बाइनरी कोड में दशमलव संख्याओं की सही गोलाई

बाइनरी कोड में दर्शाए गए दशमलव संख्याओं के साथ काम करने वाली प्रमुख समस्याओं में से एक सही ढंग से गोल दशमलव संख्या के सबसे करीब एक प्रतिनिधित्व योग्य दशमलव संख्या के मूल्य के लिए एक द्विआधारी संख्या को गोल करने की समस्या है। नीचे हम इस समस्या पर चर्चा करते हैं और उचित गोलाई के लिए एक सरल एल्गोरिथ्म देते हैं। एल्गोरिथ्म का संचालन सी ++ में एक परीक्षण कार्यक्रम द्वारा सचित्र है।

याद रखें कि एक प्रतिनिधित्व करने योग्य दशमलव संख्या एक संख्या है जिसका मूल्य बाइनरी कोड द्वारा सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है। तो, 0.125 की संख्या बाइनरी नंबर 0.001 के बराबर है। यह भी तर्क दिया जा सकता है कि किसी भी बाइनरी नंबर y का मूल्य कुछ प्रतिनिधित्व योग्य दशमलव संख्या x के बराबर है। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संख्या y = 1.001101 * 2 ^ -3 का मान दशमलव प्रतिनिधित्व योग्य संख्या x = 0.150390625 के मूल्य के बराबर है।
हम कहते हैं कि बाइनरी नंबर y दशमलव संख्या x के बराबर है। इसके विपरीत, दशमलव संख्या x बाइनरी नंबर y के बराबर है।

आइए देखें कि कंसोल से प्रवेश करने पर दशमलव संख्या के साथ क्या होता है, या जब यह प्रोग्राम में एक स्थिरांक के रूप में प्रकट होता है।
किसी भी दशमलव संख्या को प्रोग्रामर द्वारा निर्दिष्ट प्रारूप में संकलक द्वारा परिवर्तित (परिवर्तित) किया जाता है। चूंकि बाइनरी नंबर एक कंप्यूटर में सबसे तेज़ी से संसाधित होते हैं, इसलिए इनपुट दशमलव संख्या को परिवर्तित किया जाता है, सबसे अधिक, या तो एक निश्चित-बिंदु प्रारूप (int सहित), या फ्लोटिंग-पॉइंट स्वरूपों में से किसी एक में - एकल, डबल, या किसी अन्य बाइनरी प्रारूप में। ।

IEEE754 मानक के अनुसार, मशीन के आंतरिक प्रारूप में वास्तविक संख्याओं को सामान्यीकृत बाइनरी फॉर्म में दर्शाया जाता है। तो, एक द्विआधारी सकारात्मक वास्तविक संख्या y को y = b0.b1 ... bp * 2 ^ e (b0 real 0) के रूप में दर्शाया जा सकता है ।
उसी संख्या को 0.b0b1 ... bp * 2 ^ (e + 1) (b0 + 0) के रूप में दर्शाया जा सकता है यदि e + 1> 0 और 0.b0b1 ... bp * 2 ^ e (b0) 0) यदि ई <० ।
इसके अलावा, हम दूसरे दृष्टिकोण का पालन करेंगे नीचे हमारे C ++ परीक्षण कार्यक्रम में, एक फ़ंक्शन q = frexp (x, & e) है, जो हमें b0.b1 ... bp * 2 ^ e के रूप में प्रतिनिधित्व बाइनरी संख्या में घातांक ई के मूल्य को निर्धारित करने की अनुमति देता है।

