नया प्रमाण संख्याओं के सन्निकटन को हल करता है जैसे पाई

प्राचीन यूनानियों को दिलचस्पी थी कि क्या भिन्नों में अपरिमेय संख्याओं को व्यक्त करना संभव है। लंबे समय से चली आ रही डफिन-शेफ़र परिकल्पना को साबित करते हुए, दो गणितज्ञों ने एक विस्तृत जवाब दिया।

बाइनरी नोटेशन π अनंत है। लेकिन अनंत संख्या में भिन्नता इस संख्या के साथ बढ़ती सटीकता के साथ संपर्क कर सकती है।

संख्या रेखा पर गहरे डिप्स अभेद्य नहीं हैं जितना यह लग सकता है। यह नए सार्थक सबूतों में से एक है कि जटिल संख्याएं सरल सन्निकटन के लिए खुद को कैसे उधार देती हैं।

प्रमाण लगभग 80 साल पहले की समस्या को हल करता है, जिसे डफिन-शेफर परिकल्पना के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, यह अंतिम उत्तर देता है जिसने प्राचीन काल से गणितज्ञों पर कब्जा कर लिया है: किन परिस्थितियों में अनन्त रूप से लंबे समय तक चलने वाले अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व करना संभव है - जैसे कि पाई - 22/7 के सरल अंशों के साथ? प्रमाण यह स्थापित करता है कि इस सामान्य प्रश्न का उत्तर एकल गणना के परिणामस्वरूप मिलता है।

"ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी के जेम्स मेनार्ड ने कहा कि आप मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के दिमित्रीस कुकुलोपोलोस के साथ किए गए प्रमाण के सह-लेखक हैं," इसके लिए एक सरल मानदंड है कि क्या आप लगभग किसी भी संख्या या व्यावहारिक रूप से किसी भी संख्या का अनुमान लगा सकते हैं।

गणितज्ञ कई दशकों से संदेह कर रहे हैं, यह सरल मानदंड यह समझने की कुंजी है कि एक अच्छा सन्निकटन कब प्राप्त किया जा सकता है - लेकिन वे इसे साबित नहीं कर सके। परिप्रेक्ष्य में कार्डिनल बदलाव - अंक और रेखाओं के बीच संबंध के संदर्भ में संख्याओं की इस समस्या का सुधार करने के बाद ही कुकुलोपोलोस और मेनार्ड यह करने में सक्षम थे।

"मैं कहूंगा कि वे काफी आश्वस्त थे (और यह स्पष्ट रूप से उचित था) चुना हुआ रास्ता लेने के लिए," ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय के जेफरी वालर ने कहा, जिसका डफिन-शेफिस परिकल्पना से संबंधित शुरुआती परिणामों में हाथ था। "बहुत अच्छा काम।"

अंकगणित ईथर

तर्कसंगत संख्याओं के साथ , सब कुछ सरल है। वे वस्तुओं की गिनती और अन्य सभी संख्याओं के लिए नंबर शामिल करते हैं जिन्हें अंशों में लिखा जा सकता है।

नीचे लिखे जाने की इस क्षमता के कारण, तर्कसंगत संख्या हमारे लिए सबसे अच्छी तरह से जानी जाती है। हालांकि, सभी वास्तविक संख्याओं के बीच , तर्कसंगत वाले वास्तव में काफी कम हैं। अधिकांश संख्याएं अपरिमेय हैं , जिनमें अनंत दशमलव संकेतन हैं, और उन्हें अंशों में नहीं लिखा जा सकता है। प्रतीकात्मक अंकन के लायक उनमें से कुछ महत्वपूर्ण थे - पी, ई, .2। बाकी को भी नहीं बुलाया जा सकता है। वे हर जगह हैं, लेकिन अप्राप्य - एक अंकगणितीय ईथर की तरह।

शायद, इसलिए, यह सोचना स्वाभाविक होगा - यदि हम तर्कहीन संख्याओं को सही ढंग से व्यक्त नहीं कर सकते हैं, तो हम उनके कितने करीब पहुंच सकते हैं? यह तर्कसंगत सन्निकटन का एक क्षेत्र है। पुरातनता के गणितज्ञों ने महसूस किया कि व्यास की परिधि के मायावी अनुपात को अंश 22/7 का उपयोग करके काफी अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है। बाद में, गणितज्ञों ने पाई के लिए एक और भी सटीक और लगभग समान संकुचित अनुमान की खोज की: 355/113।

