Feigenbaum स्थिरांक के पीछे क्या निहित है

ओबिच्यूरी: मिशेल फेगेनबाम, (1944-2019), 4.66920160910299067185320382 ...

स्टीवन वोल्फ्राम ब्लॉग अनुच्छेद



इसे फीजेनबाम स्थिर कहा जाता है और यह लगभग 4,6692016 के बराबर है। और यह कुछ प्रकार के गणितीय - और भौतिक - प्रणालियों में पर्यावरणीय आवधिकता के साथ होता है जो अराजक व्यवहार को प्रदर्शित कर सकता है।

मिशेल फेगेनबौम , जिन्होंने 74 साल की उम्र में 30 जून को हमें छोड़ दिया, वह व्यक्ति था, जिसने इसे खोजा था - 1975 में, और उन्होंने एक पॉकेट कैलकुलेटर पर प्रायोगिक गणित करके ऐसा किया था।

यह खोज अराजकता के सिद्धांत में निर्णायक हो गई है । लेकिन जब यह पहली बार खोजा गया था, तो यह परिणाम अप्रत्याशित, विचित्र था, जो पहले अध्ययन किया गया था, उससे कुछ भी संबंधित नहीं था। हालांकि, कुछ मायनों में, यह तथ्य कि यह मिशेल फेगेनबाम था जिसने मुझे लगभग 40 वर्षों तक खोजा था, यह उचित लगता है।

मिशेल, जिन्होंने सैद्धांतिक भौतिकी का अध्ययन किया था, और अपनी गणितीय परंपराओं के पारखी थे, हमेशा खुद को बाहरी व्यक्ति मानते थे। वह बीथोवेन जैसा दिखता था - और एक निश्चित बौद्धिक रहस्य की एक सुंदर छाप बनाता था। उसने अक्सर कड़े बयान दिए, आमतौर पर एक षड्यंत्रपूर्ण नज़र के साथ, उसकी आँखों में एक चमक और एक गिलास शराब या उसके हाथ में एक सिगरेट।

उन्होंने लंबे अलंकृत वाक्यों में बात की, जो उनमें विद्वता और बौद्धिकता को धोखा देते थे। लेकिन इसमें से विचार सबसे अलग थे। कभी-कभी वे विस्तृत और तकनीकी होते थे। कभी-कभी ये अंतर्ज्ञान के छलांग थे, जो, कम से कम, मैं नज़र नहीं रख सकता था। वह हमेशा कुछ पढ़ता था, 5-6 घंटे तक नहीं सोता था, सूत्रों के साथ नोटबुक के पीले पन्नों को भरना और जटिल बीजीय गणना के साथ मैथेमेटिका प्रणाली को लोड करना जो घंटों तक चल सकता था।

उन्होंने बहुत कम प्रकाशित किया, और प्रकाशित कार्यों ने अक्सर उन्हें इस तथ्य से निराश किया कि बहुत से लोग उन्हें समझ नहीं पाए। अपनी मृत्यु के समय तक, उन्होंने धारणा के प्रकाशिकी पर कई वर्षों तक काम किया था, और "चाँद के बड़े होने पर भी ऐसा क्यों लगता है" जैसे सवालों पर। हालांकि, उन्होंने ऐसा कुछ भी प्रकाशित करने का फैसला नहीं किया।

30 से अधिक वर्षों के लिए, मिशेल का आधिकारिक काम (जो उन्हें प्राप्त हुआ, वास्तव में, फिजेनबॉम स्थिरांक के लिए धन्यवाद) न्यूयॉर्क में रॉकफेलर विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर थे (संस्थान के जैविक अनुसंधान मिशन को पूरा करने के लिए, उन्हें "गणितीय भौतिकी की प्रयोगशाला" का प्रमुख नियुक्त किया गया था)। हालांकि, उन्होंने अभी भी बहुत काम किया, वित्तीय कंप्यूटिंग के स्टार्टअप को अपना नाम दिया, और वैश्विक एटलस हैमंड के लिए नए कार्टोग्राफिक तरीकों के आविष्कार के साथ निकटता से जुड़ा था।

मिशेल ने क्या खोजा

मूल विचार काफी सरल है। संख्या x को 0 से 1 पर ले। हम धीरे-धीरे x को कुल्हाड़ी (1 - x) से बदल देंगे। मान लें कि हम x = 1/3 और a = 3.2 से शुरू करते हैं। फिर यहाँ x के अनुक्रमिक मान हम प्राप्त करेंगे:



X के मान जल्दी से आवधिक हो जाते हैं, 2 की अवधि के साथ। लेकिन क्या होता है अगर हम अन्य मान लेते हैं? यहाँ तथाकथित के लिए कुछ परिणाम हैं "लॉजिस्टिक मैपिंग":



छोटे a के लिए, x के मान जल्दी से निश्चित मान पर आते हैं। बड़े ए के लिए, वे आवधिक हो जाते हैं, पहले 2 की अवधि के साथ, फिर 4. और बड़े ए के लिए, मान एक स्पष्ट रूप से यादृच्छिक तरीके से कूदना शुरू करते हैं।

इसे x के मानों का निर्माण करके संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है (पहले 50 को छोड़ने के बाद 300 हैं):



बढ़ती के साथ, अवधि दोगुनी होने का एक झरना मनाया जाता है। इस मामले में, वे एक = 3, 9 3.449, ≈ 3.544090, occur 3.54404072 पर होते हैं। मिशेल ने कहा कि इन लगातार मूल्यों की ज्यामितीय अनुक्रम में एक सीमा (≈ 6 3.569946) है, एक ~ - एक _n ~ δ ^-n और δ 66 4.669।

एक दिलचस्प परिणाम। लेकिन यहां वह है जो इसे अर्थ देता है: यह न केवल एक निश्चित पुनरावृत्ति मानचित्रण के लिए सच है → कुल्हाड़ी (1 - x); यह किसी भी डिस्प्ले के लिए सही है। यहाँ, उदाहरण के लिए, x के लिए "द्विभाजन आरेख" है → एक पाप (is √x):



विवरण अलग-अलग हैं, लेकिन मिशेल ने उल्लेख किया है कि अवधि दोगुनी होने की व्यवस्था फिर से एक ही आधार the with che 2019 के साथ एक ज्यामितीय अनुक्रम बनाती है।

और न केवल इन विभिन्न पुनरावृत्ति मानचित्रणों ने गुणात्मक रूप से समान परिणाम दिए; अभिसरण दर को मापने पर, यह बिल्कुल वैसा ही हो जाता है - हमेशा rate 9 4.669। यह मिशेल की महान खोज थी: सिस्टम के वर्ग में अराजकता के लिए दृष्टिकोण की एक मात्रात्मक सार्वभौमिक विशेषता।

वैज्ञानिक पृष्ठभूमि

पुनरावृत्ति मानचित्रण के मूल विचार का प्राचीन काल से पुराना इतिहास रहा है। उनके शुरुआती संस्करण क्रमिक अनुमानों की खोज के संबंध में उत्पन्न हुए, उदाहरण के लिए, वर्गमूलों के। उदाहरण के लिए, 17 वीं शताब्दी be2 से न्यूटन विधि पुनरावृत्तियों x → 1 / x + x / 2 द्वारा प्राप्त की जा सकती है। X = 1 से शुरू:



एक मनमाना कार्य के पुनरावृत्ति सन्निकटन का विचार पहली बार औपचारिक रूप से, जाहिरा तौर पर, 1870 में अर्नस्ट श्रोएडर (बूलियन बीजगणित के लिए डिग्री से कई चीजों को औपचारिक रूप देने के लिए जाना जाता है) के पेपर में था, हालांकि अधिकांश चर्चाएं कार्यात्मक समीकरणों के समाधान से संबंधित थीं और स्वयं पुनरावृत्तियों को छोड़कर (अध्ययन को छोड़कर) 1879 में आर्थर केली द्वारा न्यूटोनियन सन्निकटन के अभिसरण के क्षेत्र)। 1918 में, गैस्टन मौरिस जूलिया ने जूलिया सेट का आविष्कार करते हुए, जटिल विमान पर पुनरावृत्त सामग्री कार्यों का एक व्यापक अध्ययन किया । लेकिन 1970 के दशक के उत्तरार्ध में (जो जल्द ही मैंडेलब्रोट सेट के रूप में सामने आया) भग्न के उद्भव से पहले, गणित का यह क्षेत्र वनस्पति था।

लेकिन शुद्ध गणित में अनुसंधान की परवाह किए बिना, x जीवों के समान पुनरावृत्तियों के साथ x → ax (1 - x) के रूप में जनसंख्या जीव विज्ञान या व्यावसायिक चक्रों के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए संभव व्यावहारिक मॉडल के बीच 1930 के दशक में दिखाई देने लगे। वे आमतौर पर निरंतर समीकरणों के असतत संस्करणों के रूप में दिखाई देते थे, जैसे कि 19 वीं शताब्दी के मध्य का वर्हुलस्ट लॉजिस्टिक समीकरण। ऑसिलेटरी व्यवहार भी सामान्य था - और 1954 में, विलियम रिक्योर (वैज्ञानिक मछली पकड़ने के संस्थापकों में से एक) ने भी अधिक जटिल व्यवहार पाया, जब अनुभवजन्य मछली प्रजनन घटता के माध्यम से पुनरावृत्ति हुई।

