मेट्रो में एस्केलेटर को नीचे चलाने की अनुपयुक्तता का गणितीय औचित्य

समय बचाने के लिए, मेट्रो का उपयोग करने के नियमों के विपरीत, हम में से प्रत्येक ने अपने जीवन में कम से कम एक बार एस्केलेटर नीचे चला दिया। पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि यह बिल्कुल तार्किक और सही है: यदि आप तेजी से छोड़ना चाहते हैं - जितनी जल्दी हो सके मंच पर रहने की कोशिश करें। हालांकि, लगभग तुरंत निम्नलिखित परिदृश्य में ध्यान में आता है: आप एस्केलेटर के नीचे सिर करते हैं, प्लेटफॉर्म पर जाते हैं, और कार के दरवाजे आपकी नाक के ठीक सामने बंद होते हैं। जब आप अगली ट्रेन की प्रतीक्षा कर रहे हैं - जो लोग एस्केलेटर पर उठे थे उसी समय जब आपके पास खड़े होने का समय है तब भी चुपचाप नीचे जाएं और अगली ट्रेन ले जाएं। इस मामले में, कोई लाभ नहीं है। तो एस्केलेटर को नीचे चलाना कितना तर्कसंगत है और क्या यह ऐसा करने के लायक है? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं - जवाब मिला है! नीचे मेट्रो में एस्केलेटर को चलाने के लिए अक्षमता (हाँ, यह नहीं है) के लिए एक गणितीय औचित्य है।

कार्य विवरण

गणितीय तर्क की ओर मुड़ने से पहले, यह ध्यान देने योग्य है कि, स्वाभाविक रूप से, मैं इस मुद्दे पर सोचने वाला पहला व्यक्ति नहीं हूं। इंटरनेट पर आप इस विषय पर पर्याप्त संख्या में लेख और यहां तक ​​कि संघीय चैनलों के समाचार भी पा सकते हैं। हालांकि, हर बार इस तरह के प्रयोगों का सार एस्केलेटर पर खड़े व्यक्ति के समय के साथ प्राप्त समय की बाद की तुलना के साथ एस्केलेटर के नीचे सामान्य रूप से चलता है। थोड़ा बेहतर है अगर लेखक डाउनहिल की प्रभावशीलता का आकलन करने की कोशिश कर रहे हैं। और भी बेहतर अगर वे अभी भी आंकड़े प्रदान करते हैं। आँकड़ों के लिए, वैसे भी, मैं विशेष रूप से आपको थोड़ा कम धन्यवाद कहना चाहूँगा। इन प्रयोगों की स्पष्टता की कमी और व्यावहारिक निष्कर्षों की कमी के संबंध में, मुझे कल्पना की गई थी, और बाद में जारी प्रक्रिया का विश्लेषण किया गया था।

और इसलिए, हम समस्या की शर्तों को तैयार करते हैं और प्रतिबंधों को निरूपित करते हैं:

1. प्रयोग (मानसिक) में दो लोग शामिल होते हैं जो एक यादृच्छिक समय पर एक ही समय में एस्केलेटर से संपर्क करते हैं और यह नहीं जानते कि ट्रेन कहां है।
2. इन लोगों में से एक एस्केलेटर पर खड़ा है और एक वंश पर समय बिता रहा है। $$ एस्केलेटर के आंदोलन के समय के बराबर।
3. दूसरा एस्केलेटर को तेज करता है, जिससे इसकी गति बढ़ जाती है $$ समय, जिससे एक ही समय में वंश समय कम हो जाता है: $$ ।
4. प्रभावी को ऐसा त्वरित वंश माना जाता है, जिसके कारण यह तथ्य सामने आया कि एस्केलेटर पर खड़े व्यक्ति के पास ट्रेन में बैठने का समय नहीं होता है, जिसमें एस्केलेटर पर भागने वाले व्यक्ति के पास समय होता है।
5. द्वारा निरूपित करें $$ - एक प्रभावी वंश की संभावना। फिर, नैश संतुलन के अनुसार, एक व्यक्ति एक मौका लेने और एस्केलेटर को चलाने के लिए केवल तभी तैयार होता है जब एक प्रभावी वंश की संभावना एक अप्रभावी वंश की संभावना से अधिक या उसके बराबर हो या जगह में रुक जाए, अर्थात 0.5। यदि एक प्रभावी वंश की संभावना 0.5 से अधिक या उसके बराबर है, तो एस्केलेटर को नीचे चलाने का निर्णय उचित कहा जाएगा। यदि 0.5 से कम है - अव्यवहारिक ।
6. हम इस तथ्य की उपेक्षा करते हैं कि वास्तविक जीवन में, एक नियम के रूप में, एस्केलेटर छोड़ने के बाद कार के लिए कुछ और दूरी तय करना आवश्यक है या लोगों को कार छोड़ने के लिए इंतजार करना पड़ता है, ट्रेनें चर अंतराल पर चलती हैं और कुछ समय के लिए खुलने से पहले और दरवाजे बंद करने के बाद गतिहीन हो जाती हैं, यही है, हम मान लेंगे कि यदि एस्केलेटर छोड़ने के समय ट्रेन स्टेशन पर है, तो उसके दरवाजे खुले हैं और प्रयोग करने वाला प्रतिभागी कार में तुरंत समाप्त हो जाता है, ट्रेन अपने आप ही स्टेशन से (स्टेशन से) दरवाजे (और दरवाजे) को खोल देती है (पत्ते) dnomomentno।