ऑक्सफोर्ड के बेन ग्रीन ने कहा, "पीआई लिखना बहुत मुश्किल है।" "लोगों ने पाई के लिए सबसे सटीक अनुमान लगाने की कोशिश की, और ऐसा करने के सामान्य तरीकों में से एक तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग करना था।"



1837 में, डिरिचलेट के गणितज्ञ पीटर गुस्ताव लेज्यून ने एक नियम की खोज की जिसमें हमें बताया गया कि तर्कसंगत संख्याओं का उपयोग करके सटीक रूप से अपरिमेय संख्याओं का अनुमान लगाया जा सकता है। यह अनुमान लगाना आसान है कि क्या आपने त्रुटि का सही मूल्य निर्धारित नहीं किया है। लेकिन डिरिचलेट ने भिन्नों, अपरिमेय संख्याओं और उन्हें अलग करने वाली त्रुटियों के बीच एक स्पष्ट संबंध के अस्तित्व को साबित कर दिया।

उन्होंने साबित कर दिया कि किसी भी अपरिमेय संख्या के लिए असीम रूप से कई अंश उनके करीब और निकट आ रहे हैं। अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक भिन्न की त्रुटि हर के वर्ग से विभाजित 1 से अधिक नहीं होगी। उदाहरण के लिए, अंश 22/7 लगभग 1/7 ² , या 1/49 की सटीकता के साथ पाई को व्यक्त करता है। अंश 355/113 1/113 ² , या 1/12 769 की तुलना में पाई से आगे नहीं है। ड्यूरिचलेट ने साबित किया कि असीम रूप से कई अंश हैं, बढ़ते हुए विभाजक के साथ पाई के करीब और करीब।

मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय के एंड्रयू ग्रानविले ने कहा, "एक अद्भुत और उल्लेखनीय चीज एक अंश के माध्यम से एक वास्तविक संख्या को एक अंश के माध्यम से व्यक्त करने की क्षमता है, जिसमें त्रुटि एक वर्ग से अधिक नहीं है।"


1913 की पांडुलिपि में, गणितज्ञ श्रीनिवास रामानुजन अयंगर ने 355/113 अंश का उपयोग पाई के तर्कसंगत अनुमान के रूप में किया था।

डिरिक्लेट की खोज तर्कसंगत सन्निकटन के बारे में एक सीमित बयान था। यह कहता है कि किसी भी अपरिमेय संख्या के लिए आप इसे प्राप्त करने वाले असीम रूप से कई अंश पा सकते हैं, यदि आप किसी भी पूर्णांक को हर के रूप में उपयोग कर सकते हैं, और आप इसके व्युत्क्रम वर्ग के आकार में त्रुटि से संतुष्ट हैं। लेकिन क्या होगा यदि आपको पूर्णांकों के कुछ (अनंत) उपसमूह से संबंधित होने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, primes के सेट पर, या पूर्ण वर्ग के सेट के लिए? क्या होगा यदि आप चाहते हैं कि सन्निकटन त्रुटि 0.00001 हो, या कोई अन्य मूल्य हो? क्या आप ऐसी स्थितियों में सटीक रूप से कई सन्निकट अंशों को खोजने में सक्षम होंगे?

डफिन-शेफ़र परिकल्पना तर्कसंगत अनुमानों के साथ काम करने के लिए सबसे सामान्यीकृत मंच बनाने का प्रयास है। 1941 में, गणितज्ञ आरडी डफिन और ए.एस. शेफर ने निम्नलिखित परिदृश्य प्रस्तुत किया। सबसे पहले, हर की एक अंतहीन सूची चुनें। यह वह सब कुछ हो सकता है जो आप चाहते हैं: विषम संख्या, 10 से विभाज्य संख्या, अभाज्य संख्याएँ।

फिर, सूची में प्रत्येक संख्या के लिए, अपरिमेय संख्या को अनुमानित करने के लिए आपको कितना सही चयन करना है। अंतर्ज्ञान हमें बताता है कि यदि हम पर्याप्त रूप से बड़ी त्रुटियों को चुनते हैं, तो हमारे पास सन्निकटन के लिए अधिक अवसर होंगे। यदि आप एक छोटी त्रुटि आकार चुनते हैं, तो यह अधिक कठिन होगा। "अगर कोई पर्याप्त जगह बची है तो कोई भी अनुक्रम करेगा," कुकुलोपोलोस ने कहा।

अब, चयनित पैरामीटर दिए गए हैं - संख्याओं का एक क्रम और एक निश्चित त्रुटि - सवाल उठता है: क्या सभी अपरिमेय संख्याओं को अंजाम देने वाले असीम रूप से कई अंशों को ढूंढना संभव है?