शुद्ध गणित में, समय-समय पर पुनरावृत्त मानचित्रण के प्रकार संख्या सिद्धांत में उत्पन्न हुए। 1799 में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने वास्तव में, निरंतर अंशों के संबंध में मानचित्रण x → फ़्रेक (1 / x) का अध्ययन किया। 19 वीं शताब्दी के अंत के बाद से, रुचि x के उदाहरणों में प्रकट हुई है → फ्राक (कुल्हाड़ी) और उनके गुणों के संबंध।

1900 के दशक में आकाशीय यांत्रिकी के प्रभावी तरीकों पर हेनरी पॉइंकेरे के काम के तुरंत बाद, प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशीलता का विचार दिखाई दिया, और अंत में यह देखा गया कि पुनरावृत्त नक्शे प्रारंभिक परिस्थितियों में "संख्या खोद सकते हैं"। उदाहरण के लिए, पुनरावृत्ति x → फ़्रेक (10 x) essentially अंकों से अधिक अनिवार्य रूप से अंकों के अनुक्रम को प्रत्येक चरण के साथ बाईं ओर एक स्थान पर ले जाता है:





टाइप x → कुल्हाड़ी (1-x) की मैपिंग भी इसी तरह की "संख्याओं को खोदना" प्रदर्शित करती है (उदाहरण के लिए, यदि आप x को पाप ((u) ^{2 से} प्रतिस्थापित करते हैं, तो x → 4 x (1-x)) u / frac (यू) में बिल्कुल बदल जाता है , 2), और यह 1940 के दशक में वापस जाना जाता था - उदाहरण के लिए, जॉन वॉन न्यूमैन ने 1949 में एक कंप्यूटर द्वारा छद्म आयामी संख्या पैदा करने के लिए अपने पुनरावृत्त मध्य-वर्ग विधि के संबंध में यह टिप्पणी की थी।

हालांकि, पुनरावृत्ति मानचित्रण के आधार पर प्रयोगात्मक गणित के बारे में क्या? प्रारंभिक डिजिटल कंप्यूटरों पर लगभग कोई प्रयोगात्मक गणित नहीं था (उनमें से अधिकांश का कंप्यूटर समय बहुत महंगा था)। लेकिन लॉस एलामोस में मैनहट्टन परियोजना के मद्देनजर, उन्होंने अपना खुद का MANIAC कंप्यूटर बनाया, जो अंततः प्रयोगात्मक गणित के क्षेत्र में अध्ययन की एक श्रृंखला के लिए इस्तेमाल किया जाने लगा। 1964 में, पॉल स्टीन और स्टेन उलम ने "इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर पर स्टडी नॉनलाइनियर ट्रांसफॉर्मेशन" शीर्षक से एक रिपोर्ट लिखी, जिसमें ओसिलोस्कोप के समान MANIAC स्क्रीन की तस्वीरों को दिखाया गया है और जो एक जटिल रूप में प्रदर्शित होते हैं। 1971 में, लॉस एलामोस में बनाई गई एक अन्य रिपोर्ट "सरासर जिज्ञासा से बाहर" (निक मेट्रोपोलिस द्वारा लिखित, MANIAC परियोजना के प्रमुख और मोंटे कार्लो विधि के विकासकर्ता, साथ ही पॉल स्टीन और उनके भाई आरोन स्टीन) ने लॉजिस्टिक मैपिंग के लिए अधिक विशिष्ट कम्प्यूटेशनल परिणाम तैयार किए। , और अवधि दोगुनी होने की मूल घटना का उल्लेख किया (लेखकों ने इसे यू-अनुक्रम कहा है), साथ ही अंतर्निहित प्रदर्शन विधि के परिवर्तनों के लिए गुणात्मक प्रतिरोध।

भौतिकी और गणित में इस सब के अलावा अन्य विकास थे। 1964 में, एड लोरेंज (एमआईटी के मौसम विज्ञानी) ने अपने नाम के "स्वाभाविक रूप से होने वाले" अंतर समीकरणों का एक अनुकरण शुरू किया और बनाया, जहां प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशीलता का प्रदर्शन किया गया था। 1940 के दशक से, डायनेमिक सिस्टम के सिद्धांत में गणितीय विकास की एक सतत धारा का गठन हुआ है (यह काम 1900 से पोइनकेयर की उपलब्धियों पर आधारित था)। विशेष रूप से, उन्होंने अंतर समीकरणों के समाधान के वैश्विक गुणों की जांच की। आमतौर पर, शोधकर्ताओं ने निश्चित बिंदुओं का सामना किया, कभी-कभी साइकिल को सीमित किया। हालाँकि, 1970 के दशक तक, विशेष रूप से पहले कंप्यूटर सिमुलेशन (लोरेंट्ज़ में) की उपस्थिति के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि ग़ैर-समीकरणों के साथ कुछ और हो सकता है: तथाकथित " अजीब आकर्षित करने वाला ।" और अजीब आकर्षित करने वालों के "लौटे मैपिंग" का अध्ययन करते समय, पुनरावृत्त मैपिंग फिर से दिखाई देने लगे।

हालांकि, यह 1975 तक नहीं था कि पुनरावृत्त मानचित्रण के विभिन्न अध्ययनों को अंतर करना शुरू हो गया। शुद्ध गणित के क्षेत्र में, डायनेमिक सिस्टम के सिद्धांतकार जिम यॉर्क और मैरीलैंड विश्वविद्यालय के उनके छात्र टीएन-येन ली ने पीरियड थ्री से चारो फॉलो प्रकाशित किए, जहां उन्होंने दिखाया कि एक निश्चित पैरामीटर मान के साथ एक पुनरावृत्ति मानचित्रण, जिसकी प्रारंभिक स्थिति लंबाई तीन के एक चक्र की उपस्थिति की ओर ले जाती है। , अन्य प्रारंभिक शर्तें होनी चाहिए जो चक्रों की उपस्थिति के लिए नेतृत्व नहीं करती हैं - या, जैसा कि वे इसका वर्णन करते हैं, अराजकता का प्रदर्शन करते हैं। फिर यह पता चला कि 1962 में वापस गतिशील प्रणाली अनुसंधान के सोवियत स्कूल के एक प्रतिनिधि अलेक्जेंडर सरकोवस्की ने थोड़ा कमजोर परिणाम साबित किया, जिसमें सभी अवधियों के साथ चक्र 3 अवधि वाले चक्र से अनुसरण करते हैं।

उसी समय, जनसंख्या जीव विज्ञान में गणितीय रूप से उन्मुख विशेषज्ञों में रुचि लॉजिस्टिक मैपिंग में बढ़ने लगी, जिसमें से 1976 की समीक्षा " रॉबर्ट मैथमेटिकल मॉडल्स विथ वेरी कॉम्प्लेक्स डायनामिक्स" का जन्म हुआ, जो रॉबर्ट मेव द्वारा शिक्षित एक ऑस्ट्रेलियाई भौतिक विज्ञानी ने लिखा था, जो उस समय एक प्रोफेसर थे प्रिंसटन में जीव विज्ञान (तब वह ब्रिटिश सरकार का वैज्ञानिक सलाहकार बन जाएगा और ऑक्सफोर्ड के बैरन मे का खिताब प्राप्त करेगा)।

लेकिन हालांकि द्विभाजन आरेखों के रेखाचित्र के रूप में ऐसी चीजें थीं, उनके सार्वभौमिक संख्यात्मक गुणों की खोज के लिए मिशेल फेगेनबाम की उपस्थिति की उम्मीद थी।

मिशेल की यात्रा

मिचेल फेगेनबाम ब्रुकलिन, न्यूयॉर्क में बड़ा हुआ। उनके पिता एक विश्लेषणात्मक रसायनज्ञ थे, और उनकी माँ एक पब्लिक स्कूल में पढ़ाती थीं। मिशेल को विशेष रूप से अध्ययन करना पसंद नहीं था, हालांकि उन्हें गणित और सटीक विज्ञान में परीक्षा में अच्छे ग्रेड मिले, और उन्होंने स्वतंत्र रूप से मेटानैलिसिस और पियानो बजाना भी सीखा। 1960 में, 16 साल की उम्र में, उन्होंने कुछ बच्चों की तरह कौतुक, न्यूयॉर्क के सिटी कॉलेज में प्रवेश किया, आधिकारिक तौर पर इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग का अध्ययन करने के लिए, लेकिन भौतिकी और गणित के पाठ्यक्रमों में भी भाग लिया। 1964 में स्नातक करने के बाद, उन्होंने MIT में प्रवेश किया। पहले वह इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में डॉक्टरेट की रक्षा करना चाहता था, लेकिन जल्दी से भौतिकी में बदल गया।

