ट्रैफिक जाम के बिना एक शहर

अध्याय 2।
( अध्याय 1 का लिंक )

डिजाइनिंग रोड नेटवर्क की कला

कंप्यूटर साइंटिस्ट की नजर से किसी शहर की ट्रांसपोर्ट समस्याएं

अगर मुझे "द आर्ट ऑफ़ डिज़ाइनिंग रोड नेटवर्क" शीर्षक के साथ एक लेख की सिफारिश की गई थी, तो मैं तुरंत पूछूंगा कि इसके लेखक की भागीदारी से कितने सड़क नेटवर्क बनाए गए थे। मुझे स्वीकार करना चाहिए, मेरी पेशेवर गतिविधि सड़क निर्माण से दूर थी और हाल ही में माइक्रोप्रोसेसरों के डिजाइन से जुड़ी थी जहां मैं, अन्य जिम्मेदारियों के बीच, डेटा स्विचिंग के संसाधन खपत में लगा हुआ था। उस समय मेरी मेज नयनाभिराम खिड़की के ठीक सामने खड़ी थी, जो वोल्गोग्राड हाईवे के लंबे खंड और थर्ड ट्रांसपोर्ट रिंग के एक हिस्से से सुबह से शाम तक, क्षितिज से क्षितिज तक उनके अंतहीन ट्रैफिक जाम के साथ एक सुंदर दृश्य खोलती थी। एक दिन, मुझे मान्यता का अचानक झटका लगा: "डेटा स्विचिंग प्रक्रिया की जटिलताएं जो मैं एक चिप पर संघर्ष करता हूं, वे कारों की कठिनाइयों के समान हो सकती हैं क्योंकि वे सड़क नेटवर्क की भूलभुलैया के माध्यम से प्रवाह करते हैं"।
संभवतः, बाहर से यह दृश्य और तरीकों के आवेदन जो प्रश्न में क्षेत्र के लिए पारंपरिक नहीं थे, ने मुझे ट्रैफिक जाम के कारण को समझने और व्यवहार में समस्या को दूर करने के बारे में सिफारिशें करने का मौका दिया।

तो, दृष्टिकोण की नवीनता क्या है?

ऐतिहासिक रूप से, सड़कों का मुख्य उद्देश्य वे अवसर हैं जो वे लंबी दूरी की यात्रा (रोम और प्रांतों के बीच) में तेजी से यात्रा करने के लिए प्रदान करते हैं। जब संघीय स्तर के इंटरसिटी हाईवे नेटवर्क की बात आती है तो इस तरह के निर्णय को उचित ठहराया जाता है: वे शहर जो वे कनेक्ट करते हैं, वे एटलस पर छोटे दुर्लभ डॉट्स की तरह दिखते हैं, और इन शहरों के बीच यात्रा करने वाली अधिकांश कारें बिना किसी मोड़ के अपना रास्ता पार करती हैं।

हालाँकि, जैसे ही हम कई पेज पलटते हैं और एक बड़े शहर का विस्तृत नक्शा खोलते हैं, तस्वीर तुरंत बदल जाती है: उन पतों की संख्या जहाँ यात्रा शुरू की जा सकती है या समाप्त हो सकती है, लगभग दस हज़ार तक पहुँचती है, ये सभी काफी घनी फैली हुई हैं और आकार में अपेक्षाकृत छोटा। एक ही समय में, सैकड़ों हजारों कारें एक ही बार में ऐसे शहर की सड़कों पर गति में हो सकती हैं, इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक का लक्ष्य केवल पहले से ही खाली सड़कों को भरना नहीं है, बल्कि एक व्यक्ति या कार्गो को स्थानांतरित करना है एक विशिष्ट पते के साथ बिंदु X को एक विशिष्ट पते Y के साथ एक बिंदु पर। सभी एक साथ, इसका मतलब है कि शहरी परिवहन प्रणाली को कई समवर्ती पते की समस्या को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए अनुकूलित किया जाना चाहिए। इस प्रकार, शहरी परिवहन प्रणाली के कार्य इंटरसिटी रोड नेटवर्क की तुलना में टेलीफोन या कंप्यूटर नेटवर्क के समान हो जाते हैं।

सड़क नेटवर्क को एक हार्डवेयर डेवलपर या इंजीनियर के लिए सूचना हस्तांतरण प्रौद्योगिकी के क्षेत्र में स्विचिंग सर्किट के रूप में देखते हुए, किसी समस्या के बारे में बात करने के लिए पूरी तरह से प्राकृतिक तरीका है, लेकिन परिवहन समस्याओं पर शोध में शामिल लोगों के बीच, यह दृश्य मेरे ज्ञान के लिए है, नई।

सिग्नल स्विचिंग का सिद्धांत एक संकीर्ण इंजीनियरिंग विज्ञान है और यह अकेले, ज़ाहिर है, एक अलग सड़क, सड़क जंक्शन की योजना बनाने या राजमार्ग के सीधे, पृथक खंड पर ट्रैफ़िक स्ट्रीम के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त नहीं है। सौभाग्य से, ऊपर सूचीबद्ध मुद्दों पर आज अच्छी तरह से शोध किया गया है, और उन्हें हल करने के लिए विकसित तरीके पहले से ही सफलतापूर्वक अभ्यास में आ गए हैं। स्विचिंग का सिद्धांत, बदले में, वास्तुकार को जोखिम को कम करने की अनुमति देता है, जिसमें शहर इस तथ्य के बावजूद परिवहन की स्थिति में आ जाता है कि सड़क नेटवर्क के सभी तत्व पूरी तरह से निष्पादित होते हैं। यह जोखिम मौजूद है क्योंकि कई समवर्ती संबोधन करना एक संसाधन है और समय लेने वाला कार्य है, जिसके प्रभावी समाधान की कुंजी गलियों की चौड़ाई और परिवहन की सुविधा में नहीं है, लेकिन सक्षम विकल्प में जो विशेष रूप से बदल रहा है योजना प्रस्तावित सड़क नेटवर्क लागू होगा।

इस शोध से, उदाहरण के लिए, आपको पता चलेगा कि क्यों "धमनी" प्रकार के परिवहन नेटवर्क, जो अभी भी अक्सर आधुनिक शहरों में उपयोग किए जाते हैं, "खराब" होते हैं और साथ में जनसंख्या के बढ़ने से ट्रैफिक जाम को बढ़ावा मिलेगा। एक और दिलचस्प परिणाम, जो टिप्पणियों के साथ अच्छे समझौते में है, बताता है कि अकेले सड़कों का विस्तार क्यों, अगर इससे पहले कि सभी ट्रैफ़िक जाम विशेष रूप से इंटरचेंज के आसपास के क्षेत्र में हुए हों, तो किसी भी तरह से कारों की संख्या में सुधार होने की संभावना नहीं है। शहर वही रहता है।

जब मैंने यह लेख लिखा था, तो यह मेरे लिए महत्वपूर्ण था कि यह सबसे साधारण वास्तुकार के लिए समझ में आता है, उसके काम के माध्यम से उपयोगी हो सकता है। मैंने एक साधारण भाषा में स्विचिंग मुद्दों में पाठक को पेश करने की कोशिश की, यह आकलन करने के लिए मानदंड विकसित करने के लिए कि कोई विशेष सड़क नेटवर्क समवर्ती पते के कार्य से कैसे निपटेगा, और मॉडल उदाहरणों का उपयोग करके मैंने दिखाया कि व्यवहार में इस ज्ञान का उपयोग कैसे करें।

यह लेख उन पाठकों की एक विस्तृत मंडली के लिए अभिप्रेत है जो गणित में विश्वविद्यालय-व्यापी पाठ्यक्रम, एल्गोरिदम के सिद्धांत से थोड़े परिचित हैं और इसके लिए 1 से 5 दिन समर्पित करने के लिए तैयार हैं।

कार प्रवाह का पृथक्करण और विलय

यह कई ड्राइवरों के लिए एक स्पष्ट अवलोकन है कि मुख्य रूप से सड़क के उन हिस्सों में ट्रैफ़िक कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं जहाँ किसी कारण से कारों को लेन बदलने के लिए मजबूर किया जाता है। उदाहरणों में सड़क के कांटे, संकरे रास्ते, राजमार्ग से बाहर निकलने वाले क्षेत्रों और सड़कों तक पहुंच शामिल है, राजमार्गों के कुछ हिस्से जहां कुछ गलियां किसी दुर्घटना या सड़क पर अवरुद्ध होती हैं।
इस खंड में, ऐसे मामलों में होने वाली प्रक्रियाओं का एक मात्रात्मक विवरण देने का प्रयास किया जाएगा, और हम यह समझकर शुरू करेंगे कि कारें गलियों को कैसे स्विच करती हैं।

निकटवर्ती ट्रैफ़िक लेन पर जाने के लिए दो रणनीतियाँ
राजमार्ग के किनारे यातायात में स्वाभाविक असमानता होती है: कोई व्यक्ति तेज गति से गाड़ी चलाना पसंद करता है, कोई व्यक्ति थोड़ा धीमा, कुछ कारों के बीच की दूरी कम हो जाती है और ड्राइविंग के लिए मुश्किल से आरामदायक हो जाता है, जबकि दूसरों के बीच यह इतना बढ़ जाता है कि यह कारों को फिट करने की अनुमति देता है निकटवर्ती गलियों से वहाँ। रैंडम ड्राइवर की तरफ सीधे बगल वाली गली के प्रवाह में इस तरह के अंतराल की उपस्थिति अक्सर या बहुत कम हो सकती है। यदि, उस समय जब उसे एक पैंतरेबाज़ी करने की आवश्यकता होती है, तो कोई अंतर नहीं है, चालक कम से कम दो व्यवहार व्यवहार का सहारा ले सकता है:

रणनीति 1
कई उपयुक्त अंतराल बस चालक के स्थान के करीब स्थित हो सकते हैं। यदि आंदोलन काफी सघन है, तो यह संभावना नहीं है कि चालक गति को जोड़ने और आवश्यक अंतर को पकड़ने में सक्षम होगा, लेकिन थोड़ा धीमा होने से चालक पड़ोसियों को कार से आगे निकलने देगा ताकि अंतर के बराबर हो जाए मूल रूप से पीछे था - यह एक बड़ी मुसीबत नहीं होगी। इस रणनीति की लागत स्पष्ट है: चालक खुद और उसके लेन में पीछे चलने वाली कारें गति कम करने की आवश्यकता के कारण कुछ समय खो देती हैं।

रणनीति 2
प्रतीक्षा करने के लिए, आपको धैर्य रखने की आवश्यकता है और इसके लिए आवश्यक समय है। एक विकल्प आवश्यक पैंतरेबाज़ी "यहाँ" और "अब" करने का प्रयास हो सकता है। इस विचार के अनुसार, चालक उस लेन के पीछे की कारों को संकेत देता है जिससे वह आगे बढ़ने वाला है। वे, बदले में, उसके संकेत के जवाब में थोड़ा धीमा होना चाहिए और "कारों को आगे बढ़ने के लिए आगे बढ़ने दें", जिससे उनके प्रवाह में आवश्यक आकार का अंतर पैदा हो। इस मामले में समय की लागत लेन की कारों के बीच वितरित की जाती है, जिस पर चालक अंततः स्विच करता है।

वास्तविक जीवन में, दोनों रणनीतियाँ एक ही समय में शामिल होती हैं: सबसे पहले, चालक धीमा हो जाता है, आसन्न लेन की धारा में अपेक्षाकृत बड़े अंतर की प्रतीक्षा करता है, और उसके बाद ही वे उसमें चलने वाली कारों को संकेत देते हैं। एक स्विचिंग पैंतरेबाज़ी करने के उनके इरादे के बारे में।

निस्संदेह, सड़कों तक पहुंच, राजमार्ग निकास और संकरी गलियों के बीच स्विच करने का एकमात्र कारण नहीं है, जो सड़कों को डिजाइन करते समय याद रखने योग्य है। राजमार्ग पर स्थिति को रोकने के लिए उच्च गति से आगे निकलने वाली कारों की क्षमता आवश्यक है, जब यह सबसे धीमी ट्रैक्टर की गति से रेंगने वाली एक बड़ी कतार के सामने आती है। फिर भी, अलग-अलग गति से सड़क पर चलने वाले वाहनों की सह-अस्तित्व की समस्या थोड़ी अलग प्रकृति की है और इसे सवालों के घेरे से अलग किया जा सकता है, क्योंकि ओवरटेक करने की प्रक्रिया और संबंधित लेन को ड्राइवर के लिए मजबूर नहीं किया जाता है। यदि ड्राइवर जल्दबाजी नहीं करता है, तो संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, पैंतरेबाज़ी करने का एक सुविधाजनक अवसर स्वाभाविक रूप से चालक को दिया जाएगा और इसके लिए उसे अन्य ड्राइवरों के आंदोलन को परेशान करने की आवश्यकता नहीं है।

एकल स्विचिंग की लागत
वास्तविकता में ड्राइवरों का व्यवहार बहुत जटिल हो सकता है, लेकिन यह हमारे लिए मुख्य रूप से महत्वपूर्ण है कि मॉडल स्थितियों के भीतर प्राप्त परिणाम प्रशंसनीय रहता है: लेन के बीच प्रत्येक मजबूर स्विचिंग यातायात प्रतिभागियों पर एक समय जुर्माना लगाती है।

आइए अब मूल्यांकन करते हैं कि खोए हुए समय की मात्रा सड़क पर यातायात के घनत्व पर कैसे निर्भर करती है।

हम प्रत्येक लेन के साथ एक अलग धारा के रूप में आंदोलन पर विचार करेंगे। एक ही लेन पर कारों से एक आरामदायक दूरी पर रहने की कोशिश करते हुए, ड्राइवरों ने धारा में एक निश्चित विशेषता लंबाई के साथ एक सड़क खिंचाव आरक्षित किया है। प्रति इकाई लंबाई में ρ कारों को एक धारा में गिरने दें। हम प्रवाह घनत्व को छोटा कहने के लिए सहमत हैं, या यह कहें कि ρ छोटा है यदि उत्पाद ρ × d 1 से कम है।

जिस समय चालक को अगली पंक्ति में जाने की आवश्यकता का एहसास होता है, संभावना है कि लंबाई d के साथ एक सड़क खिंचाव, जिस पर चालक कब्जा करने वाला था, छोटे ρ पर, मुफ्त नहीं होगा, ρ के लगभग आनुपातिक होगा खुद। यदि वर्णित घटना वास्तव में होती है, तो एक जगह के लिए प्रतिस्पर्धा करने वाली दो कारें कुल मिलाकर अनुभव करेंगी, युद्धाभ्यास के परिणामस्वरूप, औसत निरंतर मूल्य में कुछ देरी takes ।

Ρ को छोटा मानते हुए, हम इस संभावना की उपेक्षा कर सकते हैं कि इस समय उनके कार्य अन्य कारों की आवाजाही को प्रभावित करेंगे। इस प्रकार, जब ρ छोटा होता है, तो एक स्विचिंग से समय का नुकसान α , ρ होगा, जहां गुणांक α संस्कृति, मौसम, गति सीमा (और इसी तरह) के आधार पर एक आनुभविक रूप से औसत दर्जे का मात्रा है, लेकिन इस विशेष समय में लगभग स्थिर रहता है और इस शहर के लिए एक पूरे के रूप में।

बाहर निकलने से पहले एक सड़क पर नुकसान की तीव्रता दर
बाहर निकलने के लिए जाने वाली कारें, इससे पहले कि वे रैंप (चार्ट 2) पर पहुंचें, कभी-कभी कई बार, दाईं ओर की बगल वाली पंक्ति पर जाएँ। प्रत्येक ऐसा पैंतरेबाज़ी प्रवाह को परेशान करता है, और परिणामस्वरूप, निकास से पहले खंड में औसत गति राजमार्ग के "पारगमन" (निकास, प्रवेश द्वार और कांटों से वंचित) की तुलना में काफी कम है।


चार्ट 2

रास्ते के कुछ हिस्से को कम गति से पारित करने के लिए - ड्राइवरों (और उनके यात्रियों) के लिए यात्रा पर खर्च किए गए अतिरिक्त समय का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरे शब्दों में, निकास से सटे राजमार्ग का क्षेत्र समय की हानि का एक निरंतर जनरेटर है।

मान लें कि इस खिंचाव की ललाट सीमा पर औसत कार की गति ν और प्रवाह घनत्व ρ सभी गलियों के लिए समान हैं।

इसके अलावा, मान लें कि बाहर निकलने के लिए घनत्व ρ और प्रवाह दर q शीर्ष (प्रति यूनिट समय पर रैंप पर गिरने वाली कारों की औसत संख्या) एक साथ छोटी है, और s राजमार्ग पर गलियों की संख्या है। बाहर निकलने के लिए, ड्राइवर 1 से एस स्विचिंग पैंतरेबाज़ी करेगा। यदि रैंप पर प्रवाह घनत्व ρ की तुलना में बहुत कम है, तो केवल अंतिम पैंतरेबाज़ी ड्राइवर के लिए व्यावहारिक रूप से "मुफ्त में" होगी, जबकि बाकी किसी भी स्थिति में α⋅ρ के नुकसान का कारण होगा। औसतन, आपको प्रदर्शन करना होगा (0 + 1 + 2 + ... + s - 1) / s = ( s - 1) / 2 "महंगा" युद्धाभ्यास।

बाहर निकलने के लिए जाने वाली सभी कारों के कारण होने वाली कठिनाइयों को देखते हुए, हम समय की हानि की तीव्रता के लिए सूत्र बना सकते हैं:

मैं _बाहर = q _out α ρ = ( s - 1) / 2 = ( α / 2 ν ) s q ⋅ ( sρν ) ⋅ (1 - 1 / s )

मान p = ( sρν ) हाईवे के साथ-साथ चलती सभी कारों की प्रवाह दर से अधिक कुछ नहीं है, जो प्रश्न में दिशा में (बस स्टॉप प्रति यूनिट समय से गुजरने वाली कारों की औसत संख्या) है। अंतिम टिप्पणी हमें एक और अधिक सममित रूप के लिए सूत्र को फिर से लिखने का अवसर देती है:

मैं _बाहर = ( α / 2 ν ) ⋅ pq 1 (1 - 1 / s )

पहुंच मार्ग के निकटवर्ती भाग में हानि तीव्रता दर
खंड के पीछे राजमार्ग पर उत्पन्न होने वाली स्थिति जहां पहुंच मार्ग इससे जुड़ता है, निकास से पहले खंड पर स्थिति को काफी हद तक दोहराता है, हालांकि कुछ अंतर हैं। राजमार्ग के मुख्य यातायात (चार्ट 3) में पार्श्व रैंप के माध्यम से पावर क्ष की कारों का एक छोटा प्रवाह दें।


चार्ट 3

रैंप की केवल एक सीमित लंबाई है, इसलिए सभी नई आने वाली कारों को राजमार्ग के दाहिने किनारे लेन पर स्विच किया जाना चाहिए। नतीजतन, दाहिने किनारे लेन 1 में यातायात घनत्व सड़क पर औसत से स्थानीय रूप से अधिक है, यही कारण है कि इसमें कुछ चालक बाईं ओर कम व्यस्त आसन्न लेन पर स्विच करने का निर्णय लेते हैं, जो बदले में, एक स्थानीय की ओर जाता है पहले से ही दूसरी लेन पर घनत्व में वृद्धि। गलियों के बीच स्विच करने की यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक कि राजमार्ग के पूरे चौड़ाई में प्रवाह घनत्व को समतल नहीं किया जाता है। औसत गति ν को सभी n लेन के लिए समान मानते हुए, हम उम्मीद कर सकते हैं कि, स्विचिंग प्रक्रियाओं के पूरा होने पर, उनमें से प्रत्येक में प्रवाह शक्ति बिल्कुल (1 / s ) ⋅ q तक बढ़ जाएगी।

