🏇🏻 🙂 ™️ हम घातीय वितरण का उपयोग करते हुए केंद्रीय सीमा प्रमेय के बयान का अध्ययन करते हैं 👃🏻 🈺 📂

शुरू करने के बजाय

लेख केंद्रीय सीमा प्रमेय के कथन को सत्यापित करने के लिए किए गए एक अध्ययन का वर्णन करता है कि लगभग किसी भी वितरण से चयनित एन स्वतंत्र और पहचान के यादृच्छिक चर का योग एक वितरण सामान्य के करीब है। हालांकि, इससे पहले कि हम अध्ययन के विवरण और केंद्रीय सीमा प्रमेय के अर्थ के अधिक विस्तृत प्रकटीकरण के लिए आगे बढ़ें, यह बताने के लिए जगह से बाहर नहीं होगा कि अध्ययन क्यों किया गया था और किसके लिए लेख उपयोगी हो सकता है।

सबसे पहले, लेख सभी शुरुआती लोगों के लिए मशीन सीखने की मूल बातें समझने के लिए उपयोगी हो सकता है, खासकर अगर एक सम्मानित पाठक भी अपने पहले वर्ष के विशेषज्ञता "मशीन लर्निंग और डेटा विश्लेषण" में है। यह इस तरह का शोध है जिसे प्रतिष्ठित प्रमाणपत्र प्राप्त करने के लिए पहले पाठ्यक्रम, उपरोक्त विशेषज्ञता के अंतिम सप्ताह में किया जाना चाहिए।

अनुसंधान दृष्टिकोण

तो, वापस अनुसंधान के सवाल पर। केंद्रीय सीमा प्रमेय हमें क्या बताती है। लेकिन वह यह कहती है। यदि व्यावहारिक रूप से किसी भी वितरण से एक यादृच्छिक मूल्य एक्स है, और वॉल्यूम एन का एक नमूना इस वितरण से यादृच्छिक रूप से उत्पन्न होता है, तो नमूना के आधार पर निर्धारित नमूना औसत एक सामान्य मूल्य द्वारा सामान्य वितरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जो मूल जनसंख्या की गणितीय अपेक्षा के साथ मेल खाता है।

एक प्रयोग करने के लिए, हमें एक वितरण चुनना होगा जिसमें से एक नमूना अनियमित रूप से उत्पन्न होगा। हमारे मामले में, हम घातीय वितरण का उपयोग करेंगे।

तो, हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर X के घातांक वितरण की संभाव्यता घनत्व में रूप है:

f (x) = l a m b d a v a r e p s i l o n^{- l a m b d a x}

$f (x) = \ lambda \ varepsilon ^ {- \ lambda x}$

जहाँ

x > 0

$x> 0$ ।

l a m b d a > 0

$\ lambda> 0$

एक यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा , घातीय वितरण के कानून के अनुसार, विपरीत रूप से निर्धारित की जाती है

l a m b d a

$\ lambda$ :

m u = f r a c 1 l a m b d a

$\ mu = \ frac {1} {\ lambda}$

एक यादृच्छिक चर X के रूप में परिभाषित किया गया है

स ि ग ् म ा^{2} = f r a c 1 l a m b d a^{2}

$\ सिग्मा ^ 2 = \ frac {1} {\ lambda ^ 2}$

हमारा अध्ययन घातांक वितरण पैरामीटर का उपयोग करता है

l a m b d a = 0.0125

$\ lambda = 0.0125$ तो

m u = 80

$\ mu = 80$ ।

स ि ग ् म ा^{2} = 6400

$\ सिग्मा ^ 2 = 6400$

मानों की धारणा और स्वयं प्रयोग को सरल बनाने के लिए, मान लें कि हम डिवाइस के संचालन के बारे में 80 घंटे तक की औसत उम्मीद के साथ बात कर रहे हैं। फिर, जितना अधिक समय डिवाइस काम करेगा, उतनी कम संभावना है कि कोई विफलता नहीं होगी और इसके विपरीत - जब डिवाइस शून्य समय (घंटे, मिनट, सेकंड) पर जाता है, तो इसकी विफलता की संभावना भी शून्य हो जाती है।

अब दिए गए पैरामीटर के साथ घातांक वितरण से

l a m b d a = 0.0125

$\ lambda = 0.0125$ 1000 छद्म यादृच्छिक मान चुनें। सैद्धांतिक संभाव्यता घनत्व के साथ नमूने के परिणामों की तुलना करें।

इसके अलावा, और यह हमारे छोटे अध्ययन में सबसे महत्वपूर्ण बात है, हम निम्नलिखित नमूने बनाएंगे। हम घातीय वितरण से 3, 15, 50, 100, 150, 300, और 500 यादृच्छिक चर लेते हैं, प्रत्येक मात्रा (3 से 500) अंकगणितीय माध्य के लिए निर्धारित करते हैं, और 1000 बार दोहराते हैं। प्रत्येक नमूने के लिए, हम एक हिस्टोग्राम का निर्माण करते हैं और उस पर इसी सामान्य वितरण के घनत्व का एक ग्राफ बनाते हैं। हम नमूना माध्य, विचरण और मानक विचलन के परिणामी मापदंडों का अनुमान लगाते हैं।

यह लेख को पूरा कर सकता है, लेकिन प्रयोग की सीमाओं को कुछ हद तक विस्तारित करने का प्रस्ताव है। आइए हम अनुमान लगाते हैं कि 3 से 500 तक के नमूने के आकार में वृद्धि के साथ ये पैरामीटर, उनके समकक्षों से भिन्न होंगे - समान सामान्य वितरण के समान पैरामीटर। दूसरे शब्दों में, हमें प्रश्न का उत्तर देने के लिए आमंत्रित किया जाता है, लेकिन क्या हम बढ़ते आकार के नमूने के साथ विचलन में कमी का निरीक्षण करेंगे?