निर्णय की प्रगति

चलो समय अक्ष खींचते हैं (छवि 1)। पूरी धुरी ट्रेनों के बीच लगातार अंतराल होगी। इसके बाद, केवल एक अंतराल पर विचार किया जाएगा। 4 बराबर खंडों में दिखाए गए अंतराल को विभाजित करें। इस अक्ष पर बिंदु 0 उस क्षण से मेल खाता है जिस दिन ट्रेन स्टेशन से बाहर निकलती है। प्वाइंट 3 ट्रेन के आने और दरवाजों के खुलने से मेल खाती है। प्वाइंट 4 - ट्रेन के दरवाजे और प्रस्थान बंद करना। इस प्रकार, ग्राफिकल प्रतिनिधित्व और गणना की सुविधा के लिए, ट्रेनों के बीच के अंतराल को स्टेशन से ट्रेनों के प्रस्थान के क्षणों के बीच गिना जाता है। पहले 3 सेगमेंट में यात्रियों को आने वाली ट्रेन का इंतजार करने के लिए मजबूर किया जाता है। चौथा खंड ट्रेन के रुकने का समय है, जब यात्री इसमें सवार हो सकते हैं। उस समय भी लगाओ $$ (एस्केलेटर पर वंश का समय) दो खंडों के बराबर है। फ़ैक्टर $$ 2 के बराबर, यानी, वंश का समय 2 गुना कम और एक सेगमेंट के बराबर।



अब, संभावना निर्धारित करने के लिए $$ , पता करें कि जॉगिंग करने का निर्णय किस अवधि में लिया जाएगा, जिससे यह तथ्य सामने आएगा कि वंश प्रभावी होगा। उदाहरण के लिए, यदि हमारे प्रतिभागी 0 के समय एस्केलेटर से संपर्क करते हैं, तो सबसे पहले समय पर प्लेटफॉर्म पर आएगा $$ (अंजीर। 2), और दूसरा पहले, फिलहाल $$ । लेकिन, जैसा कि आंकड़े से देखा जा सकता है, इनमें से कोई भी समय स्टेशन पर एक ट्रेन नहीं है, जिसका अर्थ है कि नीचे चलना अक्षम था।



एक अन्य मामले पर विचार करें (चित्र 3): प्रयोग में भाग लेने वाले समय पर एस्केलेटर के पास जाते हैं। 2. पिछले मामले में, पहला समय पर प्लेटफॉर्म पर होगा $$ , और दूसरा पहले, इस समय $$ । लेकिन यह स्पष्ट है कि दोनों समय ट्रेन स्टेशन पर है। इसलिए, दोनों के पास एक ही ट्रेन में सवार होने का समय होगा, इसलिए नीचे उतरना अक्षम था।



