👶🏾 🏳️‍🌈 🤦 आधुनिक संगीत अंतर्निहित संख्या 👩‍👧‍👧 🧖🏼 😲

बारह क्यों?

यदि आप कीबोर्ड को देखते हैं, तो आप देखेंगे कि प्रत्येक ऑक्टेव में 12 सेमीटोन हैं।
पियानो के मामले में, इसका मतलब केवल यह है कि बीच में, उदाहरण के लिए, "पहले सप्तक और" दूसरे सप्तक के लिए, 11 कुंजी हैं। एक साथ "करो" (उदाहरण के लिए, दूसरे सप्तक के लिए) हमें 12 चाबियाँ मिलती हैं: do #, re, re #, mi, fa, fa #, salt, salt #, la, la #, si, do।

लेकिन 12 क्यों?

शायद यह सिर्फ एक दुर्घटना है? हमारे पूर्वजों को संख्या 12 पसंद थी, उनके पास हर जगह 12 हैं: 12 महीने, 12 राशियाँ, इस्राएल के 12 गोत्र, 12 प्रेरित ... और यहाँ उन्होंने फैसला किया, इसे 12 होने दें, और इसलिए इसे आज्ञा दी गई थी। या क्या अभी भी एक उद्देश्य कानून है, और यह संख्या आकस्मिक नहीं है?

इस लेख में मैं यह प्रदर्शित करने की कोशिश करूंगा कि यह एक दुर्घटना नहीं है। पर्याप्त रूप से सामान्य आवश्यकताएं, आधुनिक (पश्चिमी) संगीत के लिए काफी स्वाभाविक, गणितीय आवश्यकता के साथ, हमें संख्या 12 तक ले जाती हैं। यह दिलचस्प है कि हमारे पास इस मूल्य का कारण दूसरे नंबर की संपत्ति है (लेख के अंत देखें)। आप यह भी कह सकते हैं कि यह आधुनिक ध्वनि के केंद्र में है।

समस्या का बयान

सबसे पहले, आइए कार्य को औपचारिक बनाने की कोशिश करें।

हमारे पास एक संदर्भ आवृत्ति है $\ omega_0$ । हम इसे टॉनिक कहेंगे। हमारे पास आवृत्ति के साथ एक सप्तक भी है $2 \ omega_0$ । अब हमें यह समझने की आवश्यकता है कि मध्यवर्ती आवृत्तियों के लिए क्या विकल्प हैं $\ omega_0$ को $2 \ omega_0$ , ताकि इन नोटों पर बनाया गया एक राग हमारे कानों के लिए सुरीला हो?

मुझे डर है कि यह सूत्रीकरण, हालांकि यह प्रश्न का सार दर्शाता है, फिर भी, गणितीय दृष्टिकोण से है, बल्कि अस्पष्ट है, और इस तरह के प्रश्न का उत्तर असमान रूप से नहीं दिया जा सकता है, यदि केवल इसलिए कि मानव सुनवाई में एक सीमित आवृत्ति संकल्प है। और यह इस तथ्य से पुष्टि की जाती है कि अलग-अलग समय पर अलग-अलग धुनों का उपयोग किया जाता था, उदाहरण के लिए, पाइथागोरस , स्वच्छ , अच्छी तरह से स्वभाव , समान रूप से स्वभाव वाली धुनें। और वे सभी लग रहा था और ध्वनि, कम से कम कुछ कार्यों के लिए, काफी स्वीकार्य है।

सद्भाव क्या है?

हमें कुछ अतिरिक्त शर्तें लगानी चाहिए। लेकिन पहले, हमें एक महत्वपूर्ण प्रश्न का उत्तर देना चाहिए: हम सामंजस्यपूर्ण ध्वनि के रूप में क्या अनुभव करते हैं?