यह देखने के लिए कि ड्राइवरों के लिए इस तरह के स्विचिंग का कितना खर्च आएगा, हम सबसे पहले सभी स्विचिंग प्रवाह की शक्ति की गणना करते हैं। रैंप से राजमार्ग के पहले लेन तक प्रवाह जिसे हम पहले से ही जानते हैं: यह q के बराबर है। पहली लेन पावर में वृद्धि (1 / s ) the q के बराबर करने के लिए, पहली लेन से दूसरे में प्रवाह होना चाहिए (1 - 1 / s ), q , दूसरे से तीसरे में = ( 1 - 2 / s ), q , k -th से ( k + 1) th = (1 - k / s )) q । अंतिम सूत्र के अनुसार, बाएं किनारे पर स्विच करने की क्षमता होगी (1 - ( s - 1) / s ) s q = (1 / s ), q , सामान्य ज्ञान के अनुसार।

चूँकि हम एक एकल स्विचिंग के समय के दंड और सभी स्विचिंग की शक्ति को जानते हैं, इसलिए अब हम इससे होने वाले नुकसान की कुल तीव्रता की गणना कर सकते हैं:

मैं = α ρ ⋅ q + α ρ 1 (1 - 1 / s ) + q + α ρ α (1 - 2 / s ) + q + ... + α ρ ⋅ (1 / s ) ⋅ q =

α ρ q (1 + 2 + ... + s ) / s =

α ρ q ( s + 1) / 2 =

( α / 2 ν ) ⋅ q s ( sρν ) 1 (1 + 1 / s )।

फिर से याद है कि हाईवे के साथ सभी कारों के प्रवाह की शक्ति p है, हम इसकी अंतिम रूप में लागत सूत्र प्राप्त करते हैं:

मैं = ( α / 2 ν ) ⋅ pq 1 (1 + 1 / s )।

सममित कांटा पर हानि तीव्रता दर
पिछले पैराग्राफ में, हमने प्रवाह की बातचीत से नुकसान पाया, जिनमें से एक जरूरी बड़ा था, और दूसरा जरूरी था। दोनों प्रवाह की क्षमता शक्ति में तुलनीय होने पर समस्याओं को हल करने के लिए एक दृष्टिकोण का प्रदर्शन करने के लिए, हमें एक और चरम पर विचार करना चाहिए: एक कांटा जिसमें दोनों शाखा निर्देश ड्राइवरों (चार्ट 4) के लिए समान रूप से लोकप्रिय हैं।


चार्ट 4

सुविधा के लिए, कांटे पर दाईं ओर जाने वाली कारों को "नीला" कहा जाएगा, और बाईं ओर जाने वाली कारों को - "लाल"। प्रारंभ में, दोनों "रंगों" की कारों को मिश्रित किया जाता है, राजमार्ग के सभी 2 लेन के बीच फैलाया जाता है। जब वे कांटे के पास पहुंचते हैं, तो लाल रंग की कारें धीरे-धीरे बाईं ओर की गलियों की ओर बहने लगती हैं, और नीले रंग की ओर दाईं ओर: आसन्न गलियों के बीच दो दिशाओं में स्विचिंग प्रवाह होता है। एक्सेस रोड उदाहरण के विपरीत, ये प्रवाह अब "अपेक्षाकृत छोटे" नहीं हैं। वैसे, केवल दो केंद्रीय लेन के बीच यातायात का एक मजबूर आदान-प्रदान है, जिसमें से किसी भी दिशा में तीव्रता (बाएं से दाएं, या बाएं से दाएं) पूरी की शक्ति के एक चौथाई के बराबर है हाईवे के साथ चलती धारा। सौभाग्य से, इस स्थिति में उत्पन्न लागतों का अनुमान लगाने का एक अच्छा तरीका है।
सबसे पहले, हम ध्यान दें कि कारों को "लाल" और "ब्लू" में विभाजित करने की प्रक्रिया कांटे से बहुत पहले शुरू होती है और धीरे-धीरे आगे बढ़ती है, इसलिए, एक तरफ, एक अलग पंक्ति के भीतर यातायात घनत्व पर इसका कम प्रभाव होना चाहिए। , और दूसरी ओर, लंबी दूरी पर फैली स्विचिंग स्ट्रीम बनाते हैं, जिससे उनमें से प्रत्येक को कम शक्ति (चार्ट 5) की बड़ी संख्या की धाराओं के संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने का अवसर मिलता है।



चार्ट 5

चूंकि अब हम छोटे प्रवाह के बारे में बात कर रहे हैं, भले ही बड़ी संख्या में, कुछ भी हमें समस्या को कम करने से रोकता है जो पहले से ही हल किए गए हैं। हम केंद्र में राजमार्ग को दो समान भागों में विभाजित कर सकते हैं, और फिर उन्हें बड़ी संख्या में सिंगल-लेन जम्पर सड़कों के साथ जोड़ सकते हैं, जिससे लाल कारों को बाईं और नीली कारों को दाईं ओर जाने की अनुमति मिलती है (चार्ट 6)। स्पष्ट समरूपता के कारण, उत्पन्न नुकसान की गणना करते समय, हम किसी भी एक रंग की कार पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, नीला, और अंत में परिणाम को दोगुना करते हैं।


चार्ट 6

आइए गति ν और घनत्व ρ सभी गलियों के लिए समान हो और संपूर्ण खिंचाव पर स्थिर रहें जहां कारों को रंगों से अलग किया जाता है। इस मामले में, राजमार्ग के साथ चलने वाली सभी कारों की प्रवाह शक्ति होगी:

पी = 2 एसवीवी ।

Q ₁ , q ₂ , ... q _m मोटरवे के दाईं ओर काल्पनिक जम्पर सड़कों के किनारे चलती नीली कारों के प्रवाह को निरूपित करते हैं। मान लीजिए कि मोटरवे के प्रत्येक लेन में पृथक्करण खंड से पहले, दोनों रंगों को 50% के समान अनुपात के साथ दर्शाया गया है, जिसका अर्थ है कि कुल मिलाकर
q ₁ + q ₂ + ... + q _m svv / 2 के बराबर है, या दूसरे शब्दों में, पी / 4।

इसकी छोटीता के कारण प्रवाह _{i से} उत्पन्न हानियाँ, हम सूत्र द्वारा गणना कर सकते हैं:

I _i = I _out + I _in = ( α / 2 ν ) p ( p / 2) _i q _i (1 - 1 / s ) + ( α / 2 ν ) ⋅ ( p / 2) _i q _i (1 +) 1 / s ) = ( α / 2 ν ) p q _i

पिछले सभी फार्मूला को समेटते हुए, हम पाते हैं कि नुकसान केवल नीली कारों से होता है:

I _ब्लू = ( α / 2 ν ) ⋅ p q ( q ₁ + q ₂ + ... + q _m ) = ( α / 2 ν ) p 2/4।

कुल नुकसान, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, उच्च और राशि से दोगुना होगा:

मैं _div = ( α / 2 ν ) पी 2/2 ।

प्राप्त सूत्रों का विश्लेषण
यदि हम तीव्रता I को विभाजित करते हैं, जो कि प्रति सेकंड प्रतिभागियों द्वारा पार्श्व प्रवाह q द्वारा पूरी तरह से खोई गई समय की मात्रा है, जो परिभाषा के अनुसार एक सेकंड में राजमार्ग को जोड़ने या छोड़ने वाली कारों की संख्या के बराबर है, तो हम प्राप्त करेंगे इस तरह की कार से औसत नुकसान:

i _in = I _in / q = ( α / 2 ν ) ⋅ p 1 (1 + 1 / s )

i _out = I _out / q = ( α / 2 ν ) ⋅ p 1 (1 - 1 / s )

शायद इन सूत्रों में सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि राजमार्ग पी पर कारों के बिजली प्रवाह और इकाई लागत के बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता है। सब कुछ ऐसा लगता है जैसे मुख्य प्रवाह को छोड़ने के लिए एक कार शामिल होने की कोशिश कर रही है, या इसके विपरीत - जिससे आसपास के हर ड्राइवर को लगातार परेशान किया जा सकता है।

दूसरा, दिलचस्प और बहुत अप्रत्याशित अवलोकन जंक्शन के बगल में सीधे राजमार्ग के पास गलियों की संख्या में उत्पन्न नुकसान की तीव्रता पर बेहद कमजोर प्रभाव की चिंता करता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आई- _आउट के फार्मूले को देखते हुए, एक्स्ट्रीम-लेन रोड ( s = 1, i _out = 0) के लिए निकास आमतौर पर सबसे अधिक समय-कुशल है, और निकटवर्ती एक्सेस रोड के कारण होने वाली कठिनाइयों थ्री-लेन और सिक्स-लेन हाईवे केवल अलग-अलग हैं

100% 1 [(1 + 1/3) - (1 + 1/6)] / (1 + 1/3) = 12.5%।

यदि हम मानते हैं कि हर कार जो कभी भी राजमार्ग पर यातायात में शामिल हो गई है, उसे अंततः इसे छोड़ना होगा, तो इंटरचेंज हानियों की गणना _करते समय i और i के बजाय एक एकीकृत मान का उपयोग करना काफी वैध लगता है

i _av = ( i _in + i _in ) / 2 = ( α / 2 ν )। पी ।

इस तथ्य के बावजूद कि i _{av के} लिए फॉर्मूला स्पष्ट रूप से लेन की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, यह याद रखना चाहिए कि इसका निर्माण (देखें कि मैं और मैं _{बाहर के} लिए धारणाएं) सड़क पर कारों के कम घनत्व की धारणा पर भारी पड़ती हैं , इसलिए बहुत अधिक यातायात के साथ बहुत संकीर्ण राजमार्ग पर लागू होने पर संतोषजनक परिणाम देने की संभावना नहीं है।

प्रारंभिक निष्कर्ष
जंक्शनों के पास के क्षेत्रों में, यातायात में बाधा अनिवार्य रूप से आती है, ड्राइवरों से समय निकालकर, औसत गति को कम करके, बाद में कारों के घनत्व में वृद्धि होती है और, परिणामस्वरूप, ट्रैफ़िक जाम की संभावित घटना होती है। कार के प्रवाह के अलगाव और विलय से जुड़े समय के नुकसान को स्विचिंग नुकसान कहा जाएगा।

एक समान प्रकार के नुकसान किसी भी स्विचिंग स्कीम में एक या दूसरे तरीके से मौजूद हैं: चाहे वह टेलीफोन या कंप्यूटर नेटवर्क हो, मल्टी-कोर माइक्रोप्रोसेसर, या मेल डिलीवरी सेवा हो।

जब ड्राइवर जुड़ता है, या, इसके विपरीत, राजमार्ग पर यातायात छोड़ देता है, तो उसके कार्यों से होने वाली स्विचिंग लागत राजमार्ग पर उस समय देखी गई कारों के प्रवाह की शक्ति के आनुपातिक होती है।

पूरे शहर में स्विचिंग के नुकसान को कम करने के लिए, डिजाइन चरण में इसे लागू सड़क नेटवर्क पर सावधानीपूर्वक विचार करना आवश्यक है। थोड़ा बाद में हम इस कार्य का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, लेकिन कुछ स्पष्ट सिफारिशों को अब सूचीबद्ध किया जा सकता है:

1. स्विचिंग नुकसान राजमार्ग पर प्रवाह शक्ति के लिए आनुपातिक हैं - बिना आवश्यकता के सड़कों को बड़ा करना आवश्यक नहीं है, दो छोटे राजमार्ग एक बड़े वाले से दोगुने अच्छे हैं;
2. स्विचिंग लॉस साइड फ्लो की शक्ति के आनुपातिक हैं - यह नेटवर्क को डिजाइन करने के लायक है ताकि ड्राइवर को अपनी यात्रा के दौरान जितनी बार संभव हो सके मुड़ना पड़े;
3. मुख्य और साइड फ्लो के ड्राइवरों के कारण होने वाली आपसी गड़बड़ी एक शहरव्यापी पैमाने पर कम होनी चाहिए यदि हम उन मार्गों के विलय को रोकने की कोशिश करते हैं जो केवल सड़क के एक छोटे हिस्से में ओवरलैप होते हैं।

शहरों के अस्तित्व के लिए आर्थिक पूर्वापेक्षाएँ।
'यादृच्छिक अभिगम' ^{2 के} साथ एक शहर का मॉडल

(नोट 2: यह शब्द रैम कॉन्सेप्ट से लिया गया है और इसका मतलब प्रायिकता और यहां तक ​​कि समय की खपत से यादृच्छिक है।)
शहर परिवहन प्रणाली को डिजाइन करने (या फिर से डिजाइन) करने के लिए किसी भी परियोजना का शायद पहला चरण यह निर्धारित करने का प्रयास करना है कि शहर को वास्तव में अब किस तरह के स्विचिंग की आवश्यकता है और भविष्य में इसकी आवश्यकता कैसे बदल जाएगी।

इस तरह के एक विश्लेषण को अंजाम दिया जा सकता है यदि हम पहले शहर को बहुत बड़े नहीं, लेकिन बहुत छोटे क्षेत्रों में नहीं विभाजित करते हैं, और फिर ऐसे क्षेत्रों में से प्रत्येक जोड़ी के लिए संकेत मिलता है कि एक तरफ या दूसरी ओर उनके निवासियों द्वारा कितनी यात्रा की आवश्यकता है दिन का एक या दूसरा समय। मैट्रिक्स में की गई भविष्यवाणियों को रखकर, आप शहर के निवासियों की माइग्रेशन आवश्यकताओं को प्राप्त करेंगे।

इस मैट्रिक्स के लिए सटीक रूप से, हमें एक ऐसे नेटवर्क की खोज करनी चाहिए जो ड्राइवरों और यात्रियों को एक अलग यात्रा पर जितना संभव हो सके उतना कम समय बिताने की अनुमति दे, शहर के अधिकारियों से नेटवर्क प्राप्ति के लिए यथासंभव कम संसाधनों की आवश्यकता होती है।

जब मौजूदा शहरों की बात आती है, तो यहां यह महत्वपूर्ण है कि गलती न करें और उन यात्राओं की संख्या को प्रतिस्थापित न करें जिन्हें लोगों को वास्तव में उन यात्राओं की संख्या की आवश्यकता होती है जो ऐतिहासिक रूप से कुछ बाधाओं या कठिनाइयों के प्रभाव में स्थापित की गई हैं। डिजाइन का काम। संभवतः, जुदाई की दीवार का गिरना "पहले और बाद में" बर्लिन का परिवहन नेटवर्क जो कहा गया है, उसका सबसे स्पष्ट चित्रण कर सकता है।

यह खंड मुख्य रूप से मानवीय मुद्दों से निपटेगा, जिसमें मैं कोई विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि उन्हें शौकिया के रूप में चर्चा करना अभी भी समस्या से बचने की तुलना में अधिक सही है।

जनसंख्या की प्रवासन आवश्यकताओं को बेहतर ढंग से दर्शाने के लिए, यह मौलिक प्रश्न के साथ शुरू होने योग्य है: "शहर कौन से हैं और उनके वास्तविक कार्य क्या हैं?"

आइए इसे शहरों (और गांवों) के सामान्य निवासियों के रूप में जवाब देने की कोशिश करें, लेकिन कुछ बड़े और विकसित राज्य में शहरीकरण की प्रक्रिया के लिए जिम्मेदार व्यक्ति के दृष्टिकोण से। इस दृष्टिकोण से, यह अब महत्वपूर्ण नहीं है कि ऐतिहासिक उद्देश्यों ने एक बार इतने सारे लोगों को जमीन के एक छोटे से हिस्से में भीड़ दी, या जिन कारणों से वे इसे अभी भी जारी रखते हैं, यह महत्वपूर्ण है - शहरों द्वारा आर्थिक प्रभाव क्या है एक आकार या किसी अन्य के द्वारा और किस तंत्र द्वारा यह प्रभाव प्राप्त किया जाता है।

मेरी राय में, बड़े शहरों के अस्तित्व का मुख्य कारण एक तरफ, प्रौद्योगिकी फर्मों के लिए दुर्लभ व्यवसायों के कर्मचारियों को खोजने का अवसर है, और दूसरी ओर, उन लोगों के लिए अवसर, जिन्हें बेचने के लिए दुर्लभ व्यवसायों में महारत हासिल है। प्रतिस्पर्धी शर्तों पर उनमें रुचि रखने वाली कंपनियों को सेवाएं। एक छोटे (गैर-विशिष्ट) शहर में, कई वस्तुओं और सेवाओं का उत्पादन या तो बस असंभव है, या प्रौद्योगिकी कंपनियों और उनके कर्मचारियों को आपसी बंधकों की स्थिति में डालता है, बिना किसी एक या किसी विकल्प के।

उदाहरण के लिए, स्कूल के साहित्य शिक्षक का दुर्लभ-दुर्लभ पेशा अपनाएं। आंकड़ों के अनुसार, उनकी आवश्यकता प्रति 1000 लोगों पर लगभग 1 शिक्षक है। एक नियमित स्कूल में, 3-4 शिक्षक साहित्य पढ़ाते हैं। एक साहित्य शिक्षक के लिए नौकरी की पसंद को प्रतिस्पर्धी कहा जा सकता है यदि शहर में कम से कम 4-5 माध्यमिक स्कूल हैं, जो आबादी के मामले में लगभग 15 हजार लोगों से मेल खाते हैं।

जाहिर है, इंजीनियरिंग विशेषज्ञता वाले लोग कम से कम 100 हजार की आबादी वाले शहरों में श्रम बाजार में सहज महसूस करते हैं। बेशक, ऐसे पेशे भी हैं, जिनकी मांग केवल एक मिलियन से अधिक लोगों वाले शहरों में दिखाई देती है, हालांकि बहु मिलियन शहरों का अस्तित्व मेरे लिए कोई आर्थिक अर्थ नहीं रखता है।

उपर्युक्त सभी के बाद, दो परिकल्पनाएं काफी उचित लगती हैं (जिसकी वैधता, हालांकि, लेख की मुख्य सामग्री की सच्चाई को प्रभावित नहीं करती है):

1. औसत वयस्क को उन सबसे अधिक दूरी की यात्रा करने की आवश्यकता होती है जो उनके लिए सबसे आशाजनक नौकरियों में से 4-5 पर कब्जा करते हैं;
2. आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से के लिए जो दुर्लभ और सबसे अधिक आर्थिक रूप से मूल्यवान व्यवसायों का प्रतिनिधित्व करता है, सबसे लगातार यात्राओं की दूरी उनके शहर की त्रिज्या के साथ तुलनात्मक हो सकती है।

परिकल्पना 1 और 2 के एक विस्तारित प्रतिबिंब के रूप में, मेरे उदाहरण में मैं अक्सर 'यादृच्छिक अभिगम' के साथ शहर के मॉडल का उपयोग करूंगा, यह मानते हुए कि आवश्यक यात्रा के प्रवाह की शक्ति इसके किसी भी दो तिमाहियों के बीच एक ही है, या, दूसरे शब्दों में, माइग्रेशन की सभी कोशिकाओं में मैट्रिक्स की आवश्यकता होती है, वही धनात्मक संख्या होती है। यदि आप दिन के दौरान इस तरह के शहर में यात्रा के रिकॉर्ड को अनियमित रूप से देखते हैं, तो अगली चिह्नित यात्रा के लिए सभी तिमाहियों में इस तरह की यात्रा की शुरुआत या समाप्ति, और स्थिति की स्थिति के बीच कोई संबंध नहीं होने की समान संभावना होगी। 'प्रारंभिक' और 'अंतिम' तिमाहियों का अवलोकन किया जाना चाहिए।

