उंगलियों पर बेरेंट्रिक निर्देशांक के बारे में

नमस्कार।

निश्चित रूप से हर कोई माता-पिता के साथ बच्चे की समानता की डिग्री के एक peephole आकलन को देखने के लिए हुआ है: कुछ "जैसे पिताजी डाला, लेकिन वह भी माँ जैसा दिखता है !!!"


( यहां से लिया गया )

छवि में उदाहरण के रूप में, आप प्रतिशत में समानता की डिग्री का मूल्यांकन कर सकते हैं। आप रिश्तेदारों को रिश्तेदारों के वजन के योग के रूप में बच्चे के चेहरे का अधिक सटीक वर्णन करने के लिए भी उपयोग कर सकते हैं ...

और यह एक "साधारण" व्यक्ति के लिए स्वाभाविक रूप से माना जाएगा और माना जाएगा, जो नृविज्ञान से संबंधित नहीं है, या, उदाहरण के लिए, फोरेंसिक विज्ञान। विश्लेषण और चेहरे की पहचान के क्षेत्र में एक पेशेवर के लिए, एक मानव चेहरा अधिक संभावना है कि मापदंडों का एक सेट है। यही है, एक आधार के साथ कुछ जगह में एक बिंदु (निर्देशांक का एक सेट) (मापदंडों के अनुरूप कुल्हाड़ियों)। और अगर हम अपने रिश्तेदारों की तुलना में बच्चे के चेहरे का वर्णन करते हैं, तो सबसे अधिक संभावना है कि बच्चे के चेहरे के अनुरूप बिंदु, परिजनों के बादल के उत्तल पतवार के अंदर मापदंडों के इस स्थान में दिखाई देगा, जो कि परिजनों के अगले चेहरे के अनुरूप है (लेकिन यह सटीक नहीं है)।

वास्तव में, मैं क्या हूँ सब के बारे में ... चेहरे के वर्णन के लिए ये दो दृष्टिकोण दो समन्वय प्रणालियों के अनुरूप हैं:

1. बैरियाट्रिक, अंतरिक्ष में एक बिंदु का वर्णन (हमारे उदाहरण में: चेहरा) अन्य बिंदुओं के भारित मिश्रण के माध्यम से;
2. affine, कुछ आधार में निर्देशांक के माध्यम से अंतरिक्ष में एक बिंदु का वर्णन।

तो क्या बेरेंट्रिक निर्देशांक हैं?

अंदर आने दो -डिमेटिक स्पेस दिया गया बिंदु त्रिज्या वैक्टर के साथ । । इसके अलावा, कोई भी अंक शेष बिंदुओं के त्रिज्या वैक्टर के रैखिक खोल में नहीं है ... सीधे शब्दों में कहें, तो यह बिल्कुल सरल है: इन बिंदुओं को एक ऐसा आंकड़ा बनाएं जो पूरी तरह से कम आयाम वाले अंतरिक्ष में प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है। ।

एक आयामी स्थान (लाइन) के मामले में, हमें दो गैर-संयोग बिंदुओं की आवश्यकता है, दो आयामी अंतरिक्ष के मामले में - एक गैर-पतित त्रिभुज, तीन आयामी के मामले में - एक टेट्राहेड्रोन।

फिर अंतरिक्ष में कोई बिंदु एक त्रिज्या वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है :



सेट और वहाँ barycentric निर्देशांक हैं।

कैसे बेरेंट्रिक तालमेल से बेहतर / बदतर हैं?

चलो रिश्तेदार नुकसान के साथ शुरू करते हैं:

1. बायरेंट्रिक प्रतिनिधित्व में, हमें एक से अधिक समन्वय की आवश्यकता होती है;
2. निर्दिष्ट निर्देशांक के बीच की दूरी को इन निर्देशांकों में सीधे गणना नहीं की जा सकती है।

भाग में, पहला दोष इस तथ्य से ऑफसेट है कि उपयोग करने की आवश्यकता के बावजूद जब किसी बिंदु का वर्णन किया जा रहा है, तो बेरिएट्रिक निर्देशांक -डिमेटिक स्पेस, डिग्रियों की संख्या नहीं बढ़ती। सूत्र में परिभाषित बेरीसेंट्रिक निर्देशांक (1) संबंध से संबंधित हैं:



दूसरी खामी के रूप में, अगर barycentrically प्रतिनिधित्व किए गए बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने की आवश्यकता है, तो यह अन्नदाता उत्पादों की गणना करने के लिए समझ में आता है और महालनोबिस दूरी के एनालॉग का उपयोग करें।

Barycentric निर्देशांक का उपयोग करने से बोनस क्या हैं?

