प्रविष्टि

क्या कभी ऐसा हुआ है कि आप कुछ अनंत श्रृंखलाओं को जोड़ना चाहते हैं, लेकिन आप श्रृंखला का आंशिक योग नहीं चुन सकते हैं? क्या आपने अभी भी असतत व्युत्पन्न का उपयोग नहीं किया है? फिर हम आपके पास जाते हैं!

परिभाषा

असतत व्युत्पन्न अनुक्रम $$$a_n$ इस क्रम को कॉल करें $$$\ Delta a_n$ किसी भी प्राकृतिक के लिए $$$n> 1$ द्वारा किया गया:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

निम्नलिखित उदाहरणों पर विचार करें:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n-1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

खैर, आप बात करते हैं। एक समारोह के व्युत्पन्न की तरह कुछ, है ना? हम समझ गए कि "सरलतम" अनुक्रम के असतत डेरिवेटिव की गणना कैसे करें। अहम, लेकिन अनुक्रम के योग, अंतर, उत्पाद और भागफल के बारे में क्या? "साधारण" व्युत्पन्न के कुछ भेदभाव नियम हैं। चलो एक असतत के साथ आओ!

सबसे पहले, राशि पर विचार करें। यह तर्कसंगत है कि अनुक्रम का योग भी किसी प्रकार का अनुक्रम है। आइए परिभाषा द्वारा व्युत्पन्न को खोजने का प्रयास करें:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} +_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

अभूतपूर्व! हमने प्राप्त किया है कि अनुक्रमों के योग का व्युत्पत्ति इन अनुक्रमों के व्युत्पन्न का योग है! धन्यवाद टोपी
चलो अंतर के साथ एक ही साबित करने की कोशिश करते हैं

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n -) 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

और हम काम पर आगे बढ़ते हैं!
इसी तरह, हम परिभाषा के अनुसार पाते हैं:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {a -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_ \ डेल्टा {b_n] } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

कूल, है ना? भागफल पर विचार करें:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ _rac {a_nb_ {n-1 ) }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

कूल ...

लेकिन यह सब व्युत्पन्न है। शायद एक असतत व्यक्तिविरोधी है ? यह पता चला है कि वहाँ है!

अधिक परिभाषाएँ

आदिम क्रम को असतत करें $$$a_n$ ऐसे क्रम को बुलाओ $$$ए_ एन$ किसी भी प्राकृतिक के लिए $$$n> 1$ द्वारा किया गया:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {डेल्टा (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

यह समझ में आता है। गुओ न्यूटन-लीबनिज के एक एनालॉग के साथ आते हैं!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ _ \ _ A_ {n} - A_0$$

चलो! यह मजाक एक संयोग है! और अब वही उपदेशक:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

और प्राकृतिक संख्याओं के सेट से सामान्यीकरण करें $$$एक$ को $$$ब$ :

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^$$

आवेदन

कौन प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की श्रृंखला के योग के लिए बहुत सूत्र को याद करता है $$$1$ को $$$एन$ ? और यहाँ मुझे याद नहीं है। चलो उसे बाहर निकालो!
लेकिन पहले आपको अनुक्रम के लिए अंतरविरोधी खोजने की आवश्यकता है $$$a_i = i ^ 2$ :

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

और अब, वास्तव में, योग ही:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n = 2 + n} {6}$$

क्यूब्स के योग के बारे में क्या?

पहले हम गणना करते हैं

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1$$

के लिए अंत्येष्टि $$$i ^ 3$ :

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i + (i + 1) )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ _ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ $$$

अहम, ऐसा लगता है, कुछ भी जटिल नहीं होगा ...

उन्नत के लिए

अभिन्न को ढूंढना हमेशा इतना आसान नहीं होता है, है ना? मुश्किल मामलों में हम क्या करते हैं? यह सही है, भागों में एकीकृत करें। शायद एक एनालॉग है? मैं तुम्हें पीड़ा नहीं दूंगा, वह है, और अब हम उसे बाहर निकाल देंगे।

मान लीजिए कि हमें एक श्रृंखला की राशि की गणना करने की आवश्यकता है

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

क्या करें? यह संभावना नहीं है कि आप इतनी आसानी से अनुक्रम में असतत रोगविरोधी उठा पाएंगे। चलो देखते हैं।