सरलतम टोपोलॉजी के साथ सड़क नेटवर्क

आइए, पिछले पैराग्राफ में वर्णित विचारों को जीवन से लिए गए कुछ प्रकार के शहर की योजनाओं पर लागू करने का प्रयास करें।

रैखिक शहर

पहली बड़ी बस्तियों का मुख्य रूप से तट के साथ, समुद्र और चट्टानों के बीच भूमि की एक पतली पट्टी के क्षेत्रों में या व्यस्त सड़कों के रास्तों के साथ उत्पन्न हुआ था, इसलिए विकास की प्रक्रिया में उन्होंने संकीर्ण लम्बी सीमाओं का अधिग्रहण किया। इनमें से कई बस्तियां हमारे दिनों तक बची हुई हैं, उनकी लम्बी आकृति को बरकरार रखते हुए और आधुनिक शहरों में बदल जाती हैं (कृपया नीचे चित्रण देखें)।


(रियो डी जनेरियो के एक बहिष्कृत क्षेत्र, लेखक अज्ञात है)

अक्सर ऐसे शहर में केवल एक चौड़ी सड़क होती है जिसके चारों ओर यह बनाया जाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक तिमाही (क्षेत्रीय प्रभाग का क्षेत्र) शक्ति 1 के साथ यात्रा की एक धारा उत्पन्न करता है, ऐसे सभी तिमाहियों की संख्या n के बराबर होती है, और शहर स्वयं 'रैंडम एक्सेस' माइग्रेशन मॉडल का अनुसरण करता है।


चार्ट 7

आइए ऊपर दिए गए मापदंडों को खोजने की कोशिश करें कि बढ़ते यात्रा के साथ औसत यात्रा समय और आवश्यक सड़क क्षेत्र कैसे बदलते हैं।

तो, सभी क्वार्टरों का आकार और आकार समान है, और उनकी संख्या λ (लैम्ब्डा) समय से गुणा करती है। यह स्पष्ट है कि

• λ के एक कारक से मुख्य सड़क की लंबाई बढ़ जाती है।

'यादृच्छिक अभिगम' के स्वीकृत मॉडल के कारण, शहर के दाहिने आधे हिस्से में शुरू हुई 50% यात्राएं इसके बाएं आधे हिस्से में समाप्त हो जाएंगी (विपरीत भी सही होंगी), इसलिए, क्वार्टरों की संख्या में वृद्धि के साथ λ के एक कारक द्वारा, शहर के मध्य से गुजरने वाले प्रवाह की शक्ति भी λ बार से गुणा होगी। समान निष्कासन के साथ इसी तरह की चर्चा सच होगी यदि, बीच के बजाय, हम किसी दिए गए अनुपात (1: 3, 2: 5) में शहर को विभाजित करने वाले किसी भी बिंदु को लेते हैं, जिसका अर्थ है कि

• λ के एक कारक द्वारा मुख्य सड़क के साथ प्रवाह की शक्ति बढ़ जाती है;
• प्रत्येक खंड में आवश्यक मुख्य सड़क के लेन की संख्या λ बार से गुणा करती है।

अधिक या कम स्पष्ट है कि यात्रा की औसत लंबाई, और इसके साथ

• शुद्ध यात्रा के समय को λ के एक कारक से दूरी बढ़ाने में खर्च करने के लिए।

गणना में बनी रहने वाली लागतों की संख्या एक यात्रा में स्विचिंग लागत के कारण खो जाने वाले समय की संख्या है। शक्ति के साथ एक पार्श्व प्रवाह 1 में प्रवेश करता है और प्रत्येक तिमाही से बाहर निकलता है, जो एक साथ तीव्रता के साथ समय की हानि उत्पन्न करते हैं:

I = I + _in + I _बाहर = ( α / 2 ν ) p , 2,

जहां पी मुख्य सड़क पर प्रवाह की शक्ति है। हम पहले से ही जानते हैं कि क्वार्टर की संख्या और मुख्य सड़क पर प्रवाह की शक्ति λ के एक कारक से बढ़ जाती है, इसलिए, नेटवर्क द्वारा उत्पन्न कुल समय का नुकसान λ ² गुना से गुणा करता है। दूसरी ओर, नेटवर्क द्वारा उत्पन्न यात्राओं की संख्या, जिसके परिणामस्वरूप इन सभी नुकसानों को आवंटित किया जाता है, λ के एक कारक द्वारा बढ़ता है, इसीलिए

• नेट यात्रा का समय स्विचिंग लागत के कारण खो जाता है जो कि λ के एक कारक से बढ़ता है।

चलो एक तालिका में सभी परिणाम प्रदर्शित करते हैं:

रेखीय टोपोलॉजी
शक्ति 1 के साथ पता बिंदुओं (तिमाहियों) की संख्या ........................ एन
कुल सड़क क्षेत्र ………………………………………। .......................................... O ( n ² )
शुद्ध यात्रा का समय,
की दूरी तय करने के लिए खर्च किया गया ……………………………………। ...................... ओ ( n )
नेट यात्रा का समय,
स्विचिंग लागत के कारण खो गया ............................................। ........................ ओ ( एन )
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। ..................... ओ ( एन )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, साइड फ्लो की शक्ति को देखते हुए ............. O ( n )

संकेतन ' y = O ( x )' का अर्थ है कि पैरामीटर x और y कार्यात्मक रूप से निर्भर हैं, और जब x बिना सीमा के बढ़ता है, तो अनुपात x / y एक परिमित, शून्य से भिन्न, संख्या में बदल जाता है।

सेलुलर सिटी

दूसरा, काफी सामान्य नियोजन विधि एक आयताकार मैट्रिक्स के रूप में क्वार्टर को व्यवस्थित करने के लिए है, एक चॉकलेट बार में कैसे विभाजित टुकड़े के समान है।

हम ऐसे शहरों को 'सेलुलर' कहने पर सहमत हैं। "


(लॉस एंजेलिस, फोटो: स्लाव स्टेपानोव)

चार्ट 8 एक सेलुलर शहर का एक पैटर्न दिखाता है जिसमें n ('हाफ़्स' को ध्यान में रखते हुए) क्वार्टर होते हैं, जो एक साथ एक नियमित वर्ग बनाते हैं। क्वार्टर को एक-दूसरे से अलग-अलग from n सड़कों से अलग किया जाता है, सशर्त रूप से पश्चिम से पूर्व की ओर, और roads n सड़कों पर दक्षिण से उत्तर की ओर खींचा जाता है। कुल मिलाकर, ये सड़कें × n × ings n क्रॉसिंग बनाती हैं, जिनमें से प्रत्येक को ट्रैफिक लाइट चौराहे के रूप में या सड़क पुल / ओवरपास के माध्यम से लागू किया जा सकता है।


चार्ट 8

भले ही वन-वे हो या टू-वे ट्रैफ़िक, सेलुलर शहर में बिंदु A से बिंदु B तक की किसी भी यात्रा को एक मार्ग के साथ महसूस किया जा सकता है जिसमें दो से अधिक सड़कें नहीं हैं और एक चौराहे पर एक से अधिक मोड़ नहीं हैं।

यह मानते हुए कि, पिछले उदाहरण के अनुसार, प्रत्येक तिमाही 1 शक्ति के साथ यात्रा की एक धारा उत्पन्न करता है, और जनसंख्या की प्रवासन जरूरतों के लिए 'यादृच्छिक अभिगम' मॉडल का पालन करते हैं, हम गणना कर सकते हैं, अब एक सेलुलर शहर के लिए, जिसके द्वारा कानून average travel time and the resource intensity of road network construction will change with increasing quantity of quarters.

यदि λ के एक कारक से तिमाहियों की संख्या बढ़ जाती है , तो:

• शहर का क्षेत्र λ बार से गुणा करता है , और अनुपात को बनाए रखते हुए इसके रैखिक आयाम - , λ द्वारा ,
• औसत यात्रा दूरी और शुद्ध समय इसे कवर करने के लिए, रैखिक आयामों के आनुपातिक होने से, √ λ समय से गुणा ,
• सड़कों की संख्या और किसी दिए गए सड़क से सटे क्वार्टरों की संख्या times λ बार,
• ट्रैफ़िक प्रवाह की शक्ति, क्वार्टरों की संख्या के साथ आनुपातिक है, जिसके साथ प्रवाह 'संपर्क' में है (इस शब्द का स्पष्टीकरण बाद में दिया जाएगा), times λ बार से गुणा करता है
• the required area of ​​all roads grows as (number of streets) × (length of one street) × (power of street flow) = √ λ ⋅ √ λ ⋅ √ λ = λ √ λ

पार्श्व प्रवाह को उन लोगों में विभाजित किया जाता है जो क्वार्टर से एक या एक गली से दूसरी गली में जाते हैं। पहले प्रवाह की शक्ति, परिस्थितियों के अनुसार, हमेशा एकता के बराबर रहती है। दूसरे के माध्यम से, लगभग सभी ट्रैफ़िक राजमार्ग पर आ रहे हैं, आ रहे हैं या छोड़ रहे हैं, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि शहर में क्वार्टर की तुलना में बहुत अधिक क्वार्टर हैं। नतीजतन, दूसरे प्रवाह की शक्ति में परिवर्तन का अनुमान सूत्र द्वारा किया जा सकता है (प्रवाह की शक्ति में परिवर्तन) / (किसी विशेष सड़क पर चौराहों की संख्या में वृद्धि) = / λ / √ λ= 1. स्थिरांक के अंतिम अनुपात की समानता से पता चलता है कि ये प्रवाह क्वार्टरों की संख्या में वृद्धि के साथ महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलते हैं, इसलिए, एक पूरे के रूप में नेटवर्क द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागत में वृद्धि होगी: (कुल में वृद्धि + संख्या चौराहों की) × (एक भी सड़क पर प्रवाह के मूल्य में परिवर्तन) = तिमाहियों λ √ λ । चूंकि सभी तिमाहियों से उत्पन्न प्रवास प्रवाह की शक्ति λ के एक कारक से बढ़ी है , फिर

• नेट यात्रा का समय स्विचिंग लागत के कारण खो जाता है जो λ λ के कारक से बढ़ता है

चलो एक तालिका में सभी परिणाम प्रदर्शित करते हैं:

कोशिकीय टोपोलॉजी

शक्ति 1 के साथ पता बिंदुओं (तिमाहियों) की संख्या ..................... एन
कुल सड़क क्षेत्र ………………………………………। .................................... ओ ( n .... n )
शुद्ध यात्रा का समय,
की दूरी तय करने के लिए खर्च किया गया ……………………………………। ................... ओ () n )
शुद्ध यात्रा का समय,
स्विचिंग लागत के कारण खो गया ............................................। .................... ओ () n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................. ओ ( n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, साइड फ्लो की शक्ति को देखते हुए .......... O ( n )

एक दूसरे के साथ रैखिक और सेलुलर नेटवर्क की तुलना करना, यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि निर्माण के लिए आवश्यक संसाधन तीव्रता में वृद्धि और एक यात्रा पर बिताए गए समय, शहर के विकास के साथ, पहले नेटवर्क के लिए की तुलना में बहुत तेज है दूसरा वाला। उदाहरण के लिए, 100 तिमाहियों वाले एक सेलुलर शहर में 10 गुना कम डामर की आवश्यकता होती है, और औसत आकार के एक रैखिक शहर के साथ तुलना में औसतन 10 बार कम यात्रा की आवश्यकता होती है। इसलिए, यह केवल बहुत छोटे शहरों में रैखिक टोपोलॉजी के साथ सड़क नेटवर्क का उपयोग करने के लिए समझ में आता है।

यदि थोड़ी देर के लिए हम स्विचिंग लागत के अस्तित्व के बारे में भूल जाते हैं, तो सेलुलर टोपोलॉजी को सड़क नेटवर्क को डिजाइन करने का एक आदर्श तरीका माना जा सकता है, क्योंकि यह औसत ट्रिप लंबाई और आवश्यक सड़क क्षेत्र दोनों के लिए एक विषमतम ओ-अनुमान देता है। वास्तव में, शहर के किसी भी अधिक या कम 'कॉम्पैक्ट' स्थान (रैंडम एक्सेस के साथ) के लिए, यात्रा की लंबाई शहर के क्षेत्र के वर्गमूल की तुलना में कोई धीमी गति से नहीं बढ़ेगी, जो कि आमतौर पर आबादी के सीधे आनुपातिक है। । नतीजतन, हमें सभी समान ओ (। एन ) मिलते हैं।

तथ्य यह है कि एक सेलुलर शहर में एक विशिष्ट मार्ग एक सीधी रेखा के बजाय 'कोने' के साथ चलता है, सिद्धांत रूप में, शहरों की योजना बनाने के सर्वोत्तम तरीकों की तलाश करने के अवसर का तात्पर्य है, लेकिन 20% की राशि में बचत (यही है) अधिकतम हम जीत सकते हैं यदि कारें दीवारों के माध्यम से यात्रा करना सीखती हैं) किसी दिन संभावना नहीं है कि आर्किटेक्ट सड़कों और सड़कों की आयताकार व्यवस्था को छोड़ने के लिए मजबूर करेंगे।

नेटवर्क बिल्डिंग की सबसे कम संभव सीमा (और रखरखाव) की लागत को याद करके प्राप्त किया जा सकता है कि प्रत्येक कार अपने आंदोलन के लिए लेन का एक हिस्सा सुरक्षित रखती है। नतीजतन, सड़कों का कुल क्षेत्रफल औसत यात्रा समय (औसत यात्रा की लंबाई) और शहर में कारों की संख्या के अनुपात के लिए आनुपातिक है: O (√ n ) × O ( n ) = O ( n total) एन ) (एक सेलुलर शहर के लिए तालिका के साथ तुलना करें)।

यदि हम स्विचिंग लागत के कारण यात्रा में खो जाने वाले समय की मात्रा के बारे में बात करते हैं, तो आश्चर्यजनक रूप से दूरी को कवर करने के लिए समय की राशि के साथ इसका संबंध समान रूप से सेलुलर या रैखिक शहर (ओ) में क्वार्टरों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है n ) / O (√ n ) = O (1), O ( n ) / O ( n ) = O (1))। दूसरे शब्दों में, स्विचिंग के कारण यात्रा में खो जाने वाले समय का प्रतिशत, बड़े और छोटे दोनों शहरों में समान होगा। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, अगर किसी छोटे शहर में स्विचिंग लागत के साथ कोई गंभीर समस्या नहीं थी (हम सुझाव दे सकते हैं कि वे 10-20% तक जीते), तो एक बड़े शहर में उन्हें अभी भी नहीं देखा जाना चाहिए, और यदि वे थे, तो तब वे मौजूद रहेंगे, फिर चाहे वह शहर कितना भी विकसित और विस्तृत क्यों न हो।

चूंकि हमें नहीं पता है कि कौन सा विकल्प सही है (या यों कहें, हम जानते हैं कि बड़े शहरों में यातायात की समस्याएँ मौजूद हैं), यह एक सेलुलर शहर की टोपोलॉजी में सुधार करने की कोशिश करने के लायक है, ताकि इसमें स्विचिंग लागत कम से कम हो जाए कुछ निरंतर समय के कारक द्वारा।

अवास्तविक नेटवर्क के उपयोगी उदाहरण

चलो परीक्षण करते हैं कि सेलुलर टोपोलॉजी उन सिफारिशों का पालन करती है जो हमने राजमार्ग पर प्रवाह के स्विचिंग का विश्लेषण करके विकसित की है।

1) जरूरत के बिना सड़कों का विस्तार न करें।
- हां। कई सड़कों पर यातायात वितरित किया जाता है (एक रैखिक शहर के साथ तुलना)।

2) उस नेटवर्क को डिजाइन करने से बचें जहां ड्राइवर को एक यात्रा में कई बार मुड़ना पड़ता है।
- हां। किसी भी यात्रा को संभवतः सड़कों पर केवल एक मोड़ की आवश्यकता वाले मार्ग से किया जाएगा।

3) उन मार्गों के विलय को रोकने का प्रयास करें जो केवल सड़क के एक छोटे हिस्से में ओवरलैप करते हैं।
- यहाँ, शायद, काम करने के लिए कुछ है। प्रति ट्रिप की न्यूनतम संख्या के बावजूद, मुख्य राजमार्ग प्रवाह के हिस्से के रूप में मार्ग बड़ी संख्या में स्विचिंग नोड्स (ओ ( एन )) से गुजरता है, जिनमें से प्रत्येक में मूल्यवान समय बर्बाद होता है।

अंतिम टिप्पणी निम्नलिखित प्रश्न की जांच करने के लिए प्रेरित करती है: "स्विचिंग नोड्स की औसत संख्या की न्यूनतम संख्या क्या है, जिसके माध्यम से एक यात्रा एक सड़क नेटवर्क से गुजरती है जो एन क्वार्टर को जोड़ती है?"