परिकल्पना इस प्रश्न का मूल्यांकन करने के लिए एक गणितीय कार्य प्रदान करती है। आपके पैरामीटर इनपुट के रूप में कार्य करते हैं। परिणाम दो विकल्पों में से एक हो सकता है। डफ़िन और शेफ़र ने सुझाव दिया कि ये दो विकल्प ठीक इसी तरह से मेल खाते हैं कि क्या आपका अनुक्रम आवश्यक सटीकता के साथ लगभग सभी अपरिमेय संख्याओं को अनुमानित कर सकता है, या व्यावहारिक रूप से उनमें से कोई भी नहीं ("व्यावहारिक रूप से" उल्लेख किया गया है क्योंकि किसी भी भाजक के लिए हमेशा एक छोटी संख्या होगी। पृथक अपरिमेय संख्या जो पर्याप्त रूप से अनुमानित या नहीं की जा सकती है)।

“आपको लगभग सब कुछ या लगभग कुछ भी नहीं मिलता है। कोई मध्यवर्ती विकल्प नहीं हैं, ”मेनार्ड ने कहा।

यह एक अत्यंत सामान्य कथन था, जिसमें परिमेय संख्याओं के साथ और उसके बाद सन्निकटन की विशेषता थी। डफिन और शेफ़र द्वारा प्रस्तावित मानदंड गणितज्ञों के लिए सही लग रहा था। हालाँकि, यह साबित करने के लिए कि फ़ंक्शन के बाइनरी आउटपुट में वह सब कुछ है जो आपको यह समझने के लिए आवश्यक है कि आपका सन्निकटन काम करता है या नहीं, यह करना अधिक कठिन था।

डबल काउंटिंग

डफ़िन-शेफ़र परिकल्पना का प्रमाण यह समझना है कि आपके द्वारा उपलब्ध हर हर से आपको क्या लाभ मिलता है। इसे महसूस करने के लिए, इस कार्य के छोटे संस्करण पर विचार करना उपयोगी होगा।

मान लें कि आप 0 से 1 तक के सभी अपरिमेय संख्याओं को अनुमानित करना चाहते हैं। कल्पना करें कि 1 से 10 तक की सभी प्राकृतिक संख्याएँ विभाजक के रूप में उपलब्ध हैं। संभावित अंशों की सूची काफी बड़ी है। पहले 1/1, फिर 1/2 और 2/2, फिर 1/3, 2/3 और 3/3, और इसी तरह, 9/10 और 10/10 तक। हालांकि, इनसे कोई लाभ नहीं है।

उदाहरण के लिए, 2/10 1/5 के समान है, और 5/10 1/2, 2/4, 3/6 और 4/8 के समान है। डफिन-शेफ़र परिकल्पना की उपस्थिति से पहले, सोवियत गणितज्ञ अलेक्जेंडर वाई। खिनचिन ने चौड़ाई में समान तर्कसंगत सन्निकटन की परिकल्पना तैयार की। हालांकि, उनके प्रमेय ने इस तथ्य को ध्यान में नहीं रखा कि समकक्ष अंशों को केवल एक बार गिना जाना चाहिए।


दिमित्रिस कुकुलोपोलोस (बाएं) और जेम्स मेनार्ड ने इटली में एक सम्मेलन में अपने साक्ष्य की प्रस्तुति पर

"आमतौर पर, पहली कक्षा के लिए गणित समस्या को हल करने को प्रभावित नहीं करना चाहिए," ग्रानविले ने कहा। "लेकिन इस मामले में, आश्चर्यजनक रूप से, उसने प्रभावित किया।"

इसलिए, डफ़िन-शेफ़र परिकल्पना में एक शब्द है जो प्रत्येक भाजक के लिए अद्वितीय भिन्न (या कम अंश) की संख्या को गिनता है। इस सदस्य को अपने आविष्कारक, 18 वीं शताब्दी के गणितज्ञ, लियोनार्ड यूलर के सम्मान में यूलर का φ फ़ंक्शन कहा जाता है। is (10) 4 है, क्योंकि 0 और 1 के बीच 10: 1/10, 3/10, 7/10 और 9/10 के हर के साथ केवल चार कम अंश हैं।

अगला चरण यह गणना करना है कि दिए गए प्रत्येक अंश का उपयोग करके कितने तर्कहीन संख्याओं का अनुमान लगाया जा सकता है। यह निर्भर करता है कि आप किस आकार की त्रुटि स्वीकार करने को तैयार हैं। डफ़िन-शफ़र परिकल्पना हमें हर हर के लिए एक त्रुटि चुनने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, 7 के हर के साथ भिन्न के लिए, आप 0.02 की अनुमेय त्रुटि ले सकते हैं। हर 10 के लिए, आप त्रुटि 0.01 ले सकते हैं।