और यद्यपि वह शास्त्रीय गणितीय भौतिकी (जैसे कि प्रस्तुत किया गया था, उदाहरण के लिए, लांडऊ और लिफ़शिट्ज़ की पुस्तकों में) के साथ खुश था, उसने अपने क्यूरेटर द्वारा नियुक्त विषय पर एक निबंध लिखना समाप्त कर दिया - कण भौतिकी और स्केलर कणों द्वारा फोटॉन को बिखरने के लिए फेनमैन आरेखों के वर्ग का आकलन। । शोध प्रबंध बहुत दिलचस्प नहीं था, लेकिन 1970 में उन्हें पोस्टडॉक के रूप में कॉर्नेल विश्वविद्यालय भेजा गया था।

मिशेल को प्रेरणा के साथ समस्याएं होने लगीं, और उन्होंने भौतिकी करने के बजाय, कैफे में समय बिताना पसंद किया, न्यू यॉर्क टाइम्स में वर्ग पहेली को हल करना (जो वह बड़ी तेजी के साथ करने में कामयाब रहा)। लेकिन कॉर्नेल में, मिशेल ने कुछ महत्वपूर्ण दोस्त बनाए। उनमें से एक प्रेड्रैग सावितानोविक था, जो यूगोस्लाविया के उस हिस्से से एक उत्कृष्ट स्नातक छात्र था जिसे अब क्रोएशिया कहा जाता है; उन्होंने क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स का अध्ययन किया, और मिशेल के साथ जर्मन साहित्य में रुचि दिखाई। एक अन्य युवा कवयित्री कैथलीन डरीश (जो बाद में कैटी हैमंड बनी), जो कि प्राग्रग की मित्र थी। एक और भौतिकी के उभरते हुए सितारे थे, प्रोफेसर पीट कारुथर्स, जिन्होंने मिशेल के साथ शास्त्रीय संगीत में रुचि दिखाई।

1970 के दशक की शुरुआत में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का स्वर्ण युग निकट आ रहा था। लेकिन, अपने काम के विषय के बावजूद, मिशेल ने ऐसा नहीं किया, और दो साल बाद कॉर्नेल में कोई परिणाम नहीं दिया। हालांकि, वह हंस बेठे को प्रभावित करने में कामयाब रहे, और उन्होंने इसे पोस्टडॉक के रूप में भी एक अन्य स्थान पर स्थानांतरित कर दिया, लेकिन एक ऐसे संस्थान में जो अनौपचारिक पदानुक्रम में थोड़ा कम स्थान रखता है - वर्जीनिया पॉलिटेक्निक।

वर्जिन इंस्टीट्यूट में, मिशेल ने कॉर्नेल में भी कम किया। उन्होंने व्यावहारिक रूप से लोगों के साथ संवाद नहीं किया, और तीन पृष्ठों पर केवल एक ही काम दिया: "सामान्यीकरण गुणांक का संबंध और मल्टीग्रुप के परिवहन समीकरण में फैलाव कार्य"। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि यह कार्य तकनीकी और निर्बाध था।

मिचेल के वर्जीनिया में दो साल के प्रवास के अंत में, यह स्पष्ट नहीं था कि आगे क्या होगा। हालांकि, भाग्य ने हस्तक्षेप किया। कॉर्नेल, पीट कारुथर्स के मित्र मिशेल को लॉस एलामोस में एक सैद्धांतिक इकाई स्थापित करने के लिए काम पर रखा गया था, और कई प्रमुख युवा भौतिकविदों को नियुक्त करने के लिए कार्टे ब्लैंच दिया गया था। पीट ने तब गर्व से मुझे (वैज्ञानिक प्रबंधन सलाह के हिस्से के रूप में) बताया कि उन्हें यह महसूस होता है कि मिशेल कुछ महान होने में सक्षम थी, और अन्य लोगों की राय के बावजूद - और सबूत - उन्होंने उस पर डालने का फैसला किया।

मिशेल को लॉस आलमोस में स्थानांतरित करने के बाद, पीट ने उन्हें परियोजनाओं की पेशकश करना शुरू किया। पहले यह पीट के काम की निरंतरता थी, उच्च ऊर्जा कण टकराव को समझने के लिए क्वांटम फील्ड सिद्धांत के सामूहिक ("परिवहन") गुणों की गणना करने का प्रयास - ये ऐसे काम थे जो क्वार्क-ग्लोन प्लाज्मा के पूर्ववर्ती अध्ययन थे।

लेकिन जल्द ही, पीट ने सुझाव दिया कि मिशेल तरल पदार्थ में अशांति से निपटते हैं, विशेष रूप से, यह पता लगाने के लिए कि क्या रेनडेरिएलाइजेशन समूह के तरीकों से इस मामले में मदद मिलेगी।

जब एक तरल - उदाहरण के लिए, पानी - काफी तेजी से बहना शुरू होता है, तो इसमें छोटे भँवर दिखाई देते हैं, और यह एक जटिल व्यवहार करना शुरू कर देता है, और, पहली नज़र में, यादृच्छिक तरीके से। लेकिन यद्यपि इस घटना पर कई शताब्दियों के लिए गुणात्मक रूप से चर्चा की गई है (उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि लियोनार्डो दा विंची ने अपने रेखाचित्र भी बनाए हैं), भौतिक विज्ञानी इसके बारे में उल्लेखनीय रूप से बता सकते हैं - हालांकि 1940 के दशक में आंद्रेई निकोलेविच कोलमोग्लोव ने एक टिप्पणी की थी कि भंवरों को कैसकेड के साथ एक झरना बनाना चाहिए। - ऊर्जा वितरण। लॉस अल्मोस में, वैज्ञानिकों ने परमाणु हथियारों को विकसित करने पर ध्यान केंद्रित किया (जिसमें अनिवार्य रूप से मजबूत धाराओं के साथ तरल पदार्थों के व्यवहार का अध्ययन शामिल है), और अशांति को समझना बहुत महत्वपूर्ण था - हालांकि यह स्पष्ट नहीं था कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए।

1974 में, समाचार सामने आया कि कॉर्नेल के केनेथ विल्सन ने "कोंडो समस्या को हल किया" [कोंडो समस्या , कोंडो प्रभाव / लगभग समझाने के लिए सैद्धांतिक भौतिकी की अक्षमता है। ट्रांस।] एक तकनीक का उपयोग कर जिसे "रेनोवेशन ग्रुप" कहा जाता है। पीट कारुथर्स ने सुझाव दिया कि मिशेल इस तकनीक को अशांति में लागू करते हैं।

पुनर्संरचना समूह संबंधित है कि सिस्टम के विवरण (और व्यवहार) को पैमाने (या अन्य मापदंडों) को कैसे बदला जाए। ऐसा हुआ कि MIT से मिशेल के पीएचडी, फ्रांसिस लोव ने, मरे जेल-मान के साथ मिलकर 1954 में इसे क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के संदर्भ में फिर से प्रस्तुत किया। यह विचार कई वर्षों तक गतिहीन रहा, लेकिन यह 1970 के दशक में वापस आया और सक्रिय रूप से लागू किया गया - अलग-अलग तरीकों से - कण भौतिकी (विशेष रूप से क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स ) और संघनित पदार्थ भौतिकी दोनों के लिए।

कमरे में लोहे के एक टुकड़े में, आप प्रत्येक परमाणु से जुड़े सभी इलेक्ट्रॉनों के स्पिन को संरेखित कर सकते हैं, और फिर लोहे को चुंबकित किया जाएगा। लेकिन अगर आप लोहे को गर्म करते हैं, तो उसमें उतार-चढ़ाव शुरू होता है, और अचानक - तथाकथित तापमान से ऊपर के तापमान पर। क्यूरी पॉइंट (लोहे के लिए 770 डिग्री सेल्सियस) - लोहे में इतनी यादृच्छिकता दिखाई देती है कि इसके चुंबकीय गुण गायब हो जाते हैं। सामान्य तौर पर, जब यह अचानक तथाकथित होता है तो कुछ स्थितियाँ (पिघलने, उबलने, ट्रैफ़िक जमाव का निर्माण) होती हैं चरण संक्रमण ।

लेकिन चरण संक्रमण के दौरान वास्तव में क्या होता है? मुझे लगता है कि यह देखने का सबसे आसान तरीका सेलुलर ऑटोमेटा के क्षेत्र में अपने समकक्ष का अध्ययन करना है। एक निश्चित नियम के साथ, नीचे दिया गया है, जब सिस्टम में शुरू में बड़ी संख्या में काली कोशिकाएं नहीं होती हैं, जल्द ही यह सब सफेद हो जाएगा। लेकिन अगर आप मूल काले कोशिकाओं की संख्या में वृद्धि करते हैं (चुंबकीय प्रणाली के तापमान में वृद्धि के साथ), तो अचानक, इस मामले में, काले कोशिकाओं के 50% अनुपात के साथ, एक तीव्र संक्रमण होता है, और पूरी प्रणाली अंततः काला हो जाती है (चरण संक्रमण पर विशेषज्ञों की टिप्पणी: हाँ , यह एक आयामी प्रणाली में एक चरण संक्रमण है, (दो आयामी केवल तभी आवश्यक हो सकता है जब सिस्टम को सूक्ष्म रूप से प्रतिवर्ती होने की आवश्यकता हो)।