इसके अलावा, यह समझना आसान है कि किसी भी समय अंतराल में 2 से 3 तक, डाउनहिल चलाना प्रभावी है, क्योंकि बचा हुआ व्यक्ति हमेशा ट्रेन में चढ़ने का प्रबंधन करता है, और भागने वाला नहीं। यदि आप 3 और 4 के बीच समय बिंदुओं का चयन करते हैं, तो दोनों प्रतिभागियों को ट्रेन के लिए देर हो चुकी है और अगले एक साथ इंतजार करने के लिए मजबूर किया जाता है, अर्थात फिर से चलना अप्रभावी है।

यह पता चला है कि 4 पारंपरिक समय अवधि में से, केवल तभी भागना प्रभावी होता है जब प्रतिभागी एस्केलेटर से 2 और 3 बार (चित्र 4) के बीच पहुंचते हैं। इसमें होने की संभावना 1/4 है। इसलिए, कार्य की दी गई शर्तों के तहत, नीचे उतरने का निर्णय करना अव्यावहारिक है, क्योंकि दूसरा प्रतिभागी व्यर्थ दौड़ने की अधिक संभावना (3/4 संभावना के साथ) है और पहले वाले के साथ ट्रेन का इंतजार करने के लिए मजबूर होगा, जो बाद में नीचे आया था।



निम्नलिखित टिप्पणी पूरी तरह से उचित होगी:

1. ट्रेनों के बीच अंतराल कम और बढ़ सकता है। पार्किंग समय बढ़ सकता है, और प्रतीक्षा समय घट सकता है (समान अंतराल के साथ) और इसके विपरीत।
2. एस्केलेटर डाउन की गति स्थिर है, लेकिन वंश समय अलग-अलग हो सकता है, क्योंकि स्टेशन कम या ज्यादा गहरे हो सकते हैं।
3. दूसरा प्रतिभागी एस्केलेटर की तुलना में अच्छी तरह से 2 नहीं, बल्कि 3 या 4 गुना तेज दौड़ सकता है।

उपरोक्त कारकों में परिवर्तन के प्रभाव का आकलन करने के लिए, इन मूल्यों और एस्केलेटर पर होने की संभावना के बीच संबंध को प्राप्त करना आवश्यक है जब यह नीचे चलाने के लिए प्रभावी हो।

ऐसा करने के लिए, हम एक अन्य मामले (चित्र 5) को चित्रित करेंगे। हम सभी मूल डेटा को एक के अपवाद के साथ अपरिवर्तित छोड़ देते हैं: गुणांक $$ 4 से वृद्धि। यानी, दूसरा प्रतिभागी पहले की तुलना में 4 गुना तेज होगा। छवि की सुविधा के लिए, हम अपने अंतराल को 8 बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इस प्रकार, एस्केलेटर पर वंश का समय अब ​​4 खंडों के बराबर है, ट्रेन दो पर रुकती है, प्रतीक्षा समय 6 है, और अकेले चलने का वंश समय है। यह पता लगाना मुश्किल नहीं है कि अब "प्रभावी" समय अंतराल (समय में 4 से 7 अंक) की लंबाई 3. है, यानी, संभावना $$ 3/8 के बराबर। यह पहले से ही पहले से अधिक है, लेकिन हमने संभावना का आकलन करने के लिए इन परिवर्तनों को पूरा नहीं किया।



चित्रा 4 और चित्रा 5 के आधार पर, यह स्पष्ट है कि "प्रभावी" खंड की लंबाई है $$ । इसे अंतराल की लंबाई से विभाजित करें और संभावना प्राप्त करें $$ जहाँ $$ ।
हम परिवर्तनों की एक श्रृंखला करते हैं: $$$$ ।
अंतिम सूत्र: $$ ।

इस सूत्र के आधार पर, कई मूलभूत निष्कर्ष एक बार में निकाले जा सकते हैं:

1. पार्किंग समय और ट्रेन प्रतीक्षा समय में परिवर्तन से संभावना मान प्रभावित नहीं होता है यदि कुल अंतराल नहीं बदलता है (चित्र 6)।
   
   
   
2. ट्रेनों के बीच अंतराल जितना बड़ा होगा, संभावना P उतनी कम होगी (चित्र 7)।
   
   
   
3. यदि अंतराल और / या गुणांक K बढ़ता है तो एस्केलेटर पर वंश समय का अनुपात बढ़ता है तो संभावना बढ़ जाती है।
   

निष्ठा की जाँच

अब देखते हैं कि व्युत्पन्न सूत्र कितना सही है?