इस तरह के नेटवर्क को खोजने का कार्य केवल इस शर्त पर होता है कि केवल इस शर्त पर कि किसी स्विचिंग नोड द्वारा संयुक्त या विभाजित किए गए प्रवाह की संख्या एक निश्चित निश्चित मूल्य से ऊपर से सीमित है। अन्यथा, आप हमेशा n पता बिंदुओं और एक एकल मेगा-जंक्शन के साथ एक सड़क नेटवर्क प्रस्तुत कर सकते हैं।


(लेखक अज्ञात है)

वास्तविक समस्या की जांच करना बहुत आसान है यदि पहले कुछ सरल का उपयोग करके पैटर्न के कम से कम हिस्से को प्रकट करना संभव था, भले ही सभी यथार्थवादी, मॉडल उदाहरणों में नहीं। इस तर्क के बाद, हम अस्थायी रूप से सड़क निर्माण की ज्यामितीय सीमाओं और दूरियों को कवर करने के लिए यात्रियों की आवश्यकता के बारे में भूल जाएंगे, जिसमें हमारा सारा ध्यान इस बात पर केंद्रित है कि कैसे सार नेटवर्क समानांतर समस्या को हल करते हैं। स्विचिंग नोड्स के बारे में, हम अभी के लिए मान लेंगे कि उनमें से प्रत्येक या तो प्रवाह को दो भागों (डिवीजन नोड) में विभाजित करता है, या दो प्रवाह को एक में जोड़ता है।


चार्ट 9

पता पेड़
एक प्रारंभ पता बिंदु होने दें, जहां सभी यात्राएं, बिना किसी अपवाद के, शुरू होती हैं, और एक और n खत्म पता बिंदु है जिस पर वे समान संभावना (चार्ट 9) के साथ समाप्त होते हैं।

एक परिवहन नेटवर्क का निर्माण करना आवश्यक है जो ड्राइवर को यथासंभव कम स्विचिंग नोड्स से गुजरने की अनुमति देता है।

स्पष्ट (प्रोग्रामर के लिए) समाधान, जो खुद को यहां सुझाता है, एक संतुलित द्विआधारी पेड़ का उपयोग करना है, उसी समय हमें पेड़ के शीर्ष पर एक एकल प्रारंभ बिंदु लगाने की आवश्यकता है, और शेष n खत्म बिंदुओं को एक में रखें इसकी पत्तियों की (चार्ट 10)। वर्णित तरीके से निर्मित नेटवर्क को डायरेक्ट एड्रेस ट्री कहा जाएगा।


चार्ट 10

डायरेक्ट एड्रेस ट्री में सभी प्रवाह की दिशाओं को विपरीत में बदलते हुए, हम इस प्रकार रिवर्स एड्रेस ट्री प्राप्त करते हैं, जिसका उद्देश्य एन स्टार्ट पॉइंट्स को सिंगल फिनिश पॉइंट से जोड़ना है।

ऐसे मामलों में जहां n दो की शक्ति है, एड्रेस ट्री के अंदर कोई भी मार्ग लॉग ₂ एन स्विचिंग नोड्स से होकर गुजरता है, जो निस्संदेह (asymptotically) सेलुलर (O (√ n )) वाले नेटवर्क के लिए समान संकेतक से कम है, या रैखिक (O ( n )) टोपोलॉजी।

लघुगणकीय नेटवर्क के दो सरल प्रकार

बिल्डिंग-ब्लॉक के रूप में 'ट्री-लाइक' नेटवर्कों का उपयोग करना, केस के शुरुआती बिंदुओं के मामले में पिछले समाधान को सामान्य करना मुश्किल नहीं है। ऐसा करने के दो आसान तरीके हैं।

पहला तरीका यह है कि रिवर्स एड्रेस ट्री का उपयोग करके पहले सभी ट्रिप्स के रूट को एक समान स्ट्रीम में इकट्ठा किया जाए, और फिर डायरेक्ट एड्रेस ट्री का उपयोग करके, इस स्ट्रीम को अपने गंतव्य (चार्ट 11, टॉप स्कीम) के लिए सब-फ्लो एड्रेसिंग में विभाजित करें। )।


चार्ट 11

यदि k और n दो की शक्तियां हैं, तो, अंत में, कोई भी मार्ग लॉग ₂ k + log ₂ n स्विचिंग नोड्स से बिल्कुल गुजरता है। हम प्रारंभिक विलय के साथ बस (वन-वे) लॉगरिदमिक नेटवर्क के रूप में वर्णित एल्गोरिदम के अनुसार डिज़ाइन किए गए नेटवर्क को संदर्भित करने के लिए सहमत हैं।

इसी समस्या को हल करने का दूसरा तरीका विलय और विभाजन के संचालन के पहले समाधान में उलट कर महसूस किया जा सकता है। इसके कार्यान्वयन को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है: प्रत्येक प्रारंभ बिंदु के लिए हम सभी फिनिश बिंदुओं के काल्पनिक डुप्लिकेट का एक अनूठा सेट बनाते हैं, और उसके बाद, हम इसे डायरेक्ट एड्रेस ट्री के साथ इन डुप्लिकेट (अब काल्पनिक नहीं) से जोड़ते हैं।

नेटवर्क डिज़ाइन को पूरा करने के लिए, रिवर्स एड्रेस ट्री (चार्ट 11, बॉटम स्कीम) को लागू करके अपनी k काल्पनिक डुप्लिकेट के साथ अब प्रत्येक बिंदु को जोड़ने के लिए यह केवल बना रहता है।

जब भी n और k दो की शक्तियां होती हैं, तो नव निर्मित नेटवर्क के भीतर किसी भी मार्ग पर स्विचिंग नोड्स की संख्या फिर से ₂ k + log ₂ n के बराबर होगी। हम प्रारंभिक विभाजन के साथ ऐसे नेटवर्क (वन-वे) लॉगरिदमिक नेटवर्क के रूप में संदर्भित करने के लिए सहमत हैं।

सममित लोगों में वन-वे नेटवर्क का रूपांतरण
आम तौर पर हम किसी भी नेटवर्क को वन-वे के रूप में संदर्भित करते हैं यदि इसके द्वारा जुड़े पते बिंदुओं को प्रारंभ और समापन बिंदुओं में सख्ती से विभाजित किया जाता है। डिफ़ॉल्ट रूप से, एक-तरफ़ा नेटवर्क के लिए, यह माना जाएगा कि यह किसी भी शुरुआती बिंदु से किसी भी फिनिश बिंदु तक कम से कम यात्रा का एक मार्ग प्रदान करता है।

एक आजीवन यात्रा के अलावा, ऐसे उदाहरण ढूंढना मुश्किल है जहां कुछ पते बिंदु केवल एक मार्ग की शुरुआत के रूप में काम करेंगे, और अन्य केवल इसका अंत होगा। हम अपने तर्क को वास्तविकता के करीब लाएंगे यदि हम उन नेटवर्कों को भी शामिल करते हैं जिनमें दोनों दिशाओं में किसी भी दो पते बिंदु मार्गों से जुड़े हैं। हम ऐसे नेटवर्क को सममिति के रूप में संदर्भित करने के लिए सहमत हैं।

वास्तव में, एक-तरफ़ा और सममित नेटवर्क के बीच कोई वैचारिक अंतर नहीं है: प्रत्येक सममित नेटवर्क का उपयोग एक-तरफ़ा नेटवर्क के रूप में भी किया जा सकता है, और प्रत्येक एक-तरफ़ा नेटवर्क, शुरू में एक समान संख्या में प्रारंभ और समापन बिंदुओं को जोड़ता है, हो सकता है एक सममित (एक चार्ट 12) में तब्दील।


चार्ट 12

चार्ट 13 ए और 13 बी प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के 'सममित' रूप दिखाते हैं और प्रारंभिक विभाजन के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क। उनके उदाहरण इस प्रकार के नेटवर्क द्वारा n क्वार्टरों को जोड़ने की मूलभूत संभावना को साबित करते हैं, जिसके भीतर किसी भी यात्रा के दौरान स्विचिंग नोड्स की संख्या शहर में क्वार्टरों की संख्या के लघुगणक के समानुपाती होगी।


चार्ट 13 ए


चार्ट 13 बी

सटीक निचली सीमा का अनुमान

नेटवर्क की एक विस्तृत विविधता पहले से ही अब तक जमा हुई है, जिनमें से प्रत्येक में शहर में पता बिंदुओं की संख्या पर यात्रा के साथ स्विचिंग नोड्स की औसत संख्या की निर्भरता का वर्णन करने वाला स्वयं का फ़ंक्शन शामिल है। फिर भी, हम अभी भी नहीं जानते हैं कि दी गई संख्या की संख्या के लिए यह संख्या सिद्धांत रूप में कितनी कम हो सकती है। जानकारी दृष्टिकोण का उपयोग करके निचली सीमा का अनुमान प्राप्त किया जा सकता है।

वास्तव में, कुछ सड़क नेटवर्क को एन एड्रेस पॉइंट्स को एक-दूसरे से कनेक्ट करने दें, और आबादी की प्रवासन की आवश्यकताएं ऐसी हैं कि कोई भी यात्रा, चाहे वह जहां भी शुरू हुई हो, शहर में कहीं भी समाप्त होने की समान संभावना है।

प्रश्न में समस्या को हल करने के लिए, हम इस नुस्खा का पालन करते हुए एक सहायक सूचनात्मक संदेश उत्पन्न करेंगे: एक लंबे समय के लिए, हम उन सभी यात्राओं के रिकॉर्ड एकत्र करेंगे जिनके पास एक निश्चित शुरुआत बिंदु है, और अनियमित रूप से उन पते को लिखें जहां ये यात्राएं हैं समाप्त हो गया। परिणामी संदेश एक यादृच्छिक अनुक्रम होगा जिसमें शहर के n पते बिंदुओं के नाम शामिल हैं।

मंगल पर इस संदेश को प्रसारित करने का एक तरीका सबसे पहले सभी नामों को एक ही लंबाई के द्विआधारी शब्दों में सांकेतिक शब्दों में बदलना है, जिससे मूल संदेश 0s और 1s के अनुक्रम में बदल जाता है, और दूसरा एक डिजिटल संचार माध्यम से परिणामी अनुक्रम भेजने के लिए। चूंकि एन नामों के सेट में अंतर करने के लिए लॉग ₂ एन लंबाई के द्विआधारी शब्दों की आवश्यकता होती है, इसलिए डिजिटल संदेश की लंबाई होगी:

(रिकॉर्ड की संख्या) × लॉग ₂ एन वर्ण।

सबसे दिलचस्प बात यह है कि सूचना सिद्धांत के अनुसार, उपयोग किए गए एन्कोडिंग एल्गोरिथ्म की परवाह किए बिना, कम संख्या में द्विआधारी वर्णों के साथ एक ही संदेश प्रसारित करना असंभव है।

फिनिश पॉइंट्स के एन्कोड किए गए नामों को सीधे प्रसारित करने का एक विकल्प एक तरीका हो सकता है जिसमें यह प्रत्येक यात्रा के लिए संकेत दिया जाता है कि अगले कांटे पर मार्ग किस संभावित दिशा में बदल गया है। हमारी मान्यताओं के अनुसार, नेटवर्क में सभी कांटे केवल दो शाखाएं हो सकते हैं, इसलिए, प्रत्येक मामले में दिशा को इंगित करने के लिए, ठीक 1 बिट की आवश्यकता होती है। किसी के लिए जो शहर का नक्शा है और शुरुआती बिंदु जानता है, बिट्स की श्रृंखला प्रत्येक मार्ग का पता लगाने और अपने गंतव्यों के मूल अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए पर्याप्त होगी। यदि एक यात्रा के दौरान जाने वाले कांटे (विभाजन नोड्स) की औसत संख्या x है , तो नई एन्कोडिंग विधि के साथ द्विआधारी संदेश की लंबाई होगी: (रिकॉर्ड की संख्या) × x ।

जैसा कि पहले कहा गया था, नई एन्कोडिंग विधि प्रत्यक्ष बाइनरी एड्रेस ट्रांसफर विधि की तुलना में अधिक कुशल नहीं हो सकती है, इसलिए: (रिकॉर्ड की संख्या) × x ) (रिकॉर्ड की संख्या) × लॉग ₂ एन , यही कारण है:

x ≥ लॉग ₂ एन ।

हालाँकि अंतिम असमानता शुरू में यात्राओं के एक समूह के लिए कटौती की गई थी, जिसमें एक सामान्य निश्चित शुरुआत बिंदु था, यह इस बिंदु की विशिष्ट पसंद से स्वतंत्र निकला। इसीलिए हम एक ही बार में शहर की सभी यात्राओं के परिणाम का विस्तार कर सकते हैं, जिससे प्रश्न में अनुमान का पहला भाग प्राप्त होता है:

पी 1 ) बशर्ते कि प्रत्येक नई यात्रा में शहर के किसी भी पते के बिंदु पर परिष्करण की समान संभावना हो, प्रति रूट डिवीजन नोड्स की औसत संख्या लॉग ₂ एन से कम नहीं हो सकती है।

मानसिक रूप से घड़ी को पीछे की ओर मोड़ते हुए, हम यात्रा के प्रत्येक फिनिश पॉइंट को स्टार्ट पॉइंट और नेटवर्क के विभाजन के प्रत्येक बाइनरी नोड - मर्जिंग के बाइनरी नोड में बदल सकते हैं। यह छोटी सी चाल हमें P1 से स्वचालित रूप से प्राप्त करने की अनुमति देती है, अनुमान का दूसरा भाग:

पी 2 ) बशर्ते कि प्रत्येक पूर्ण यात्रा में शहर के किसी भी पते पर शुरू करने के लिए समान संभावनाएं हों, प्रति रूट विलय की औसत संख्या लॉग ₂ एन से कम नहीं हो सकती है।

यदि हम प्रारंभिक विलय के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क के अस्तित्व को याद करते हैं और प्रारंभिक विभाजन के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क है, तो हमें तुरंत नेटवर्क के दो उदाहरण मिलते हैं जो स्विचिंग नोड्स की संख्या के संदर्भ में इष्टतम हैं, जो औसतन, उनके दौरान दौरा किया जाता है। एक यात्रा। आइए देखें कि क्या यह गुणवत्ता उत्पन्न स्विचिंग नुकसान की तीव्रता को कम करने में मदद करती है।

लॉगरिदमिक नेटवर्क में स्विचिंग लागत

यदि हम प्रारंभिक विलय और प्रारंभिक विभाजन के साथ नेटवर्क की तुलना करते हैं, तो पहले वाला अपनी सादगी के कारण अधिक आकर्षक लगता है। दुर्भाग्य से, इस सादगी का सिक्का के लिए एक रिवर्स साइड भी है: सभी मार्गों को एक धारा के विपरीत i1 सिफारिश में जोड़ दिया जाता है, जिससे संभवतः बड़े समय का नुकसान होता है। प्रारंभिक डिवीजन वाले नेटवर्क को i1 - i3 की आवश्यकताओं को पूरा करना प्रतीत होता है, हालांकि, चार्ट 13 बी को देखते हुए, यह तेजी से उपयोग किए जाने वाले सड़क अंगों और स्विचिंग नोड्स की संख्या को बढ़ाता है। बाद की गुणवत्ता इस प्रकार के नेटवर्क को व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत महंगा बना सकती है।

हम इन सवालों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे। शुरू करने के लिए, हम इस बात से सहमत हैं कि शहर 'रैंडम एक्सेस' के साथ माइग्रेशन मॉडल का अनुसरण करता है, और इसके किसी भी पते से उत्पन्न प्रवाह की शक्ति 1 होती है।

प्रारंभिक विलय के साथ नेटवर्क में हानि

चार्ट 14 में आप प्रारंभिक विलय के साथ नेटवर्क के भीतर उपर्युक्त स्थितियों से उत्पन्न होने वाले प्रवाह का एक आरेख देख सकते हैं।


चार्ट 14

यह मुझे अपने एकतरफा रूप में नेटवर्क को चित्रित करने के लिए सुविधाजनक लगा, जिसका अर्थ है कि चार्ट में समान संख्याओं के साथ हस्ताक्षरित प्रत्येक प्रारंभ और समापन बिंदु, वास्तव में शहर में समान पते बिंदु का मतलब है।

आरेख के आधार पर, हम नेटवर्क में उत्पन्न स्विचिंग की तीव्रता की गणना कर सकते हैं। चलो बाएं आधे से शुरू करते हैं, जहां रिवर्स एड्रेस ट्री के माध्यम से, सभी मार्गों को एक प्रवाह में इकट्ठा किया जाता है। नेटवर्क के इस हिस्से में प्रत्येक स्विचिंग नोड उस जगह का प्रतिनिधित्व करता है जहां दो एक-तरफ़ा राजमार्ग एक (चार्ट 15) में विलय होते हैं।


चार्ट 15

यदि शुरू में प्रत्येक सड़क कुशलता से भरी हुई है, तो उनके विलय के बाद, गलियों की संख्या को कम करने की कोई आवश्यकता नहीं है, परिणामस्वरूप, कोई संबंधित स्विचिंग लागत नहीं होनी चाहिए।

मान लीजिए कि शक्ति 1 के साथ एक प्रवाह पहले से ही कम से कम दो लेन के साथ सड़क को प्रभावी ढंग से लोड करने के लिए पर्याप्त है। इस मामले में, हम एक अप्रत्याशित नतीजे पर पहुंचेंगे: कार का विलय लॉगरिदमिक नेटवर्क के अंदर प्रारंभिक विलय के साथ होता है, बिल्कुल 'मुफ्त में' होता है, बिना किसी समय के नुकसान के।

सही आधे में उत्पन्न होने वाली लागतों की गणना अधिक कठिन नहीं है। नेटवर्क का यह हिस्सा एक डायरेक्ट एड्रेस ट्री है, जिसका प्रत्येक नोड एक सममित कांटा है जिसका हमने पहले ही अध्ययन किया है। जब पावर पी के साथ आने वाले प्रवाह, कांटा पर होने वाले नुकसान की तीव्रता ( α / 2 ν )। पी 2/2 है । रूट फोर्क में प्रवेश करने वाली प्रवाह की शक्ति है: n , इसलिए, रूट नोड में नुकसान की तीव्रता है: ( α / 2 ν ) 2 n 2/2 । पता पेड़ की प्रत्येक अगली पीढ़ी में, कांटे की संख्या दोगुनी हो जाती है, और आने वाले प्रवाह की शक्ति आधी हो जाती है। परिणामस्वरूप, पूरे पेड़ के अंदर के नुकसान का सूत्र रूप लेगा:

I _{t_div1} = ( α / 2 ν ) 1/2 (1/2) d [ n ² + 2 ( n / 2) ² + 4 ( n / 4) ² + ... + ( n / 2) 1 ^{2 2} ] =

( α / 2 ν ) ⋅ ( n / 2) ² [1 + 1/2 + 1/4 + ... + 2 / n ] / ( α / 2 ν ) ² n ²

चूंकि सभी पते बिंदुओं द्वारा संयुक्त रूप से उत्पन्न यात्राओं के प्रवाह की शक्ति n है , इसलिए यात्रा के प्रति समय की लागत औसत ( α / 2 ν ), n है , जिससे शहर के आकार पर एक रैखिक निर्भरता दिखाई देती है।

जब अमूर्त नेटवर्क की बात आती है, तो उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली सड़कों के क्षेत्र का कोई भी सार्थक अनुमान देना मुश्किल है। संरचनात्मक जटिलता के वैकल्पिक उपाय के रूप में, सभी पक्ष प्रवाह की कुल शक्ति की गणना की जा सकती है। जैसा कि योजना बनाई गई है, परिणामी मूल्य को नेटवर्क द्वारा आवश्यक सभी इंटरचेंज के निर्माण की संसाधन तीव्रता को प्रतिबिंबित करना चाहिए। मैं यह नहीं कह सकता कि व्यवहार में इस पद्धति की हमेशा अच्छी व्याख्या होगी, लेकिन आगे काम की मात्रा का कुछ अनुमानित विचार शायद प्राप्त होगा।

प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के अंदर, पार्श्व प्रवाह केवल प्रत्यक्ष पते के पेड़ में मौजूद हैं, और प्रत्येक पीढ़ी के नोड्स के लिए उनकी कुल शक्ति समान है: n / 2। कुल मिलाकर, पेड़ में नोड्स की पीढ़ियों के लॉग ₂ एन हैं, इस प्रकार जटिलता का आकलन करने के लिए एक नई विधि जटिलता का अनुमान देती है: ओ ( एन लॉग ₂ एन )।

प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क

पॉवर 1 के साथ पता बिंदुओं की संख्या .......................................... .......... एन
औसत यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया:
स्पर्शोन्मुख …………………………………………। .................................................. ... ओ ( एन )
सटीक मान ………………………………………… .................................................. ..... ( α / 2 ν ) एन
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। ................................ ओ ( n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, साइड फ्लो की शक्ति को देखते हुए ........................ O ( n log ₂ n )

प्रारंभिक विभाजन के साथ नेटवर्क में हानि

अब हम प्रारंभिक डिवीजन के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के विश्लेषण की ओर मुड़ते हैं, फिर से यह मानते हुए कि नेटवर्क का उपयोग शहर में पॉवर 1 के साथ पते के बिंदुओं को 'यादृच्छिक अभिगम' से जोड़ने के लिए किया जाता है।
चार्ट 16 इस बिंदु से सटे प्रत्यक्ष और रिवर्स एड्रेस पेड़ों के साथ एक पते के बिंदु से मिलकर इसका एक टुकड़ा दिखाता है।


चार्ट 16

सबसे पहले, हम टुकड़े टुकड़े से उत्पन्न स्विचिंग नुकसान की तीव्रता का अनुमान लगा सकते हैं।
प्रवाह के विभाजन के दौरान होने वाली लागतों को निम्नलिखित समीकरण I _{t_div1} = ( α / 2 ν ) ν n ² से पाया जा सकता है, जो कि पिछले पते में प्रत्यक्ष पते के पेड़ के लिए घटाया गया था, n के बजाय 1। वास्तव में, चार्ट 16 और 14 में प्रत्यक्ष पता पेड़ों में समान गहराई होती है और शक्ति में समान प्रवाह शामिल होते हैं (नोट: समानता का अर्थ है मूल्यों को एक सेट करने की क्षमता को दूसरे सेट से मानों को कुछ निर्धारित संख्या से गुणा करना। , उदाहरण के लिए, उनके पक्षों द्वारा त्रिकोण के बीच समानता)। स्विचिंग लागत के मूल्य के बीच एक एकल कांटा और उसके आने वाले प्रवाह की शक्ति के बीच द्विघात संबंध के कारण, n समय के साथ-साथ सभी प्रवाह में एक साथ कमी पूरे पेड़ में नुकसान को ² गुना कम कर देगी, इसलिए, इसके बजाय पुराने ( α / 2 ν ), n ² , हम एक बराबर मूल्य प्राप्त करते हैं:

I _{t_div2} = ( α / 2 ν )।

अब हम खंड के बाएं आधे हिस्से में लागत के मूल्य की गणना कर सकते हैं।
रिवर्स एड्रेस ट्री के अंदर सड़क के संयुक्त प्रवाह के कम मूल्य के कारण, इस बार दो लेन से अधिक चौड़ी सड़क का निर्माण करना उचित नहीं होगा। ऐसी शर्तों के तहत विलय अब मुफ्त में नहीं है: पिछले उदाहरण के विपरीत, राजमार्ग (चार्ट 17) पर संकीर्ण क्षेत्र हैं, जहां स्विचिंग लागत आवश्यक रूप से होगी।


अंजीर। 17

यह मानते हुए कि चालक को अग्रिम में आगामी संकुचन के बारे में पता है, हम मान सकते हैं कि मृत अंत लेन से स्विच करने की प्रक्रिया धीमी है, राजमार्ग के साथ सैकड़ों मीटर तक फैला हुआ है। इस मामले में, हमारे पास उस चाल का सहारा लेने का अधिकार है जिसका उपयोग हम पहले सममित कांटे पर नुकसान की गणना करने के लिए करते थे - कुल प्रवास प्रवाह q को कई छोटे भागों में विभाजित करने के लिए q _i और फिर उनमें से प्रत्येक को एक साइड स्ट्रीम के रूप में व्याख्या करें। रैंप। ऐसे प्रत्येक विकल्प से उत्पन्न नुकसान की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

I _i = ( α / 2 ν ) _i p q _i 1 (1 + 1 / s ), हालांकि, यहां दो सूक्ष्मताएं हैं।

पहला तरीका यह है कि कारें अगली पंक्ति की तुलना में अधिक माइग्रेट नहीं होंगी।
वास्तव में: दो केंद्रीय गलियों में प्रवाह, स्पष्ट समरूपता के कारण, हमेशा लगभग एक ही घनत्व होना चाहिए, इसलिए ड्राइवरों के पास मध्य रेखा को पार करने का अधिक कारण नहीं होगा। किए गए अवलोकन से, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि आंशिक पार्श्व प्रवाह से होने वाले नुकसान के लिए सूत्र 1 के बराबर है।

जैसे-जैसे कारें किनारे की गलियों को छोड़ती हैं, दो केंद्रीय लेन में बदल जाती हैं, केंद्रीय गलियों के अंदर प्रवाह शक्ति धीरे-धीरे बढ़ती है, प्रत्येक मामले में पी / 2 से पी तक बदल जाती है । इस प्रकार, दूसरी सूक्ष्मता मैं प्रतिस्थापन की संख्या पर पी की महत्वपूर्ण निर्भरता है, जो हमें लिखती है:

नहीं
I _i = ( α / 2 ν ) _i p q _i 1 (1 + 1 / s ),
लेकिन:
I _i = ( α / 2 ν ) p ( i ) ⋅ q _i 1 (1 + 1 / s )।

मामले में जब कई छोटे हिस्से, जिनमें माइग्रेशन प्रवाह विभाजित किया गया था, सभी समान आकार के थे, निर्भरता p ( i ) एक रेखीय ग्राफ (चार्ट 18) द्वारा व्यक्त की जाती है


चार्ट 18

नुकसान की तीव्रता दर की गणना करने के लिए, हमें या तो एकीकरण का सहारा लेना चाहिए, या (यह एक पूर्णांक फ़ंक्शन का विशेष रूप से सरल रूप बनाना संभव बनाता है) पी के रूप में ले लो ( i ) 3 पी / 4 के बराबर ग्राफ पर औसत मूल्य। चूंकि प्रत्येक किनारे लेन की ओर से कुल प्रवास प्रवाह पी / 2 है, इसलिए एक अलग विलय नोड में नुकसान की तीव्रता निम्न होगी:

मेरा _विलय = 2 ⋅ ( α / 2 ν ) P (3 P / 4) ⋅ ( P / 2) =

= ( α / 2 ν ) 3 पी 2/4।

उल्टे पते के पेड़ पर एक टुकड़े के अंदर उत्पन्न समय के नुकसान को खोजने के लिए, हम इसके प्रत्येक _{एनजीआर में विलय के} लिए सूत्र लागू कर सकते हैं:

I _{t_merge} = (3/4) ( α / 2 ν ) [1 ⋅ (1/2) ² + 2 2 (1/4) ² + 4 ⋅ (1/8) ² + ... + ( n / 2) N (1 / n ) ² ] n

4 (3/4) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = =

= (3/8) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/2 + 1/4 + 1/8 + ...] =

= (3/8)) ( α / 2 ν )।

विलय और प्रवाह के विभाजन के कारण कुल लागत में वृद्धि होगी:

I _{t_merge} + I _{t_div2} = ( α / 2 ν ) [1 + 3/8] = 11/8 ( α / 2 ν )।

प्रारंभिक डिवीजन के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क में केवल ऐसे टुकड़े होते हैं, और पावर 1 के साथ n प्रवाह इसके पते बिंदुओं द्वारा उत्पन्न होते हैं, इसलिए हमने अभी जो मूल्य पाया है वह औसत यात्रा के स्विचिंग नुकसान के बराबर है।

वास्तव में, यह हमारे लिए एक विशिष्ट संख्या भी नहीं है, जो कि विशिष्ट स्विचिंग लागत के बराबर है, लेकिन यह तथ्य यह है कि ये लागत बढ़ती हुई n के साथ स्थिर रहती हैं। उत्तरार्द्ध प्रारंभिक स्वरूप के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क को समान रूप से सबसे अधिक किफायती बनाता है, जो कि हमने पहले अध्ययन किए गए सभी प्रकार के नेटवर्क के बीच घाटे को स्विच करने के संबंध में सबसे किफायती है।

दुर्भाग्य से, नेतृत्व स्वतंत्र नहीं है। प्रवाह की भारी संख्या के लुप्त होते हुए छोटे मूल्य के बावजूद, नेटवर्क में शामिल प्रत्येक पता ट्री में लगभग 2 n दो-लेन सड़क अंग और लगभग n पूर्ण-आकार स्विचिंग नोड होते हैं। नेटवर्क में 2 एन पेड़ हैं, जिसका अर्थ है ( एन ² ) अंग और नोड्स, जो समय दक्षता के मामले में न केवल सबसे किफायती है, बल्कि सभी उदाहरणों पर विचार करने के लिए सबसे महंगा नेटवर्क भी है।

पार्श्व प्रवाह की राशि के लिए, इसके मूल्य, जैसा कि आसानी से गणना की जा सकती है, गति O ( n log2 n ) के साथ बढ़ता है और इस मामले में बहुत अधिक अर्थ नहीं रखता है।

प्रारंभिक विभाजन के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क

पॉवर 1 के साथ पता बिंदुओं की संख्या .......................................... ............ एन
औसत यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया:
स्पर्शोन्मुख …………………………………………। .................................................. ...... ओ (1)
सटीक मान ………………………………………… .................................................. ........ 11/8 ( α / 2 ν )।
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। ...................................... O ( n ² )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, साइड फ्लो की शक्ति को देखते हुए ........................... O ( n log ₂ n )

संतुलित लघुगणकीय नेटवर्क

असाधारण रूप से छोटे स्विचिंग नुकसान और एक ही समय में नेटवर्क निर्माण की काफी संसाधन खपत, प्रारंभिक विभाजन के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क के आवेदन से उत्पन्न, हमें इसकी डिजाइन को बदलने के लिए कोई रास्ता निकालना चाहते हैं ताकि संसाधन की खपत में काफी कमी आए। स्विचिंग की लागत में पर्याप्त वृद्धि नहीं होगी।

जाहिर है, नेटवर्क में सड़कों की एक बड़ी संख्या के लिए मुख्य अपराधी उनके उपयोग की बेहद कम दक्षता है। उत्तरार्द्ध को स्पष्ट रूप से चार्ट 19 में देखा जाता है, जो कि ith पते के बिंदु से सटे एक प्रत्यक्ष पते के पेड़ के अंदर प्रवाह का एक विस्तृत आरेख दिखाता है।


चार्ट 19

चार्ट में, पेड़ के अंग के ऊपर की संख्या अंग के साथ गुजरने वाले प्रवाह की शक्ति को दर्शाती है, और नीचे की सीमा पता बिंदुओं का समूह है जिसके बीच यह प्रवाह अंततः वितरित किया जाएगा। हम मानते हैं कि चार्ट में प्रस्तुत सभी अंग दो-लेन के राजमार्ग हैं, पेड़ की प्रत्येक पीढ़ी में अंगों की संख्या आंकड़े के नीचे इंगित की गई है।

सावधानी से विचार करने पर, आप देख सकते हैं कि जिस नियम के द्वारा किसी विशेष नोड में प्रवाह को विभाजित किया जाता है, वह पूरी तरह से एड्रेस ट्री के अंदर इस नोड की स्थिति से निर्धारित होता है और इन ट्रिप्स को शुरू करने वाले एड्रेस पॉइंट की संख्या पर निर्भर नहीं करता है ।

यदि बिंदुओं के एक ही समूह को कई प्रवाह संबोधित किए जाते हैं, और प्रत्येक प्रवाह को आवंटित पथ को भरने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है, तो हम उन्हें एक साथ एक राजमार्ग में क्यों नहीं जोड़ते हैं। वास्तव में, यह अनिवार्य रूप से सरल विचार एक अच्छा सार नेटवर्क बनाने के लिए संभव बनाता है जो अपेक्षाकृत छोटे स्विचिंग घाटे को उत्पन्न करता है और उपयोग की गई सड़कों की संख्या के संदर्भ में किफायती है।

I-th बिंदु के पते के पेड़ पर लौटते हुए, हम देखते हैं कि रूट नोड में प्रवेश करने वाले प्रवाह को दो पुत्रों में विभाजित किया जाता है, जिसमें 1/2 प्रत्येक की क्षमता होती है। पहले बेटे के प्रवाह में सीमा से बिंदुओं को संबोधित यात्राएं शामिल हैं [1; n / 2], दूसरे में सीमा से बिंदुओं पर संबोधित यात्राएं शामिल हैं [( n / 2) + 1; एन ]।

ऊपर बताए गए विचार के बाद, हम प्रत्येक विषम बिंदु पर एक ही प्रकार के बेटे प्रवाह को जोड़ते हैं और एक समान संख्या के साथ पता बिंदु इसका अनुसरण करते हैं। यह तकनीक हमें प्रत्येक चयनित जोड़ी के लिए अनुमति देती है कि वह 1/2 की शक्ति के साथ चार प्रवाह के बजाय, केवल 1 शक्ति (चार्ट 20) के साथ दो प्रवाह करता है। हम भविष्य के नेटवर्क के प्राप्त टुकड़े को बीएन ₂ [i] के रूप में नामित करेंगे; मैं +1]।


चार्ट 20

f पुत्र प्रवाह संयुक्त नहीं थे, लेकिन फिर भी पता ट्री के अंदर थे, फिर अगली पीढ़ी के नोड्स में, उनमें से प्रत्येक को फिर से दो भागों में विभाजित किया जाएगा, जो शक्ति के आधार पर और पते के सेट के आकार को इंगित करता है। जो यात्राएं कर रहे हैं।

क्यों स्थापित परंपरा को तोड़ते हैं, क्योंकि संयोजन प्रक्रिया के बाद भी हमारे पास प्रवाह के प्रकार पहले जैसे ही हैं, लेकिन प्रत्येक प्रकार के केवल कुछ प्रतिनिधियों के साथ। उत्पादन में से प्रत्येक बीएन ₂ [i] से बहता है; i +1], हम उसी समान नियम को लागू कर सकते हैं जो एड्रेस ट्री के अंदर अपने प्रकार के प्रवाह पर लागू होगा।

समान प्रवाह के संयोजन-विभाजन के लिए ऊपर वर्णित तार्किक निर्माण को दोहराए जाने का कोई कारण नहीं है। चार्ट 21 दो टुकड़ों के संयोजन के लिए एक योजना दिखाता है
बीएन ₂ बीएन _{4 के} एक टुकड़े में, दूसरी ओर, चार्ट 22 सामान्य मामले में समान एल्गोरिथ्म दिखाता है।


चार्ट 21


चार्ट 22

अंत में, टुकड़ों के विस्तार की प्रक्रिया पूरी हो जाएगी और हमें केवल तत्व बीएन _एन [1] तक ले जाएगी; एन ]। हम इसे बैलेंस्ड लॉगरिदमिक नेटवर्क (चार्ट 23) कहेंगे।


चार्ट 23

आइए इस नेटवर्क की जाँच करें और उत्पन्न स्विचिंग घाटे की जटिलता के लिए।
बैलेंस्ड नेटवर्क डिजाइनिंग की आगमनात्मक प्रकृति के आधार पर, इसकी संरचना में शामिल स्विचिंग नोड्स की संख्या को आवर्तक विवरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

नोड्स (बीएन _के ) = 2 नोड्स (बीएन _{के / २} ) + २ के ,

निम्नलिखित सीमा के साथ:

नोड्स (बीएन ₁ ) = 0।

समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान कार्य है:

नोड्स (बीएन _एन ) = 2 एन लॉग ₂ एन ।

चूंकि बीएन _एन के डिजाइनिंग के लिए लॉग ₂ एन इंडक्शन चरणों की आवश्यकता होती है, प्रत्येक यात्रा लॉग ₂ एन डिवीजन नोड्स और विलय नोड्स की समान संख्या के माध्यम से जाएगी, उनके बीच अपने रास्ते पर (चार्ट 24) बारी-बारी से।


चार्ट 24

प्रत्येक डिवीजन नोड के भीतर उत्पन्न नुकसान:
( α / 2 ν ) ⋅ (1) 2/2 ।

प्रत्येक विलय नोड के भीतर उत्पन्न नुकसान:
( α / 2 ν ) ⋅ 3 1/2 (1/2) 2/4 = 3/16 ( α / 2 ν )।

यह देखते हुए कि बैलेंस्ड नेटवर्क में दोनों की संख्या n लॉग ₂ एन है , हम कुल स्विचिंग घाटे का सटीक मूल्य प्राप्त कर सकते हैं:
11/16 ( α / 2 ν ) n लॉग ₂ एन ,

जो प्रति एक यात्रा है:
11/16 ( α / 2 ν ) लॉग ₂ एन

संतुलित लघुगणकीय नेटवर्क

पॉवर 1 के साथ पता बिंदुओं की संख्या .......................................... .......... एन
औसत यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया:
स्पर्शोन्मुख …………………………………………। .................................................. ... ओ (लॉग ₂ एन )
सटीक मान ………………………………………… .................................................. .... 11/16 ( α / 2 ν ) लॉग ₂ एन
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। ............................... ओ ( एन लॉग ₂ एन )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, साइड फ्लो की शक्ति को देखते हुए ....................... O ( n log ₂ n )

ऊपर दिए गए आंकड़े हमें बैलेंस्ड नेटवर्क को पेश किए गए समय के नुकसान और समग्र संरचनात्मक जटिलता के बीच एक अच्छा समझौता मानते हैं। एक वास्तविक शहर के सड़क नेटवर्क के रूप में इसका उपयोग सिद्धांत रूप में संभव है, लेकिन आर्थिक रूप से संभव है। यह मुझे लगता है कि जिस क्षेत्र में बैलेंस्ड नेटवर्क का उपयोग वास्तव में बहुत लाभकारी हो सकता है, वह बड़े पैमाने पर सूचना प्रणाली है जिसमें सिग्नल देरी की मात्रा, जैसे सेलुलर संचार, इंटरनेट, वितरित कंप्यूटिंग, और मल्टीप्रोसेसर कंप्यूटर की सख्त आवश्यकता होती है। । हमारे लिए, बैलेंस्ड नेटवर्क का सबसे बड़ा मूल्य वह विधि है जिसके द्वारा इसे डिज़ाइन किया गया था। थोड़ी देर बाद, इस पद्धति के एक संशोधन का उपयोग करके, हम रैखिक और सेलुलर शहरों के नेटवर्क में सुधार करने में सक्षम होंगे जो वास्तव में व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण हैं।

ऐतिहासिक शहर ट्रैफिक जाम के लिए क्यों बर्बाद होते हैं

मेरा बयान अप्रत्याशित लग सकता है, लेकिन इस सवाल का जवाब कि स्वाभाविक रूप से विकासशील शहर, आमतौर पर ट्रैफिक जाम से ग्रस्त हैं, हमारे द्वारा पिछले पैराग्राफ में पहले से ही पाया गया था। तो इसका सार क्या है?

