भाजक द्वारा शोध को कम करने के बाद प्राप्त किसी अन्य संख्या की तालिका की लगभग एक प्रति बन जाती है। तो नीचे 21 बार 3 की संख्या के लिए एक तालिका है, और नीचे यह संख्या 7 बार के लिए एक तालिका है। 3. यदि आप उनकी तुलना करते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि हमारे पास सात के लिए तालिका की लगभग एक प्रति है, लेकिन तीन गुना चौड़ी है और ऊंचाई। एक पूर्ण प्रति काम नहीं करेगी, क्योंकि तालिका में 7 से अधिक 21 नंबर मान्य हैं, और 7 के लिए तालिका में, ऐसी संख्याएं मान्य नहीं हैं। लेकिन अगर हम इसे ध्यान में रखते हैं और तालिका के शेष मानों के साथ संख्या 7 से 21 के लिए विभाजित करते हैं, तो तालिकाएं परिवर्तित हो जाएंगी। यद्यपि इस लगभग-प्रति का उदाहरण यह सुनिश्चित कर सकता है कि 7 के लिए सबटेबल के बाहर, 21 के लिए तालिका के अंदर,जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, पूरी प्रतियां, जो इसे समझ में सुविधा के लिए बस हटाने के लिए समझ में आता है।



इसके अलावा, लाइनों नंबर 7 और नंबर 14 के साथ शून्य की पंक्तियों पर ध्यान दें। वे हमें स्पष्ट रूप से संख्या 21 की विभाज्यता के बारे में बताते हैं, क्योंकि हमने 1/21 को 3 से विभाजित करने के परिणाम को गुणा किया है, जो कम हो गया है और परिणाम 1/7 देता है, लेकिन पंक्ति संख्या 7 इस मामले में 7/7 को विभाजित करने का परिणाम दिखाता है, जहां सभी अवशेष 0 हैं। पंक्ति संख्या 14 विभाजन 14/7 का परिणाम है, और वहां अवशेष शून्य के बराबर हैं।