आइए दो ध्वनियों को देखें - आवृत्तियों के साथ $\ omega_1$ और $\ omega_2$ ।

इन आवृत्तियों के अनुपात को लें। इस संबंध को संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है $a_1 ^ {k_1} \ cdot a_2 ^ {k_2} \ cdot ... \ cdot a_l ^ {k_l}$ जहाँ $inline$ अभाज्य संख्याएँ हैं, और $inline$ - पूर्णांक, उदाहरण के लिए, यह अनुपात बराबर हो सकता है $2 ^ {- 3} \ cdot3 \ cdot5$ । और इन अभाज्य संख्याओं की तुलना में ( $inline$ ) कम, हमारे कान के लिए अधिक सामंजस्यपूर्ण यह अंतराल ध्वनि करेगा (मुझे यह कथन यहां मिला (दूसरा पैराग्राफ देखें) )

इसलिए, उदाहरण के लिए, इस कथन के अनुसार सबसे सामंजस्यपूर्ण ध्वनि एक सप्तक (2 बार आवृत्ति परिवर्तन) होगी। और अगला हार्मोनिक अंतराल पांचवां (आवृत्ति परिवर्तन) होगा $inline$ समय) और एक चौथाई गेलन (आवृत्ति में परिवर्तन) $inline$ बार)।

लेकिन इस कथन के साथ इतना सरल नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि डिग्री कैसे प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, क्या अधिक सामंजस्यपूर्ण गुणा है $inline$ या 7? मुझे नहीं पता कि इस प्रश्न का अध्ययन किया गया है या नहीं, और क्या यह संभव है, सिद्धांत रूप में, इसका उत्तर देने के लिए। साथ ही, सामंजस्य की धारणा एक व्यक्तिपरक विषय है। तो, आधुनिक संगीत उन ध्वनियों से भरा है जो 100-200 वर्षों तक भयानक कैकोफोनी के रूप में मानी जाती थीं।

पहली शर्त। टॉनिक, क्वार्ट, क्विंट, ऑक्टेव

यह अनिश्चितता हमारे छोटे शोध के लिए कोई समस्या नहीं है। तथ्य यह है कि इस कथन से मैं केवल एक निष्कर्ष निकालना चाहता हूं कि हमारे मामले में, किसी भी मामले में, कम से कम "सबसे सामंजस्यपूर्ण" अंतराल होना चाहिए, अर्थात्, एक सप्तक, एक चौथाई गेलन और एक पांचवें। यही है, एक आवृत्ति के साथ टॉनिक के साथ $\ omega_0$ और एक आवृत्ति के साथ सप्तक $2 \ omega_0$ हमारे पास क्रमशः पाँचवीं और एक चौथी भी होनी चाहिए, क्रमशः आवृत्तियों के साथ ${3 \ _ 2} \ omega_0$ । ${4 \ _ 3} \ omega_0$ या ऐसा कुछ जो हम पाँचवें और चौथे शुद्ध से अलग न कर सके।

नोट: वास्तव में, केवल टॉनिक, पंद्रहवें और अष्टक पर्याप्त हैं। एक पांचवें की उपस्थिति तुरंत हमें एक क्वार्ट्ज दे रही है, एक सप्तक के अतिरिक्त, और दूसरी स्थिति (आक्रमण) के आधार पर, जो नीचे वर्णित है, हमारे पास एक क्वार्ट और टॉनिक भी होना चाहिए। यही है, एक चौथाई गेलन की आवश्यकता एक पांचवें की उपस्थिति का परिणाम है और इंवेरियन की आवश्यकता है।