हर की पहचान और त्रुटियों की शर्तों के बाद, यह तर्कहीन संख्याओं पर नेटवर्क डालने का समय है। 0 और 1 के बीच एक संख्या रेखा पर अपने अंशों का निर्माण करें, और प्रत्येक तरफ अंश से फैले नेटवर्क के रूप में त्रुटियों को आकर्षित करें। हम कह सकते हैं कि नेटवर्क में आने वाले सभी अपरिमेय संख्या दी गई शर्तों के लिए "संतोषजनक रूप से अनुमानित" हैं। सवाल यह है कि आपने कितने तर्कहीन नंबर पकड़े हैं?



संख्या रेखा के किसी भी अंतराल में अपरिमेय संख्याओं की एक अनंत संख्या होती है, इसलिए पकड़े गए अपरिमेय संख्याओं की सटीक संख्या नहीं लिखी जा सकती। इसके बजाय, गणितज्ञ प्रत्येक अंश द्वारा पकड़े गए अपरिमेय संख्या की कुल संख्या के अनुपात के बारे में बात करते हैं। वे संख्याओं के सबसेट के "माप" जैसे अवधारणा का उपयोग करके इन अनुपातों का मूल्यांकन करते हैं - यह कुछ ऐसा है जैसे मात्रा के बजाय वजन द्वारा पकड़ी गई मछलियों की संख्या का अनुमान लगाना।

डफिन-शेफ़र परिकल्पना से पता चलता है कि प्रत्येक अंडकोष के प्रत्येक भाग द्वारा पकड़े गए अपरिमेय संख्याओं के सबसेट के सभी उपायों को जोड़ना। वह एक बड़ी अंकगणित राशि के रूप में इस संख्या का प्रतिनिधित्व करती है। फिर वह उसे मुख्य भविष्यवाणी करती है: यदि यह राशि अनंत तक जाती है, तो आपने लगभग सभी अपरिमेय संख्याओं का अनुमान लगाया है; यदि यह केवल अंतिम मूल्य देता है, चाहे आप कितने भी उपाय कर लें, तो आप लगभग किसी भी अनियमित संख्या का अनुमान लगाने में सक्षम नहीं थे।

इसी तरह का प्रश्न, चाहे "डायवर्ज" का अर्थ अनंत तक हो या "परिमित" एक परिमित मूल्य के लिए, गणित के कई क्षेत्रों में उत्पन्न होता है। डफ़िन-शेफ़र परिकल्पना का मुख्य कथन यह है कि यदि आप यह समझना चाहते हैं कि क्या आप दिए गए हर प्रकार के हर का उपयोग कर लगभग सभी अपरिमेय संख्याओं का अनुमान लगा सकते हैं, तो आपको केवल एक बात जानने की आवश्यकता है: क्या उपायों का योग अनंतता के लिए विचलन करता है, या अभिसरण करता है अंतिम मूल्य के लिए।

"अंत में, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे आप प्रत्येक भाजक के लिए सन्निकटन का मूल्यांकन करने का निर्णय लेते हैं, आपकी सफलता पूरी तरह से केवल एक ही चीज पर निर्भर करती है: अंतहीन अनुक्रम डायवर्ज करता है या नहीं," वालर ने कहा।

निर्णय लेना

आप सोच रहे होंगे: क्या होगा यदि संख्याओं को एक अंश के अंतर से दूसरे के साथ अनुमानित संख्याओं से विभाजित किया जाए? क्या हम उपायों की गणना करते समय दो बार उन्हें ध्यान में नहीं रखेंगे?

कुछ सन्निकटन अनुक्रमों के लिए, दोहरी गिनती मायने नहीं रखती है। गणितज्ञों ने कई दशक पहले यह साबित कर दिया था कि यह परिकल्पना अनुमानों से जुड़े सन्निकटन अनुक्रमों के लिए है। लेकिन कई अन्य सन्निकटन अनुक्रमों के लिए, दोहरी गिनती एक समस्या है। इसलिए, गणितज्ञ इस परिकल्पना को 80 वर्षों तक नहीं निभा सके।