हम यह भी याद करते हैं कि तालिका को 3 से गुणा करने से पहले, पंक्तियों 7 और 14 में ऐसे मान थे जो 7 के गुणक थे, जो कि, यदि हम उनके द्वारा त्रिगुण विभाजक वाले किसी भी मान से गुणा करते हैं, तो 21 का गुणनफल होता है। लेकिन जैसा कि हमें याद है, ऐसी तालिका में पंक्तियों को गुणा करना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई भी पंक्ति जिसमें शेष संख्या 3 की एक बहु है, पंक्ति संख्या 7 या 14 से गुणा की जा रही है, वह संबंधित सेल में शून्य देगी। लेकिन तालिका में शून्य की उपस्थिति का मतलब संख्या प्रणाली के आधार द्वारा संख्या की विभाज्यता है, जिस पंक्ति में शून्य पाया जाता है। चूंकि 21 केवल 3 और 7 से विभाज्य है, पंक्तियों में शून्य नहीं होना चाहिए 3 और 7 से अधिक नहीं। यही कारण है कि 3 के गुणकों को छोड़कर, सभी पंक्तियों में, हमें ऐसे अवशेष नहीं मिलेंगे जो 3. के गुणक हैं। अर्थात्, यदि ऐसे अवशेष मिले होते हैं, तो पंक्ति संख्या 7 या 14 द्वारा ऐसी शेष संख्या से गुणा करने पर, हमें एक ऐसी पंक्ति मिलेगी जो शून्य पंक्ति के साथ मेल नहीं खाती है, लेकिन शून्य युक्त। केवल पंक्तियाँ3 के गुणकों को 7 या 14. पंक्तियों द्वारा गुणा करने के बाद शून्य पंक्ति के साथ मेल खाता है लेकिन तालिका में शून्य पंक्ति एक है। 7 और 14 पंक्तियों में से तीन से गुणा करते समय एक शून्य पंक्ति और शून्य अवशेषों को कैसे मिलाएं? यह बहुत सरल है - आपको सभी 3 को छोड़कर, सभी पंक्तियों में कई 3 नंबरों की उपस्थिति को प्रतिबंधित करने की आवश्यकता है। लेकिन हम अभी इस नियम के साथ आए हैं, और अवशेषों की तालिका के नियम हमेशा देखे गए हैं। अर्थात्, हमेशा, किसी न किसी तरह से मनोरंजक तरीके से, प्रकृति ने अपने लिए रखी गई पंक्तियों से निषिद्ध संख्याओं को हटा दिया (और हटा दिया)। यहां हमारे पास प्रकृति की कार्रवाई के एल्गोरिथ्म की तार्किक भविष्यवाणी है। या सिर्फ हमारा तर्क? यह विचार करने लायक है।7 और 14 पंक्तियों में से तीन से गुणा करते समय एक शून्य पंक्ति और शून्य अवशेषों को कैसे मिलाएं? यह बहुत ही सरल है - आपको कई 3 को छोड़कर, सभी पंक्तियों में कई 3 नंबरों की उपस्थिति पर रोक लगाने की आवश्यकता है। लेकिन हम अभी इस नियम के साथ आए हैं, और शेष तालिका के नियम हमेशा देखे गए हैं। अर्थात्, हमेशा, किसी न किसी तरह से मनोरंजक तरीके से, प्रकृति ने अपने लिए रखी गई पंक्तियों से निषिद्ध संख्याओं को हटा दिया (और हटा दिया)। यहां हमारे पास प्रकृति की कार्रवाई के एल्गोरिथ्म की तार्किक भविष्यवाणी है। या सिर्फ हमारा तर्क? यह विचार करने लायक है।7 और 14 पंक्तियों में से तीन से गुणा करते समय एक शून्य पंक्ति और शून्य अवशेषों को कैसे मिलाएं? यह बहुत ही सरल है - आपको कई 3 को छोड़कर, सभी पंक्तियों में कई 3 नंबरों की उपस्थिति पर रोक लगाने की आवश्यकता है। लेकिन हम अभी इस नियम के साथ आए हैं, और शेष तालिका के नियम हमेशा देखे गए हैं। अर्थात्, हमेशा, किसी न किसी तरह से मनोरंजक तरीके से, प्रकृति ने अपने लिए रखी गई पंक्तियों से निषिद्ध संख्याओं को हटा दिया (और हटा दिया)। यहां हमारे पास प्रकृति की कार्रवाई के एल्गोरिथ्म की तार्किक भविष्यवाणी है। या सिर्फ हमारा तर्क? यह विचार करने लायक है।यहां हमारे पास प्रकृति की कार्रवाई के एल्गोरिदम की तार्किक भविष्यवाणी है। या सिर्फ हमारा तर्क? यह विचार करने लायक है।यहां हमारे पास प्रकृति की कार्रवाई के एल्गोरिथ्म की तार्किक भविष्यवाणी है। या सिर्फ हमारा तर्क? यह विचार करने लायक है।

मैं वर्णित तालिकाओं का उपयोग क्यों कर सकता हूं? उदाहरण के लिए, वे हमें छद्म यादृच्छिक क्रम उत्पन्न करने का अवसर देते हैं। और इन दृश्यों में कई उपयोगी गुण हैं। इसलिए अवशेषों के प्रत्येक क्रम में कोई पुनरावृत्ति नहीं होती है। यदि हमें पुनरावृत्ति (यादृच्छिकता की अधिक पूर्ण नकल के लिए) की आवश्यकता है, तो हमारे पास अंश अवधि से हमारे निपटान मूल्य हैं, जिन्हें अक्सर दोहराया जा सकता है। Primes के लिए दृश्यों के पूर्ण सेट से अवशेषों का वितरण हमेशा पूरी तरह से एक समान होता है। कई अवशेषों का मान स्वचालित रूप से [1, N-1] श्रेणी में रखा जाता है। अनुक्रम प्राप्त करने के लिए, हमारे पास अनंत संख्या में प्राइम्स हैं, जो अनुक्रमों की संख्या को असीमित बनाता है। अधिकतम अनुक्रम लंबाई एक अभाज्य संख्या के मान से अधिक नहीं है, जो इस महत्वपूर्ण पैरामीटर की भविष्यवाणी करने का एक सरल तरीका देता है।कई अनुक्रमों की उपस्थिति, एन की तुलना में कम अवधि के साथ, हमें गारंटी देती है कि उनकी समानांतर पीढ़ी के दौरान अनुक्रमों का कोई चौराहा नहीं है, अर्थात सभी प्रोसेसर कोर लोड करना, हमें ताले, सिंक्रोनाइज़ेशन, एंट्री चेक और इस तरह के बारे में नहीं सोचना है, जो समानांतर पीढ़ी की गति को बढ़ाता है। इसके अलावा, प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए पीढ़ी एल्गोरिदम (कोने द्वारा विभाजन) उपलब्ध है, और यह प्रोग्रामेटिक रूप से लागू करने के लिए भी बेहद आसान है।इसके अलावा, प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए पीढ़ी एल्गोरिथ्म (कोने द्वारा विभाजन) उपलब्ध है, और यह प्रोग्रामेटिक रूप से लागू करने के लिए भी बेहद आसान है।इसके अलावा, प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए पीढ़ी एल्गोरिथ्म (कोने द्वारा विभाजन) उपलब्ध है, और यह प्रोग्रामेटिक रूप से लागू करने के लिए भी बेहद आसान है।