तो, रास्ते में। हमारे उपकरण आज पायथन भाषा और ज्यूपिटर नोटबुक होंगे।

हम केंद्रीय सीमा प्रमेय के कथन का अध्ययन करते हैं

अध्ययन का स्रोत कोड गितुब पर पोस्ट किया गया है
चेतावनी! इस फ़ाइल के लिए ज्यूपिटर नोटबुक की आवश्यकता है!

हमारे द्वारा उत्पन्न छद्म-यादृच्छिक मान का एक नमूना जो घातांक वितरण के कानून के अनुसार 1000 गुना काफी अच्छी तरह से सैद्धांतिक (प्रारंभिक) जनसंख्या (ग्राफ 1 *, तालिका 1) की विशेषता है।

चार्ट 1 "घातीय वितरण और नमूने का प्रारंभिक सेट"

तालिका 1 "प्रारंभिक जनसंख्या के नमूने और नमूना"

अब देखते हैं कि क्या होता है यदि हम 1000 बार केवल एक छद्म यादृच्छिक मान नहीं लेते हैं, लेकिन अंकगणितीय औसत 3, 15, 50, 100, 150, 300, या 500 छद्म यादृच्छिक मान हैं और प्रत्येक नमूने के मापदंडों की तुलना सामान्य सामान्य वितरण (ग्राफ 2 **) के मापदंडों से करते हैं। तालिका 2)।

चार्ट 2.1 "5 का नमूना"

चार्ट 2.2 "50 का नमूना"

चार्ट 2.3 "100 का नमूना"

चार्ट 2.4 "150 का नमूना"

चार्ट 2.5 "300 नमूना"

चार्ट 2.6 "500 नमूना"

तालिका 2 "नमूना विकल्प"

परिणामों के चित्रमय प्रतिनिधित्व के अनुसार, निम्नलिखित नियमितता स्पष्ट रूप से देखी जाती है: बढ़ते नमूना आकार के साथ, वितरण सामान्य दृष्टिकोण और नमूना माध्य के चारों ओर छद्म आयामी चर की एकाग्रता, और नमूना मतलब प्रारंभिक वितरण की गणितीय अपेक्षा से संपर्क करता है।

तालिका में प्रस्तुत आंकड़ों के अनुसार, ग्राफ़ में सामने आए पैटर्न की पुष्टि की जाती है - नमूना आकार में वृद्धि के साथ, विचरण और मानक विचलन मूल्यों में विशेष रूप से कमी होती है, जो नमूना औसत के आसपास छद्म आयामी मूल्यों के एक सघन एकाग्रता का संकेत देता है।

लेकिन यह सब नहीं है। हमें याद है कि लेख की शुरुआत में, जाँच करने के लिए एक प्रस्ताव बनाया गया था कि क्या नमूना आकार में वृद्धि के साथ, नमूना मापदंडों के विचलन इसी सामान्य वितरण में कमी के मापदंडों के संबंध में हैं।

जैसा कि देखा जा सकता है (ग्राफ़ 3, तालिका 3), विचलन में एक मनमाने ढंग से ध्यान देने योग्य कमी नहीं होती है - नमूनों के पैरामीटर अलग-अलग दूरी पर प्लस या माइनस पर कूदते हैं और गणना मूल्यों को सख्ती से दृष्टिकोण नहीं करना चाहते हैं। हम निम्नलिखित अध्ययनों में सकारात्मक गतिशीलता की कमी के लिए स्पष्टीकरण खोजने की कोशिश करेंगे।

चार्ट 3 "सैद्धांतिक गणना से नमूना मापदंडों का विचलन"

तालिका 3 "गणना की गई सैद्धांतिक से नमूनों के मापदंडों का विचलन"

निष्कर्ष के बजाय

हमारा अध्ययन, एक ओर, एक बार फिर, नमूना आकार में वृद्धि के साथ सामान्य वितरण के लिए स्वतंत्र रूप से वितरित मूल्यों के दृष्टिकोण पर केंद्रीय सीमा प्रमेय के निष्कर्ष की पुष्टि करता है, दूसरी ओर, प्रमुख अनुकूलन के पहले वर्ष को सफलतापूर्वक पूरा करना संभव था।

* उपकरण के साथ उदाहरण के तर्क को विकसित करना, जिसका अपटाइम 80 घंटे है, "एक्स" अक्ष के साथ हम घड़ी को नामित करते हैं - कम समय यह काम करता है, विफलता की संभावना कम।

** एक्स-अक्ष मूल्यों की एक अलग व्याख्या यहां आवश्यक है - यह संभावना है कि डिवाइस लगभग 80 घंटे काम करेगा उच्चतम है और, तदनुसार, यह ऑपरेटिंग समय में वृद्धि के साथ घटता है (अर्थात, यह संभावना नहीं है कि डिवाइस 80 घंटे से अधिक समय तक काम करेगा) , और ऑपरेटिंग समय में कमी के साथ (संभावना है कि डिवाइस 80 घंटे से कम समय में विफल हो जाएगा) भी छोटा है।

$\ _ $ गौरैय$ लेखक का अगला काम - "हम सरल रेखीय प्रतिगमन के समीकरण को हल करते हैं"

हम घातीय वितरण का उपयोग करते हुए केंद्रीय सीमा प्रमेय के बयान का अध्ययन करते हैं

शुरू करने के बजाय

अनुसंधान दृष्टिकोण

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निष्कर्ष के बजाय

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