1. Barycentric निर्देशांक अंतरिक्ष के परिवर्तनों को समृद्ध करने के लिए अपरिवर्तनीय हैं। इस संपत्ति का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर ग्राफिक्स में रैखिक प्रक्षेप के लिए। एक त्रिकोणीय सतह तत्व के कोने पर बनावट निर्देशांक को परिभाषित करें और मानदंड ( ), तो इस सतह खंड के प्रत्येक बिंदु में बैरिएट्रिक निर्देशांक होंगे इसकी बनावट समन्वय करती है और सामान्य के रूप में गणना की जा सकती है:
   
   
   
   
   
2. Barycentric निर्देशांक द्वारा यह निर्धारित करना आसान है कि क्या बिंदु है अंतरिक्ष के कुछ हिस्सों को पॉलीहेड्रॉन द्वारा लंबवत के साथ बांधा गया है : यह केवल अगर किया जाता है । I-th बैरिएट्रिक 1 की समानता का अर्थ है कि बिंदु के साथ मेल खाता है । यदि कई बायरसेंट्रिक निर्देशांक 0 के बराबर हैं, तो इसका मतलब है कि बिंदु शेष बिंदुओं के त्रिज्या वैक्टर द्वारा फैलाए गए उप-वर्ग से संबंधित है जिनके संबंधित निर्देशांक 0 से अधिक हैं।

शायद उन्हें गणना करना बहुत मुश्किल है?

समन्वय प्रणाली के किसी भी रैखिक परिवर्तन से अधिक जटिल नहीं है। क्योंकि, संक्षेप में, बैरियाट्रिक निर्देशांक की गणना एक ऐसा परिवर्तन है।

हम निम्नलिखित रूप में बिंदुओं की त्रिज्या वेक्टर को फिर से लिखते हैं:

जहाँ - एक बिंदु पर केंद्रित समन्वय प्रणाली में एक रेडियल वेक्टर ।

तब सूत्र (1) को निम्नलिखित रूप में फिर से लिखा जा सकता है:



हम राशि में कोष्ठक प्रकट करेंगे:



संपत्ति के अनुसार (2):



तदनुसार:

।

जहाँ

यह देखते हुए (2), हम अपने आप को पहले एन बेरेंट्रिक निर्देशांक की गणना करने के लिए प्रतिबंधित करते हैं। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में barycentric निर्देशांक के लिए संक्रमण की कल्पना करें:

।

जहाँ - बेरीसेंट्रिक निर्देशांक के वेक्टर n (अंतिम को छोड़कर), - परिवर्तन मैट्रिक्स।

यदि आवश्यक हो, तो barycentric प्रतिनिधित्व के गुणों को देखते हुए वैक्टर में से एक को स्थानापन्न करें ( ), फिर हम शून्य घटकों के साथ एक वेक्टर प्राप्त करते हैं, एक i-th को छोड़कर, जो 1 के बराबर होगा।

यदि मैट्रिक्स मैट्रिक्स से गुणा करें से स्तंभों से बना है , फिर हमें पहचान मैट्रिक्स (मुख्य तत्वों में एक मैट्रिक्स के साथ एक मैट्रिक्स और शेष तत्वों में शून्य) प्राप्त करना चाहिए:

।

जहाँ । पहचान मैट्रिक्स है ( - क्रॉंकर प्रतीक: 1 यदि अन्यथा ०)।

(10) से हम पाते हैं :



इस प्रकार, त्रिज्या वैक्टर के साथ अंक का एक सेट होने । हम मैट्रिक्स की गणना बेरिएट्रिक निर्देशांक में बदलने के लिए कर सकते हैं:



इस मैट्रिक्स का उपयोग करके, हम पहले प्राप्त कर सकते हैं barycentric point निर्देशांक करता है त्रिज्या वेक्टर के साथ :



फिर से संबंध (2) का उपयोग करते हुए, हम अंतिम बेरेंट्रिक समन्वय प्राप्त करते हैं:

निष्कर्ष

हो सकता है कि पहली नज़र में, बेरेंट्रिक भी अजीब और जटिल लगता है। लेकिन वास्तव में, यह कई कार्यों में एक बहुत ही सुविधाजनक और अपरिहार्य उपकरण है, जिसे आप बहुत जल्दी उपयोग कर लेते हैं। क्योंकि यहां कोई जादू नहीं है, यह अपने शुद्ध रूप में रैखिक बीजगणित है!