सही यादृच्छिकता पर एक लेख से समस्याओं का समाधान

क्या कोई उद्देश्य, आदर्श मौका है, या यह हमारी अज्ञानता का परिणाम है?

सितंबर में, कई समस्याएं प्रकाशित हुईं , जिनकी मदद से हमने रोजमर्रा की वस्तुओं में यादृच्छिक प्रक्रियाओं का अध्ययन किया - साइकिल या पहेली के लिए ताले। आइए अब हम इन समस्याओं के समाधानों को देखें।

पहेली 1: यादृच्छिक संयोजन

कार्य इस प्रकार था:

नीचे दी गई छवि के समान, साइकिल के लिए एक साधारण कोड लॉक पर विचार करें। इसमें तीन घूर्णन डिस्क हैं, जिनमें से प्रत्येक क्रम में 10 अंकों को दर्शाता है। जब इन तीन डिस्क को घुमाया जाता है ताकि वांछित संयोजन देने के लिए - 924 - लॉक खुल जाए। जब आप इसे बंद करना चाहते हैं, तो आपको संख्याओं को मिलाना होगा ताकि वे दिए गए संयोजन से बहुत दूर हों। लेकिन इस संदर्भ में "दूर" का क्या अर्थ है? यदि आप डिस्क को 5 स्थिति में ले जाते हैं, तो आप 479 नंबर सेट करेंगे। हालांकि, किसी हमलावर के लिए इस स्थिति में गलती से ठोकर खाना आसान होगा, यदि वह एक ही समय में सभी पांच डिस्क को घुमाता है और देखता है कि लॉक खुलता है या नहीं। कल्पना कीजिए कि एक पटाखा के पास पांच अलग-अलग संयोजनों का परीक्षण करने का समय है। प्रत्येक मामले में, हमारा संभावित चोर निम्नलिखित कार्यों में से एक के बाद हमारे महल की कोशिश करता है (और विफलता के मामले में, महल को अपने कॉन्फ़िगरेशन कॉन्फ़िगरेशन में लौटाता है:

1. एक ड्राइव को एक यादृच्छिक संख्या में स्थिति में घुमाएं।
2. एक यादृच्छिक संख्या में पदों पर एक साथ दो डिस्क घुमाएँ।
3. सभी तीन डिस्क को एक ही समय में एक यादृच्छिक संख्या में घुमाएं।
4. विभिन्न कोणों पर दो डिस्क घुमाएँ।
5. तीनों डिस्क को अलग-अलग घुमाएं।

हमारी पहेली निम्नलिखित है: यदि लॉक अनलॉक कोड 924 है, तो लॉक खोलने के यादृच्छिक प्रयासों के लिए मिश्रित संख्याओं में से कौन सा सेट सबसे स्थिर होगा, और ऐसे कितने सेट मौजूद हैं? कोड का पता लगाने की संभावना क्या है?

समस्या का पहला सूत्रीकरण कुछ अस्पष्ट हो गया, क्योंकि पहले तो मैंने यह संकेत नहीं दिया कि प्रत्येक चरण के बाद चोर ताला को अपनी मूल स्थिति में बदल देता है। पाठकों में से एक ने इस समस्या का विश्लेषण किया, बशर्ते कि पहले तीन मामलों में "यादृच्छिक संख्या" शून्य के बराबर नहीं है, और विकल्प 4 और 5 में "अलग" रोटेशन कोण जरूरी नहीं के बराबर हैं। हालांकि, एक अन्य पाठक ने बताया कि यदि आप पिछली धारणा को स्वीकार करते हैं, और लॉक डिस्क को चालू करते हैं, ताकि दो डिस्क एक कोण से घुमाए जा सकें, और तीसरे को दूसरे द्वारा - उदाहरण के लिए, संयोजन 036 में - तब चोर लॉक को खोलने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि कोई भी नहीं। विकल्प इस तरह के संयोजन से काम नहीं करते हैं।

