नियंत्रण समस्याओं में, ऐसे मामले होते हैं जब एक नियंत्रित वस्तु की गति का कानून ज्ञात होता है और कुछ विशेषताओं के साथ एक नियामक विकसित करना आवश्यक होता है। कभी-कभी कार्य इस तथ्य से जटिल होता है कि नियंत्रित वस्तु का वर्णन करने वाले समीकरण गैर-अस्पष्ट हो जाते हैं, जो नियंत्रक के निर्माण को जटिल बनाता है। इस संबंध में, नियंत्रण विधि की गैर-संरचनात्मक संरचनात्मक विशेषताओं को ध्यान में रखने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं, जिनमें से एक उलटा डायनामिक्स समस्या विधि है।

परिचय

डायनेमिक्स के व्युत्क्रम समस्या की विधि स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होती है जब आप एक डायनेमिक सिस्टम को दूसरे में "कन्वर्ट" करने की कोशिश करते हैं, जब डेवलपर के पास दो समीकरण होते हैं, जिनमें से एक मौजूदा नियंत्रित प्रणाली का वर्णन करता है, और दूसरा उस बहुत ही नियंत्रित प्रणाली के गति के कानून को व्यक्त करता है, इसे कुछ उपयोगी में बदल देता है। कानून अलग दिख सकता है, लेकिन मुख्य बात यह है कि यह शारीरिक रूप से व्यवहार्य हो। यह जनरेटर के उत्पादन या स्वचालित आवृत्ति नियंत्रण प्रणाली, टरबाइन के रोटेशन की गति या प्रिंटर के पालने की गति के कानून में साइनसॉइडल वोल्टेज परिवर्तन का कानून हो सकता है, या यहां तक ​​कि यह पेंसिल लीड का एक्स, वाई निर्देशांक भी हो सकता है, जो कार्ड पर हस्ताक्षर करता है।

हालांकि, आपके नियंत्रण कानून को "लागू करना" संभव है जो किसी वस्तु की भौतिक वास्तविकता और नियंत्रणीयता के ढांचे में फिट बैठता है और यह अक्सर विकास का सबसे कठिन हिस्सा नहीं होता है। लेकिन तथ्य यह है कि विचाराधीन विधि मेरे विचार में वस्तु की अशुद्धता और बहुआयामीता को ध्यान में रखना काफी आसान बनाती है, इससे आकर्षण बढ़ जाता है। वैसे, यहां आप प्रतिक्रिया को गैर-रैखिकता क्षतिपूर्ति विधि [1] के साथ जोड़ सकते हैं।

यह ज्ञात है कि कुछ मामलों में रेखीय प्रणाली को नियंत्रित करने पर भी गैर-रेखीय नियंत्रक बनते हैं जबकि रेखीय नियंत्रक [2] की तुलना में बेहतर नियंत्रण विशेषताएँ देते हैं। एक उदाहरण एक नियामक है जो एक कमांड को वर्कआउट करने की त्रुटि में वृद्धि के साथ एक सिस्टम की भिगोना गुणांक को कम करता है और त्रुटि के कम होने पर इसे बढ़ाता है, जिससे क्षणिक प्रक्रिया की गुणवत्ता में सुधार होता है।

सामान्यतया, गैर-असमानताओं को ध्यान में रखने की आवश्यकता से जुड़े नियंत्रण के विषय ने लंबे समय से वैज्ञानिकों और इंजीनियरों का ध्यान आकर्षित किया है, क्योंकि अधिकांश वास्तविक वस्तुओं को फिर भी गैर-समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है। आमतौर पर प्रौद्योगिकी में पाए जाने वाले गैर-रैखिकता के कुछ उदाहरण हैं:


समस्या का सामान्य कथन इस प्रकार है। एक नियंत्रण वस्तु हो जिसे nth- क्रम विभेदक समीकरण के रूप में वर्णित किया जा सके

$$

$$F ({{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ..., \ x, \ {{\ xi}}, t) = u , \ Quad \ quad \ quad (१)$$

जिसमें कोई गड़बड़ी हो $$$\ {{\ xi}}$ (यह मापने वाले उपकरण का शोर, बाहरी यादृच्छिक प्रभाव, कंपन आदि) और एक नियंत्रण संकेत हो सकता है $$$यू$ (प्रौद्योगिकी में, नियंत्रण अक्सर वोल्टेज का उपयोग करके किया जाता है)। इस मामले में, धारणा की सादगी के लिए, हम एक आयामी नियंत्रण वस्तु पर विचार करते हैं, जिसमें एक गड़बड़ी शामिल है। सामान्य मामले में, ये मात्राएं वेक्टर हैं। यह समझा जाता है कि चरण चर $$${{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x$ जो नियंत्रण वस्तु, गड़बड़ी की स्थिति का वर्णन करता है $$$\ {{\ xi}}$ और प्रबंधन $$$यू$ समय पर निर्भर करते हैं, लेकिन यह तथ्य धारणा की सादगी के लिए प्रदर्शित नहीं होता है। अभिव्यक्ति (1) में गैर-रेखीय शामिल हो सकते हैं, साथ ही गैर-स्थिर भी हो सकते हैं, अर्थात्। जिनके पैरामीटर समय के साथ स्पष्ट रूप से बदलते हैं। एक अस्थिर समीकरण का एक उदाहरण एक रिएक्टर में यूरेनियम नाभिक की संख्या हो सकता है, जो क्षय प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप लगातार कम हो रहा है, जो मध्यस्थ छड़ के इष्टतम नियंत्रण कानून में निरंतर परिवर्तन की ओर जाता है।