तथ्य यह है कि कई ऐतिहासिक शहर जो मध्ययुगीन किलों के युग के बाद बच गए थे (उदाहरण के लिए, "पुरानी दुनिया" की लगभग सभी राजधानियाँ) इस समय से सड़कों की रेडियल संरचना से विरासत में मिली थीं। दुर्भाग्य से (उनके आधुनिक निवासियों के लिए), एक समान टोपोलॉजी वाला सड़क नेटवर्क अच्छी तरह से पैमाने पर नहीं होता है: केंद्र के पास रेडियल सड़कों की घनी व्यवस्था परिधि पर बहुत दुर्लभ हो रही है। नतीजतन, जनसंख्या वृद्धि की प्रक्रिया में, जो सड़कें शुरू में किले तक जाने वाली कुछ सड़कों के किनारे पर स्थित थीं, वे बड़ी हो गईं और परिधि पर दिखाई देने वाली सड़कें छोटी थीं और बढ़ने के लिए पर्याप्त पारगमन महत्व प्राप्त नहीं किया। चौड़ाई। नतीजतन, सड़क नेटवर्क जिसे हम अब बड़े ऐतिहासिक शहरों में देखते हैं, वह अक्सर धमनी-प्रकार के परिवहन प्रणालियों को संदर्भित करता है, और हमारी शब्दावली में,(अपूर्ण) प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क।


(मॉस्को सड़कों, फोटो: स्लाव स्टेपानोव)

अगर हम उन सड़कों की लंबाई के बारे में बात करते हैं जो एक ड्राइवर को ड्राइव करनी चाहिए, तो इस प्रकार के नेटवर्क का कार्यान्वयन बुरा नहीं है: अक्सर यात्रा की जाने वाली दूरी सीधी रेखा की दूरी से बहुत कम होती है, और इसकी शहर में औसत मूल्य, जैसा कि "सभ्य" परिवहन प्रणालियों के लिए होना चाहिए, O ( ) n ) की दर से बढ़ता है । परेशानी यह है कि प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क पर शहर के विस्तार के साथ, इसके द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागत बहुत तेज़ी से बढ़ती है: जिस समय, उनकी वजह से यात्रा की अवधि बढ़ जाती है, उनकी संख्या पर निर्भर करता है शहर में रहने वाले लोगों की तरह O ( n )। यह स्पष्ट है कि कुछ एन से शुरू, यह समय दूरी पर काबू पाने के लिए शुद्ध समय पर प्रबल होगा, दूसरे शब्दों में, शहर में ट्रैफिक जाम दिखाई देगा।

निस्संदेह, बड़े ऐतिहासिक शहरों में परिवहन प्रणाली का पुनर्गठन एक ऐसा कार्य है जिसे हल किया जा सकता है। हालांकि, यह समझना महत्वपूर्ण है कि एक और एक, दो या पांच बड़े परिवहन धमनियों का निर्माण, भले ही शहर में स्थिति में थोड़ा सुधार हो, लेकिन ट्रैफिक जाम के मूल कारण को समाप्त नहीं करेगा। जाहिर है, प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क की कमियों को दूर करने का एकमात्र तरीका दूसरे नेटवर्क का उपयोग करना है। यहां एक अच्छा उम्मीदवार सेलुलर टोपोलॉजी के साथ एक नेटवर्क हो सकता है, जिसके भीतर दूरी को कवर करने का समय बढ़ रहा है, कम से कम, उसी दर पर जब स्विचिंग घाटे बढ़ रहे हैं।


(रात बर्लिन, फोटो: विंसेंट लाफोरेट)

शायद यही वजह है कि आधुनिक बर्लिन, हालांकि बड़े धमनी राजमार्गों के साथ, पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई सेलुलर संरचना द्वारा प्रतिष्ठित है।

ऐतिहासिक शहरों के निवासियों को अधिक मोबाइल बनाने के तरीके पर दुनिया में कई दिलचस्प समाधान हैं, लेकिन परिवहन पहुंच के संघर्ष में मुख्य पुरस्कार शायद बार्सिलोना के इंजीनियरों को दिया जाना चाहिए।


(बार्सिलोना का अपडेटेड रोड नेटवर्क, फोटो: विंसेंट लाफोरेट)

रैखिक और सेलुलर शहरों के नेटवर्क पर करीब से नजर

सार नेटवर्क पर विश्लेषण के तरीके पाए गए और सम्मानित किए जाने के बाद, अब उन्हें रैखिक और सेलुलर टोपोलॉजी वाले शहरों के अधिक यथार्थवादी मामलों में लागू करने का समय है। इस खंड में हम उनके परिवहन नेटवर्क की विशेषताओं के सभी विवरणों का विश्लेषण करने की कोशिश करेंगे, स्विचिंग घाटे की तीव्रता दर के संख्यात्मक मूल्य को स्थापित करेंगे, यह पाएंगे कि इसका मूल्य क्वार्टर के आकार पर कैसे निर्भर करता है, और संभावित बदलावों और सुधारों पर चर्चा करें।

रैखिक शहर
इस बार, हम एक ऐसे शहर का एक उदाहरण पर विचार करेंगे, जिसमें दो एक-तरफ़ा राजमार्ग हैं: पश्चिमी राजमार्ग उत्तर और पूर्वी राजमार्ग की ओर एक यातायात के साथ दक्षिण की ओर एक यातायात (चार्ट 25)।


चार्ट 25

प्रत्येक तिमाही को शक्ति के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करने दें। इस स्थिति में, एक मार्ग की शक्ति एक चौथाई से दूसरी एक मात्रा में 1 / n तक होती है ।

शुरू करने के लिए, हम राजमार्गों में साइड फ्लो की शक्ति को परिभाषित करेंगे। राजमार्ग तिमाही को पाने के लिए पश्चिमी एक ही रास्ता है मैं तिमाही (से n - मैं स्थित दक्षिण की ओर है, और एकमात्र तरीका से तिमाही प्राप्त) मैं (करने के लिए तिमाही है मैं - 1) स्थित उत्तर की ओर। इसका अर्थ है कि पश्चिमी राजमार्ग और तिमाही के बीच यातायात विनिमय की शक्ति बहती है:

q _{W_out} = ( n - i ) / n- पश्चिमी राजमार्ग,
क्यू _{W_in} = ( i - 1) / n - पक्ष प्रवाह की शक्ति आने वाली पक्ष प्रवाह की शक्ति।

यह स्पष्ट है कि पूर्वी राजमार्ग में साइड फ्लो की शक्ति सममित तरीके से i पर निर्भर करती है:
q _{E_out} = ( i - 1) / n - पूर्वी राजमार्ग,
q _{E_in} = ( n - i ) / की ओर प्रवाह प्रवाह की शक्ति n - आने वाले पक्ष प्रवाह की शक्ति।

बेशक, i _-th क्वार्टर छोड़ने वाले प्रवाह का योग :
q _{E_in} + q _{W_in}= ( n - 1) / n ,

इसमें प्रवेश करने वाले प्रवाह के योग के साथ मेल खाता है:
q _{E_out} + q _{E_out} = ( n - 1) / n ,

और ये दोनों मान i पर निर्भर नहीं करते हैं (प्रत्येक तिमाही में एक है शक्ति 1 / n के साथ प्रवाह , इस प्रवाह में यात्राएं होती हैं जो दी गई तिमाही के भीतर शुरू और खत्म होती हैं)।

मुख्य प्रवाह की शक्ति की गणना करने के लिए, हम एक ही स्तर पर पश्चिमी राजमार्ग पर एक काल्पनिक रेखा खींचेंगे जो कि i -th तिमाही के साथ होगी। कुल मिलाकर, यह रेखा पार हो जाएगी:
(तिमाहियों की संख्या) × (उत्तर की ओर तिमाहियों की संख्या) = (n - i ) ( i - 1) मार्गों से मिलकर एक शक्ति का प्रवाह बनाते हैं:

P _W ( i ) = ( n - i ) ( i - 1) / n ।

समान सूत्र:
(उत्तर की ओर तिमाहियों की संख्या) × (उत्तर की ओर के तिमाहियों की संख्या) / n ,
पूर्वी राजमार्ग P _E में यातायात प्रवाह की शक्ति को दूसरे शब्दों में व्यक्त करना चाहिए :

P _E ( i ) = P _W ( i ) = पी ( आई )।

सभी मुख्य और पक्ष जानने के बाद की शक्ति बहती है, हम तीव्रता दर नुकसान है कि निकट क्षेत्र में नेटवर्क में होते गणना कर सकते हैं मैं वें तिमाही:

मैं ( मैं ) = ( α / 2 ν ) ⋅ पी ( मैं ) ⋅ [( क्ष _{E_in} + क्ष _{W_in} ) ⋅ (1 + 1 / एस ) + ( क्ष _{E_out} + क्ष _{E_out} ) ⋅ (1 - 1 / एस )] =
= ( α / 2 ν ) ⋅ पी ( मैं ) ⋅ [(1 - 1 / n ) ⋅ (1 + 1 / एस ) + (1 - 1 / n ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= ( α / 2 ν ) ⋅ 2 पी ( मैं ) ⋅ (1 - 1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n - मैं ) ( मैं - 1) / n =
2 = ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n - मैं ) ⋅ ( मैं - 1) ⋅ (1 / n )।

हम संक्षेप में प्रस्तुत भर में पिछले अभिव्यक्ति तो मैं , हम एक पूरे के रूप में पूरे नेटवर्क द्वारा उत्पन्न तीव्रता नुकसान दर मिल जाएगा।

मैं = Σ _मैं मैं ( मैं )
= Σ _मैं 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ ( n- मैं ) ⋅ ( मैं - 1) ⋅ (1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / n ) ⋅ एन ² ⋅ Σ _मैं (1 - मैं / n ) ⋅ ( मैं / n - 1 / n ) ⋅ (1 / n ) ≈
≈ 2 ( α / 2 ν ) ⋅ एन ² ⋅ Σ _मैं (मैं / n ) ⋅ (1 - मैं / n ) ⋅ (1 / n )।

योग Σ _मैं ( मैं / n ) ⋅ (1 - मैं / n ) ⋅ (1 / n ) किसी भी बड़े के लिए n अभिन्न द्वारा अच्छा सटीकता के साथ बदला जा सकता है:

∫ टी (1 - टी ) घ टी ( टी ∈ [ 0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6।

इसके आधार पर, हम एक रैखिक शहर में घाटे को बदलने की तीव्रता के साथ प्राप्त कर सकते हैंn मात्रा में करने की शक्ति 1 के साथ क्वार्टर:

मैं = ( α / 2 ν ) एन ² /3।

इस बिंदु तक, हमने केवल उन उदाहरणों पर विचार किया, जिनमें क्वार्टर हमेशा बिजली के साथ प्रवाहित होता है। 1. आइए विचार करें कि क्या रैखिक शहर के घाटे को बदलने का फॉर्मूला बदल जाएगा यदि प्रत्येक तिमाही के लिए शक्ति 1 के साथ प्रवाह का एक स्रोत नहीं है, लेकिन - λ (क्वार्टर λ गुना बड़ा हो जाएगा )।

हमें एम क्वार्टर के साथ एक शहर ले लो । क्वार्टर शक्ति 1 से उत्पन्न प्रवाह है, तो स्विच करने से नुकसान (होगा α / 2 ν ) मीटर ² /3।

में एक की यात्रा का एक उत्पादन शक्ति हर तिमाही से का एक पहलू से बढ़ाएँ लैम्ब्डा लीड वृद्धि करने के लिए में दोनों मुख्य और पक्ष प्रवाह करने के लिए का एक पहलू से लैम्ब्डा । नतीजतन, प्रत्येक जंक्शन पर लागत, और इसलिए एक पूरी, का एक पहलू से वृद्धि के रूप में नेटवर्क के अंदर λ ² बार, और नुकसान सूत्र रूपांतरण में:

मैं = ( α / 2 ν ) मीटर ² ⋅ λ ² /3 ।

काफी हद तक, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि स्विचिंग लॉस शहर में क्वार्टरों की संख्या पर निर्भर करता है, हमारे लिए मुख्य बात यह है कि वे इसके अंदर उत्पन्न सभी यात्राओं की प्रवाह शक्ति पर निर्भर करते हैं, या दूसरे शब्दों में, संख्या n पर1. की शक्ति इस मामले में साथ स्रोतों, एन के बराबर है मीटर ⋅ λ , इसलिए:

मैं = ( α / 2 ν ) मीटर ² ⋅ λ ² /3 =
= ( α / 2 ν ) ( मीटर ⋅ λ ) ² / 3 =
= ( α / 2 ν ) एन ² /3।

दूसरे शब्दों में, एक रैखिक शहर में घाटे को स्विच करना इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि क्वार्टर में अपने क्षेत्र का विखंडन कितना छोटा है।

सेलुलर सिटी

एक सेलुलर शहर की कल्पना करें जिसमें लंबवत सड़कों के राजमार्गों को विभिन्न ऊंचाइयों / स्तरों पर आवंटित किया गया है। यह संभव होगा, उदाहरण के लिए, यदि उत्तर से दक्षिण की ओर जाने वाले सभी राजमार्ग पुलों पर उठाए गए थे, और पश्चिम से पूर्व तक फैले राजमार्गों को पृथ्वी की सतह पर बनाया गया था। यदि, इसके अलावा, सभी राजमार्गों में दो तरफा यातायात है, तो ऐसे शहर में सड़क नेटवर्क को मानक सेलुलर टोपोलॉजी (चार्ट 26) के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

यहाँ बिंदु, निश्चित रूप से, ऊपर वर्णित नेटवर्क को व्यवहार में लाने के लिए नहीं है: यह शहर के परिदृश्य की पृष्ठभूमि के खिलाफ बहुत अधिक सौंदर्यवादी रूप से प्रसन्न नहीं होगा और, इसके अलावा, बहु-स्तरीय इंटरचेंज की आवश्यकता के कारण, यह खाएगा। सड़क के आधे हिस्से में बेहतर जगह है। फिर भी, यह विशुद्ध रूप से काल्पनिक नेटवर्क आवश्यक अनुमान प्राप्त करने का एक अच्छा तरीका है, जिसे बाद में आसानी से सड़क नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है जो वास्तविक शहरों में उनकी प्रयोज्यता के दृष्टिकोण से वास्तव में दिलचस्प हैं।

हमेशा की तरह, हम मान लेंगे कि निवासियों की प्रवासन आवश्यकताओं को 'यादृच्छिक अभिगम' मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है, और हम इस मामले के साथ अपने विचार शुरू करेंगे जब किसी दिए गए तिमाही द्वारा उत्पन्न सभी प्रवाह की शक्ति 1 है।

मानक सेलुलर शहर के उदाहरण में, स्थापित परंपरा से अलग हटकर सुविधाजनक है और पता बिंदु के रूप में विचार करें कि एक अलग तिमाही नहीं है, लेकिन राजमार्गों के चौराहे के भीतर एक चौकोर आकार का एक प्रादेशिक क्षेत्र और सभी क्वार्टरों का 1 / 4S उसके समीप। चार्ट 27 ऐसे कई क्षेत्रों की सापेक्ष स्थिति दिखाता है और उनमें से एक के अंदर एक ट्रैफिक पैटर्न दिखाता है। यह चार्ट स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि किसी भी चालक, क्वार्टर को छोड़कर, दुनिया के चार पक्षों में से किसी की दिशा में चलते हुए, राजमार्ग में प्रवेश करने का अवसर है।


चार्ट 26

शहर द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागत के मूल्य की गणना करने के लिए, हम इसके प्रत्येक प्रादेशिक क्षेत्र के भीतर सभी मुख्य और साइड फ्लो की शक्ति की गणना करेंगे। ज़ोन का आकार और आपसी स्थिति हमें ज़ोन को फील्ड सेल के रूप में और उन दोनों के बीच कारों की आवाजाही पर विचार करने के लिए शतरंज की सादृश्यता का सहारा लेने देती है। एक सामान्य मामले में, बदमाश को दो चालों में एक सेल से दूसरे में ले जाया जा सकता है; यदि दोनों कोशिकाएं एक ही क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर रेखा पर हैं, तो - एक चाल में।


चार्ट 27

कई असुविधाजनक आरक्षणों से बचने के लिए, हम मानते हैं कि जिस कदम में बदमाश कहीं भी नहीं जाते हैं, उन्हें भी हमारे नियमों के अनुसार अनुमति दी जाती है। बदमाशों का आवागमन मार्ग, जिसमें दो चालें हैं, जिनमें से एक को आवश्यक रूप से लंबवत प्रदर्शन किया जाता है, और दूसरे को-क्षैतिज रूप से, सबसे सरल कहा जाएगा। एक ही समय में 'स्टैंडस्टिल' को ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज मानने के लिए यह उचित है। इस मामले में, यह सच है कि बोर्ड पर कोई भी दो कोशिकाएँ एक दूसरे से बिल्कुल दो अलग-अलग सरल मार्गों द्वारा जुड़ी होती हैं।

ड्राइवरों के लिए, सबसे सरल मार्ग न्यूनतम हस्तक्षेप के साथ, एक क्षेत्रीय क्षेत्र से दूसरे तक पहुंचने का सबसे आसान तरीका है, इसलिए यह मान लेना उचित है कि वास्तविक यात्राएं प्राथमिक मार्ग लाइनों के साथ होंगी। 1 रैंडम एक्सेस ’मॉडल के अनुसार, पता बिंदु (प्रादेशिक क्षेत्र) द्वारा उत्पन्न शक्ति 1 के प्रवाह को शहर के सभी n = d ² पते बिंदुओं के बीच समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए । इसलिए, एक मार्ग रेखा के साथ गुजरने वाली प्रवाह की शक्ति 1 / (2 एन ) है।

हम उस प्रवाह की गणना कर सकते हैं जो दक्षिण से उत्तर की दिशा में सेल ( i , j ) से होकर गुजरता है । सबसे सरल मार्ग सेल पार करता है ( i , j)) केवल दो स्थितियों में दक्षिण से उत्तर की ओर। उनमें से पहला (चार्ट 28 बाईं ओर):

1 ए) मार्ग का प्रारंभ सेल अंतिम ( डी - आई ) क्षैतिज लाइनों (पंक्तियों) में से एक में स्थित है ;
2a) मार्ग का अंतिम बिंदु j -th वर्टिकल लाइन (कॉलम) की पहली ( i - 1) कोशिकाओं में से एक है ; 3a) मार्ग क्षैतिज खंड से शुरू होता है, या पूरी तरह से j -th कॉलम के अंदर होता है।



चार्ट 28

दूसरी स्थिति का वर्णन करने वाली स्थितियाँ सममित दिखती हैं (चार्ट 28 दाईं ओर):

1a) मार्ग का प्रारंभ बिंदु j -th वर्टिकल लाइन की अंतिम ( d - i ) कोशिकाओं में से एक है ; 2 ए) मार्ग का फिनिश सेल पहले ( i - 1) क्षैतिज लाइनों में से एक में स्थित है ; 3a) मार्ग एक ऊर्ध्वाधर खंड से शुरू होता है, या पूरी तरह से j -th कॉलम के अंदर होता है। शतरंज की बिसात पर केवल 2 × [ d i ( i - 1) + 1 i ( i - 1)] × ( d - i)



) जो एक साथ शक्ति के साथ एक प्रवाह बनाने आवश्यकताओं के लिए उपयुक्त सरल मार्गों,:

पी _{एस एन} ( मैं , जे ) = ( घ + 1) ⋅ ( मैं - 1) ⋅ ( घ - मैं ) / n (= पी _{एस एन} ( मैं ))।

फिक्सिंग j , हम फंक्शन

( P _SN ) _j ( i ) = P _SN ( i , j = Const) प्राप्त करेंगे,

कोशिकाओं में मापी गई शहर की ऊपरी सीमा की दूरी पर j -th ऊर्ध्वाधर राजमार्ग के साथ उत्तर की ओर बढ़ते प्रवाह की शक्ति की निर्भरता का वर्णन करते हुए ।
फ़ंक्शन ( P _SN ) _j ( i ) के बारे में कई या कम स्पष्ट अवलोकन हैं , आइए उन पर चर्चा करें।

आइए एक ऐसी परिस्थिति से शुरू करें जिसे अनदेखा करना मुश्किल होगा: पी _एसएन ( आई , जे ) व्यावहारिक रूप से दूसरे तर्क पर स्वतंत्र है। परिणामस्वरूप, फ़ंक्शन ( P _SN ) _j ( i ) = P _SN (i ) j के सभी मूल्यों के लिए समान रूप है , दूसरे शब्दों में, सेलुलर शहर के अंदर राजमार्ग की विशिष्ट स्थिति इसके भार को प्रभावित नहीं करती है। औपचारिक रूप से, अंतिम कथन केवल उत्तर की ओर जाने वाले राजमार्ग के लिए सिद्ध होता है, लेकिन शहर की समरूपता के कारण यह स्वचालित रूप से अन्य दिशाओं के राजमार्ग पर भी लागू होता है।

हमारे लिए सूत्र पर अब नजर डालते हैं पी _{एस एन} ( मैं :) खुद

( घ + 1) ⋅ ( मैं - 1) ⋅ ( घ - मैं ) / (2 n )।

हम के रूप में, की पूरी निर्भरता को देखने के पी _{एस एन} सेमैं मैं पर अभिव्यक्ति (में निहित है मैं - 1) ⋅ ( घ - मैं )। इस अभिव्यक्ति की व्याख्या दाएं और बाएं हिस्सों की लंबाई के उत्पाद के रूप में की जा सकती है, जिसमें लंबाई d के पूर्णांक खंड के बाद i-th तत्व को इसमें से बाहर रखा गया है (चार्ट 29a)।


चार्ट 29 ए


चार्ट 29b

यह स्पष्ट है कि यदि आप "दाएँ" को "बाएँ" और "बाएँ" को "दाएँ" (चार्ट 29b) में बदलते हैं, तो उत्पाद का परिणाम वही रहेगा। इस तरह के एक सरल अवलोकन के आधार पर, हम दो निष्कर्ष निकाल सकते हैं, जो कि संक्षेप में, हमारे लिए बहुत उपयोगी हैं:

1. the function P _SN ( i ) is symmetric with respect to the midpoint of the street i = (d + 1)/2, in order words, the flow power at a distance Δ from the lower boundary of the city is exactly the same as at a distance from the lower boundary of the city is exactly the same as at a distance Δ from the upper boundary.
2. On the whole, the city itself is symmetrical up and down, therefore, to get the function ( P _NS ) _j ( i ), which describes the power flow on the j -th highway, but in a southward direction, it's enough to simply mirror the function graph ( P _SN ) _j ( i ) in the line i = ( d + 1)/2. Since ( P _SN ) _j ( i ) = P _SN ( i ), and the graph P _SN ( i ) with respect to the line i = ( d + 1)/2 is symmetric, then ( P _NS ) _j ( i ) = P _SN ( i ) = P _vert ( i ),, in other words,
3. direct and oncoming traffic flows have equal power at any point of the city. A closer graph of P _SN ( i )is shown in Chart 30 (it is believed that d >> 1, i >> 1, d − i >> 1).