समस्या का समाधान यह ध्यान रखता है कि चरण 4 और 5 में, डिस्क को विभिन्न कोणों पर घुमाया जा सकता है। हम यह भी मानते हैं कि पहले तीन वेरिएंट में चोर चयनित डिस्क को पूर्ण मोड़ दे सकता है, अर्थात्। 10 (या 0) अंकों तक, और उन्हें उनकी मूल स्थिति में लौटाएं। इसे निर्दिष्ट करने के बाद, हम चोर की प्रत्येक क्रिया की संभावना की गणना करते हैं। ध्यान दें कि एक निश्चित संयोजन प्राप्त करने के लिए एक चोर द्वारा की गई कोई भी कार्रवाई संभावित रूप से प्रतिवर्ती है - इसके लिए आपको एक रिवर्स रोटेशन करने की आवश्यकता है जो पहले को पूरक करता है और इसकी समान संभावना है। इसलिए, संभावना है कि बाईं डिस्क का एक यादृच्छिक घुमाव हमें 924 से 624 के संयोजन से ले जाएगा, 10 में से 1 मौका है - जैसा कि संभावना है कि एक यादृच्छिक रोटेशन हमें 624 से 924 तक वापस ले जाएगा। और यह सच है कि क्या हम घुमाएंगे। हमारे पास गलती से एक ड्राइव, दो या तीन हैं। इसलिए, यह गणना करने के लिए कि एक चोर को वांछित एक का चयन करने के लिए कितने संयोजनों की आवश्यकता होगी, यदि वह एक निश्चित कार्रवाई करता है, तो हम अपने दिए गए संयोजन 924 से शुरू कर सकते हैं और फिर गणना कर सकते हैं कि हम इससे कितने अंकों के संयोजन प्राप्त कर सकते हैं।

1. संख्या 924 से शुरू, और एक डायल मोड़ने पर, आप फॉर्म x24, 9x4 और 92x के तीन अंकों के संयोजन प्राप्त कर सकते हैं, जहां x 10 अंकों में से कोई भी है। प्रत्येक में 10 ऐसे संयोजन हैं। हालाँकि, दूसरे और तीसरे वेरिएंट में समान संयोजन 924 को शामिल करना अनावश्यक होगा, इसलिए वास्तव में हमें 10 + 9 + 9 = 28 विभिन्न संयोजन मिलते हैं। और अगर हमने गलती से इसे बंद करने के लिए महल की संख्या को बदल दिया, तो हमें इन 28 संयोजनों में से एक मिला, तो चोर के पास महल खोलने का 1/28 मौका होगा।
2. दो डिस्क को एक साथ मोड़ने से हमें फॉर्म 9 ##, # 2 # और ## 4 के संभावित संयोजन मिलते हैं, जहां # संकेत परिणामी संयोजन के अंकों और प्रारंभिक अंकों के बीच अंतर को दर्शाते हैं (और यह अंतर दोनों डिस्क के लिए समान होगा)। प्रत्येक 10 टुकड़े भी हैं, और दूसरे और तीसरे रूपों में से 924 को छोड़कर, हमें 28 संयोजन और सफलता का 1/28 मौका भी मिलता है।
3. तीनों डिस्क के रोटेशन से आपको 10 संयोजन - 035,146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 और 924 - और सफलता का 1/10 मौका मिल सकता है।
4. दो डिस्क का एक यादृच्छिक रोटेशन, जरूरी नहीं कि एक ही कोण पर, 9 से शुरू होने वाले सभी संयोजनों (900 और ऊपर से) तक पहुंच प्रदान करता है, बीच में 2 के साथ सभी संयोजन, और 4. के साथ समाप्त होने वाले सभी संयोजन 100 में से प्रत्येक हो सकते हैं टुकड़े। हालांकि, 9xx संयोजनों में, 10 संयोजनों को पहले से ही गिना गया है, 4 में समाप्त होता है, और x2x संयोजन के 10 वेरिएंट; इसके अलावा, 4 में समाप्त होने वाले नौ अन्य संयोजनों को पहले से ही x2x संयोजनों में गिना जाता है। इसलिए, इस चरण के लिए संयोजनों की कुल संख्या 300 - 10 - 19 = 271 होगी, और इसमें सफलता का 1/271 मौका होगा।
5. एक यादृच्छिक कोण पर तीनों डिस्क को घुमाने से हमें सभी तीन अंकों के संयोजन और सफलता का 1/1000 मौका मिलता है।