नियंत्रक का निर्माण इस तरह किया जाता है कि पहले से ज्ञात नियंत्रण कानून को काम करने के लिए, जिसे समीकरण के क्रम से कम नहीं के अंतर के समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है (1), जो नियंत्रण वस्तु का वर्णन करता है:

$$

$$f ({{x} ^ {(m)}), \ {{x} ^ {(m-1)}}, \ ..., \ x, \ \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, \ t) = 0, \ \ \ \ \ m \ ge n, \ quad \ quad (2)$$

जहाँ $$$\ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}$ - नियंत्रण संकेत और एक राशि में इसके डेरिवेटिव जो आपको आवश्यक नियंत्रण कानून का पूरी तरह से वर्णन करने की अनुमति देता है। तो, स्थिरीकरण प्रणाली के लिए, नियंत्रण के डेरिवेटिव को मापने के लिए आवश्यक नहीं है। एक रैंप इनपुट सिग्नल के लिए ट्रैकिंग सिस्टम के लिए, पहले व्युत्पन्न को मापने के लिए पर्याप्त है। द्विघात रूप से भिन्न सिग्नल को ट्रैक करने के लिए, आपको एक दूसरा व्युत्पन्न जोड़ना होगा, और इसी तरह। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यह संकेत सिग्नल के विपरीत, नियामक के इनपुट को खिलाया जाता है $$$यू$ नियामक से नियंत्रण वस्तु में प्रवेश करना। यह समीकरण गैर-रैखिक के साथ-साथ गैर-स्थिर भी हो सकता है।

वांछित नियंत्रण संकेत निर्धारित करने के लिए $$$यू$ हम (2) उच्चतम व्युत्पन्न से व्यक्त करते हैं

$$

$${{x} ^ {(n)}} = {{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ ।। । \ _, \ x, \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t)$$

और इसके बजाय परिणामी अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें $$$x ^ {(n)}$ समीकरण में (1), नियंत्रण व्यक्त करते समय:

$$$$ प्रदर्शन $$ \ start {मैट्रिक्स} {u = F \ left ({f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}} , \ ... ..., \ x, \ psi (t), \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{psi} ^ {(k)}}, t) , \\ \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad \ quad {{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ ... \, \ x, \ { {[xi}}, t \ right)।} & \ quad \ quad \ quad \ quad (3) \ end {मैट्रिक्स} $ $ $ $ प्रदर्शित करें

अभिव्यक्ति (3) से, यह स्पष्ट हो जाता है कि आवश्यक नियंत्रण संकेत बनाने के लिए, बाहरी गड़बड़ी (यदि उनका प्रभाव महत्वपूर्ण है) को नियंत्रित मात्रा के रूप में मापना आवश्यक है। $$$x$ , और उसके सभी डेरिवेटिव ऑर्डर करने के लिए $$$n-1$ समावेशी, जो कुछ कठिनाइयों का कारण हो सकता है। सबसे पहले, उच्चतर माप सीधे माप के लिए उपलब्ध नहीं हो सकता है, जैसा कि हम त्वरण के व्युत्पन्न कहते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमें भेदभाव, प्रोग्रामेटिक या सर्किट्री के संचालन का सहारा लेना होगा। और, जैसा कि आप जानते हैं, वे शोर में वृद्धि के कारण इससे बचने की कोशिश करते हैं। दूसरे, माप में अनिवार्य रूप से शोर होता है, और यह फ़िल्टरिंग का सहारा लेने के लिए मजबूर करता है। कोई भी फ़िल्टर एक गतिशील या दूसरे शब्दों में, एक जड़त्वीय तत्व है, जिसका अर्थ है समीकरण के साथ एक व्युत्पन्न की उपस्थिति। नतीजतन, सभी फिल्टर मीटरों का वर्णन समीकरणों के आदेशों के योग के बराबर सामान्य मामले में पूरे नियंत्रण प्रणाली का क्रम संख्या के बराबर बढ़ जाएगा। यही है, अगर हम एक दूसरे-ऑर्डर ऑब्जेक्ट को नियंत्रित करते हैं और आउटपुट माप और उसके व्युत्पन्न को मापने के लिए प्रत्येक माप चैनल (यानी केवल दो सेकंड-ऑर्डर फ़िल्टर) में दूसरे-ऑर्डर फ़िल्टर का उपयोग करते हैं, तो नियंत्रण प्रणाली का क्रम चार से बढ़ जाएगा। बेशक, यदि फ़िल्टर समय स्थिरांक पर्याप्त रूप से छोटा है, तो चौरसाई तत्वों के प्रभाव को उपेक्षित किया जा सकता है। लेकिन किसी भी स्थिति में, वे तथाकथित छोटे गतिशील मापदंडों को सिस्टम में लाएंगे और उनका संयुक्त योगदान पूरे [2] के रूप में नियंत्रण प्रणाली की स्थिरता को प्रभावित कर सकता है। यह भी समझा जाना चाहिए कि यह विधि आपको केवल संक्रमण प्रक्रिया में नियंत्रण निर्दिष्ट करने की अनुमति देती है और नियंत्रण गुणवत्ता के किसी भी मानदंड द्वारा अनुकूलन से जुड़ी नहीं है।