चार्ट 30

क्षैतिज राजमार्गों के साथ मुख्य प्रवाह की शक्तियां आसानी से घूर्णी समरूपता का उपयोग करके पाई जाती हैं; औपचारिक रूप से, इस प्रक्रिया को P _SN ( i ) में j द्वारा i के सरल प्रतिस्थापन और निचले सूचकांक के एक छोटे से सुधार के माध्यम से लागू किया जा सकता है । अगले कदम के पक्ष प्रवाह की शक्ति को खोजने के लिए है। सेल ( i , j ) के अंदर एक ऊर्ध्वाधर राजमार्ग पर ट्रैफ़िक में प्रवेश करने या छोड़ने वाले ट्रिप्स को आसानी से चार श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

1. the flow q _{in_transit} : start point is in any cell of the i -th horizontal, finish point is in any cell of the j -th vertical, except for the ( i , j ) itself (Chart 31a);
2. the flow q _{out_transit} : start point is in any cell of the the j -th vertical, except for the ( i , j ) itself, finish point is in any cell of the i -th horizontal (Chart 31b);
3. the flow q _in : start point is the ( i , j ) itself, finish one is any cell outside the i -th horizontal (Chart 31c);
4. the flow q _out : start point is in any cell outside the i -th horizontal, finish point is the ( i , j ) itself (Chart 31d);

चार्ट 32: ABCD

प्रत्येक अलग वर्ग से संबंधित मार्ग लाइनों की संख्या में याद करने के बाद हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सभी चार प्रवाह की शक्तियां ही और बराबर हैं:

क्यू ₀ = घ ⋅ ( घ - 1) / (2 n )

के बाद मुख्य और पक्ष की शक्तियों का मान एक ऊर्ध्वाधर राजमार्ग में बहता है, संबंधित स्विचिंग लागत के मूल्य की गणना करना मुश्किल नहीं है। एक एकल कोशिका के अंदर ( मैं , जे :) स्विचिंग लागत के बराबर हो जाएगा

मैं _Vert ( मैं , जे ) = ( α / 2 ν ) ⋅ पी_Vert ( मैं ) ⋅ [( क्ष _में + क्ष _{in_transit} ) ⋅ (1 + 1 / एस ) + ( क्ष _बाहर + क्ष _{out_transit} ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= 4 ( α / 2 ν ) ⋅ ( घ + 1) ( मैं - 1) ( घ - मैं ) ⋅ घ ( घ - 1) / 2 n ² ≈
≈ 2 ( α / 2ν ) ⋅ घ ⁵ ⋅ ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ⁴ =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ घ ² ⋅ ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ )।

पूरे शहर के भीतर सभी खड़ी सड़कों में खर्च करने के लिए लागत का पता लगाएं, हम योग करने के लिए की जरूरत है मैं _Vert ( मैं , जे) दोनों सूचकांकों के लिए:

मैं _Vert = Σ _ij मैं _Vert ( मैं , जे ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ घ ² ⋅ Σ _ij ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ।

के बाद से summands पर निर्भर नहीं करता मूल्य j किसी भी तरह से, दूसरा सूचकांक से अधिक संक्षेप से गुणा करने के बराबर है घ :

Σ _ij ( मैं /घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) = घ ⋅ Σ _मैं ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ )।

: आखिरी राशि अभिन्न हम पहले से ही जानते हैं कि इसका अनुमान लगाया जा सकता है

Σ _मैं ( मैं / डी (- 1) मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ≈ ∫ टी (1 - टी ) घ टी (t t [0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6।

इस आधार पर, हम प्राप्त कर सकते हैं:

मैं _Vert = ( α / 2 ν ) ⋅ घ ³ /3 = ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n / 3।

इस सवाल का जवाब हम सवाल कर सकते हैं क्या लागत का मूल्य है मैं _horiz , क्षैतिज राजमार्गों में उत्पन्न होने वाली है, शहर की समरूपता का उपयोग कर:

मैं _horiz = मैं _Vert = ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n / 3।

इसलिए, सेलुलर स्टैंडर्ड शहर के पूरे नेटवर्क के भीतर स्विचिंग नुकसान तीव्रता दर के बराबर है:

मैं = मैं _Vert + मैं _horiz = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n ,

और प्रति यात्रा, औसत पर, स्विचन लागत हो जाएगा

2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n

स्विचिंग नुकसान की कीमत पर सेल के आकार का असर

पॉवर 1 के साथ प्रवाह उत्पन्न करने वाले क्वार्टर समस्या की स्थितियों के बजाय कृत्रिम सीमा हैं। हम मामलों के ऊपर प्राप्त परिणामों का विस्तार कर सकते हैं जब एक सेल द्वारा उत्पन्न प्रवाह की शक्ति λ के बराबर होती है ।
ओ शहर के देना शामिल होंगे मीटर ऐसी कोशिकाओं। यदि सभी कोशिकाओं शक्ति 1 थे, तो कुल स्विचिंग नुकसान की तीव्रता होगा मैं ₁ = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ मीटर √ मीटर । का एक पहलू से यात्राएं की एक संख्या के में वृद्धि लैम्ब्डा से गुणा की इच्छा लैम्ब्डाकई बार राजमार्गों में सभी मुख्य और साइड फ्लो की शक्तियां होती हैं, जो शहर के भीतर उत्पन्न सभी स्विचिंग लागतों में λ ^{2 के} एक कारक की वृद्धि का कारण होगा । नुकसान के लिए नया फार्मूला तीव्रता दर इस प्रकार के फार्म ले जाएगा:

मैं = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ मीटर √ मीटर

अगर हम मान लेते हैं कि सेल के होते हैं λ शक्ति 1 से पता अंक, तो कुल ऐसे बिंदुओं की संख्या होगी: n = λm । आइए मैं n और λ के एक समारोह के रूप में व्यक्त करता हूं :

I = 2/3⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ मीटर √ मीटर =
= 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ λ ⋅ ( λ √ λ ) ⋅ ( मीटर √ मीटर ) =
= 2/3 ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ ( λ मीटर ) √ ( λ मीटर ) =
= 2/3 ⋅ √ λ( Α / 2 ν ) ⋅ n √ n ।

नई शर्तों के तहत यात्रा का औसत मूल्य प्रति हो जाएगा 2/3 ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n , किया जा रहा है √ λ शक्ति के साथ क्वार्टर 1 से बना एक शहर में उनके मूल्य से अधिक है।

अंतिम सूत्र हमें बताता है कि एक ही जनसंख्या, जनसंख्या घनत्व और सभी सड़कों के कुल क्षेत्रफल के लिए, अपने आर्किटेक्ट द्वारा चुने गए क्वार्टरों का आकार जितना बड़ा होगा, स्विचिंग लागत उतनी ही अधिक होगी। मामले में जब शहर की आबादी असमान रूप से अपने क्षेत्र में वितरित की जाती है, तो निश्चित रूप से, हमें ज्यामितीय आयामों पर ध्यान देने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन सबसे पहले तिमाही के भीतर औसत लोगों की संख्या और उनकी प्रवास गतिविधि।


(न्यूयॉर्क सिटी सेंटर की तस्वीर: विंसेंट लाफोरेट)

ऊपर की गई टिप्पणी विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब गगनचुंबी इमारतों वाले क्षेत्रों को डिजाइन करना। उच्च जनसंख्या घनत्व और इसकी उच्च गतिशीलता के संयोजन के कारण, उच्च वृद्धि वाले क्षेत्रों में क्वार्टर डिजाइन करना महत्वपूर्ण है, जो मानक इमारतों के लिए सामान्य से कई गुना छोटा है। सभ्यताओं में, जहां गगनचुंबी इमारत का एक लंबा इतिहास रहा है, एक चौथाई के रूप में भी अलग-अलग बड़ी इमारतों को अलग करने की प्रथा व्यापक है।

ट्रैफ़िक लाइट नियमों के साथ एक सेलुलर शहर
प्रत्येक मामले में, जब नक्शे पर दो व्यस्त राजमार्गों की पंक्तियाँ होती हैं, तो आर्किटेक्ट को एक विकल्प बनाना चाहिए: या तो इन सड़कों में से एक को पुल तक उठाएं, जिससे दूसरे का प्रवाह स्वतंत्र रूप से नीचे से गुजर सके, या अंदर चौराहे का एहसास कर सके। एक चौराहे का रूप, और ट्रैफ़िक लाइट विनियमन द्वारा प्रवाह संघर्ष को हल करना। दूसरा विकल्प अक्सर शहरों में चुना जाता है क्योंकि यह आकर्षक रूप से सरल है, बड़े पैमाने पर इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण की आवश्यकता नहीं है, और इसके अलावा यह सड़क को पार करने का एक आसान तरीका पैदल यात्रियों को प्रदान करता है।


(दोपहर में लॉस एंजिल्स के बिजनेस क्वार्टर, फोटो: बोरिस शीन)

सेलुलर टोपोलॉजी वाले नेटवर्क में ट्रैफिक लाइट के उपयोग की अपनी विशेषताएं हैं। अध्याय 1 में, यह दिखाया गया था कि ट्रैफिक लाइट, कारों के उचित सिंक्रनाइज़ेशन के साथ, जब वे एक ही सड़क पर जा रहे हों, तो चौराहों पर रुकना भी नहीं चाहिए: एक हरी रोशनी हमेशा उनकी दिशा में प्रकाश करेगी। इस तरह की घटना को आमतौर पर ग्रीन वेव ट्रैफिक मैनेजमेंट कहा जाता है। इसे बनाने के लिए, ट्रैफिक के प्रवाह को दो बारी-बारी से विभाजित करने की आवश्यकता है: कारों और उनमें से मुक्त। इसके बाद, ट्रैफिक लाइट के संचालन के ऐसे मोड का चयन किया जाता है कि समय की अवधि में जब अगला "भाग" गलियों में से किसी एक के साथ चौराहे से गुजरता है, लंबवत सड़क के साथ चलने वाली कारों का पिछला भाग पहले ही इसे पारित कर चुका है, और अगला एक अभी तक नहीं आया है (चार्ट 33)।


चार्ट 33

ग्रीन वेव ट्रैफिक प्रबंधन अपनी लागत वहन करता है और शहर की सड़कों के लेआउट पर कुछ प्रतिबंध लगाता है।

चार्ट 33 पर फिर से देखना, यह देखना आसान है कि किसी भी समय सभी सड़कों के क्षेत्र का आधा हिस्सा वास्तव में उपयोग नहीं किया जाता है। इस डाउनटाइम की भरपाई करने के लिए, सक्रिय रूप से इस्तेमाल किए गए आधे हिस्से में, कार की स्थानीय शक्ति बहती है और उनके लिए जरूरी गलियों की संख्या ओवरपास वाले शहर में दोगुनी होनी चाहिए।

हरे रंग की तरंगों के उपयोग से जुड़ी दूसरी सबसे महत्वपूर्ण परिस्थिति क्वार्टर के अनुमेय आकार का सख्त विनियमन है: उनकी लंबाई (दो-तरफा सड़कों के लिए) भरी हुई हरी लहर की लंबाई की एक बहु होनी चाहिए (प्रवाह का एक खंड) जिसके भीतर निर्बाध गति संभव है), जिसकी मात्रा लगभग 500 मीटर है। जैसा कि पिछले पैराग्राफ में उल्लेख किया गया है, उच्च जनसंख्या घनत्व वाले क्षेत्रों में सड़कों के स्थान की बढ़ती आवृत्ति की आवश्यकता होती है, इसलिए राजमार्गों (क्वार्टरों के अनुमेय आकार) के बीच की दूरी पर प्रतिबंध संभावित रूप से यातायात कठिनाइयों का कारण बन सकता है।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि हरे रंग की लहर यातायात प्रबंधन में, नेटवर्क के अंदर स्विचिंग नियम थोड़े बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, मुख्य ट्रैफ़िक प्रवाह के लिए एक और कार के जोड़ को भरे हुए ज़ोन के बीच के अंतराल में किया जा सकता है, जिससे कोई भी स्विचिंग की गंभीर लागत हो सकती है (चार्ट 34 ए में बिंदु 1)।


चार्ट 34

, निश्चित रूप से, इस कार को राजमार्ग में आने से पहले निकटतम खाली क्षेत्र की प्रतीक्षा में कुछ समय खोना होगा, और उसके बाद ट्रैफिक लाइट पर खड़े रहना होगा जब तक कि अगला भरा हुआ ज़ोन इसे हिट न करे (बिंदु 2, चार्ट 34 ए) इन नुकसानों का मूल्य शहर के आकार या सड़क पर यातायात की व्यस्तता पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए, उन्हें बड़े पैमाने पर उपेक्षित किया जा सकता है।

स्थिति पूरी तरह से अलग है अगर कोई कार राजमार्ग यातायात (चार्ट 34 बी) को छोड़ने की कोशिश करती है। यहां, जाहिरा तौर पर, ड्राइवर द्वारा बनाई गई स्विचिंग हानियों को कम करने के लिए कोई पेचीदा तरीके नहीं हैं। इसके अलावा, भरे हुए जोनों के अंदर प्रवाह की स्थानीय शक्ति के दोहरीकरण के कारण, इसमें से एक बेतरतीब ढंग से चयनित कार को छोड़ने से ओवरपास के साथ शहर में समय की लागत दोगुनी हो जाती है। कुल मिलाकर, सस्ता "प्रवेश" और अधिक महंगा "निकास" एक दूसरे को ऑफसेट करते हैं, जिससे इस संबंध में ट्रैफिक लाइट सेलुलर शहर लगभग बेहतर नहीं है, लेकिन मानक एक से भी बदतर है।

वन-वे ट्रैफिक वाला फ्लाईओवर सेलुलर शहर

ट्रैफिक लाइट के उपयोग के अलावा, मानक शहर के राक्षसी इंटरचेंज से बचने के लिए कम से कम एक और अवसर है। इसका तात्पर्य स्थानिक रूप से दोतरफा राजमार्गों (चार्ट 35) को विभाजित करना है।


चार्ट 35

ऐसे परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, सड़कों की संख्या दोगुनी हो जाएगी, वे सभी एक-तरफ़ा सड़क बन जाएंगे, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात, इंटरचेंज को बहुत सरल किया जाएगा (चार्ट 36)।


चार्ट 36

चूंकि दुनिया के प्रत्येक पक्ष की ओर जाने वाले राजमार्गों की संख्या और उनके साथ गुजरने वाली यात्रा की संख्या एक समान है, सभी की शक्तियां एकतरफा सेलुलर शहर और मानक शहर में स्विचिंग लागत के साथ एक साथ बहती हैं 2 गुना बड़ा (रैखिक रूप से) क्वार्टर, संयोग होना चाहिए। अगर हम स्टैंडर्ड और वन-वे शहरों की तुलना एक ही क्वार्टर साइज से करते हैं, तो दूसरे में स्विचिंग लॉस दोगुना होगा।

उन्नत सड़क नेटवर्क

"रैखिक" सड़क

सेलुलर नेटवर्क में स्विचिंग घाटे को कैसे कम किया जा सकता है? इस सवाल का जवाब थोड़ा सा प्रेमी की मदद से, एक सही सादृश्य का चयन करके पाया जा सकता है।

आइए हम सेलुलर नेटवर्क के कुछ असामान्य संशोधन पर विचार करें, जिसका तात्पर्य है कि पश्चिम से पूर्व तक फैले सभी राजमार्ग दो-तरफ़ा हैं, जबकि उनके लिए राजमार्ग केवल एक ही तरह से हैं: उत्तर या दक्षिण में, और ये दिशाएँ सड़क से अलग हैं सड़क के लिए।

हमेशा की तरह, हम मान लेंगे कि शहर यादृच्छिक अभिगमन मॉडल का अनुसरण करता है, और इसकी प्रत्येक तिमाही बिजली के साथ एक प्रवाह उत्पन्न करती है

। इस मामले में, यह काफी प्रशंसनीय लगता है कि प्रवाह तिमाही के अंदर उत्पन्न हुआ ( i , j)) निकटतम सड़कों के बीच निम्नानुसार वितरित किया जाता है: 1/4 यह उत्तर की ओर क्षैतिज सड़क पर जाएगा, 1/4 - क्षैतिज सड़क के दक्षिण में, 1 / 4⋅ i / d - उत्तर में ऊर्ध्वाधर राजमार्ग और 1 / 4 to (1 - i / d ) - दक्षिण के लिए दूसरा ऊर्ध्वाधर राजमार्ग (चार्ट 37)।

चार्ट 37

वास्तव में, पहले से चर्चा किए गए मार्ग एल्गोरिदम के अनुसार, आंकड़ों के अनुसार, आधी यात्रा एक क्षैतिज खंड से शुरू होगी, और उन ड्राइवरों के लिए जो इस आधे हिस्से को पसंद करेंगे, यह काफी हद तक कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या उनका मार्ग उत्तर की ओर स्थित है या क्वार्टर के दक्षिण की ओर ( i , j )। यात्रा के शेष आधे भाग यातायात के एक ऊर्ध्वाधर खंड से शुरू होंगे और दक्षिण और उत्तर की ओर जाने वाले राजमार्गों के बीच विभाजित किए जाएंगे, जो कि तिमाही ( i , j ) से दक्षिण की ओर जाने वाले क्वार्टरों की संख्या के अनुपात के रूप में हैं। इससे उत्तर की ओर।

तिमाही के दौरान शीर्षों के प्रवाह के रूप में ( i , j)), तिमाही के आसपास के राजमार्गों के संबंध में इसके विभाजन का नियम सममित (चार्ट 38) होगा।


चार्ट 38

क्वार्टर ( i , j ) से सटे चार चौराहों में से , हम निचले क्षैतिज राजमार्ग के चौराहे पर अलग-अलग पार्श्वों पर विचार कर सकते हैं और उत्तर की ओर ट्रैफ़िक के साथ खड़ी सड़क (चार्ट 38)। चौराहे में प्रवेश करने वाली और क्षैतिज सड़क से ऊर्ध्वाधर एक तक पहुंचने वाली कारों का प्रवाह है:
1 / 2⋅ (क्षैतिज पर क्वार्टरों की संख्या) × (ऊर्ध्वाधर की संख्या, जो ( i , j ) से कम नहीं है ) into 1 / डी ² =
= 1/2 ⋅ घ ⋅ मैं / डी ² =
= 1/2 ⋅ मैं/ डी ।

विपरीत में पार्श्व प्रवाह की शक्ति दिशा है:
1 / 2⋅ (ऊर्ध्वाधर पर तिमाहियों की संख्या सख्ती से की तुलना में (कम है मैं , जे × (ऊर्ध्वाधर पर तिमाहियों की संख्या))) ⋅ 1 / डी ² =
= 1/2 ⋅ ( घ - मैं ) ⋅ घ / घ ² =
= 1/2 ⋅ (1 - मैं / घ )।