हम पहले से ही जानते हैं कि:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

तो

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

और अब एक नया कदम:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a) +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f (a) बी) जी (बी) -f (ए -1) जी (ए -1)$$

पहले प्राप्त समानता को स्थान दें:

$$

$$\ sum_ {i = a} bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

फिनिता ला कॉमेडी।

समान राशि प्राप्त करें:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}}} $$$

यह किसी को लग सकता है कि सूत्र और भी अधिक बोझिल हो गया है, और हम केवल अपने काम को जटिल करते हैं। लेकिन ऐसा है नहीं। चलो $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ तब:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1) } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + पी} {(पी -1) ^ 2}$$

शांत पहेली

मैं टिंकफ जनरेशन से मशीन लर्निंग कोर्स में चयन से एक कार्य के उदाहरण के साथ इसका अभ्यास करने का प्रस्ताव करता हूं। यहाँ समस्या ही है:

आप चयन से लेकर टिंकफ जनरेशन कोर्स तक की समस्याओं को हल करने से थक गए हैं और नई श्रृंखला के कई एपिसोडों को देखकर ब्रेक लेने का फैसला किया है, जिनके बारे में हर कोई बात कर रहा है।

आप सभी श्रृंखला को देखना शुरू करते हैं, पहले से शुरू करते हैं। प्रत्येक एपिसोड एक घंटे तक रहता है। अगली श्रृंखला देखने के बाद, आप निरंतर संभावना के साथ पीपीपी अगले एक को देखना शुरू करते हैं, अन्यथा आपका ब्रेक खत्म हो जाएगा और आप काम पर लौट आएंगे।

भुखमरी, नींद और अन्य आवश्यकताएं आपको रोकती नहीं हैं, और श्रृंखला में अनंत संख्या में एपिसोड हैं; सिद्धांत रूप में, आपका ब्रेक हमेशा के लिए रह सकता है।

आपका औसत कब तक चलेगा?

कड़ाई से बोलते हुए, यहां हमें गणितीय अपेक्षा को खोजने की आवश्यकता है। चलो ठीक है।

निर्णय

संभावना है कि ब्रेक 1 घंटे चलेगा:

$$

$$पी (1) = 1 - पी$$

2 घंटे

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n घंटे:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

फिर उम्मीद है:

$$

$$E [X] = \ lim \ limit_ {n \ _ to infty} {\ _ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ limit_ {n \ _ to \ infty} {\ _ sum_ {i = 1} ^ नी * (1-पी) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ _ to \ infty} {\ _ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

यह परिचित है, है ना?

हमने पहले ही पाया

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

फिर हमें जो पंक्ति चाहिए वह काफी स्पष्ट है:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

और कार्य अनुक्रम की सीमा को खोजने के लिए नीचे आता है

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ _ to infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

जहाँ $$$p <1$ जैसा $$$पी$ - घटना की संभावना।
हम अब साबित करते हैं

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ space \ lim \ limit_ {n \ _ to \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limit \ {x \ _ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' ' }} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f ({ x) = 0 \ _ का अर्थ है \ lim \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ _ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ space x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ space 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ lim \ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limit_ {x \ _ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}} = = \\ = \ lim \ limit_ {x \ _ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {{q ^ {x}) '}} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit \ {x \ _ to \ _ infty} f (x) = 0 \ implies \ lim \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} f (n) \ iff \ lim \ limit_ {n \ _ to \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

अब यह समझना आसान है

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ _ to infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (पी -1) ^ 2}$$

और

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(पी -1) ^ 2} = \ frac {1} {1-पी}$$

कुछ ऊपर

फूह ... यह मेरे लिए, प्रिय पाठकों के लिए आसान- कठिन कठिन था। आज के लिए उपलब्धियों की सूची:

1. हम समझ गए कि असतत व्युत्पन्न क्या है।
2. भेदभाव के निहित नियमों को व्युत्पन्न किया
3. हम समझ गए कि एक असतत व्यक्तिविरोधी क्या है।
4. हमने न्यूटन-लीबनिज फॉर्मूले के एक एनालॉग को प्राप्त किया
5. भागों द्वारा एकीकरण का एक एनालॉग व्युत्पन्न
6. हमने टिंकऑफ जनरेशन में मशीन लर्निंग कोर्स के चयन के कठिन कार्य को हल किया

एक शुरुआत के लिए बुरा नहीं है, आपको क्या लगता है?

टिप्पणियों का स्वागत है!