तो, किसी भी बाइनरी सामान्यीकृत संख्या y = 0.b0b1 ... bp * 2 ^ e (b0 to 0) के दशमलव बराबर कुछ सामान्यीकृत दशमलव संख्या x = 0.d0d1 के बराबर है ... dN ... dn * 10 ^ E (d0) ≠ 0)।
उदाहरण के लिए, संख्या y = 0.1001101 * 2 ^ -2 प्रतिनिधित्व योग्य दशमलव संख्या x = 0.150390625 के बराबर है ।
X से संख्या Xr को N महत्वपूर्ण अंकों के लिए गोल संख्या के बराबर प्राप्त करने के लिए, X को 10 ^ k के कारक से गुणा किया जाना चाहिए, जहां k = NE । यह आवश्यक है ताकि परिणामी संख्या में एन महत्वपूर्ण अंकों के साथ एक पूर्णांक भाग हो, जो तब निकटतम पूर्णांक तक गोल हो सकता है। गोल पूर्णांक को 10 ^ -k से गुणा करके पिछले पैमाने पर घटाया जाना चाहिए। गणितीय रूप से, यह निम्नलिखित सूत्र के साथ लिखा जा सकता है:
X = [x * 10 ^ k + 0.5] * 10 ^ -k = [y * 10 ^ k + 0.5] * 10 ^ -k, जहां [] संख्या का पूर्णांक भाग होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि एम बाइनरी अंकों वाले एक पूर्णांक बाइनरी नंबर बी दशमलव संख्या डी के मूल्य के बराबर है, जिसमें n = =m * log2⌋ दशमलव स्थान शामिल हैं, बशर्ते कि बी <10 ^ एन। और n = n + 1 के बराबर , बशर्ते कि B n 10 ^ n । गणना में, हम log2≈0.301 ले सकते हैं।

हम y के बाइनरी प्रतिनिधित्व में उपलब्ध जानकारी के आधार पर k का मान निर्धारित करते हैं। K के सूत्र में , N की गोलाई सटीकता ज्ञात है, इसलिए हमें घातांक E निर्धारित करने की आवश्यकता है ।
प्रतिपादक E संबंध से निर्धारित होता है: E = *e * 0.301 from ।
यह निम्नलिखित परिस्थितियों को ध्यान में रखता है। यदि x * 10 ^ k = X> 10 ^ N , तो आपको इसे 10 ^ (- 1) से गुणा करना होगा और गुणांक k को समायोजित करना होगा। हमें एक्स = एक्स * 10 ^ (- 1), के = के -1 मिलता है ।
गोल संख्या Xr = X * 10 ^ (- k) के बराबर होगी।

परिणामस्वरूप, हम द्विआधारी वास्तविक संख्याओं के सही दशमलव गोलाई के लिए निम्नलिखित सरल एल्गोरिथ्म प्राप्त करते हैं। एल्गोरिथ्म मनमाने ढंग से निर्दिष्ट दशमलव गोलाई परिशुद्धता एन के साथ किसी भी बाइनरी नंबर प्रारूप के लिए उपयुक्त है ।
प्रवेश द्वार पर:
दशमलव गोलाई सटीकता एन ;
प्रारूप y = 0.b0b1 ... bp * 2 ^ e (b0) 0) में एक द्विआधारी संख्या है।
आउटपुट: गोल दशमलव संख्या X = 0.d0d1 ... dN * 10 ^ ई।
- 1. द्विआधारी संख्या y के घातांक ई निर्धारित करें;
2. ई = Ee * 0.3⌋;
3. के = एनई;
4. एक्स = एक्स * 10 ^ के;
5. यदि एक्स <10 ^ एन, तो आइटम 8;
6. एक्स = एक्स * 10 ^ -1;
7. के = के -1;
8. Xr = [X + 0.5] * 10 ^ (- k);
समाप्त करें।
- उपरोक्त एल्गोरिथ्म में, संख्या Xr संख्या के सबसे करीब का प्रतिनिधित्व करने योग्य दशमलव संख्या है, जो संख्या x की सही गोलाई है, जो बदले में संख्या y के दशमलव बराबर है।
चूंकि हम दशमलव संख्याओं के साथ काम करने के आदी हैं, इसलिए, एक नियम के रूप में, इनपुट स्ट्रीम बिल्कुल दशमलव संख्या है। आउटपुट में, हम दशमलव संख्या भी प्राप्त करना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, जैसा कि एक्सेल में है। लेकिन, दशमलव संख्याओं को बाइनरी कोड में परिवर्तित करने के बाद, वे आमतौर पर अपरिवर्तनीय रूप से रूपांतरित हो जाते हैं। इसके परिणामस्वरूप, बाइनरी संख्याओं में परिवर्तित गोलाई सांत्वना पर मुद्रित संख्याओं के सही गोलाई के साथ मेल नहीं खा सकती है। यह मुख्य रूप से उन मामलों पर लागू होता है जब हम दशमलव संख्या को महत्वपूर्ण अंकों की अधिकतम संभव संख्या में गोल करने का प्रयास करते हैं। सिंगल के लिए, यह 7 है, और डबल के लिए यह 15 है।
यह नीचे दिए गए परीक्षण कार्यक्रम पर अच्छी तरह से जांच की जा सकती है, जिसे लेखक ने C ++ में लिखा था।