सूत्र की शुद्धता को सत्यापित करने के लिए, हम उन आंकड़ों की ओर मुड़ते हैं, जो 2014 में द विलेज संवाददाता द्वारा बहुत उपयोगी थे। मैं अपनी मान्यता व्यक्त करता हूं और स्वाभाविक रूप से, लेख के अंत में मैं मूल लेख का लिंक छोड़ दूंगा। यह भी अच्छा है कि आँकड़े दृश्य इन्फोग्राफिक्स के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं।

प्रयोग 1. मेट्रो स्टेशन चेखवस्काया



संभावना की गणना करें $$ ।
यहां $$ ; $$ ; $$ ; $$ ; $$ ।

प्राप्त परिणाम, जाहिरा तौर पर, प्रयोगात्मक डेटा से अलग होता है। क्या सूत्र गलत है? नहीं! यह इन्फोग्राफिक से देखा जा सकता है कि स्टेशन पर उतरने में दो एस्केलेटर पर एक यात्रा शामिल है, हालांकि, उनके बीच संक्रमण समय को ध्यान में नहीं रखा गया है। यदि, विश्वसनीयता के लिए, हम मानते हैं कि संक्रमण में कम से कम 30 सेकंड लगते हैं, तो, एक नया मान प्रतिस्थापित करना $$ हमें मिलता है: $$ ; $$ , जो प्रायोगिक परिणाम के बहुत करीब है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि प्रयोग केवल 10 repetitions के लिए प्रदान किया गया है। पुनरावृत्ति की संख्या में वृद्धि करके, प्रयोग के दौरान प्राप्त परिणामों के साथ गणना किए गए डेटा के लगभग पूर्ण संयोग को प्राप्त करना संभव है।

प्रयोग 2. मेट्रो स्टेशन "विजय पार्क"



संभावना की गणना करें $$ ।
यहां $$ ; $$ ; $$ ; $$ ; $$ ।
यह देखा जा सकता है कि हमें एक से अधिक संभावनाएं मिलीं। लेकिन यहां कोई विरोधाभास नहीं है। यदि आप सूत्र के सामान्य रूप को देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि मामले में जब एस्केलेटर पर वंश का समय ट्रेनों के बीच के अंतराल के बराबर होता है, तो कम से कम 2 बार की गति में वृद्धि संभावना को तेज कर देगी, जो त्वरित वंश 0.5 के बराबर प्रभावी है। यदि एस्केलेटर की यात्रा का समय अंतराल से अधिक है, तो समान गुणांक के साथ $$ पहले ट्रेन पकड़ने की संभावना बढ़ जाएगी। अंत में, अगर एस्केलेटर पर वंश का समय 2 या उससे अधिक बार है, तो 100% मामलों में चलने वाला व्यक्ति ट्रेन के समय में होगा कि एस्केलेटर पर शेष के लिए समय नहीं होगा। यह प्रभाव है कि हम इस प्रयोग में देखते हैं: संवाददाता ने निष्कर्ष निकाला कि वह 10 में से 10 मामलों में बह गया।

प्रयोग 3. पार्क कुल्टी मेट्रो स्टेशन



संभावना की गणना करें $$ ।
यहां $$ ; $$ ; $$ ; $$ ; $$ ।

फिर से एक गलती? बिलकुल नहीं। यह देखा जा सकता है कि, जैसा कि ऊपर कहा गया है, एस्केलेटर पर वंश का समय ट्रेनों के बीच के अंतराल का 2 गुना है। रनिंग टाइम 2 गुना कम है। यह पता चला है कि प्रत्येक वंश प्रभावी होना चाहिए। लेकिन यह मत भूलो कि चर्चा शुरू करने से पहले, हमने दरवाजे के तात्कालिक समापन और स्टेशन से ट्रेन के कम से कम तात्कालिक प्रस्थान के बारे में धारणा बनाई। यदि आप चित्र 8 में इस तरह के एक विकल्प की कल्पना करते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि वास्तविक जीवन में एक भगोड़े व्यक्ति के पास बिंदु 1 पर बैठने का समय नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, ट्रेन थोड़ी देर पहले प्रस्थान करेगी) और बिंदु 2 पर ट्रेन, इसके विपरीत, थोड़ा विलंब करेगा, और फिर एक गैर-चलने वाला व्यक्ति पिछली ट्रेन में चलने वाले एक देर से चलने वाले व्यक्ति के साथ इसमें बैठेगा।