और यह हमारी पहली आवश्यकता है।

दूसरी शर्त। निश्चरता

हमारी दूसरी आवश्यकता आक्रमणकारी है। और यह आधुनिक संगीत की एक महत्वपूर्ण आवश्यकता है। इस आवश्यकता में इस तथ्य में शामिल है कि किसी भी कुंजी में सभी सामंजस्य समान ध्वनि होना चाहिए। यदि हम आधुनिक प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं, जिसका उपयोग पियानो को ट्यून करने के लिए किया जाता है, तो इसका मतलब है कि सातवें, सातवें से मिलकर पांचवे को उसी तरह का ध्वनि देना चाहिए, चाहे वह किसी भी ध्वनि से बनाया गया हो। अर्थात्, do और नमक के बीच आवृत्ति अनुपात do # के समान होना चाहिए - # नमक, पुनः - la, re # - la #, ... और समान $inline$ । और यह इनवेरियन, निश्चित रूप से, न केवल पांचवें तक, बल्कि किसी भी अंतराल पर लागू होना चाहिए। इस प्रणाली का एक महत्वपूर्ण लाभ किसी भी अंतराल पर नाटक को स्थानांतरित करने की क्षमता है। यह समान स्वभाव का सार है।

मुझे यह कहना होगा कि आक्रमण की यह आवश्यकता इतनी स्पष्ट नहीं है, और यह दृष्टिकोण अपेक्षाकृत हाल ही में, केवल 18 वीं शताब्दी में लागू किया गया था। पहले इस्तेमाल की जाने वाली प्रणालियाँ (उदाहरण के लिए पाइथागोरस और शुद्ध) के पास ऐसी कोई संपत्ति नहीं थी। उदाहरण के लिए, एक स्वच्छ प्रणाली (प्राइम लिमिट = 5) में लिखा गया सोनाटा फॉर माइक्रोटोनल पियानो (बेन जॉन्सटन) सुनिए । ऐसा लगता है कि पियानो ट्यून नहीं है। आधुनिक सामंजस्य के सभी धन इस आक्रमण पर सटीक रूप से आधारित हैं। उदाहरण के लिए, बाख का "वेल-टेम्पर्ड क्लैवियर" ट्यूनिंग कीबोर्ड पर एक नए दृष्टिकोण के लिए सटीक रूप से धन्यवाद प्रकट हुआ। यह इस तरह का आक्रमण था जिसने बाख को हार्मोनिक सीक्वेंस बनाने में सक्षम बनाया जो पहले असंभव थे।

तो, अब हमारे पास गणना के लिए आवश्यक सभी डेटा हैं।

गणना

आइए टॉनिक से ऑक्टेव तक एक पैमाना बनाएं जो दोनों आवश्यकताओं को पूरा करता है।
मान लीजिए कि इस मामले में हमें मिलता है $inline$ लगता है (एक सप्तक सहित)। यह है $inline$ और वांछित संख्या है। हम वह दिखाना चाहते हैं $inline$ हमारी शर्तों के तहत 12 होना चाहिए।

दूसरी आवश्यकता का परिणाम यह है कि पड़ोसी ध्वनियों की आवृत्तियों के बीच का अंतराल समान और समान होना चाहिए $2 ^ {1 \ N से अधिक}$ ।

अब पहली आवश्यकता यह कहती है कि हमारी पंक्ति में (अच्छे सन्निकटन) आवृत्तियों के अनुरूप दो ध्वनियाँ होनी चाहिए ${3 \ _ 2} \ omega_0$ और ${4 \ over3} \ omega_0$ । यह पांचवा और चौथा है। मान लीजिए कि एक चौकड़ी है $inline$ हमारी पंक्ति में ध्वनि, और पांचवें - $inline$ वें। हम निरूपित करते हैं $inline$ ।

यह देखना आसान है कि चौथे और पांचवें (आवृत्ति अनुपात) के बीच आवृत्ति में परिवर्तन है $inline$ ।

लेकिन, हमारी दूसरी शर्त के अनुसार, यह भी बराबर होना चाहिए $2 ^ {n \ over एन}$ ।

तो हमें सूत्र मिला:

$2 ^ {n \ over N} \ लगभग 9/8$

सरल परिवर्तनों के बाद, हमें मूल सूत्र मिलता है:

$n \ लगभग N (2 \ log_2 {3} - 3) = N \ cdot 0.170$

यह देखना आसान है कि समाधान (निश्चित रूप से, अनुमानित) है $inline$ जहाँ $inline$ - किसी भी संख्या में स्वाभाविक रूप से (छोटे पर्याप्त, क्योंकि फिर भी 0.170 1/6 से भिन्न होता है)।

आइए एक मामले पर नजर डालते हैं $inline$ । इस मामले में $inline$ । $inline$ । यही है, यह आधुनिक प्रणाली का एक प्रकार है, केवल आधा टन के बिना, केवल टन (डू, री, एमआई, एफए #, नमक #, ला #, डू) के साथ। लेकिन, जैसा कि आप देख सकते हैं, इस मामले में क्वार्ट (एफ) और क्विंट (नमक) इस पैमाने पर नहीं आए।

यानी हमारे लिए एकमात्र विकल्प हो सकता है

$inline$ जहाँ $inline$ - कोई भी प्राकृतिक संख्या ( $inline$ काफी छोटा)। मामला $inline$ बस हमारी आधुनिक प्रणाली से मेल खाती है, जिसे समान रूप से स्वभाव प्रणाली कहा जाता है।

लेकिन 24 या अधिक क्यों नहीं? कारण सरल है - मैं मान सकता हूं कि इस तरह की स्नातक हमारी धारणा के लिए पहले से ही अत्यधिक है। इसलिए, केवल एक संख्या शेष है: 12।

यदि आप विचार की दी गई ट्रेन से संतुष्ट नहीं हैं, तो यहाँ आप पा सकते हैं

कठोर गणितीय प्रमाण

उद्देश्य:

न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक N ज्ञात कीजिए जिस पर धनात्मक पूर्णांक है $inline$ ऐसा है $2 ^ {n \ over एन}$ से अलग है $3 \ over2$ से अधिक नहीं $\ डेल्टा$ सेंट ।

समाधान:

द्वारा निरूपित करें $Z_n = N \ cdot (log_2 {3} -1)$ । फिर, के साथ $\ डेल्टा <{1200 \ ओवर एन}$ (जो उन लोगों की श्रेणी के लिए सही है $\ डेल्टा$ और $inline$ जिस पर हम विचार करेंगे) हमारा काम न्यूनतम खोजना है $inline$ जिस पर

${1200 \ ओवर एन} \ cdot | Z_n - राउंड (Z_n) <$ डेल्टा$ ।

जहाँ $inline$ - निकटतम पूर्णांक के लिए फ़ंक्शन राउंडिंग।

हम इस समस्या को संख्यात्मक रूप से हल करेंगे।

अब फैसला करने का समय आ गया है $\ डेल्टा$ ।

शुद्ध पांचवें और "हमारे पांचवें" के बीच विसंगति की कितनी राशि (सेंट में) क्या हम स्वीकार्य मानते हैं? कई लोग सुनते हैं, उदाहरण के लिए, समान रूप से समशीतोष्ण प्रणाली में बड़े / छोटे तीसरे "नकली"। लेकिन यह केवल शुद्ध अंतराल के सापेक्ष लगभग 15 सेंट है । इसलिए, हमारी आवश्यकता 15 सेंट से बेहतर होनी चाहिए। कुछ स्रोतों का कहना है कि कुछ आवृत्तियों पर, संगीतकार 5 - 6 सेंट तक अंतर करते हैं। इसलिए लेने के लिए बुद्धिमान $\ डेल्टा = 5$ ।

तब तालिका स्पष्ट रूप से दिखाती है कि सबसे छोटा $inline$ । निम्नलिखित संतोषजनक हैं $inline$ ।

टिप्पणी:
अगला पुनरावृति, प्रत्येक के लिए $inline$ आपको ध्वनि और अन्य अंतराल की भी जांच करनी होगी। के मामले में $inline$ उदाहरण के लिए, तिहाई पूरी तरह से "नकली" बन जाते हैं: 30 सेंट से अधिक (एक बड़े तीसरे के लिए)।