परीक्षण कार्यक्रम में, अनुरोध पर, निम्नलिखित कंसोल में दर्ज किया गया है:
- संख्या X के एन दशमलव गोलाई की सटीकता, जो संख्या x के बाइनरी समकक्ष के निकटतम प्रतिनिधित्व योग्य संख्या है;
मनमाना रूप में संख्या x है।

दर्ज की गई दशमलव संख्या x के तहत , संख्या X मुद्रित की जाती है, जो कि x के सबसे करीब प्रतिनिधित्व योग्य संख्या है (नीचे स्क्रीनशॉट देखें)।
संख्या X पर गोलाई का प्रदर्शन किया जाता है, क्योंकि बाइनरी रूपांतरण में x का सटीक मान खो जाता है।
रिटर्न:
- प्रारूप में दशमलव संख्या Xr = M * 10 ^ (N + e), जहां M एक पूर्णांक दशमलव संख्या है जिसमें N महत्वपूर्ण अंक हैं;
संख्या Xr है , जो संख्या X के सामान्यीकृत बाइनरी समकक्ष के बराबर प्रतिनिधित्व योग्य संख्या के बराबर है।

स्क्रीनशॉट में:

N = 15 - दशमलव महत्वपूर्ण अंकों की संख्या जिस पर इनपुट दशमलव संख्या गोल है।
x = 7.123456789098765321 e-89 दशमलव संख्या है जिसे हम 15 महत्वपूर्ण अंकों के लिए गोल करना चाहेंगे।
X = 7.12345678909876559 e-089 - एक प्रतिनिधित्व योग्य दशमलव संख्या जिसका मान एक बाइनरी संख्या के बराबर है, जो संख्या x को प्रारूप p = 53 में परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है।
Xr = x = 712345678909877e-103 - पूर्णांक mantissa संख्या X को गोल करके प्राप्त किया।
xr = x = 7.12345678909877e-089 - दशमलव संख्या Xr के द्विआधारी समतुल्य को सामान्य करके प्राप्त की गई संख्या। यह Xr के सबसे नजदीक है।

नीचे C ++ में बाइनरी कोड में प्रदर्शित दशमलव संख्याओं के सही गोलाई के लिए परीक्षण कार्यक्रम का कोड है।

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <iomanip>
using namespace std;

int main()
{
   double q,x,xr,X;
   unsigned long long int Xr;
   int N,p,E,e,k;

  cout <<"Input a binary precision p=";
  cin>>p;
  cout <<"Input a decimal precision N=";
  cin>>N;
  cout <<endl<<"Input a number and press ENTER:"<<"\n"<<"x= ";
  cin>>x;
   cout<<"X= "<< setprecision(18)<<x << '\n';

    q=frexp (x, &e);
    E =static_cast <int> (e*0.301);
    k=N-E;
   if (E<0)       //for format xr=d0.d1...dN*10^E (d0≠0).
        k=k+1;
    X=x*pow(10,k);
       if (X > pow (10,N)){
            X=X/10;
            k=k-1;
      }

       X=X+0.5;
       Xr=static_cast <unsigned long long int> (X);
       xr=Xr*pow(10,-k);

    cout<<endl <<"Xr= "<<Xr<<"e"<<-k<<'\n';
    cout<<"xr="<<xr<<'\n';

   system("pause");
      return 0;
}

pow(10,k). , k , , 10^k, 5^k.