आप एन्क्रिप्शन के बारे में भी सोच सकते हैं। आप यूनिट विभाजक, चयनित संख्या प्रणाली और डेटा को एन्क्रिप्ट करने वाली श्रृंखला से किसी भी मूल्य को जानकर अवशिष्टों के अनुक्रम की भविष्यवाणी कर सकते हैं (आखिरकार, आप कुछ अवशिष्टों को छोड़ कर एन्क्रिप्ट कर सकते हैं)। यहां तक ​​कि जब कुछ विधियाँ एन्क्रिप्शन अनुक्रम से कुछ मानों को प्रकट करती हैं, तब भी क्रिप्टोकरंसी को चुने हुए नंबर और संख्या प्रणाली के आधार का अनुमान लगाना होगा। यदि आप एक दर्जन या दो बिलियन के साधारण आदेशों में से दो मापदंडों का चयन करते हैं (और उनके लिए, मामूली आकार के कारण, उनकी अवधि की एक तालिका बनाना बहुत सरल है, जो आपको तुरंत कम से कम हर सेकंड साइफर को बदलने की अनुमति देगा), तो मूक बल का उपयोग करके इस तरह के सिफर को केवल छंटनी न करके क्रैक किया जा सकता है कम से कम 10 ^ 18 जोड़े। लेकिन भले ही वे एक डेटा सेट को क्रैक करें,फिर एक निश्चित अंतराल के बाद (उदाहरण के लिए, प्रत्येक संदेश की अपनी जोड़ी होती है), एन्क्रिप्शन जोड़ी बदल जाएगी और सब कुछ फिर से शुरू किया जाना चाहिए, जो प्रत्येक संदेश के लिए एन्क्रिप्शन अनुक्रम से मूल्य प्राप्त करने में असमर्थता के कारण काम नहीं कर सकता है (या संदेश का एक हिस्सा है, जब कितने के बाद कुंजी को बदलना क्योकि बाइट्स)। एक नियमित कंप्यूटर के लिए, यह एक अनमोल कार्य है। यद्यपि यहाँ सब कुछ इस तरह के उद्देश्यों (जैसे व्यापक असममित एन्क्रिप्शन के मामले में) के लिए विभाज्यता के सिद्धांत की खोज पर टिकी हुई है।यद्यपि यहां सब कुछ इस तरह के उद्देश्यों (जैसे व्यापक असममित एन्क्रिप्शन के मामले में) के लिए पर्याप्तता के सिद्धांत की खोज पर टिकी हुई है।यद्यपि यहां सब कुछ इस तरह के उद्देश्यों (जैसे व्यापक असममित एन्क्रिप्शन के मामले में) के लिए पर्याप्तता के सिद्धांत की खोज पर टिकी हुई है।

अगली श्रृंखला में, हम विभाज्यता के सिद्धांत के बारे में बात करेंगे, और इच्छुक पाठकों की प्रतीक्षा कर रहे पुरस्कारों के बारे में।