लेकिन 50% काली कोशिकाओं की सीमा के पास प्रणाली का क्या होता है? वास्तव में, वह यह तय नहीं कर सकती है कि वह काला या सफेद हो सकता है। नतीजतन, यह सबसे छोटे से लेकर सबसे बड़े उतार-चढ़ाव की पूरी पदानुक्रम दिखाता है। 1960 के दशक तक, यह स्पष्ट हो गया कि इन उतार-चढ़ावों का वर्णन करने वाले बिजली कानूनों की विशेषता "महत्वपूर्ण प्रतिपादक" कई प्रणालियों के लिए समान हैं।

लेकिन हम इन महत्वपूर्ण घातांक की गणना कैसे करते हैं? कुछ कृत्रिम मामलों में, विश्लेषणात्मक तरीके ज्ञात थे। लेकिन अधिकांश भाग के लिए, कुछ और की आवश्यकता थी।1960 के दशक के उत्तरार्ध में, केन विल्सन ने महसूस किया कि पुनर्संरचना समूहों और कंप्यूटरों का उपयोग किया जा सकता है। आप व्यक्तिगत स्पिनों के संपर्क का एक मॉडल बना सकते हैं। लेकिन पुनर्संरचना समूह आपको स्पिन के अधिक से अधिक बड़े ब्लॉक के इंटरैक्शन के लिए "स्केलिंग" प्रक्रिया देता है। और एक कंप्यूटर पर यह अध्ययन करके, केन विल्सन ने महत्वपूर्ण घातांक की गणना शुरू करने में कामयाबी हासिल की।

पहले, भौतिकविदों ने इस पर उचित ध्यान नहीं दिया, कम से कम नहीं क्योंकि वे सैद्धांतिक भौतिकी में कंप्यूटर के ऐसे सक्रिय उपयोग के लिए उपयोग नहीं किए गए थे। लेकिन तभी कोंडो समस्या सामने आई। अधिकांश सामग्रियों में, घटते तापमान के साथ विद्युत प्रतिरोध कम हो जाता है (और सुपरकंडक्टर्स में यह शून्य से घटकर भी पूर्ण शून्य से अधिक हो जाता है)। हालांकि, 1930 के दशक में, सोने पर माप से पता चला कि कम तापमान पर इसका प्रतिरोध बढ़ जाता है। 1960 के दशक तक, यह माना जाता था कि पूरी चीज चुंबकीय अशुद्धियों द्वारा इलेक्ट्रॉनों के बिखरने की थी - हालांकि, गणना मुश्किलों में भाग गई, जिससे परिणामों में असीमता आई।

फिर 1975 में, केन विल्सन ने रेनोवेशन ग्रुप के अपने तरीकों को लागू किया - और प्रभाव की सही गणना करने में सक्षम था। यह प्रभाव अभी भी कुछ रहस्य में छाया हुआ है (शायद इस तथ्य के कारण कि मुझे अक्सर इस विषय पर केन विल्सन के स्पष्टीकरण को समझने में कठिनाई हुई, कम से कम चूंकि मैं उनसे 1980 के दशक में मिला था)। लेकिन विचार यह है कि रेनोवेशन ग्रुप महत्वपूर्ण हो सकता है।

यह द्रव अशांति के लिए कैसे लागू किया जा सकता है? कोलमोगोरोव शक्ति कानून ने कुछ विचार दिए। लेकिन क्या नवियर-स्टोक्स समीकरणों को लेना संभव था जो एक आदर्श द्रव के प्रवाह को नियंत्रित करते हैं और उनमें से किसी को भी प्राप्त करते हैं? इस परियोजना को मिशेल फेगेनबाम ने लिया था।

प्रमुख खोज

नवियर-स्टोक्स समीकरणों के साथ काम करना बहुत मुश्किल है। आज तक यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि अशांति की सबसे स्पष्ट संपत्ति भी कैसे है - इसकी स्पष्ट यादृच्छिकता - उनसे उत्पन्न होती है। शायद ये समीकरण पूर्ण या सुसंगत गणितीय विवरण नहीं हैं, और हम वास्तव में अणुओं के बढ़े हुए सूक्ष्म आंदोलनों को देखते हैं। शायद - जैसा कि अराजकता के सिद्धांत और लोरेंत्ज़ समीकरणों में - पूरी बात प्रारंभिक स्थितियों में यादृच्छिकता को बढ़ाने के लिए है। व्यक्तिगत रूप से, 1980 के दशक से मेरे काम के आधार पर, मेरा मानना ​​है कि एक सेलुलर ऑटोमेटन के लिए मेरे " नियम 30 " में यादृच्छिकता के समान, पूरे बिंदु उनके आंतरिक गणना के गुणों में है ।

मिशेल ने इस समस्या से कैसे संपर्क किया? उन्होंने इसे सरल बनाने की कोशिश की - पहले उन समीकरणों से चलते हुए जो अंतरिक्ष और समय पर निर्भर समीकरणों पर निर्भर करते हैं जो केवल समय पर निर्भर करते हैं, और फिर उन्हें असतत बनाने और पुनरावृत्त मैपिंग का अध्ययन करते हैं। पॉल स्टीन से, मिशेल को लॉस आलमोस (जो व्यापक रूप से व्यापक नहीं था) में किए गए पुनरावृत्त मानचित्रण पर पिछले काम के बारे में पता था। लेकिन मिशेल को यह समझ में नहीं आया कि किस रास्ते पर चलना है, हालांकि, अपने निपटान में एक बिल्कुल नया अल्ट्रा-आधुनिक प्रोग्राम कैलकुलेटर एचपी -65 प्राप्त किया, उन्होंने इस पर चलने वाले प्रदर्शनों का कार्यक्रम करने का फैसला किया

फिर, जुलाई 1975 में, मिशेल एस्पेन, कोलोराडो में एक ग्रीष्मकालीन शारीरिक बैठक में गई। वहां उन्होंने स्टीफन स्मेल से मुलाकात की, जो एक प्रसिद्ध गणितज्ञ थे, जिन्होंने डायनेमिक सिस्टम का अध्ययन किया था, और यह जानकर आश्चर्यचकित थे कि वे पुनरावृत्तियों के बारे में बात कर रहे थे। स्मेल ने उल्लेख किया कि कोई उनसे पूछ रहा था कि क्या दोहरी अवधि _∞ ≈ 3.56995 के साथ कैस्केड की सीमा मानक स्थिरांक जैसे ants और .2 के रूप में व्यक्त की जा सकती है । स्मेल को इस सवाल का जवाब नहीं पता था। हालांकि, मिशेल इसमें दिलचस्पी रखने लगे और उन्होंने इसका जवाब जानने की कोशिश करने का फैसला किया।

उनके पास एचपी -65 नहीं था, लेकिन उन्होंने एक शिक्षित गणितीय भौतिक विज्ञानी के मानक साधनों का उपयोग करते हुए इस मुद्दे पर बहस की, और जल्द ही कार्य को जटिल विमान पर फ़ंक्शन पोल की खोज में बदल दिया, जिसके बारे में उनके पास कहने के लिए कुछ नहीं था। हालांकि, अगस्त में लॉस एलामोस की ओर लौटने, वह अपने HP-65 की ओर रुख किया और आदेश में एक विभाजन अंक पता लगाने के लिए अपने प्रोग्रामिंग शुरू की है _n ।

छोटे n के लिए, पुनरावृति बहुत तेजी से चली गई। N = 5 के लिए, इसमें 30 सेकंड का समय लगा। N = 6 के लिए, मुझे पहले ही कई मिनट इंतजार करना पड़ा। हालांकि, जब कैलकुलेटर काम कर रहा था, तो मिशेल ने एक _एन के मूल्यों को देखने का फैसला किया, जो उसके पास पहले से था, और कुछ पर ध्यान दिया: वे कुछ अंतिम मूल्य के लिए ज्यामितीय रूप से प्रयास करने लगे।

सबसे पहले उन्होंने बस एक आकलन करने के लिए इस तथ्य को इस्तेमाल किया _∞ , जो वह, सभी प्रयासों के बावजूद, मानक स्थिरांक के माध्यम से व्यक्त करने में विफल रहा। लेकिन वह जल्द ही शक करने के लिए अभिसरण δ के प्रतिपादक एक से ज्यादा महत्वपूर्ण था कि शुरू किया _∞ क्योंकि अपने मूल्य प्रदर्शन में चर का एक सरल बदलाव के लिए अपरिवर्तित रहता है -। लगभग एक महीने तक, मिशेल ने मानक स्थिरांक के संदर्भ में Mit व्यक्त करने की कोशिश की।

