रोजमर्रा के उपयोग और गणित की सभी शाखाओं में, अपराधों के महत्व को कम करके आंका नहीं जा सकता है । हम शांति से उनके विशेष गुणों पर भरोसा करते हैं, उन्हें हमारे समाज के अनगिनत तत्वों की नींव के रूप में उपयोग करते हैं, क्योंकि वे प्रकृति के बहुत कपड़े का एक अविभाज्य हिस्सा हैं। अभाज्य संख्याएँ जो किसी भी कारक के लिए प्रतिरोधी होती हैं, उन्हें अक्सर गणित की दुनिया का "परमाणु" कहा जाता है। कार्ल सागन ने उनके बारे में इस तरह कहा:

सभी नंबरों के मौलिक भवन ब्लॉकों के रूप में अपराधों की स्थिति, जो स्वयं ब्रह्मांड की हमारी समझ के निर्माण खंड हैं, बहुत महत्वपूर्ण है।

प्रकृति में और हमारे जीवन में, प्राइम नंबर का उपयोग हर जगह किया जाता है: सिकाड्स उन पर अपने जीवन चक्र का निर्माण करते हैं, घड़ी बनाने वाले उन्हें टिक की गणना करने के लिए उपयोग करते हैं, और विमान के इंजन में, उनकी मदद से, वायु दालों की आवृत्ति संतुलित है। हालांकि, आवेदन के इन सभी क्षेत्रों को हर क्रिप्टोग्राफर से परिचित तथ्य की पृष्ठभूमि के खिलाफ फीका पड़ता है: अभाज्य संख्याएं आधुनिक कंप्यूटर सुरक्षा के बहुत दिल में हैं, अर्थात्, वे सब कुछ की रक्षा के लिए सीधे जिम्मेदार हैं । ब्राउज़र के एड्रेस बार में लॉक देखें? हां, इसका मतलब है कि एक दो-कुंजी "हैंडशेक" का उपयोग किया जाता है, जो कि primes पर आधारित है। खरीदारी करते समय आपका क्रेडिट कार्ड कैसे सुरक्षित है? इसके अलावा, अपराधों पर आधारित क्रिप्टोग्राफी का उपयोग करना।

हालांकि, इस तथ्य के बावजूद कि हम लगातार उनके अनूठे गुणों पर भरोसा करते हैं, अभाज्य संख्या हमारे लिए मायावी बनी रही। गणित के पूरे इतिहास में, महान दिमागों ने यह अनुमान लगाने की कोशिश की है कि संख्याओं की भविष्यवाणी करने पर एक प्रमेय साबित होता है, या वे एक दूसरे से कितनी दूर होनी चाहिए। वास्तव में, कुछ अनसुलझी समस्याएं, जैसे कि जुड़वां संख्याओं की समस्या , गोल्डबैक समस्या , पैलिंड्रोम प्राइम्स और रीमैन परिकल्पना , इस सामान्य अप्रत्याशितता से जुड़ी हुई हैं और अनन्तता की ओर प्रवृत्त होने पर अपराधों की अनिश्चितता। बेशक, यूक्लिड के समय से हमने एल्गोरिदम की खोज की जो हमें कुछ नंबरों के स्थान की भविष्यवाणी करने की अनुमति देती है, लेकिन सामान्य प्रमेय अभी तक साबित नहीं हुए हैं, और पिछले प्रयासों में बड़ी संख्या की जांच के लिए उपकरण नहीं थे। हालांकि, 21 वीं सदी की तकनीक शोधकर्ताओं को बहुत बड़ी संख्या पर मान्यताओं का परीक्षण करने की अनुमति देती है , लेकिन अकेले यह तकनीक विवादास्पद है, क्योंकि मोटे तौर पर स्क्रीनिंग को विश्वसनीय सबूत नहीं माना जाता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी सार्वभौमिक सूत्र या समीकरण को मानने के लिए प्राइम्स विरोध करते हैं, और प्रकृति में उनकी व्यवस्था यादृच्छिक लगती है।

हालांकि, यादृच्छिक स्क्रिबल्स वाला एक व्यक्ति यह साबित करने में कामयाब रहा कि वे कम से कम पूरी तरह से यादृच्छिक नहीं हैं ...