जिस तरह से विभिन्न भाजक अपरिमेय संख्याओं के परस्पर विरोधी सेटों को पकड़ते हैं वह सभी विभाजकों के लिए सामान्य विभाजक की संख्या में परिलक्षित होता है। संख्याओं पर विचार करें 12 और 35। 12 के प्रधान भाजक 2 हैं और 3. 35 के प्रधान भाजक 5 और 7 हैं। दूसरे शब्दों में, 12 और 35 के सामान्य अभाज्य गुणक नहीं होते हैं - परिणामस्वरूप, कई अपरिमेय संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न से भिन्न किया जा सकता है। 12 और 35 विशेष रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

12 और 20 के बारे में क्या कहा जाता है? 20 में, साधारण भाजक 2 और 5 भाजक के साथ प्रतिच्छेद कर रहे हैं। इसी तरह, अपरिमेय संख्याएं जिन्हें 20 खंडों के हर के साथ भिन्नों द्वारा प्रतिपादित किया जा सकता है, जिन्हें 12. के हर के साथ भिन्न द्वारा संकलित किया जा सकता है। डफिन-शेफर परिकल्पना सबसे कठिन साबित होती है। ऐसी स्थितियों में - जब सन्निकटन अनुक्रम में संख्याओं में कई सामान्य छोटे प्रधान भाजक होते हैं, और संख्याओं के कई सबसेट के प्रतिच्छेदन जो कि हर के सन्निकटन होते हैं।

ऑक्सफोर्ड के सैम चाऊ ने कहा, "जब आप चुनते हैं, तो आपके द्वारा चुने गए कई भाजक में कई छोटे सरल विभाजक होते हैं, वे एक-दूसरे के साथ हस्तक्षेप करना शुरू करते हैं।"

परिकल्पना को हल करने के लिए महत्वपूर्ण तर्कहीन संख्याओं के सबसेट के आपसी ओवरलैप की सही गणना करने का एक तरीका खोजना था, जो कि उन विभाजकों द्वारा अंजाम दिया जाता है जिनके पास सामान्य अभाज्य भाजक होते हैं। 80 साल से, कोई भी ऐसा करने में कामयाब नहीं हुआ है। Cuculopoulos और Maynard सफल रहे, समस्या पर एक पूरी तरह से नया दृष्टिकोण खोज रहे थे।


म्युचुअल ओवरले काउंट

अपने नए सबूत में, वे अपने हर से एक ग्राफ का निर्माण करते हैं। वे उन्हें ग्राफ के कोने के रूप में निर्मित करते हैं और यदि वे कई सामान्य प्रधान भाजक हैं तो कोने को किनारे से जोड़ते हैं। ग्राफ़ की संरचना में अपरिमेय संख्याओं के सबसेट के सुपरपोज़िशन का वर्णन किया गया है, जो कि प्रत्येक भाजक का अनुमान लगाता है। और यद्यपि इस ओवरले को सीधे जांच करना कठिन है, कुकुलोपोलोस और मेनार्ड ने ग्राफ सिद्धांत से उपकरणों का उपयोग करके ग्राफ की संरचना का विश्लेषण करने का एक तरीका पाया - और उन्हें जिस जानकारी की आवश्यकता थी वह इस तरह से पाया गया।

"ग्राफ कार्य को नेत्रहीन रूप से समझने में मदद करता है, यह एक सुंदर भाषा है जिसमें आप समस्या को प्रतिबिंबित कर सकते हैं," कुकुलोपोस ने कहा।

Cuculopoulos और मेनार्ड ने साबित कर दिया कि डफिन-शेफ़र परिकल्पना वास्तव में सच है: यदि आपको मान्य त्रुटियों वाले हर की सूची दी गई थी, तो आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि क्या लगभग सभी चिड़चिड़े नंबरों को अनुमानित करना संभव है, या बस जाँच करके यह असंभव है कि क्या उपायों की इसी राशि का विचलन होता है। अनंत या एक परिमित मूल्य के लिए अभिसरण।

यह एक सुरुचिपूर्ण परीक्षा है, तर्कसंगत संख्याओं द्वारा सन्निकटन की प्रकृति का व्यापक सवाल उठाते हुए इसे एक एकल गणना मूल्य तक कम किया जाता है। परीक्षण की सार्वभौमिकता साबित करने के बाद, कुकुलोपोलोस और मेनार्ड ने गणित के लिए सबसे बड़ी चीजों में से एक किया: उन्होंने अपने क्षेत्र में एक मौलिक प्रश्न का अंतिम उत्तर दिया।

"उनका प्रमाण एक आवश्यक और पर्याप्त परिणाम बन गया है," ग्रीन ने कहा। "मुझे लगता है कि वह गणित में अगले अध्याय के अंत को चिह्नित करता है।"