आइए अब हम अपना ध्यान सेलुलर शहर से लेकर इसकी किसी भी एक ऊर्ध्वाधर सड़क पर दें, इसे My_street कहते हैं। समरूपता के आधार पर, हम अपने तर्क को किसी भी तरह से सीमित नहीं करेंगे, अगर हम यह मानते हैं कि My_street के साथ आंदोलन दक्षिण से उत्तर (चार्ट 39) तक निर्देशित है।


चार्ट 39

चार्ट 40 में My_street के साथ राजमार्ग पर मुख्य और साइड फ्लो की शक्ति को दर्शाया गया है, जो कि पाठक ध्यान दे सकते हैं, अविश्वसनीय रूप से रैखिक शहर (चार्ट 26) के वन-वे राजमार्ग के लिए समान ग्राफ़ के समान हैं।



चार्ट 40

इन उदाहरणों में, प्रवाह आरेख पूरी तरह से मेल खाता है अगर My_street के अंदर पार्श्व प्रवाह के प्रत्येक जोड़े से संबंधित क्वार्टर और उनके नीचे क्षैतिज राजमार्ग औपचारिक रूप से एक काल्पनिक प्रादेशिक सेल को सौंपा गया है। जैसा कि पहले की तालिकाओं से देखा जा सकता है, एक रैखिक शहर का सड़क नेटवर्क उन नेटवर्क के बीच सबसे बड़ा स्विचिंग नुकसान पैदा करता है, जिनका हमने पहले ही अध्ययन किया है। इस दृष्टिकोण से, एक सेलुलर शहर की एक ही सड़क की सीमाओं के भीतर यातायात पैटर्न बेहद अक्षम है और एक ऐसा तत्व है जिसे पहले स्थान पर सुधारना चाहिए।

उन्नत रैखिक शहर नेटवर्क

इसलिए, हम एक रैखिक नेटवर्क को बेहतर बनाने के कार्य का सामना कर रहे हैं ताकि यह "वर्ग" में न बदल जाए। रैखिक नेटवर्क के संचालन में सबसे बड़ी अक्षमता का प्रतिनिधित्व करने वाली परिस्थिति सभी मार्गों का केवल दो बहुत बड़े यातायात प्रवाह में विलय है। इस स्थिति में, एक उचित कदम यह होगा कि इसके दोनों सड़क राजमार्गों को क्यू बराबर भागों में विभाजित किया जाए। चूंकि प्रत्येक कार में शामिल होने या ट्रैफ़िक छोड़ने के कारण होने वाली समय की लागत उस पर ट्रैफ़िक की तीव्रता के समानुपाती होती है, इसलिए सड़क की रेखाओं को क्यू पृथक भागों (चार्ट 41 ए) में विभाजित करने के परिणामस्वरूप , रैखिक शहर के अंदर स्विचिंग का नुकसान क्यू बार कम हो जाना चाहिए। ।


चार्ट 41

आस-पास की दस सड़कों के निर्माण के बाद भी हम यह आशा नहीं कर सकते हैं कि चालक स्वयं उनके बीच समान रूप से वितरित होंगे - दुर्भाग्य से, यह सफलता का मौका नहीं लगता है। एक बहुत अधिक विचारशील निर्णय नेटवर्क को डिजाइन करना होगा ताकि प्रत्येक सड़क सभी क्वार्टरों तक न पहुंचे, लेकिन केवल शहर के एक छोटे से "खंड" में, जहां दिए गए सड़क का उपयोग किए बिना प्राप्त करना मुश्किल होगा (चार्ट 41 बी) )।

आप बहु-मंजिला इमारतों के अंदर लिफ्ट के संचलन की योजना में एक समान विचार देख सकते हैं, जहां प्रत्येक लिफ्ट आपको सभी मंजिलों पर प्रवेश करने और बाहर निकलने की अनुमति देती है, लेकिन केवल एक निश्चित सीमा के भीतर। इस अवधारणा को स्वीकार करते हुए हमें एटी सड़क एक गौर करते हैं आर _{कश्मीर} , जो क्षेत्र के लिए पहुँच देता है डेल्टा_k = ( x _k , x _{k +1} ] उन यात्राओं के लिए जो xk से दक्षिण की ओर (सख्ती से) शुरू नहीं हुई (ऐसा माना जाता है कि क्वार्टर की संख्या नीचे से ऊपर तक की जाती है)।

प्रत्येक तिमाही से संख्या कम है (सख्ती से नहीं)।) की तुलना में एक्स _{कश्मीर} , एक क्ष _में , की एक शक्ति के साथ धारा डेल्टा _{कश्मीर} | / n (1 / n प्रत्येक के लिए अंदर तिमाही डेल्टा _{कश्मीर} ) सड़क में प्रवेश आर _{कश्मीर} , पर एक ही | समय आईटी एक माना जाता है नहीं है यही कारण है कि बारी करने के लिए कोई संभावना से आर _{कश्मीर}किसी भी उल्लिखित क्वार्टर की ओर या तो स्थापित यातायात नियमों के कारण, या सड़क नेटवर्क के एक विशेष डिजाइन के कारण।

खंड पर संचित कारों [1, एक्स _{कश्मीर} ] अंत में समान रूप से अंदर तिमाहियों के बीच वितरित किया जाएगा Δ _{कश्मीर} , इसलिए, अगर कोई यात्राएं जिसका शुरू और खत्म अंक अंदर झूठ थे Δ _{कश्मीर} , फिर ओर बहती है क्ष _बाहर दिशा में इस खंड में प्रत्येक क्वार्टर की शक्ति x _k / n (चार्ट 42) होगी।


चार्ट 42

वास्तव में, साइड फ्लो की शक्ति में "आंतरिक" यात्राओं का योगदान मौजूद नहीं है, हालांकि, इस योगदान का मूल्य कभी भी अधिक नहीं होता है। Δ _k | / n , इसलिए, मामले में जब x _k >> | Δ _k |, यह केवल उपेक्षित किया जा सकता है। की शक्ति पी _{कश्मीर} मुख्य, साथ धारा के आर _{कश्मीर} एक अधिकतम के साथ के दो दो सीधे वर्गों तालिका में किए थे का ग्राफ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाएगा सरलीकरण के साथ पी _{कश्मीर} के बराबर एक्स _{कश्मीर} ⋅ | डेल्टा _{कश्मीर} | / n। सड़क में स्विच करने से नुकसान का अनुमानित मूल्य आर _{कश्मीर} सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

मैं _k = ( α / 2 ν ) ⋅ Σ _एक्स [ क्यू _में ( एक्स ) ⋅ पी _{कश्मीर} ( एक्स ) ⋅ (1 + 1 / एस ) ] ( α / 2 ν ) ⋅ Σ _एक्स [ क्ष _बाहर ( एक्स ) ⋅ पी _{कश्मीर} ( एक्स ) ⋅(1 - 1 / s )] =

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / एस ) Σ _एक्स [| Δ _{कश्मीर} | / n ⋅ पी _{कश्मीर} ( एक्स )] ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / एस ) Σ _एक्स [ एक्स _{कश्मीर} / n ⋅ पी _{कश्मीर} ( एक्स )] =

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / s) ⋅ ( एक्स _{कश्मीर} ⋅ | Δ _{कश्मीर} | / n ) ⋅ ( Σ _एक्स पी _{कश्मीर} ( एक्स )) / एक्स _{कश्मीर} + ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / एस ) ⋅ ( एक्स _{कश्मीर} ⋅ | Δ _{कश्मीर} | / n ) ⋅ ( Σ _एक्स पी _{कश्मीर} ( एक्स )) / | Δ _के |,

पहले योग जहां खंड पर एक खंड में लिया जाता है एक्स ∈ [1, x _{कश्मीर} ], और दूसरे से अधिक एक्स ∈ डेल्टा _{कश्मीर} । के भाव:

( Σ _x पी _{कश्मीर} ( एक्स )) / एक्स _{कश्मीर} , एक्स ∈ [1, x _{कश्मीर} ] और

( Σ _एक्स पी _{कश्मीर} ( एक्स )) / | डेल्टा _{कश्मीर} |, एक्स ∈ डेल्टा _{कश्मीर}

के साथ प्रवाह के समय औसत शक्ति के अलावा अन्य कुछ भी नहीं कर रहे हैं आर _{कश्मीर} inside the indicated intervals. Since the power graph within these intervals has the form of a straight line, the average power in both cases is P _k /2. Replacing

x _k ⋅ | Δ _k |/ n by
P _k ,

we finally present the formula for losses intensity rate in its simplest form:

I _k = 2 ( α /2 ν ) ⋅ P _k ⋅ P _k /2 = ( α /2 ν ) ⋅ P _k ²

आइए अब हम उन तिमाहियों की संख्याओं के अनुक्रम x _k की गणना करने का प्रयास करते हैं जिनके द्वारा एक रैखिक शहर को खंडों में विभाजित किया जाना चाहिए। सेगमेंट के चयन के लिए एक मानदंड के रूप में, हम आवश्यकता ले सकते हैं कि ट्रैफिक की अधिकतम शक्ति P _k सड़कों पर बहती है, जिसके पास पहुंचने के लिए समान मूल्य होना चाहिए, k का स्वतंत्र , दूसरे शब्दों में:

x _k for | Δ _के | = कांस्टेबल।

याद रहे कि | Δ _के | = x _{k + 1} - x _k , हम अंतर समीकरण को समझ सकते हैं:

x _{k + 1} - x_k = कॉन्स्ट / x _k ।

मान लें कि x और k निरंतर चर हैं, और

x _{k + 1} - x _k = x ( k + 1) - x ( k )

को d x / d k , 1 से बदलकर ,

हम अंतर को समीकरण के अंतर के आधार पर अनुमानित कर सकते हैं:

d एक्स / घ कश्मीर = कॉन्स्ट / एक्स <=> एक्स डी एक्स = कॉन्स्ट ⋅ घ कश्मीर ।

जिससे हम सामान्य रूप में x _{k के} लिए एक समाधान का अनुमान लगा सकते हैं :

x _k = C ₁ k ( k + C ₂ )।

यह हमारे लिए रहता है कि हम उनकी सीमाओं के आधार पर स्थिरांक C ₁ और C ₂ का मान निर्धारित करें , हालाँकि, इस मामले में एक महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है। अन्य खंडों में स्थिति के विपरीत, नंबर 1 के साथ पश्चिमी राजमार्ग से खंड के क्वार्टर तक पहुंचने वाली सभी कारों ने उसी खंड के अंदर अपनी यात्राएं शुरू कीं। नतीजतन, उत्तर में पहले राजमार्ग में प्रवाह शक्ति के ग्राफ में एक नियमित रूप से उल्टे परबोला का रूप होगा।

एक ही समय में, एक प्राथमिक स्थिति जिसमें से x _{k के} लिए सूत्र प्राप्त किया गया था अनिवार्य रूप से यह माना जाता है कि सभी राजमार्गों पर प्रवाह विद्युत रेखांकन त्रिकोणीय दृश्य के करीब होना चाहिए, और यात्राएं मुख्य रूप से उस खंड के बाहर शुरू होनी चाहिए जहां उन्हें निर्देशित किया गया है। करने के लिए। यदि हम औपचारिक रूप से पहले खंड को दो समान भागों में विभाजित करते हैं, तो सड़कों की संख्या में वृद्धि किए बिना, इन आवश्यकताओं को उचित सटीकता के साथ पूरा किया जा सकता है। पहले हाईवे के साथ होने वाली अधिकांश यात्राएँ अपने दक्षिणी आधे भाग में शुरू होती हैं, और उत्तरी आधे भाग में समाप्त होती हैं। केवल उन्हें ध्यान में रखते हुए, हम स्विचिंग नुकसान की गणना करने में बड़ी गलती नहीं करते हैं, लेकिन अब मुख्य प्रवाह के पावर आरेख में केवल एक त्रिकोणीय आकार (चार्ट 43) होगा।


चार्ट 43

यह पहले खंड का मध्य है जिसे x _k के सूत्र में बिंदु x ₁ माना जाना चाहिए । यह पहली सीमा शर्त प्राप्त करने के लिए हमें की अनुमति देता है: एक्स ₂ = 2 एक्स ₁ या √ (सी 2 + ₂ ) = 2 ⋅ √ (1 + सी ₂ ) => सी ₂ = - 2/3। दूसरी सीमा की स्थिति इस आवश्यकता से प्राप्त की जा सकती है कि हर चीज की सड़कें और खंड बिल्कुल क्यू हैं , जिसका अर्थ है कि शहर में सबसे बड़ी संख्या के साथ तिमाही के बाद x _{क्यू + 1} होना चाहिए: सी









₁ √ ( क्यू 1 - 2/3) = n + 1, जिस कारण से

सी ₁ ≈ ( n + 1) / √ क्यू ।

इसलिए:

एक्स _{कश्मीर} ≈ ( n + 1) ⋅ √ ( कश्मीर - 2/3) / √ क्यू ,

| Δ _के | डी ≈ x / घ कश्मीर = ( n + 1) / 2√ ( कश्मीर - 2/3) ⋅ √ क्यू

पी _{कश्मीर} = एक्स _{कश्मीर} ⋅ | Δ _{कश्मीर} | / n =

= ( n + 1) ² /2 n ⋅ क्यू ≈ n / 2 क्यू

मैं _{कश्मीर} = ( α / 2 ν ) ⋅ पी _{कश्मीर} ² =

= ( α / 2 ν )⋅ ( एन / 2 क्यू ) ² ।

चूंकि सभी 2 क्यू राजमार्गों ही तीव्रता का घाटा उत्पन्न, पूरे नेटवर्क के भीतर लागत स्विचिंग का मान होगा:

मैं 2 = क्यू ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ ( एन / 2 क्यू ) ² = ( α / 2 ν ) ⋅ n ² /2 क्यू ।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वांछित परिणाम प्राप्त किया गया है: क्यू में मुख्य राजमार्गों को विभाजित करने के बादभागों, वास्तव में क्यू के एक कारक से नुकसान कम हो गया (सामान्य लाइनर शहर के लिए सूत्र की तुलना में 1/3 से 1/2 लगातार गुणांक में वृद्धि के अलावा)। खैर, हम वहां आधे रास्ते पर हैं, यह केवल सेलुलर वास्तुकला के साथ शहर को बेहतर बनाने के लिए इस परिणाम को लागू करने के लिए बनी हुई है।

एक सेलुलर शहर में 'गगनचुंबी इमारत लिफ्ट'

सादगी के लिए, हम एक ऐसे शहर का एक उदाहरण पर विचार करेंगे जिसमें सभी सड़कें एक-तरफ़ा हैं। एक रैखिक शहर और एक सेलुलर शहर की अलग-अलग सड़कों के बीच समानता का उपयोग करके, हम बाद में क्यू के साथ राजमार्ग को विभाजित कर सकते हैंभागों। डिफ़ॉल्ट रूप से, यह माना जाता है कि क्वार्टर को छोड़कर, चालक इसके पास से गुजरने वाले किसी भी राजमार्ग को चुन सकता है। इसी समय, सभी राजमार्गों के बीच एक सड़क के साथ, उनमें से एक से एक विशिष्ट तिमाही की ओर एक मोड़ है। नियम स्थापित करने की प्रक्रिया में, उनकी एकरूपता और सरलता बेहद महत्वपूर्ण है। चार्ट 44 पर एक नजर डालते हैं:


चार्ट 44

सभी सड़कों पर एक ही दृश्य है और समान नियम हैं कि कौन सी सड़कें किस तिमाही में एक्सेस खोलती हैं। चार्ट 45 राजमार्गों के बीच अनुमत घुमावों का आरेख दिखाता है। इस तस्वीर को देखकर, भ्रमित नहीं होना मुश्किल है। अक्सर किसी बड़े शहर में भूमिगत योजना के बारे में यही कहा जाता है। हालांकि, दोनों मामलों में, यदि आप विचार के तर्क को जानते हैं तो सब कुछ स्पष्ट और सरल हो जाता है। अनुमत नियमों का तार्किक नियम काफी सरल लगता है: यदि राजमार्ग के साथ ड्राइविंग करते हैं, तो आप अपने आंदोलन के लिए लंबवत सड़कों को पार करते हैं और आप सीधे उनके पीछे स्थित एक क्वार्टर में बदल सकते हैं, आप इनमें से किसी भी सड़क में बदल सकते हैं।


चार्ट 45

'स्काईस्क्रेपर एलेवेटर' टोपोलॉजी ट्रैफिक लाइट चौराहों और ओवरपास दोनों के साथ संगत है। यह मुश्किल है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि यह सेलुलर या रैखिक संरचना के नेटवर्क के लिए सामान्यीकृत हो। उत्तरार्द्ध वास्तव में ऐतिहासिक शहरों के लिए महत्वपूर्ण है, जहां यह संभावना नहीं है कि कई छोटी सीधी सड़कों को डिजाइन करने के लिए ऐतिहासिक स्मारकों में से आधे को ध्वस्त करने का एक सही निर्णय होगा, लेकिन जिसमें पहले से ही काफी बड़ी सड़कें हैं जो कई दो को समायोजित कर सकती हैं - या तीन-लेन राजमार्ग।

परिवहन समस्याओं और एक गणितज्ञ के काम के बारे में

6 महीने के श्रमसाध्य कार्य को पूरा करना सुखद है। निश्चित रूप से मैंने जो काम लिखा, वह सड़क डिजाइन की सभी समस्याओं और कठिनाइयों को हल नहीं करता है - इस मुद्दे को बहुत ही बहुमुखी और बहु-कुशल लोगों की एक बड़ी संख्या की आवश्यकता है। फिर भी, इसके परिणाम पहले से निर्मित शहरों में महत्वपूर्ण त्रुटियों को देखने और भविष्य में ऐसी त्रुटियों से बचने के तरीके प्रदान करने का अवसर प्रदान करते हैं। इस लेख का उद्देश्य एक संदर्भ पुस्तक के रूप में नहीं था, जो सभी संभावित मामलों को कवर करता हो, जो एक इंजीनियर व्यवहार में सामना कर सकता है - मैंने माना कि मेरा मुख्य उद्देश्य एक नया दृष्टिकोण देना है, एक नया तरीका विकसित करना है और समस्या के बारे में बात करना है, प्रदान करना है आवश्यक न्यूनतम सरल उदाहरणों के साथ पाठक जो कि पाठक द्वारा आगे बढ़ाया जा सकता है।

यह दुखद हो जाता है जब आपको पता चलता है कि शहरवासियों ने ट्रैफिक जाम में सिर्फ इतना समय क्यों गंवाया क्योंकि सही समय पर कोई गणितज्ञ नहीं था जो पूरी तरह से हल करने की समस्या पर शाम बिता सके। ऐसी कितनी ही समस्याएं अभी भी हमारे जीवन को घेरे हुए हैं या आपके पेशे में छिपी हुई हैं? क्या कोई व्यक्ति आपके पास काम पर बैठा है जिसके उपकरण एक पेंसिल और एक कागज़ हैं?

मुझे उम्मीद है कि सब कुछ बेहतर के लिए बदल जाएगा।

मैं अपने मूल रूसी से अंग्रेजी में इस पाठ का अनुवाद करने के लिए अपने काम के लिए जेनिन लेक्रोसिक्स (छद्म नाम) के प्रति अपनी कृतज्ञता व्यक्त करना चाहता हूं।
आपका ध्यान और शुभकामनाओं के लिए धन्यवाद!
सर्गेई कोवलेंको

2019
मैगनोलिया @ बीके 12


(फोटो: विंसेंट लाफोरेट)