स्क्विगल्स से एक टिप तक - उलम मेज़पोश

सबसे बड़े प्रमाणों में से एक यह है कि अपराधों की व्यवस्था एक शुद्ध संयोग नहीं है जो सबसे अनुचित तरीके से दिखाई देती है: व्याख्यान के एक ऊब छात्र के विचारहीन और यादृच्छिक डूडल से।


मेज़पोश उलम

जैसा कि कहानी चलती है, पोलिश गणितज्ञ स्टानिस्लाव उलम ने 1963 में एक सेमिनार के दौरान इस ग्राफिक पैटर्न की खोज की। रेखाओं के एक ग्रिड को खींचते हुए, उन्होंने चौराहों को एक वर्ग-सर्पिल पैटर्न में बदलने का फैसला किया और सर्पिल में संख्याओं को गोल करना शुरू कर दिया जो सरल थे। उनके आश्चर्य की बात है, चक्कर लगाए गए तिरछे सीधी रेखाओं पर गिर गए, या, जैसा कि उलम ने इसे और अधिक सख्ती से कहा, "दृढ़ता से गैर-आयामी व्यवहार दिखाया।" उलम की मेज़पोश, या सर्पिल प्राइम्स, एक वर्ग सर्पिल में चिह्नित प्राइमों के सेट का परिणामी ग्राफिक प्रदर्शन है। टेबलक्लॉथ को मूल रूप से प्रकाशित किया गया था और वैज्ञानिक अमेरिकी में मार्टिन गार्डनर द्वारा शीर्षक "गणितीय खेलों" में व्यापक रूप से जाना गया।


उलम मेज़पोश की माप 377x377 (लगभग 142 हज़ार तक)

ऊपर दिखाए गए विज़ुअलाइज़ेशन में विशेष रूप से विकर्णों के साथ उल्लेखनीय पैटर्न का पता चलता है। लेकिन शायद हम खुद को बेवकूफ बना रहे हैं? अक्सर यह दावा किया जाता है कि उलम का मेज़पोश हमारे दिमाग की एक चाल है जो यादृच्छिकता में पैटर्न खोजने की कोशिश करता है। सौभाग्य से, हम यह सुनिश्चित करने के लिए दो अलग-अलग तकनीकों का उपयोग कर सकते हैं कि यह मामला नहीं है। दृश्य तुलना और तार्किक विश्लेषण दोनों हमें निश्चित रूप से बताते हैं कि पैटर्न आकस्मिक नहीं है। सबसे पहले, हम आकार के मैट्रिक्स NxN द्वारा परिभाषित उलम मेज़पोश की तुलना उसी आकार के मैट्रिक्स के साथ करते हैं जिसमें यादृच्छिक रूप से परिभाषित बिंदु होते हैं। दूसरे, हम बहुपदों के अपने ज्ञान का उपयोग यह समझने के लिए कर सकते हैं कि क्यों हमें कुछ पैटर्न की उम्मीद करनी चाहिए जब रेखांकन प्रमुख संख्याओं को प्रदर्शित करते हैं।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, सबसे अधिक संभावना है, पैटर्न की गैर-आयामीता की सबसे सहज पुष्टि उलम के मेज़पोश के साथ एक सीधी तुलना होगी। ऐसा करने के लिए, समान आकार के यादृच्छिक स्थानों के साथ एक उलम मेज़पोश और एक वर्ग सर्पिल बनाएं। संख्यात्मक सर्पिल का प्रतिनिधित्व करने वाले दो अलग-अलग 200x200 मैट्रीक नीचे दिखाए गए हैं:


एक दृश्य तुलना से यह स्पष्ट हो जाता है कि उलम के मेज़पोश में आश्चर्यजनक पैटर्न हैं, विशेष रूप से विकर्ण कुल्हाड़ियों के साथ; इसके अलावा, इसमें अंकों के लगभग कोई समूह नहीं हैं। दूसरी ओर, अंकों की यादृच्छिक व्यवस्था तुरंत कोई ध्यान देने योग्य पैटर्न नहीं बनाती है और विभिन्न दिशाओं में अंकों के संचय की ओर ले जाती है। निस्संदेह, इस तरह की तकनीक में पारंपरिक सबूतों की कठोरता का अभाव है; हालाँकि, प्राइम्स के सर्पिलों के दृश्य में कुछ त्रुटि है: यह एक बेतरतीब ढंग से खोजी गई तकनीक है जो आपको एक ऐसा ग्राफ़ बनाने की अनुमति देती है जो तर्क को उत्तेजित करती है और सौंदर्य की दृष्टि से आकर्षक है।

यदि हम अधिक तार्किक और पारंपरिक तरीके से अपराधों की प्रकृति से संपर्क करते हैं, तो ऐसे दृश्यों में पैटर्न की उपस्थिति की अपेक्षा करना काफी उचित है । जैसा कि ऊपर कहा गया है, विकर्ण, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में रेखाओं में एक संकेत होता है। इनमें से कुछ पंक्तियाँ, जो कि अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, को साधारण वर्ग बहुपद द्वारा समझाया जा सकता है, जो कि primes की उपस्थिति की संभावना को बाहर करता है - उदाहरण के लिए, समीकरण y = x² से संबंधित विकर्ण लाइनों में से एक स्पष्ट रूप से primes को बाहर करता है। दूसरी ओर, यह ज्ञात है कि कुछ वर्ग बहुपद, जिन्हें प्रधान सूत्र कहा जाता है (हम उनके बारे में नीचे बात करेंगे), अपराधों का एक उच्च घनत्व बनाते हैं, उदाहरण के लिए, यूलर प्रमुख बहुपद: x² - x - 41; यह एक सर्पिल में एक पैटर्न के रूप में परिलक्षित होती है (हालांकि ऊपर आरेख में अंतराल को खोजना मुश्किल है)।

एक दृश्य तुलना पैटर्न को इंगित करती है, और एक तार्किक विश्लेषण अपेक्षित पैटर्न के अस्तित्व की पुष्टि करता है। बेशक, हम अभी भी सभी अपराधों को खोजने के लिए एक सार्वभौमिक फॉर्मूला से दूर हैं, लेकिन उलम की झांकी निस्संदेह सुंदर है, दोनों हमारे ज्ञान के प्रतीक के रूप में और प्राकृतिक कला की उत्कृष्ट कृति के रूप में।

सैक्स सर्पिल

जैसा कि गणित के कई क्षेत्रों में, मूल विचार के आगमन के बाद, साथी गणितज्ञों की सेना ने नक्शेकदम पर चलते हुए नए विषय में योगदान करने के प्रयास शुरू किए। यह तर्कसंगत है कि उलम के मेज़पोश ने उन गणितज्ञों की पीढ़ियों को प्रेरित किया जिन्होंने अपनी अद्भुत खोज को विकसित करने की मांग की थी। 1994 में, सॉफ्टवेयर इंजीनियर रॉबर्ट सैक्स ने विभिन्न तरीकों से primes की कल्पना करने के लिए अपने प्रोग्रामिंग कौशल का उपयोग करने का निर्णय लिया।

उलम की झांकी के मामले में लगभग, सैक्स ने अपनी योजना को एक और सर्पिल विमान का उपयोग करने का निर्णय लिया। ऊपर दिखाए गए स्क्वायर सर्पिल के समान, सर्पिल विमान पारंपरिक कार्टेशियन संख्या प्रणाली को अंक देने से इनकार करते हैं, क्योंकि वे एक एकध्रुवीय स्थिति प्रणाली हैं। बस संख्या जानने के बाद, आप सर्पिल में इसकी स्थिति, सर्पिल में अन्य सभी संख्याओं के सापेक्ष इसकी स्थिति का पता लगा सकते हैं, साथ ही संख्या के पिछले और अगले वर्ग से इसकी दूरी भी जान सकते हैं। हालांकि, एक वर्ग सर्पिल के बजाय, सैक्स ने निम्नलिखित ध्रुवीय निर्देशांक के साथ एक आर्किमिडीज़ सर्पिल पर आरोपित पूर्णांक का उपयोग करके पैटर्न खोजने की कोशिश की:


ध्रुवीय आर्किमिडीज / सैक्स के सर्पिल का समन्वय करता है

इस तकनीक के साथ, आर्किमिडीयन सर्पिल लगभग शून्य पर केंद्रित है, और सभी प्राकृतिक संख्याओं (1,4,9,16,25) के वर्ग सर्पिल और ध्रुवीय अक्ष (मूल के पूर्व में स्थित) के चौराहों पर स्थित हैं।


आर्किमिडीज / सैक्स सर्पिल संरचना

इस आरेख को तैयार करने के बाद, हम सर्पिल (वामावर्त) के साथ वर्गों के बीच के बिंदुओं को भर देंगे, उन्हें एक दूसरे से समान दूरी पर लागू करेंगे। और अंत में, उलम की मेज़पोश के साथ उदाहरण के रूप में, हम परिणामस्वरूप सर्पिल में निहित अपराधों को बाहर निकाल देंगे।

सैक्स संख्यात्मक सर्पिल, जो पहली बार 2003 में ऑनलाइन प्रकाशित हुआ था, नेत्रहीन और बौद्धिक दोनों तरह से आकर्षक है। इसके अलावा, जैसा कि हम जल्द ही देखेंगे, यह हमें प्रख्यात पैटर्न की तुलना में अच्छी तरह से ज्ञात उलम मेज़पोश की गहरी समझ देता है, क्योंकि यह उलम के छद्मों की टूटी हुई रेखाओं को जोड़ता है:


चिह्नित प्रमुख संख्याओं के साथ आर्किमिडीज़ सर्पिल, यह सैक्स सर्पिल भी है।

परिणामस्वरूप चार्ट फिर से ध्यान देने योग्य पैटर्न प्रदर्शित करता है। लगभग तुरंत, यह स्पष्ट हो जाता है कि केंद्र से एक साफ सफेद रेखा चल रही है और क्षैतिज रूप से पूर्व की ओर खींच रही है। हमारी योजना की ओर मुड़ते हुए, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह पूर्णांक (r = n ^ ((5))) के सभी वर्गों से युक्त एक रेखा है। दूसरा अवलोकन: अंकन पैटर्न, उलम मेज़पोश की सीधी रेखाओं के विपरीत, घुमावदार रेखाओं की तरह अधिक है। यह पता चला है कि इन घटता, जिसे उत्पाद वक्र के रूप में भी जाना जाता है , हमें पिछले सर्पिल में उत्पन्न होने वाले पैटर्न के बारे में बताते हुए बहुपद में लौटाते हैं। लेकिन इससे पहले कि हम उनकी ओर मुड़ें, एकता के लिए, हम फिर से सैक्स सर्पिल की तुलना यादृच्छिक मूल्यों के सर्पिल से करते हैं:

बहुपद और उत्पाद घटता है

इस खोज के बाद रॉबर्ट सैक्स का काम पूरी तरह से इन घुमावदार कामों पर केंद्रित था, जो सर्पिल के केंद्र में या उसके बगल में शुरू होते थे, और सर्पिल के मोड़ के साथ विभिन्न कोणों पर प्रतिच्छेद करते थे। वक्र लगभग सीधे हैं, लेकिन उनके लिए अधिक विशिष्ट यह है कि वे पूर्व-पश्चिम अक्ष से एक निश्चित ऑफसेट पर सीधे होने से पहले , मूल के चारों ओर आंशिक, पूर्ण या एकाधिक दक्षिणावर्त घुमाव (सर्पिल के आंदोलन के खिलाफ) का प्रदर्शन करते हैं। सैक्स संख्यात्मक सर्पिल के सबसे हड़ताली पहलुओं में से एक पश्चिमी गोलार्ध में इस तरह के घुमावदार कार्यों की प्रबलता है (संख्याओं के वर्ग के विपरीत तरफ)।