लेकिन फिर, अक्टूबर 1975 में, उन्होंने कहा कि पॉल स्टीन ने कहा कि एक अवधि को दोगुना करना न केवल लॉजिस्टिक मैपिंग के लिए, बल्कि आम तौर पर सभी पुनरावृत्तियों के लिए एक अधिकतम के साथ समान दिखता है। कैलटेक की यात्रा के बाद अपने HP-65 के साथ फिर से जुड़ने के बाद, मिशेल ने तुरंत x → sin (x) प्रदर्शित करने की कोशिश की और पाया कि, तीन दशमलव स्थानों के साथ, घातांक his बिल्कुल समान था।

उसने तुरंत फैसला किया कि वह कुछ अद्भुत चीज पर ठोकर खाई थी। लेकिन स्टीन ने कहा कि उन्हें निष्कर्ष निकालने के लिए अधिक संख्या की आवश्यकता होगी। लॉस एलामोस में बहुत सारे शक्तिशाली कंप्यूटर थे, इसलिए अगले दिन मिशेल ने किसी को उसे दिखाने के लिए कहा कि कैसे आगे बढ़ने के लिए एक फोरट्रान प्रोग्राम लिखना है - और दिन के अंत तक वह यह गणना करने में सक्षम था कि दोनों मामलों में 4. 4.6692 का मूल्य था ।

कंप्यूटर का उपयोग उन्होंने उन दिनों अमेरिकी विज्ञान के लिए एक विशिष्ट वर्कहॉर्स था: सीडीसी 6000 मॉडल (उसी प्रकार का उपयोग किया जो मैंने 1978 में पहली बार यूएसए में किया था)। यह सीमोर क्रे द्वारा विकसित किया गया था, और डिफ़ॉल्ट रूप से वह 60-बिट फ्लोटिंग पॉइंट नंबर का उपयोग करता था। लेकिन इतनी सटीकता (दशमलव बिंदु के बाद 14 अंक) के साथ मिशेल 4.6692 से बेहतर कुछ भी नहीं पा सके। सौभाग्य से, पीट की पत्नी, लुसी कारुथर्स, एक लॉस एलामोस प्रोग्रामर थी, और उसने मिशेल को दिखाया कि डबल परिशुद्धता का उपयोग कैसे करें। नतीजतन, वह 11 दशमलव स्थानों तक की गणना करने में सक्षम था, और यह निर्धारित करता था कि दो अलग-अलग पुनरावृत्तियों के मान समान हैं।

कई हफ्तों के दौरान, मिशेल ने पाया कि maximum एक द्विघात अधिकतम के साथ सभी पुनरावृत्तियों के नक्शे के लिए एक सार्वभौमिक मूल्य प्रतीत होता है। लेकिन वह नहीं जानता था कि ऐसा क्यों हो रहा था, और उसके पास इस मुद्दे का अध्ययन करने के लिए कोई विशिष्ट गणितीय उपकरण नहीं था। लेकिन अंत में, 30 साल की उम्र में, मिशेल ने कुछ ऐसा खोजा, जो उन्हें वास्तव में दिलचस्प लगा।

19 दिसंबर को अपने जन्मदिन पर, मिशेल अपने दोस्त प्राग्रैग से मिले और उन्हें इस परिणाम के बारे में बताया। हालाँकि, उस समय, प्रेड्रैग मुख्यधारा के कण भौतिकी के साथ काम कर रहा था, और उसने इसके लिए ज्यादा महत्व नहीं दिया।

मिशेल ने काम करना जारी रखा, और कुछ महीनों के बाद वह आश्वस्त हो गया कि न केवल घातांक universal सार्वभौमिक था - उचित पैमाने के साथ, पुनरावृत्त मानचित्रण स्वयं सार्वभौमिक थे। अप्रैल 1976 में, मिशेल ने अपने निष्कर्षों पर एक रिपोर्ट लिखी। 2 मई 1976 को, उन्होंने प्रिंसटन के एडवांस्ड रिसर्च इंस्टीट्यूट में एक व्याख्यान में उनके बारे में बात की। प्रेड्रैग वहाँ था, और फिर वह अंततः मिशेल के काम में दिलचस्पी लेने लगा।

लेकिन प्राग्रेग अक्सर स्पष्ट नहीं था कि मिशेल किस बारे में बात कर रहा था। लेकिन अगले दिन, प्रेड्रैग सफलतापूर्वक कार्य को सरल बनाने और स्केल किए गए पुनरावृत्ति मानचित्र के सीमित रूप के लिए एक तत्काल कार्यात्मक समीकरण प्राप्त करने में कामयाब रहा: जी (जी (एक्स)) = -जी (α x) / α, जहां α 502 - ०502० ९ ०, जिसका अर्थ है एक निश्चित प्रकार के किसी भी पुनरावृत्ति मानचित्रण के लिए, इसका सीमित रूप इस मानचित्रण के अधिक यातनापूर्ण संस्करण जैसा दिखेगा:

सब कुछ कैसे विकसित हुआ

रॉबर्ट मेप द्वारा जर्नल नेचर में एक समीक्षा प्रकाशित करने के बाद 10 जून, 1976 को पुनरावृति मानचित्रण पर अनुसंधान के क्षेत्र में गति मिली, जिसे उन्होंने मिशेल से स्वतंत्र रूप से लिखा और, स्वाभाविक रूप से, उन्होंने प्राप्त परिणामों का उल्लेख किए बिना। लेकिन बाद के महीनों में, मिशेल ने अपने परिणामों पर अपनी रिपोर्ट के साथ यात्रा की। उन पर प्रतिक्रिया मिश्रित थी। भौतिकविदों की दिलचस्पी थी कि ये परिणाम भौतिकी से कैसे संबंधित हैं। गणितज्ञों ने उनकी स्थिति को नहीं समझा, यह देखते हुए कि वे प्रयोगात्मक गणित से प्राप्त किए गए थे और उनके पास औपचारिक गणितीय प्रमाण नहीं था। और, हमेशा की तरह, लोगों के लिए मिशेल के स्पष्टीकरण को समझना मुश्किल था।

1976 के पतन में, प्रिड्रग को ऑक्सफ़ोर्ड में एक पोस्टडॉक मिला, और पहले दिन मैं वहां पहुंचा, एक 17 वर्षीय छात्र ने कण भौतिकी में डिप्लोमा लिखा, मैं उसके साथ मिला। हमने मुख्य रूप से समूह सिद्धांत के साथ काम करने के लिए उनके सुरुचिपूर्ण "पक्षी पदचिह्न" विधि के बारे में बात की (जिस पुस्तक की वह अंततः 32 साल बाद प्रकाशित हुई)। उन्होंने मेरे लिए पुनरावृत्तियों को समझाने का भी प्रयास किया। और मुझे अभी भी याद है कि कैसे उन्होंने एड्रियाटिक में मछली आबादी के एक आदर्श मॉडल के बारे में बात की थी (केवल वर्षों के बाद मैंने इस तथ्य से जुड़ा था कि प्रेड्रैग उन जगहों से था जिन्हें अब क्रोएशिया कहा जाता है)।

उस समय मैं इसके लिए कोई महत्व नहीं देता था, लेकिन पुनरावृत्ति के विचार मेरे दिमाग में घुस गए, और जल्द ही भग्न के विचार के साथ मिश्रित हो गए, जो मैंने बेनोइट मैंडलब्रॉट की पुस्तक से सीखा। और जब, कुछ वर्षों के बाद, मैंने जटिलता की समस्याओं पर ध्यान केंद्रित किया, तो इन विचारों ने मुझे सेलुलर ऑटोमेटा जैसे सिस्टम में आने में मदद की।

लेकिन 1976 में, मिशेल (मेरी अगली बैठक तक जिसके साथ कई और साल गुजरेंगे) ने परिणामों पर रिपोर्ट के साथ सक्रिय रूप से यात्रा की। उन्होंने गणित में प्रतिष्ठित वैज्ञानिक पत्रिका एडवांस के लिए काम भी प्रस्तुत किया। छह महीने तक उन्हें वहां से खबर नहीं मिली, लेकिन अंत में काम अस्वीकार कर दिया गया। उन्होंने फिर से कोशिश की, एक और परिणाम के साथ SIAM जर्नल ऑफ एप्लाइड मैथमेटिक्स में नौकरी भेज दी।