तो हमारा जवाब है: $inline$ । जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

और वैसे, यह स्पष्ट है कि यदि हम इसके बजाय अपना उत्तर नहीं बदलेंगे $\ डेल्टा = 5$ उदाहरण के लिए, 10 या 15 भी लें।

निष्कर्ष। अंडररिंग नंबर

आश्चर्यजनक रूप से, यह पता चलता है कि आधुनिक संगीत प्रणाली और समकालीन (यूरोपीय) संगीत अंतर्निहित संख्या है $\ log_2 {3}$ , अर्थात्, अच्छी सटीकता (0.1%) के साथ निम्नलिखित समानता रखती है:

$\ log_2 {3} \ लगभग 19/12$

टिप्पणियों में प्रतिक्रिया और आलोचना

सबसे पहले, दिलचस्प टिप्पणियों के लिए धन्यवाद!
यहां सबसे महत्वपूर्ण (मेरी राय में) टिप्पणियों और आलोचनाओं के लिए मेरे जवाब हैं।

आलोचना 1. अंडा या चिकन

Druu: देखो, एक सप्तक में 12 ध्वनियाँ सामान्य रूप से एक समान स्वभाव तक थीं, इसलिए आप स्वभाव की मदद से 12 ध्वनियों को सही नहीं ठहरा सकते हैं, यह केवल झूठ होगा।

lair: यह ठीक उसी प्रकार का रिंग तर्क है जिसके बारे में मैं बात कर रहा हूं: यदि आप किसी विशेष सिस्टम पर निर्मित संगीत चुनते हैं, तो यह स्पष्ट है कि इसके संदर्भ में एक अलग प्रणाली असंभव है।

इन और इसी तरह की टिप्पणी के लिए, मैं 2 प्रतिवादों का हवाला दूंगा:

1) यदि पर्याप्त सटीकता के साथ समानता $log_2 {3} = 19/12$ , तो 12 ध्वनियों वाले शुद्ध सिस्टम में एक समान स्वभाव प्रणाली को "खींचना" असंभव होगा। जितना मजबूत $log_2 {3}$ से अलग है $inline$ और अधिक गलत हमारे पांचवें ध्वनि होगा। यदि यह संख्या (दृढ़ता से) अलग थी, तो शुद्ध अंतराल के लिए समान रूप से मनमौजी दृष्टिकोण नहीं होगा, और, परिणामस्वरूप, कोई आधुनिक संगीत नहीं होगा या, कहने दें, यह अलग होगा। इसलिए, यह निष्कर्ष कि संख्या के गुण काफी तार्किक हैं $log_2 {3}$ आधुनिक संगीत की नींव हैं।