मुझे लगता है कि दोनों "अप्रभावी" बार ऐसा हुआ। यह तर्क देने का हर कारण है कि प्रयोग की पुनरावृत्ति की संख्या में वृद्धि के साथ, "प्रभावी" रन का प्रतिशत 100% हो जाएगा।

निष्कर्ष

अब, उपलब्ध प्रयोगात्मक आंकड़ों के आधार पर, सूत्र की शुद्धता की पुष्टि करना संभव था, हम इसका विश्लेषण करेंगे और निष्कर्ष निकालेंगे। चूंकि शुरू में ही हम इस बात पर सहमत थे कि हम एक प्रभावी वंश की संभावना 0.5 से अधिक या उसके बराबर होने पर नीचे की ओर चलने के निर्णय पर विचार करेंगे। इसका शाब्दिक अर्थ है, यदि हम सुनिश्चित कर सकते हैं कि कम से कम आधे मामलों में हम अच्छे कारण से चलेंगे, तो यह वास्तव में जोखिम लेने और चलाने के लायक है, क्योंकि यदि हमें देर हो जाती है, तो हम व्यावहारिक रूप से कुछ भी नहीं खोते हैं। पूर्वगामी के आधार पर, हम संभाव्यता सूत्र को निम्नानुसार लिखते हैं: $$ ।

यह दिलचस्प है कि, जैसा कि हमने पहले ही पता लगा लिया है, यह समझ में आता है कि हमेशा कब चलना चाहिए $$ । साथ ही यह भी सच है कि अगर $$ कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितनी तेजी से दौड़ते हैं, पहले एक ट्रेन पर होने की संभावना 0.5 से कम है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि $$ 1 से अधिक या बराबर कभी नहीं होगा।

अब हम संवाददाता की गति पर एक नज़र डालते हैं। औसतन, यह एस्केलेटर की गति के बारे में 2 गुना है (वंश समय 2 गुना कम है)। सामान्य तौर पर, ये डेटा मेरे स्वयं के प्रयोगों के परिणामों के साथ मेल खाते हैं (मैं उन्हें लाने की बात नहीं देखता)। एक नियम के रूप में, कम से कम 3 के K गुणांक के साथ गति विकसित करना पहले से ही मुश्किल है: ऐसे बहुत से लोग हैं जो वास्तविक एस्केलेटर पर नीचे की ओर दौड़ना चाहते हैं और इसके अलावा, उनके बाईं ओर खड़े लोगों या उनकी चीजों (बैग, सूटकेस) में हस्तक्षेप हो सकता है। इसलिए, $$ , और $$ । यही है, तेजी लाने का निर्णय केवल तभी उचित होगा जब अनुपात $$ 1. से कम नहीं और यह तभी संभव है जब एस्केलेटर डाउन पर उतरने का समय ट्रेनों के बीच के अंतराल से कम न हो। एक वास्तविक मेट्रो में, जहां ट्रेनों के बीच औसत अंतराल 2 मिनट है, सभी स्टेशन लंबे समय तक उतर नहीं सकते। एक नियम के रूप में, यहां तक ​​कि सेंट पीटर्सबर्ग मेट्रो में, एस्केलेटर यात्रा का समय लगभग 1 मिनट 30 सेकंड है, अर्थात, अंतराल से 0.75 गुना कम है। इससे बहुत स्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण मौलिक निष्कर्ष निकलता है: यदि आप यह सुनिश्चित करते हैं कि इस स्टेशन पर एस्केलेटर ट्रेनों के बीच के अंतराल से कम चलता है, तो इसके साथ चलना व्यावहारिक नहीं है।

पीएस कृपया इस तथ्य पर ध्यान दें कि यह कार्य एक विशिष्ट गाड़ी में जाने की आवश्यकता को ध्यान में नहीं रखता है। यह विशेष रूप से प्लेटफॉर्म पर आने और फिर ट्रेन में चढ़ने के बारे में है।

प्रायोगिक डेटा स्रोत: गाँव । फिर से धन्यवाद!