मैं कहना चाहता हूं कि मैं इससे हैरान नहीं हूं। अकादमिक साहित्य में प्रकाशनों के मेरे अनुभव में (जो मैं बहुत लंबे समय से नहीं कर रहा था), अनुसंधान के एक परिभाषित क्षेत्र में एक काम प्रकाशित करना काफी आसान है। लेकिन वास्तव में नए या मूल कुछ के क्षेत्र में काम करना व्यावहारिक रूप से एक विशेषज्ञ मूल्यांकन के बाद इसे अस्वीकार करने पर निर्भर कर सकता है - या तो बौद्धिक लघुदृष्टि के कारण या शैक्षणिक भ्रष्टाचार के कारण। मिशेल को एक और समस्या थी - उनके स्पष्टीकरण को समझना मुश्किल था।

लेकिन आखिरकार, 1977 में, जर्नल ऑफ़ स्टैटिस्टिकल फ़िज़िक्स के संपादक जोएल लेबोविट्ज़ ने मिशेल के काम को प्रकाशित करने पर सहमति जताई - वास्तव में, क्योंकि वह उनसे मिले थे, क्योंकि उन्होंने स्वीकार किया था कि उन्हें काम की समझ नहीं थी। इसलिए 1978 का काम "नॉनक्लियर ट्रांसफॉर्मेशन की कक्षा में मात्रात्मक सार्वभौमिकता" दिखाई दिया, जो मिशेल की महान उपलब्धि का वर्णन करता है। अकादमिक प्राथमिकताओं को निर्धारित करने के लिए, मिशेल ने कभी-कभी 26 अगस्त, 1976 को की गई रिपोर्ट के सारांश का हवाला दिया और 1975-1976 के लिए रिपोर्ट के लॉस अलामोस थियोरेटिकल डिवीजन के वार्षिक संग्रह में प्रकाशित किया। मिशेल अपने कामों को प्रकाशित करने के लिए रिफ्यूज़ल्स से बहुत प्रभावित थे, और वर्षों तक उन्होंने एक ड्रॉअर में रिफ्यूज़ल के साथ पत्र रखे।

मिशेल ने परिणामों पर रिपोर्ट के साथ दुनिया भर में यात्रा करना जारी रखा। उनमें रुचि थी, लेकिन घबराहट थी। हालांकि, 1979 की गर्मियों में कुछ आश्चर्यजनक हुआ: पेरिस से अल्बर्ट लिब्बर ने तरल हीलियम के संवहन प्रवाह में अशांति के लिए संक्रमण पर एक भौतिक प्रयोग के परिणामों की रिपोर्ट की, जहां उन्होंने घातांक के साथ अवधि की दोहरीकरण देखा δ जिस पर मिशेल ने गणना की। यह न केवल गणितीय प्रणालियों के वर्ग के लिए सार्वभौमिक निकला, बल्कि वास्तविक, भौतिक प्रणालियों में भी साबित हुआ।

और तुरन्त मिशेल प्रसिद्ध हो गया। रेनोवेशन ग्रुप के साथ एक संबंध का पता चला, उनका काम भौतिकविदों और गणितज्ञों दोनों के लिए फैशनेबल हो गया। मिशेल ने रिपोर्टों के साथ सवारी जारी रखी, लेकिन अब उनके पास नियमित रूप से सर्वश्रेष्ठ भौतिकविदों और गणितज्ञों के साथ घूमने का अवसर था।

मुझे याद है कि कैसे वह 1979 के पतन में किसी समय कैलटेक में आए थे। यह सब एक रॉक स्टार के साथ एक मुलाकात जैसा था। मिशेल पहुंचे, एक स्टाइलिश बना, लेकिन थोड़ी रहस्यमयी रिपोर्ट, और फिर रिचर्ड फेनमैन और मरे गेल-मैन ने उन्हें एक निजी बातचीत के लिए चुरा लिया।

जल्द ही, मिशेल को विभिन्न अपस्केल नौकरियों का एक गुच्छा पेश किया गया और 1982 में वह भौतिकी के प्रोफेसर के रूप में कैलटेक में जीत के साथ लौटे। चर्चा थी कि यह खोज नोबेल पुरस्कार के योग्य थी, और जून 1984 तक वह न्यूयॉर्क टाइम्स पत्रिका में बेथोवेन के ठाठ के साथ कॉर्नेल झरने के बीच दिखाई दी:



लेकिन गणितज्ञ दुखी रहे। जैसा कि बेनोइट मंडेलब्रोट के मामले में, उन्होंने मिशेल के परिणामों को "संख्यात्मक परिकल्पना" माना, अप्रमाणित, और उल्लेख के अयोग्य। हालांकि, सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञ (जिनके साथ मिशेल ने दोस्त बनाए थे) ने जल्द ही इस समस्या पर काम करना शुरू कर दिया, और परिणाम आने में लंबे समय तक नहीं रहे - हालांकि δ की सार्वभौमिकता के पूर्ण और अंतिम प्रमाण के लिए दस साल लग गए।

विज्ञान कहाँ गया?

मिशेल की प्रमुख खोज का क्या हुआ? यह, ज़ाहिर है, प्रसिद्ध हो गया। और इसके सार्वभौमिक गुणों के साथ दोहरीकरण के साथ कैस्केड जल्द ही कई प्रणालियों में पाए गए - तरल पदार्थ, प्रकाशिकी आदि में। लेकिन वे कितने आम थे? क्या द्रव में अशांति की संपूर्ण समस्या को कवर करने के लिए उनका विस्तार किया जा सकता है?

मिशेल और अन्य ने पुनरावृत्ति मानचित्रण के अलावा अन्य प्रणालियों का अध्ययन किया और संबंधित घटनाएँ पाईं। लेकिन उनमें से मिशेल की पहली खोज के रूप में आश्चर्यजनक नहीं थे।

एक मायने में, सेलुलर ऑटोमेटा और सरल कार्यक्रमों के व्यवहार का अध्ययन करने के मेरे प्रयास, 1981 में शुरू हुए, कुछ बड़े सवालों की खोज के उद्देश्य से थे जो मिशेल के काम का नेतृत्व कर सकते थे। हालांकि, हमारे तरीके और परिणाम बहुत अलग थे। मिशेल ने हमेशा ऐसी चीजों के करीब रहने की कोशिश की, जो पारंपरिक गणितीय भौतिक विज्ञानी बदल सकते हैं, और मैं निडर होकर कंप्यूटिंग ब्रह्मांड में चला गया, वहां हुई घटनाओं की खोज की।

मैंने यह समझने की कोशिश की कि मिशेल का काम मेरा किस तरह से संबंधित हो सकता है, और 1981 में सेलुलर ऑटोमेटा पर अपने पहले काम में, मैंने उदाहरण के लिए यह भी कहा कि सेलुलर ऑटोमेटन के विकास में क्रमिक चरणों में काली कोशिकाओं के औसत घनत्व का अनुमान लगभग मानचित्रण के माध्यम से लगाया जा सकता है।

मैंने यह भी नोट किया कि गणितीय रूप से सेलुलर ऑटोमेटन के पूरे विकास को एक पुनरावृत्त मानचित्र के रूप में माना जा सकता है - हालांकि सामान्य वास्तविक संख्याओं के सेट पर नहीं, बल्कि एक कैंटर सेट पर । अपने पहले काम में, मैंने चिकनी मिशेल मैपिंग का एक एनालॉग भी बनाया, हालांकि, वे मेरे लिए जंगली और आंतरायिक थे:



लेकिन, कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैंने कैसे कोशिश की, मुझे मिशेल के काम के साथ कोई स्पष्ट संबंध नहीं मिला। मैं अवधि के दोहरीकरण या शारकोवस्की के आदेश के एनालॉग्स की तलाश में था, लेकिन मुझे कुछ खास नहीं मिला। मेरे कंप्यूटिंग प्लेटफॉर्म के लिए, यहां तक ​​कि संख्याओं के उनके अनंत दृश्यों के साथ वास्तविक संख्याओं के बारे में सोचना अप्राकृतिक था। कई साल बाद, "ए न्यू काइंड ऑफ साइंस" पुस्तक में, मैंने "स्मूथ इटरेटिव मैपिंग" नोट डाला। मैंने उनकी संख्या का क्रम दिखाया और देखा कि कैसे मिचेल की खोज से अनुक्रम की शुरुआत में एक असामान्य नेस्टेड संरचना की उपस्थिति का पता चलता है:

कहानी का अंत

मिशेल के साथ क्या हुआ? कॉर्नेल में चार साल बिताने के बाद, वह न्यूयॉर्क के रॉकफेलर विश्वविद्यालय चले गए, और अगले 30 वर्षों तक लगभग बोहेमियन अस्तित्व का नेतृत्व किया, अपना अधिकांश समय मैनहट्टन में अपर ईस्ट साइड में अपने अपार्टमेंट में बिताया।