2) दूसरा प्रतिवाद तार्किक रूप से उचित ठहराना असंभव है, और केवल एक धारणा है, लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि यह सब तर्क ध्यान देने योग्य है। आइए इस सवाल का जवाब देने की कोशिश करें कि आखिर एक समान रूप से टेम्पर्ड सिस्टम की आवश्यकता क्यों उत्पन्न हुई? टिप्पणियों का पहले ही आंशिक रूप से उत्तर दिया जा चुका है। उस समय संगीत (एक समान रूप से स्वभाव प्रणाली बनाने का समय) पहले से ही संयोजनों और पॉलीफोनी का उपयोग करता था, जो वास्तव में, पहले से ही बड़े और पहले से ही समान स्वभाव की आवश्यकता थी। "नकली" ध्वनि की समस्या को इस तथ्य से हल किया गया था कि संगीतकारों ने प्रदर्शन के दौरान ध्वनि को थोड़ा "समायोजित" किया था। स्ट्रिंग्स (कम से कम निडर), हवाओं और स्वरों के लिए करना आसान था (सही है, अगर मैं गलत हूं - मैंने आपकी टिप्पणियों से यह निष्कर्ष निकाला है)। उदाहरण के लिए, वायलिन के लिए - यह उंगलियों की स्थिति में बस थोड़ा सा बदलाव है। लेकिन जैसे ही आप इस तरह के अवसर (हार्पसीकोर्ड) से वंचित थे, तो तुरंत सब कुछ बुरा लगने लगा। तो, ऐसा लग रहा है कि ये 12 नोट न केवल उस तरह दिखाई दिए, बल्कि मुक्त संयोजनों और समृद्ध पॉलीफोनी की इस संभावना के प्रति संगीत के एक प्राकृतिक विकास के रूप में, और यह बदले में आक्रमण का परिणाम है। यह संगीत का स्वाभाविक विकास था। यही है, मैं यह कहना चाहता हूं कि अगर गणितीय रूप से व्युत्क्रमानुपाती 12 ध्वनियों के लिए संभव नहीं था, लेकिन, उदाहरण के लिए, 10 के लिए, तो हम (हमारे समान वर्दी स्वभाव से पहले) 10 ध्वनियां होंगी (इस मामले में, मैं जिस तरह से बात कर रहा हूं। यूरोपीय संगीत का विकास)। और फिर एक समान स्वभाव की 10 ध्वनियों को हमारे शुद्ध तंत्र पर खींचा जाएगा।

समालोचना 2. बारह की विशिष्टता

इस दावे के बारे में बहुत आलोचना की गई कि 12 एकमात्र उचित संख्या है।

सबसे पहले, इस कथन की आक्रामकता और कठोर औचित्य के सिद्धांत को समझना, मैंने संभवतः लेख में कुछ आरोपों की श्रेणीबद्धता को कम कर दिया। और अभी तक ...

इस मामले में, हमारी आलोचना की 2 पंक्तियाँ हैं।

1) मैं 19, 24 या 29 (आदि) को अस्वीकार्य क्यों मानता हूं?

नहीं, मुझे ऐसा नहीं लगता। विभिन्न उपकरणों के लिए, स्केल के बाहर ध्वनियों का उपयोग करने की तकनीकें हैं, उदाहरण के लिए, ग्लिसंडो और वाइब्रेटो। ये तकनीक ध्वनि में सुंदरता और स्वाभाविकता जोड़ती हैं। इसलिए, 12 नोटों के साथ भी हम अभी भी सहायक ध्वनियों का उपयोग करते हैं। यदि हम परिवेश के बारे में, असामान्य ध्वनि के बारे में, ध्वनि को समृद्ध करने के बारे में बात कर रहे हैं ... तो यह काफी उचित है, लेकिन अगर हम बुनियादी स्वरों के बारे में बात कर रहे हैं, तो मुझे संदेह है। संगीत न केवल अभिजात वर्ग के लिए, बल्कि आम लोगों के लिए बनाया गया है, और उनके लिए ऐसा स्नातक (IMHO) अनावश्यक है।

दूसरा तर्क, और यह टिप्पणियों में दिया गया था, वास्तव में, एक लंबे पैमाने के मामले में उपकरण और प्रदर्शन बनाने की जटिलता है, हालांकि हमारे पास इस तरह के साधन - सितार का एक बड़ा उदाहरण है। लेकिन पियानो पर एक सप्तक (एक हाथ से) लेने की कोशिश करें यदि आपके पास 24 ध्वनियों का एक पैमाना है।

2) लेकिन पेंटाटोनिक के बारे में क्या?