नियंत्रक और नियंत्रण वस्तु के संबंध को निम्नलिखित योजना द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

वैन डेर पोल ओस्सिलर कंट्रोल

स्व-दोलन प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए एक नियंत्रक संश्लेषण का एक उदाहरण पर विचार करें। यह एक काल्पनिक उदाहरण है जो विधि के सार को अच्छी तरह से समझाता है। मान लीजिए कि आप एक ऐसी प्रणाली को नियंत्रित करना चाहते हैं जिसका समीकरण निम्नानुसार है:

$$

$$\ ddot {x} - \ Gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ dot {x} + {{\ _ omega} ^ {2}} x = u। \ quad \ quad (4)$$

प्रबंधन का नियम इस प्रकार होना चाहिए:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi, \ quad \ quad (5)$$

जहाँ $$$\ psi$ - हमारा ड्राइविंग कंट्रोल सिग्नल (सेटपॉइंट)। यही है, वास्तव में, हम अपने नॉनलाइनियर जनरेटर को एक रेखीय दोलन लिंक में "चालू" करना चाहते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि समान [2] में यह प्रणाली एक स्थिरीकरण प्रणाली है, आउटपुट के बाद से $$$x$ इनपुट सिग्नल को दोहराना चाहता है $$$\ psi$ , वह है, सिस्टम आउटपुट को स्थिर स्तर पर स्थिर करता है $$$\ psi$ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है

$$

$$x \ rightarrow \ psi।$$

यह महत्वपूर्ण है कि इनपुट संकेत $$$\ psi$ निरंतर या धीरे-धीरे बदल रहा था (इतना धीरे-धीरे कि अंतराल त्रुटि $$$x$ से $$$\ psi$ मूल्य या टुकड़ा-टुकड़ा निरंतर कार्य के साथ सटीकता के लिए हमारी आवश्यकताओं में फिट), क्योंकि पूरे सिस्टम में 0-ऑर्डर एस्टैटिज़्म है (जो स्थिर है) और किसी भी लगातार बदलते सेटिंग सिग्नल के लिए $$$\ psi$ एक गतिशील त्रुटि निश्चित रूप से सिस्टम आउटपुट पर दिखाई देगी, जो आउटपुट मूल्य में एक निश्चित निरंतर मूल्य जोड़ने की तरह दिखाई देगी जो कि नियंत्रण कार्रवाई के परिवर्तन की दर पर निर्भर करती है। भविष्य में इस सुविधा को समाप्त कर दिया जाएगा।

तो, हम समीकरण से उच्चतम व्युत्पन्न व्यक्त करते हैं (5):

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{T} ^ {2}}} - \ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T} - \ frac {x} {{{T } ^ {2}}}$$

और इसे (4) में व्यक्त करें $$$यू$ :

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ _ omega} ^ {2}} - \ frac {1} {{{T} ^ {2}} } \ right) x- \ बाएँ (\ frac {2 \ xi} {T} + \ Gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ right) \ dot {x}। \ quad \ quad (6)$$

यह नियंत्रण संकेत है, जिसे नियामक द्वारा वांछित नियंत्रण संकेत से बनाया जाएगा $$$\ psi$ । से (6) भी आउटपुट मात्रा को मापने की आवश्यकता का अनुसरण करता है $$$x$ और इसका पहला व्युत्पन्न है।

Van der Pol Oscillations with Parameters $$$\ गामा = ०.६, \ omega = ३$ इस तरह देखो:


हमें एक "स्टेप" टाइप सिग्नल दें:


और हम चाहते हैं कि प्रणाली इसे दोहराए।

हम इसे थरथरानवाला के इनपुट पर फ़ीड करते हैं और प्रतिक्रिया देखते हैं:


इनपुट एकल सिग्नल की कार्रवाई के तहत, केवल एक छोटे से निरंतर पूर्वाग्रह को थरथरानवाला के दोलनों में जोड़ा गया था।

मान लीजिए कि अब हमें एक मास्टर सिग्नल के लिए इस तरह के एक थरथरानवाला प्रतिक्रिया प्राप्त करने की आवश्यकता है जो एक समय स्थिर के साथ कंपन लिंक (5) की प्रतिक्रिया के अनुरूप होगा। $$$T = 0.125$ और भिगोना कारक $$$\ xi = 0.8$ । प्रतिक्रिया $$$x_ {mp} (टी)$ प्रति इकाई चरण में इस तरह के एक दोलन संबंधी लिंक नीचे प्रस्तुत किए गए हैं:


अब दोलनकर्ता को नियंत्रण संकेत देते हैं $$$यू$ अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित (6):


यह देखा जा सकता है कि थरथरानवाला आवश्यक कानून के अनुसार व्यवहार करता है। चलो नियंत्रण संकेत को देखें $$$यू$ :


आंकड़ा संक्रमण की प्रक्रिया के समय एक महत्वपूर्ण वृद्धि दर्शाता है। एक वास्तविक प्रणाली में, सबसे अधिक संभावना है, या तो सिस्टम संतृप्ति (विनाश) में प्रवेश करेगा, या इसे रोकने के लिए, हमें इनपुट सिग्नल को सीमित करना होगा। हम इसे नियंत्रण कार्रवाई के आयाम को सीमित करके खाते में लेते हैं $$$यू$ स्तर पर $$$\ pm$ 15. नियंत्रण संकेत अब इस तरह दिखता है:


और थरथरानवाला उत्पादन इस तरह है:


सिग्नल सीमा का परिणाम एक बड़ी क्षणिक त्रुटि है, जो सिस्टम के वांछित गुणों के आधार पर काफी महत्वपूर्ण हो सकता है। आवश्यक समय निरंतर में वृद्धि के साथ, क्षणिक उत्सर्जन में कमी आती है। आपको सावधान रहने की आवश्यकता है कि स्थिर स्थिति में अधिकतम नियंत्रण संकेत (जो इस ग्राफ पर छठे सेकंड से शुरू होता है) सीमित नहीं है, अन्यथा एक अंतहीन संक्रमण प्रक्रिया होगी और सिस्टम कार्य को पूरा नहीं करेगा। नियामक लाभ, अर्थात् नियंत्रण संकेत अनुपात $$$यू$ रेगुलेटर आउटपुट पर $$$\ psi$ नियंत्रित प्रणाली के मापदंडों द्वारा निर्धारित, अर्थात् कारक $$$\ omega ^ 2$ ।

अब हम इस तरह के एक रैखिक परिवर्तन संकेत के साथ थरथरानवाला फ़ीड:


कंपन लिंक की प्रतिक्रिया:


और थरथरानवाला:


यह देखा जाता है कि एक निरंतर अंतराल दिखाई दिया है - एक गतिशील त्रुटि, क्योंकि सिस्टम केवल एक निरंतर संदर्भ संकेत को ट्रैक करने के लिए डिज़ाइन किया गया है $$$\ psi$ । रैखिक रूप से भिन्न होने वाले सिग्नल को ट्रैक करने में सक्षम होने के लिए, इसके परिवर्तन की दर का मूल्यांकन करना और इसे नियंत्रक में ध्यान में रखना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम आवश्यक नियंत्रण कानून की रचना इस प्रकार करते हैं:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ डेल्टा} + \ डेल्टा = 0, \ quad \ quad (7)$$

जहाँ $$$\ डेल्टा = \ psi-x$ - ऑसिलेटर द्वारा संदर्भ सिग्नल को ट्रैक करने में त्रुटि।
हम उच्चतम व्युत्पन्न (7) से भी व्यक्त करते हैं, इसे नियंत्रण वस्तु (4) के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और नियंत्रण रेखा प्राप्त करते हैं:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \ dot {\ psi} + \ left ({{\ _ omega} ^ {2}} } - \ frac {1} {{{T} ^ {2}}} दाहिने) x- \ बाएँ (\ frac {2 \ xi} {T} + \ Gamma (1 - {{x} ^ {2}} }) \ right) \ dot {x}। \ quad \ quad (8)$$

अभिव्यक्ति (8) के अनुरूप नियामक की नई संरचना में, सेट क्रिया के परिवर्तन की दर $$$\ _ {\ psi}$ । हम उस प्रणाली के आउटपुट को देखते हैं जब इनपुट में एक रेखीय रूप से भिन्न सेटपॉइंट लगाया जाता है:


थरथरानवाला सेट सिग्नल को ट्रैक करता है $$$\ psi$ ।

लेकिन यह पूरी तरह से सिंथेटिक उदाहरण है। हकीकत में, एक ऐसी प्रणाली होगी जिसकी संरचना शायद पर्याप्त रूप से सटीक रूप से पहचानी नहीं गई है - इस बार। हम एक निश्चित त्रुटि के साथ सिस्टम पैरामीटर भी निर्धारित करेंगे - ये दो हैं। नियंत्रण में चरण चर शामिल हैं $$$x, \ dot {x}$ कि किसी तरह के शोर के साथ तीन मापा जाना होगा। और सिस्टम के पैरामीटर समय के साथ तैर सकते हैं, अर्थात, समय की पर्याप्त लंबी अवधि में एक स्थिर प्रणाली गैर-स्थिरता दिखा सकती है। हालाँकि यह कहना अधिक सही है - काफी कम समय के अंतराल पर, एक गैर-स्थिर प्रणाली स्थिर लग सकती है। इस उदाहरण में, हम मानते हैं कि सिस्टम को पर्याप्त सटीकता के साथ पहचाना जाता है और समय के साथ इसका परिवर्तन बहुत ही महत्वहीन है। फिर, स्पष्टता के लिए, हम नियंत्रक के लिए अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं (6) निम्नानुसार है:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ _ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ बाएँ (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ _ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}}, \ quad \ quad (9)$$

जहाँ $$$\ टोपी {x}, \ टोपी {\ _ {x}}$ - नियंत्रित मूल्य और इसके व्युत्पन्न मापा जाता है; $$${\ _ ओमेगा} _ {\ text {आईडी}}, {\ gamma} _ {\ text {आईडी} =$ - क्रमशः प्राकृतिक आवृत्ति और गैर-रेखीय क्षीणन गुणांक की पहचान की।

सेटिंग से ऑसिलेटर मापदंडों की पहचान में 10% त्रुटि जोड़ें $$$\ Gamma_ {id} = 0.66, \ omega_ {id} = 3.3$ । आइए देखें परिणाम:


यह उस आंकड़े से देखा जा सकता है जो एक स्थिर त्रुटि दिखाई दी, जो पहचान त्रुटि में वृद्धि के साथ बढ़ती है $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ और स्थिर अवस्था में त्रुटि से स्वतंत्र है $$$\ डेल्टा \ गामा = \ गामा- \ गामा_ {आईडी}$ । लेकिन उत्तरार्द्ध आदर्श थरथानेवाला लिंक के लिए उस से थरथरानवाला क्षणिक के विचलन को प्रभावित करता है। आप पीआईडी ​​नियंत्रकों ( हैबर और नहीं हैब ) के डिजाइन के समान करने का प्रयास कर सकते हैं - नियंत्रण सिग्नल में त्रुटि का अभिन्न अंग जोड़ें ( एक या दो बार अभिन्न संतृप्ति के बारे में भूलकर)। लेकिन अभी के लिए, इस प्रश्न को छोड़ दें और अभिव्यक्ति (9) पर विचार करें, जहां यह देखा जा सकता है कि प्राकृतिक आवृत्ति कम है $$$\ _ ओमेगा$ आवश्यक समय स्थिर की तुलना में $$$\ frac {1} {T}$ उसी की पहचान त्रुटि का प्रभाव जितना छोटा होता है $$$\ frac {1} {T}$ । को कम $$$T$ 0.125 से 0.05 तक। स्थैतिक त्रुटि भी कम हुई:


अब नियंत्रक की त्रुटि के अभिन्न जोड़कर स्थिर त्रुटि की भरपाई करने का प्रयास करते हैं $$$\ डेल्टा$ (पीआई नियंत्रक के रूप में)। अभिव्यक्ति (9) में बदल जाएगा

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ _ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ right) \ hat {x} - \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ _ टोपी {x}}} ^ {2}}) \ सही) \ टोपी {\ _ {{}}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {(\ psi-x) dt}, \ Quad \ quad (10)$$

जहाँ $$$k_ {int}$ - अभिन्न घटक का गुणांक; $$$t_1$ - वर्तमान समय।

यहां अभिन्न औपचारिक रूप से एक विशिष्ट एल्गोरिथ्म के गणितीय विवरण के बजाय सामान्य विचार की व्याख्या करते हुए लिखा गया है, क्योंकि एक वास्तविक नियंत्रक में संचित त्रुटि को सीमित करने के लिए उपाय करना आवश्यक है, अन्यथा क्षणिक के साथ समस्याएं हो सकती हैं। आइए अभिव्यक्ति (10) के अनुरूप परिणामी नियामक की कार्रवाई के तहत सिस्टम की प्रतिक्रिया पर एक नज़र डालें:


यह दर्शाता है कि स्थैतिक त्रुटि समय के साथ कम हो जाती है, लेकिन क्षणिक प्रक्रिया में देरी होती है। पीआईडी ​​नियंत्रक के साथ समानता से, आप आनुपातिक और विभेदित घटकों को जोड़ने की कोशिश कर सकते हैं। परिणाम इस प्रकार था (गुणांक सावधानी से नहीं चुने गए थे):


स्वाभाविक रूप से, अभिन्न और विभेदक घटकों का जोड़ अब उलटा डायनामिक्स समस्या पद्धति का हिस्सा नहीं है, लेकिन क्षणिक प्रक्रिया के अनुकूलन के लिए एक निश्चित विधि को लागू करता है।

आइए हम चर के शोर माप के प्रभाव का विश्लेषण करें $$$\ टोपी {x}, \ टोपी {\ _ {x}}$ । फिर से, हम सिस्टम इनपुट के लिए एक कदम फ़ीड करते हैं और किसी भी शोर की अनुपस्थिति में आउटपुट को देखते हैं (अभी भी वही 10% त्रुटि त्रुटि है:


अब माप में जोड़ें $$$\ टोपी {x}, \ टोपी {\ _ {x}}$ सफेद गाऊसी शून्य अपेक्षा और समान भिन्नता के साथ शोर करती है $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \ dot {x} ^ 2 = 0.01$ समय स्थिरांक के साथ एपेरियोडिक लिंक से गुजरा $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0.01$ कि एक मापने सेंसर + कम पास फिल्टर अनुकरण। परिणामस्वरूप शोर कार्यान्वयन में से एक:


अब सिस्टम आउटपुट भी शोर करने लगा:


एक शोर नियंत्रण संकेत के परिणामस्वरूप:


कार्य को पूरा करने में त्रुटि पर एक नज़र डालें:


आइए संवेदकों के समय स्थिरांक को बढ़ाने का प्रयास करें $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0.04$ और सिस्टम आउटपुट पर फिर से देखें:


महत्वपूर्ण उतार-चढ़ाव दिखाई दिए - छोटे गतिशील मापदंडों [2] के लिए बेहिसाब उन लोगों की कार्रवाई का परिणाम जो सेंसर (उनकी जड़ता) का वर्णन करते हैं। ये गतिशील पैरामीटर शोर फ़िल्टरिंग को मुश्किल बनाते हैं, "बड़े" समय स्थिरांक के साथ सेंसर का वर्णन करने के लिए मजबूर करते हैं, जो आम तौर पर बोल रहे हैं, हमेशा सकारात्मक परिणाम नहीं दे सकते हैं।

नॉनक्लियर विस्कोस घर्षण को ध्यान में रखते हुए एक डीसी मोटर का नियंत्रण

उलटा डायनामिक्स समस्या पद्धति को लागू करने का यह अधिक वास्तविक मामला है। स्थायी मैग्नेट (खिलौने से चीनी मोटर्स) से उत्तेजना के साथ एक डीसी कलेक्टर मोटर के नियंत्रण के संगठन पर विचार करें। सिद्धांत रूप में, ऐसे इंजनों को नियंत्रित करने का विषय अच्छी तरह से कवर किया गया है और किसी विशेष कठिनाइयों का कारण नहीं है। इंजन डायनेमिक्स समीकरण में गैर-रैखिकता की भरपाई के लिए उलटा डायनामिक्स समस्या विधि का उपयोग और बड़े द्वारा किया जाएगा। हम मानते हैं कि इंजन को रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन शाफ्ट के नॉनलाइनियर चिपचिपा घर्षण का एक महत्वपूर्ण प्रभाव है, इसकी घूर्णन गति के वर्ग के लिए आनुपातिक है। विद्युत तंत्र का समीकरण इस प्रकार है:

$$

$$\ _ {मैट्रिक्स} \ _ \ _ ओमेगा} = \ frac {1} {जे} \ लेफ्ट (k_t \ Phi I - B \ omega - D \ omega ^ 2 - M_ {l} \ right) \\ \ dot {I} = \ frac {1} {L} \ left (U - k_e \ omega - RI \ right) \\ \ end {मैट्रिक्स}, \ quad \ quad (11)$$