लॉस एलामोस में रहते हुए, मिशेल ने कॉर्नेलिया नामक जर्मन वंश की एक महिला से शादी की, जो भौतिक विज्ञानी (और मेरे लंबे समय के दोस्त) डेविड कैंपबेल की बहन थी, जिन्होंने लॉस एलामोस में नॉनलाइनियर स्टडीज के लिए केंद्र की स्थापना की, और फिर बोस्टन विश्वविद्यालय के ट्रैक्टर बन गए। हालांकि, बल्कि जल्दी से, कॉर्नेलिया ने मिशेल को छोड़ दिया, और पीट कारुथर्स के अलावा कोई नहीं। बाद में, पीट, शराब और अन्य समस्याओं से पीड़ित, अपनी पत्नी लुसी के साथ फिर से मिला, लेकिन 1997 में 61 वर्ष की आयु में मृत्यु हो गई।

कॉर्नेल में, मिशेल ने गनीला से मुलाकात की, जो 14 साल की उम्र में, उत्तरी स्वीडन के एक छोटे से शहर से एक पादरी के परिवार से भाग गया, और सबसे पहले सल्वाडोर डाली के साथ एक मॉडल था, और फिर 1966 में एक फैशन मॉडल के रूप में न्यूयॉर्क आया। गुनिला एक पत्रकार थीं, वीडियोटैप्ड थीं, उन्होंने नाटक लिखे और चित्र बनाए। उन्होंने 1986 में मिशेल से शादी की और उनकी शादी 26 साल तक चली, इस दौरान गुनिला ने आलंकारिक कला में एक अच्छा करियर बनाया।

मिशेल द्वारा लिखित नवीनतम काम, 1987 में प्रकाशित हुआ था। उन्होंने विभिन्न सह-लेखकों के साथ कई रचनाएँ भी प्रकाशित कीं, हालाँकि उनमें से एक भी विशेष रूप से उल्लेखनीय नहीं है। उनमें से अधिकांश ने अपने शुरुआती शोध को जारी रखा, या द्रव प्रवाह के समान विभिन्न जटिल घटनाओं के लिए गणितीय भौतिकी के पारंपरिक तरीकों को लागू करने की कोशिश की।

मिचेल को एकेडेमिया के ऊपरी ईक्लों के साथ बातचीत करना पसंद था। उन्होंने सभी प्रकार के पुरस्कार और मान्यता प्राप्त की (नोबेल पुरस्कार को छोड़कर)। लेकिन अंत में उन्होंने खुद को एक बाहरी व्यक्ति माना - एक पुनर्जागरण व्यक्ति जो भौतिकी पर केंद्रित था, लेकिन सभी संस्थानों और प्रथाओं में पूरी तरह से विश्वास नहीं करता था।

1980 के दशक की शुरुआत से, मैंने न्यूयॉर्क और अन्य जगहों पर मिशेल के साथ काफी नियमित रूप से देखा है। उन्होंने प्रतिदिन गणितज्ञ मंच का इस्तेमाल किया, इसकी प्रशंसा की, और अक्सर उन जटिल गणनाओं के बारे में बात की जो उन्होंने इसके साथ कीं। कई गणितीय भौतिकविदों की तरह, मिशेल विशेष कार्यों पर एक विशेषज्ञ था, और अक्सर मेरे साथ अधिक से अधिक विदेशी कार्यों के बारे में बात करता था, जो कि उनकी राय में, हमें उत्पाद में जोड़ना चाहिए।

मिशेल के शैक्षणिक क्षेत्र के बाहर दो प्रमुख शौक थे। 1980 के दशक के मध्य में, युवा कवयित्री, जिसे अब केटी हैमंड कहा जाता है, और जिसे मिशेल कॉर्नेल से जानते थे, न्यूयॉर्क टाइम्स के लिए एक विज्ञापन प्रबंधक थी, और उस परिवार से एक व्यक्ति से शादी की, जिसके पास हैमंड वर्ल्ड वर्ल्ड पब्लिशिंग हाउस था। इसके माध्यम से, मिशेल ने कार्टोग्राफी की पूरी तरह से नई दुनिया में कदम रखा।

मैंने इस विषय पर उनसे कई बार बात की। उन्हें यह गर्व था कि नक्शे बनाते समय विशेष स्थानीय मानचित्रण प्राप्त करने के लिए रीमैन मैपिंग प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाए। उसने मुझे मानचित्रों पर लेबल रखने के लिए एक भौतिकी-आधारित एल्गोरिथ्म का वर्णन किया (हालांकि मैं अभी भी उसे पूरी तरह से समझ नहीं पाया था)। वह हैमंड के एटलस के नए संस्करण (जिसे बाद में उन्होंने "मेरे एटलस" कहा था) की रिहाई से बहुत खुश थे।

1980 के दशक से, मात्रात्मक वित्त में भौतिक विचारों को लागू करने की प्रवृत्ति सक्रिय रूप से विकसित हुई है, और भौतिक विज्ञानी अक्सर वॉल स्ट्रीट विश्लेषक बन जाते हैं। और चूंकि फाइनेंसर लगातार अद्वितीय लाभों की तलाश कर रहे हैं, इसलिए नए तरीकों में हमेशा रुचि है। मुझे अक्सर इसी तरह के सवालों के साथ संपर्क किया गया था - लेकिन जेम्स गेलिक की 1987 की पुस्तक "कैओस" (जिसके बारे में मैंने एक लंबा साक्षात्कार दिया) की सफलता के बाद, लोगों की एक पूरी भीड़ दिखाई दी, जो जानना चाहते थे कि "अराजकता" उन्हें अपने वित्त का प्रबंधन करने में कैसे मदद कर सकती है।

उनमें से एक माइकल गुडकिन था । 1960 के दशक की शुरुआत में कॉलेज में अध्ययन करते हुए, उन्होंने कानून के छात्रों के लिए एक कानून अनुसंधान कंपनी की स्थापना की। कुछ साल बाद, उन्होंने कई अर्थशास्त्रियों को काम पर रखा, जिन्होंने नोबेल पुरस्कार जीता, और स्थापित किया, शायद, कंप्यूटर का उपयोग करके मध्यस्थता व्यापार से निपटने के लिए पहला हेज फंड। गुडकिन अपने पूरे जीवन में एक मोटो था, वह जुआ, यात्रा और बैकगैमौन प्यार करता था, और बहुत पैसा कमाता था। दुर्भाग्यपूर्ण क्षणों में से एक में, वह कुछ नए समाधान की तलाश में था - और अराजकता और मिशेल Feigenbaum के सिद्धांत की खोज की।

उन्होंने कई वर्षों तक विभिन्न भौतिकविदों पर काम किया, और फिर 1995 में उन्होंने एक टीम को इकट्ठा किया और तेजी से विदेशी वित्तीय साधनों के क्षेत्र में भौतिक गणना के तरीकों के उपयोग के व्यवसायीकरण के लिए न्यूमेरिक्स कंपनी की स्थापना की। मिशेल फेगेनबाम कंपनी का चेहरा थे, हालांकि मेरे पुराने दोस्त निगेल गोल्डनफील्ड और उनकी युवा सहकर्मी साशा सोकोल ने पूरी मेहनत की।

शुरुआत से ही, कंपनी के पास गणितीय भौतिकी से संबंधित बहुत सारे काम थे, और मिशेल ने इसमें सक्रिय रूप से भाग लिया। वह इटो के स्टोचस्टिक कैलकुलस के एक महान प्रेमी थे, इस पर व्याख्यान दिया और गर्व किया कि एक हजार गुना स्टोकेस्टिक एकीकरण में तेजी लाने का एक तरीका मिला। हालांकि, कंपनी ने वास्तव में बैंक प्रणालियों में एकीकरण के लिए C ++ में पुस्तकालयों को लिखा था। लंबे समय में मिशेल ऐसा कुछ नहीं करना चाहते थे। कई वर्षों के काम के बाद, कंपनी में उसकी गतिविधि कम हो गई।

मैं 1998 में गुडकिन से मिला, और फिर 14 साल बाद। इसके कुछ समय पहले, उन्होंने एक आत्मकथा लिखी, "द रिस्ट आंसर टू गेट फास्टर: ए कॉन्फिडेंशियल हिस्ट्री ऑफ क्रिएशन ए ट्रिलियन-ट्रेडिंग मशीन," और अचानक मेरे संपर्क में आया, मुझे एक नए अस्पष्ट व्यवसाय में भाग लेने के लिए आमंत्रित किया। मिशेल ने अभी भी माइकल की अच्छी तरह से बात की, हालांकि जब बातचीत अचानक चली गई कि मैंने एक नई कंपनी की स्थापना की और इसके निदेशक बन गए, तो मैंने इनकार कर दिया।

इन सभी वर्षों में, मैंने अक्सर मिशेल के साथ बात की, हालांकि हमारे संपर्क संग्रह में उतने संरक्षित नहीं थे, जितने वे हो सकते थे, क्योंकि उन्हें मेल द्वारा आवाज से ज्यादा बात करना पसंद था। उन्होंने मुझे एक बार लिखा था: “मुझे ईमेल द्वारा मेल करना पसंद नहीं है। मैं अभी भी आवाज सुनना और व्यक्ति के साथ बातचीत करना पसंद करता हूं। ”