सभी पूर्वी देशों में जो मैं था, किसी कारण से मैंने बहुत कम ही राष्ट्रीय संगीत को पेंटाटोनिक पैमाने पर बनाया सुना था। और पूर्व के सभी संगीतकारों, जिन्हें मैंने (और मैं कुछ प्यार करता हूं) की बात सुनी, ने भी काफी यूरोपीय संगीत का प्रदर्शन किया। यहां एक दिलचस्प उद्धरण है : "शैक्षणिक संगीतकार 19 वीं शताब्दी से संगीत को पुरातन स्वाद देने के लिए पेंटेटोनिक का एक विशेष पेंट के रूप में उपयोग कर रहे हैं।" पुरातन की सुगंध ...
मेरी धारणा में, फिर भी, यह संगीत आधुनिक नहीं है, लेकिन मैं इस स्थिति का बचाव नहीं करना चाहता हूं, इसलिए लेख में कुछ स्थानों पर मैं "आधुनिक यूरोपीय संगीत" शब्द का उपयोग करता हूं। यह स्पष्ट है कि यह संगीत (पेंटाटोनिक पैमाने पर निर्मित) अन्य कानूनों के अनुसार विकसित हुआ, और समृद्ध पॉलीफोनी और लगातार और आसान मॉडुलन की मांग तक नहीं पहुंचा, जो यूरोपीय संगीत में दिखाई दिया। इसलिए, यह लेख स्पष्ट रूप से पेंटाटोनिक के बारे में नहीं है।

आलोचना 3. समकालीन संगीत

मुझे आधुनिक संगीत क्या कहते हैं?

यद्यपि यह एक तनातनी की तरह लगता है, आधुनिक संगीत से मेरा मतलब है कि संगीत जिसमें प्रतिरूप की आवश्यकता होती है, जो कि एक निश्चित प्रणाली (उदाहरण के लिए, हार्पसीकोर्ड, पियानो) के साथ उपकरणों के मामले में समान रूप से समशीतोष्ण प्रणाली (या कुछ करीबी) की आवश्यकता की ओर जाता है। अन्य उपकरणों के मामले में, उदाहरण के लिए, झल्लाहट के तार, सब कुछ थोड़ा और अधिक जटिल दिखता है, क्योंकि वास्तव में, ध्वनियों के एक बड़े (12 से अधिक) सेट का उपयोग करना संभव है। लेकिन फिर भी, जब हम आक्रमण की आवश्यकता के बारे में बात करते हैं, तो हमारा मतलब है कि ये ध्वनियाँ हमारे 12 के बहुत करीब (आवृत्ति में) होनी चाहिए।

इस परिभाषा में लगभग सभी पियानो संगीत, यूरोपीय शास्त्रीय, जैज़, रॉक संगीत, पॉप और उनमें से सभी डेरिवेटिव शामिल हैं। मुझे यकीन है कि अपवाद हैं, लेकिन IMHO ये अपवाद हैं। मैं इस बारे में बहस करने का कोई कारण नहीं देखता, क्योंकि हर कोई इस अवधारणा में कुछ निवेश कर सकता है।

आलोचना 4. गणना

गणना में त्रुटि।

मुझे लगता है कि यह प्रश्न हटा दिया गया है। हालाँकि, मुझे यह स्वीकार करना चाहिए कि चर्चा के दौरान मैंने माध्यमिक मामलों के बारे में कई गलत बयान दिए, जो लेख के मुख्य निष्कर्ष को प्रभावित नहीं करते थे।

PS इस लेख को (और संबंधित आवश्यकताओं को) शैक्षणिक कार्य के रूप में न मानें। :) यह संगीत सिद्धांत पर एक लेख नहीं है। इसके अलावा, यह संगीत के इतिहास पर एक लेख नहीं है। इन क्षेत्रों में, मैं किसी भी तरह से अपने ज्ञान को कम से कम किसी भी तरह से महत्वपूर्ण नहीं मानता हूं और मानता हूं कि गलतियां हो सकती हैं, हालांकि मैंने उनसे बचने की कोशिश की। यहां एक सरल गणितीय समस्या तैयार की गई है (एक स्कूल स्तर की जटिलता), जिसका समाधान, जैसा कि मुझे लगा, एक दिलचस्प व्याख्या है। जिसके साथ मैंने साझा किया।

आधुनिक संगीत अंतर्निहित संख्या