जहाँ $$$\ _ ओमेगा$ - शाफ्ट के रोटेशन के कोणीय वेग; $$$जे$ - पूरे घूर्णन प्रणाली की जड़ता का क्षण (संलग्न भार के साथ लंगर); $$$k_t$ - एक मशीन स्थिर, एक विशिष्ट इंजन डिजाइन के लिए परिभाषित, चुंबकीय प्रवाह और शाफ्ट रोटेशन की गति से संबंधित; $$ पी एच आई - चुंबकीय प्रवाह, जिसे मोटे तौर पर ऑपरेटिंग धाराओं की सीमा में एक विशिष्ट मोटर डिजाइन के लिए स्थिर माना जा सकता है (लेकिन उच्च धाराओं के मामले में गैर-रैखिक रूप से घुमावदार चालू पर निर्भर करता है);$\ Phi$$$मैं - आर्मेचर वाइंडिंग के माध्यम से वर्तमान;$I$$$$ब$ - रैखिक चिपचिपा घर्षण का गुणांक; $$$डी$ - nonlinear चिपचिपा घर्षण के गुणांक; $$$M_l$ - लोड पल; $$$एल$ - आर्मेचर वाइंडिंग की प्रेरण; $$$यू$ - वाइंडिंग पर लागू वोल्टेज; $$$k_e$ - काउंटर-ईएमएफ का गुणांक, एक विशिष्ट इंजन डिजाइन के लिए स्थिर; $$$आर$ - आर्मेचर वाइंडिंग का प्रतिरोध। सिद्धांत रूप में, यह सिर्फ गैर-रैखिक चिपचिपा घर्षण करने के लिए पर्याप्त होगा, लेकिन अधिक सामान्यता के लिए द्विपद के रूप में शाफ्ट रोटेशन की गति पर घर्षण के गैर-रैखिक निर्भरता को पेश करने का निर्णय लिया गया था।

हम डायनामिक्स की व्युत्क्रम समस्या की विधि द्वारा ऐसा एक नियामक बनाने की कोशिश करेंगे, ताकि इंजन द्वारा गति के संदर्भ में कार्य को पूरा करने में त्रुटि की गतिशीलता अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित कंपन लिंक के लिए मेल खाती हो

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi, \ quad \ quad (12)$$

जहाँ $$$\ _ ओमेगा$ - मोटर शाफ्ट के रोटेशन की कोणीय गति; $$$\ psi$ - गति सेटिंग।

समीकरण को गतिशील चर के रूप में काम करने की त्रुटि का उपयोग करके समीकरण (12) संकलित किया जा सकता है $$$\ डेल्टा = \ ps- \ omega$ :

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0,$$

लेकिन तब समीकरण में सेटपाइंट के डेरिवेटिव के साथ शब्द दिखाई देंगे, जो अभिव्यक्ति से स्पष्ट है

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2} (\ psi- \ omega) + \ frac {2 \ xi} {T} (\ dot {\ _ psi) - \ dot {\ _ omega}) + \ _ \ _ \ _ psi} } - \ ddot {\ omega} = 0,$$

यह, बदले में, त्रुटि के उतार-चढ़ाव घटक को बढ़ाएगा। और जब से हम चाहते हैं कि प्रणाली केवल एक स्थिर, अचानक बदलती सेटिंग (जो कि इसकी गति, त्वरण और सभी बाद के डेरिवेटिव को शून्य मानती है) पर काम करना चाहती है, तो हमें स्थिति में अधिकतम त्रुटि को ट्रैक करने की आवश्यकता है, न कि इसके डेरिवेटिव को ध्यान में रखते हुए, या, अगर यह समझना आसान है , त्रुटि के शून्य व्युत्पन्न के साथ, जो अभिव्यक्ति (12) को जन्म देगा।

एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए जो अंत में नियामक का वर्णन करता है, दो प्रथम-क्रम समीकरणों (11) की प्रणाली को एक दूसरे क्रम के समीकरण को कम करना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, हम समय के संबंध में पहले समीकरण (11) को अलग करते हैं (लोड पल को अपरिवर्तित मानकर):

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \ dot {I} -B \ dot {\ omega} -2D \ omega \ dot {\ omega}$$

और इसे सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से अभिव्यक्त करें। $$$\ _ {I}$ , जो दूसरे क्रम का समीकरण देता है

$$

$$\ ddot {\ omega} + \ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ right) \ dot {\ _ omega} +2 \ frac {D} {J} \ _ \ _ \ _ डॉट {\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ _i K_t} {जेएल} यू। \ quad \ quad (13)$$

अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन (13) $$$\ ddot {\ omega}$ (12) से प्राप्त हम आवश्यक नियंत्रण पा सकते हैं $$$यू$ गति के वांछित कानून को लागू करने के लिए (12):

$$

$$\ _ \ _ U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ left [\ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} - \ frac {2 \ xi} / "}} दाईं ओर) ^ 2} \ right) \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ _ ps} {T ^ 2} \ right]। \ \ (14)$$

हम दो इंजनों के इनपुट पर लागू होते हैं, जिनमें से एक व्युत्क्रम गतिशील समस्या के सिद्धांत के अनुसार कार्यान्वित एक नियामक द्वारा पूरक है, एक चरण जिसमें इकाई आयाम के साथ निम्नलिखित योजना के अनुसार है:


और समय पर मोटर शाफ्ट के रोटेशन की आवृत्ति की निर्भरता देखें:


10 वोल्ट के आयाम के साथ एक कदम पर प्रतिक्रिया:


इनपुट सिग्नल के आयाम पर प्रारंभिक प्रणाली के दोलन सूचकांक की गैर-निर्भरता आंकड़ों से देखी जाती है।

अब PID नियंत्रकों के साथ दो इंजनों की तुलना करें, जिनमें से संरचनात्मक चित्र निम्न आकृति में दिखाया गया है:


इंजन के शाफ्ट के रोटेशन की आवृत्ति:


और बड़ा:


यह उन आंकड़ों से देखा जा सकता है, जो उलटा डायनामिक्स समस्या विधि का उपयोग करके निर्मित पीआईडी ​​नियंत्रक के लिए धन्यवाद, एक कदम नियंत्रण संकेत के लिए सिस्टम प्रतिक्रिया को तेज किया गया था, जो नियंत्रण ऑब्जेक्ट में गैर-रैखिकता के कारण एक पारंपरिक पीआईडी ​​नियंत्रक का उपयोग करके प्राप्त नहीं किया जा सकता था। हालांकि, पीआईडी ​​नियंत्रक के चर गुणांकों का उपयोग संभवतः इस समस्या को बेहतर ढंग से हल करेगा और सिस्टम को और अधिक मजबूत करेगा। लेकिन यह पूरी तरह से अलग कहानी है।

निष्कर्ष

लेख ने एक विधि पर विचार किया जो आपको गैर-रैखिक प्रणालियों को नियंत्रित करने के लिए एक नियंत्रक बनाने की अनुमति देता है, जिसे वैन डेर पोल थरथरानवाला और एक डीसी मोटर के नियंत्रण के उदाहरण द्वारा दिखाया गया था।

इस विधि के मुख्य लाभों में शामिल हैं:

• आवश्यक नियंत्रण कानून (विश्लेषणात्मक) के कार्यान्वयन में आसानी;
• गैर-रैखिक प्रणालियों को नियंत्रित करने की क्षमता;
• गैर-स्थिर प्रणालियों को नियंत्रित करने की क्षमता।

हालाँकि, इस विधि में कई महत्वपूर्ण नुकसान भी हैं :

• नियंत्रित प्रणाली के पूरे राज्य वेक्टर को जानने की आवश्यकता है (जिसमें विभेदन, फ़िल्टरिंग की आवश्यकता हो सकती है);
• नियंत्रित प्रणाली के मापदंडों की पर्याप्त रूप से सटीक पहचान की आवश्यकता है, जो मजबूती को कम कर सकता है;
• मॉडल में शामिल नहीं किए गए छोटे गतिशील मापदंडों (फिल्टर, सेंसर) की संयुक्त कार्रवाई के परिणामस्वरूप अस्थिरता के लिए प्रणाली का अध्ययन करने की आवश्यकता है।

सामान्य तौर पर, यह एक दिलचस्प विधि है, लेकिन केवल एक पीआईडी ​​नियंत्रक द्वारा नियंत्रित मोटर के साथ डीसी मोटर (एक पीआईडी ​​नियंत्रक का उपयोग करके) के लिए इसके कार्यान्वयन की तुलना करके, यह स्पष्ट हो गया कि इससे महत्वपूर्ण बन्स प्राप्त करना संभव नहीं होगा। लेकिन नियंत्रण डिवाइस की संरचना बहुत अधिक जटिल है, दूसरी चीजों के बीच मजबूर करना, एक तरफ विभेदन शोर के साथ संघर्ष करना, और दूसरी तरफ स्थिरता सीमा को रोकना। शायद यह इस के साथ है कि इस विषय पर बहुत कम काम जुड़े हुए हैं। डायनामिक्स की व्युत्क्रम समस्या की विधि के संभावित अनुप्रयोगों में से एक विभिन्न नियंत्रकों के अनुरूप प्रक्षेपवक्रों के साथ तुलना के लिए सिस्टम के संदर्भ (आदर्श) प्रक्षेपवक्र का निर्माण हो सकता है, उदाहरण के लिए, रैखिक या रैखिक।

प्रयुक्त साहित्य:

1. किम डी.पी. स्वचालित नियंत्रण का सिद्धांत। V.2। बहुआयामी, अरेखीय, इष्टतम और अनुकूली प्रणालियाँ: पाठ्यपुस्तक। भत्ता। - एम।: फ़िज़मैटल, 2004 ।-- 464 पी।
2. बॉयचुक एल.एम. Nonlinear स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के संरचनात्मक संश्लेषण की विधि। एम।, "एनर्जी", 1971।
3. स्वचालित नियंत्रण के गैर-स्थिर सिस्टम: विश्लेषण, संश्लेषण और अनुकूलन / एड। KA पुपकोवा और एन.डी. Egupova। - एम .: एमएसटीयू का प्रकाशन गृह। NE बॉमन, 2007 .-- 632 पी।