लेकिन मेरे संग्रह में कुछ अंश संरक्षित थे। उदाहरण के लिए, 2004 में मिशेल के 60 वें जन्मदिन के संबंध में पत्राचार, जो मुझे नहीं मिला, क्योंकि यह मेरे बच्चों में से एक के जन्मदिन के साथ था। इसके बजाय, मैंने Feigenbaum-Zvitanovich Crystal के उत्पादन का आदेश दिया, जो जटिल विमान पर फ़ंक्शन जी (z) के प्रतिबंध को दर्शाती तीन आयामी कांच की मूर्तिकला है।

कार्यात्मक समीकरण को हल करना थोड़ा मुश्किल था, और लेजर उत्कीर्णन ने पहले कांच के ब्लॉक के एक जोड़े को विभाजित किया, लेकिन अंत में इस वस्तु को बनाया गया और भेजा गया - और कई वर्षों बाद मैं मिशेल के अपार्टमेंट में एक शेल्फ पर इसे देखकर प्रसन्न हुआ:



कभी-कभी, मेरे अभिलेखागार में, मिशेल के उल्लेख अन्य लोगों द्वारा, आमतौर पर प्राग्रैग द्वारा पॉप होते हैं। 2007 में, प्राग्रैग ने मुझे लिखा (हास्य की अपनी विशिष्ट भावना के साथ):

अन्य समाचारों के लिए: बस मिशेल से मुलाकात की, वह ओडिसी से मिलता है।

मुझे महंगी एस्कॉर्ट सेवा से मतलब नहीं है, लेकिन होमर की ओडिसी। उन्होंने 26,000 साल की छूट के साथ एक समारोह के रूप में सितारों के स्थान की गणना की। वह कहते हैं कि हिप्पार्कस ने एक बार यह सब गणना की थी, लेकिन कैथोलिक चर्च ने उनकी गोलियों की सभी प्रतियों को नष्ट करने में कामयाबी हासिल की। ​​"

एक पुनर्जागरण व्यक्ति के रूप में अपनी छवि को सही ठहराते हुए, मिशेल हमेशा इतिहास में गंभीरता से रुचि रखते थे। 2013 में, लाइबनिज पर मेरे लेख के जवाब में, मिशेल ने कहा कि वह किशोरावस्था से ही लिबनिज प्रेमी था, और समझाया गया:

"न्यूटन के हेयरोग्राफर , वोल्टेयर, के पास मोनोडोलॉजी के सार के बारे में कोई विचार नहीं था, इसलिए मैं केवल" सभी संभव दुनियाओं में सर्वश्रेष्ठ "नकली हो सकता था। एक बार मैंने इसे 2 ^एन की सार्वभौमिकता को समझाने के मौखिक साधन के रूप में प्रकाशित किया था।

लीबनिज़ की दूसरी रचनाएँ, जब वह 19 साल की थीं, "ऑन टैंगेंट इनवर्जन मेथड्स", या ऐसा कुछ, जिसमें साधारण अंतर समीकरणों को हल करने के लिए आइसोसलाइन विधि का आविष्कार शामिल था। लीबनिज और न्यूटन अंतर समीकरणों के साथ शुरू करते हैं, पहले से ही अंतर संकेतन प्राप्त करते हैं। एक बहुत ही दिलचस्प कहानी। "

हालांकि, गणितीय भौतिकी हमेशा मिशेल के बौद्धिक जीवन का एक गढ़ रहा है, हालांकि अपने शैक्षणिक कार्य के हिस्से की तुलना में व्यक्तिगत स्तर पर अधिक। किसी समय, उनकी देवी ने, बहुत युवा होने के नाते, उनसे पूछा कि चंद्रमा, क्षितिज के करीब होने के कारण बड़ा क्यों लगता है। उसने उसे एक उत्तर (एक जर्मन राजकुमारी के लिए यूलर के पत्रों की तरह थोड़ा) लिखा था, और फिर महसूस किया कि वह उत्तर के बारे में सुनिश्चित नहीं था, और ऑप्टिक्स और इमेजिंग में कई वर्षों के शोध पर लगा था। एक बार MIT में, वह जेरी लेटविन की पुस्तक "व्हाट द फ्रॉग्स आई सेज़ टू द फ्रॉग्स ब्रेन" से प्रेरित होकर रेटिना के काम में दिलचस्पी लेने लगा।

उन्होंने मुझे इस बारे में बताया, यह कहते हुए कि छवि निर्माण का सामान्य सिद्धांत गलत है, और उनके पास एक बेहतर सिद्धांत है। उन्होंने हमेशा एक उदाहरण के रूप में चंद्रमा के आकार का उपयोग किया, लेकिन मुझे यकीन नहीं था कि यह समस्या प्रकाशिकी या धारणा से संबंधित थी। उन्होंने इस विषय से संबंधित कार्यों को कभी प्रकाशित नहीं किया, हालांकि कुछ भाग्य के साथ उनकी पांडुलिपियों (अफवाहों के अनुसार, वह एक किताब तैयार कर रहे थे), परिणामस्वरूप वे प्रकाश देखेंगे - अगर कोई और उन्हें समझ सकता है।

जब मैंने मिशेल और गनीला का दौरा किया, तो उनके अपार्टमेंटों ने एक बोहेमियन छाप छोड़ी - हर जगह किताबें, कागज, पेंटिंग और विभिन्न समान चीजें थीं। और एक पक्षी था। यह एक कॉकटू था, और यह जोर से था। मुझे नहीं पता कि इसे किसने और क्यों लाया। लेकिन वह बहुत परेशान था। शोर के बारे में पड़ोसियों की शिकायत के कारण मिशेल और गनीला को अपार्टमेंट से बाहर निकाल दिया गया और उन्होंने अंततः बर्ड को डॉक्टरों के पास भेज दिया। जैसा कि मुझे बाद में पता चला, अप्रत्याशित रूप से पालतू जानवरों के लिए वीडियो गेम ("हमारे ग्रह पर किसी और का दिमाग") के विकास की योजना की समीक्षा नहीं की गई है, कॉकटू सामाजिक प्राणी हैं, और ऐसे पालतू जानवरों को निश्चित रूप से "कॉकटू के लिए ट्विटर" की आवश्यकता होती है।



परिणामस्वरूप, गुनिला ने परिवार छोड़ दिया, और, अफवाहों के अनुसार, यह बर्ड के कारण था।

आखिरी बार हम कुछ साल पहले मिशेल के साथ उस व्यक्ति से मिले थे। मेरा बेटा क्रिस्टोफर और मैं उससे मिलने आए - और वह मिशेल की तरह उत्साहित था, उसकी आँखें चमक उठीं, उसने छवि बनाने के गणितीय भौतिकी के विषय पर जल्दी और थोड़ा रहस्यमय तरीके से बात की। "पक्षियों की आँखें ओवररेटेड हैं," उन्होंने अगले कमरे से अपने कॉकटू की आवाज़ से कहा। उनका केंद्रीय फोसा बहुत छोटा है। उनकी आंखें दूरबीन की तरह काम करती हैं। ”

"मछली की आंखें सबसे अच्छी हैं," उन्होंने कहा, यह समझाते हुए कि सभी आंखें पानी के नीचे विकास के परिणामस्वरूप दिखाई दीं - और उनकी वास्तुकला तब से बहुत अधिक नहीं बदली है। "मछली हमारे सामने, पूरे क्षेत्र को ध्यान में रखते हैं," उन्होंने कहा। यह आकर्षक, विलक्षण और बहुत ही मिशेल था।

वर्षों से, हमने समय-समय पर फोन पर बात की, आमतौर पर देर शाम को। कुछ महीने पहले मैं प्रेड्रैज से मिला, और उसे बताया कि मैं हैरान हूं कि मैंने लंबे समय तक मिशेल से बात नहीं की थी। उन्होंने समझाया कि मिशेल बीमार था, लेकिन उसने किसी को इसके बारे में नहीं बताया। कुछ हफ़्ते पहले, आधी रात के आसपास, प्रेड्रैग ने मुझे "मिशेल मर चुका है," विषय के साथ एक ईमेल भेजा था, जिसमें बताया गया था कि मिशेल की मृत्यु लगभग 8 बजे हुई थी और "मिशेल" को न्यूयॉर्क में एक विशिष्ट तस्वीर पत्र के साथ संलग्न किया था।



वर्षों से, मैंने अपने लिए एक निश्चित अनुष्ठान विकसित किया है - जब मैं किसी मित्र की मृत्यु के बारे में सुनता हूं, तो मैं तुरंत अपने अभिलेखागार में उसकी तलाश शुरू कर देता हूं। और मुझे अचानक पता चला कि कुछ साल पहले मिशेल ने मेरे वॉइसमेल को फोन किया था, जिसके अस्तित्व पर मुझे संदेह नहीं था। इसलिए अब मैं मिशेल को आखिरी शब्द कहने का मौका दे सकता हूं ।

और, निश्चित रूप से, अंतिम संख्या लिखें: 4.6692016091029906767185320382 ...