सैक्स ने उत्पाद वक्रों को "उनके बीच एक निरंतर अंतर वाले कारकों के उत्पादों" का प्रतिनिधित्व करते हुए वर्णित किया। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक वक्र को द्विघात समीकरण (दूसरी डिग्री के बहुपद) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो फिर से एक साधारण संयोग नहीं है, जिसे सैक्स सर्पिल में एक प्राकृतिक संख्या के वर्ग का प्रचलन बताया गया है। शायद ये उत्पाद घटता हमें इस निष्कर्ष पर पहुंचा सकते हैं कि सैल्स सर्पिल हमारे मार्ग में उलम की मेज़पोश की तुलना में प्रमुख संख्याओं को समझने के लिए बहुत अधिक उपयोगी है। हालाँकि, उल्म की मेज़पोश ने हमें पैटर्न और समीकरणों के संभावित अस्तित्व को दिखाया, लेकिन प्राइम फ़ार्मुलों की खोज में सैक्स सर्पिल समर्थन बिंदु देता है - उनकी वक्रता और अखंडता स्थिर है, जिसका अर्थ है कि उनका पता लगाना बहुत आसान होगा। उदाहरण के लिए, नीचे दिखाए गए सैक्स सर्पिल में लेबल वाली रेखाएँ और उनके अनुरूप प्रधान सूत्र हैं, जो मानक रूप में लिखे गए हैं। जैसा कि मैंने वादा किया था, प्राइम नंबर जेनरेट करने के लिए प्रसिद्ध यूलर फॉर्मूला हमें फिर मिला (अंतिम प्रविष्टि: n n + n +41):


इस संख्या के सर्पिल के लिए धन्यवाद, सैक्स एक आश्चर्यजनक कथन बनाने में सक्षम था कि एक प्रमुख संख्या क्या है: एक सकारात्मक पूर्णांक जो उत्पाद के केवल एक वक्र पर स्थित है। चूंकि सर्पिल अंतहीन रूप से स्पिन कर सकता है, इसलिए खुद को घटता भी अंतहीन माना जा सकता है; सैद्धांतिक रूप से, ये उत्पाद घटता संभवतः पर्याप्त बड़ी संख्या के स्थान की भविष्यवाणी कर सकते हैं - कम से कम ऐसी संख्या एक करीब से देखने लायक है।

कुल मिलाकर, शक के बिना सर्पिल ने हमें अपराधों के लिए और अधिक सुविधाजनक सूत्र प्रस्तावित करके primes की गहरी समझ के लिए प्रेरित किया।

इसका अर्थ है

तो, हमने उलम और सैक्स सर्पिल के मेज़पोश दोनों का विश्लेषण किया। इन उदाहरणों के माध्यम से, अभाज्य संख्याओं की प्रकृति के बारे में हमारी समझ का विस्तार हुआ है। विशेष रूप से, सैक्स सर्पिल ने हमें उत्पाद वक्रों से परिचित कराया, जो मूल रूप से द्विघात समीकरणों का एक समूह हैं, जिन्हें प्रमुख सूत्र के रूप में जाना जाता है। उलामा और सैक्स दोनों रेखांकन, अप्रत्याशित और सौंदर्यवादी बन गए, वे हमारी जिज्ञासा को उत्तेजित करते हैं और पूरी दुनिया के लिए सबसे कठिन कार्यों में से एक पर प्रकाश डालते हैं।

इस सब से क्या सबक सीखा जा सकता है?

आप कभी भी अघुलनशील समस्याओं की समीक्षा करने से इंकार नहीं कर सकते, भले ही आप इसे शुद्ध जिज्ञासा और ऊब से करें; हर कोई खोज कर सकता है और अक्सर वे पूरी तरह से असामान्य प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप उत्पन्न होते हैं। विज़ुअलाइज़ेशन की बदौलत प्रसिद्ध कार्य पर अपना नज़रिया बदलने के बाद, स्टानिस्लाव उलम ने हमें प्रमुख संख्याओं को समझने के लिए एक कदम और करीब लाया: कौन जानता है कि हम अन्य अप्रत्याशित खोजों को क्या कहेंगे?