हमारे पास "सुरक्षित" संख्याओं के दो सेट हैं, हैकिंग प्रयासों के लिए सबसे प्रतिरोधी है। उन्हें पहले चार तरीकों से प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन आप केवल पांचवीं विधि में ठोकर खा सकते हैं, जहां सफलता की संभावना 1/1000 है। पहले लगातार संयोजन को तीन डिस्क में से प्रत्येक को एक अलग कोण पर मोड़कर प्राप्त किया जा सकता है ताकि उनमें से कोई भी अपनी मूल स्थिति में न रहे। इस तरह की स्थिति 9 × 8 × 7 = 504 होगी। स्थिर संयोजनों का एक और सेट दो डिस्क को एक गैर-कोण कोण से और तीसरा एक गैर-कोण कोण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। यह 3 x 9 x 8 = 216 संयोजन है, और कुल 720 प्राप्त होता है। इसलिए, 720 संयोजन दूसरों की तुलना में सुरक्षित हैं।

पहेली 2: पहेलियों में क्रमबद्धता से

कार्य इस प्रकार था:

मान लीजिए कि हम एक पहेली हल करते हैं जिसमें हेक्सागोनल टुकड़े शामिल हैं - जैसे छत्ते। पहेली की तस्वीर एक घुमावदार बेल है। चूंकि पैटर्न दोहरा रहा है और आत्म-समान है, इसलिए यह गारंटी नहीं दी जा सकती है कि दो आसन्न टुकड़े शारीरिक रूप से एक-दूसरे के लिए फिट होते हैं, भले ही वे तस्वीर में फिट हों। मान लीजिए कि तीन अन्य दिए गए टुकड़े के प्रत्येक किनारे पर जा सकते हैं। इसलिए, जब दो टुकड़े तस्वीर में एक-दूसरे को फिट करते हैं, तो संभावना है कि वे शारीरिक रूप से फिट होंगे 33.33%। हालांकि, यदि आप एक और टुकड़ा पा सकते हैं जो इन दोनों को फिट करता है, अर्थात, इन दोनों में से प्रत्येक के साथ एक सामान्य बढ़त है, तो सफलता में आपका आत्मविश्वास बढ़ेगा। आइए मूल्यांकन करने की कोशिश करें कि यह कितना बढ़ता है।

1. आपको तीन टुकड़े मिले हैं जो पहली नज़र में एक साथ फिट होते प्रतीत होते हैं, उनके निकटवर्ती किनारों पर लियाना पैटर्न के स्पष्ट विस्थापन के बिना। टुकड़ों के सही चयन में आपके आत्मविश्वास का क्या माप है?
2. आपको एक केंद्रीय हेक्सागोनल टुकड़ा मिला है, और उसके चारों ओर छह, और तस्वीर में वे संयोग प्रतीत होते हैं। टुकड़ों के सही चयन में आपके आत्मविश्वास का क्या माप है?

टुकड़ों के समूह जितने बड़े हो जाते हैं, सही विधानसभा में आपका आत्मविश्वास उतना ही मजबूत होता है। यह मानना ​​उचित है कि तीन अलग-अलग समूह, जिसमें कुल सात जुड़े हुए टुकड़े हैं, ऊपर वर्णित एकमात्र घिरे षट्भुज के साथ तुलनीय नहीं हैं।

इस पहेली के तीसरे भाग में सुधार है, और उपरोक्त अंतर को निर्धारित करने का प्रयास है। क्या आंशिक रूप से हल की गई पहेली को पूरा करने की डिग्री के माप के साथ आना संभव है? इस विधि से आपको 10x10 हेक्सागोन्स की किसी भी आंशिक रूप से इकट्ठी पहेली के लिए 0 से 100 तक की संख्या आवंटित करने की अनुमति मिलनी चाहिए। यह संख्या पूरी होने की डिग्री को इंगित करना चाहिए, मोटे तौर पर तैयार संस्करण के संबंध में पहेली की वर्तमान स्थिति के अनुपात से संबंधित है।

पाठक ने पहले दो प्रश्नों के उत्तर दिए:

1. त्रिभुज में व्यवस्थित तीन टुकड़ों के लिए, उत्तर p = (2/3) ^{3 होगा} , क्योंकि तीन चेहरे हैं जिन्हें हटाया जा सकता है, और उनमें से प्रत्येक को हटाने की संभावना 2/3 है। यह हमें 1 - p = 0.7037, अर्थात् 70.37% में विश्वास दिलाता है।
2. छह टुकड़े 6 + 6 = 12 चेहरे नहीं हो सकते हैं, जो हमें 1 - p = 1 - (2/3) ¹² = 0.9923 या 99.23% का विश्वास दिलाता है।

इस तरह के आत्मविश्वास डेटा का उपयोग करके, हम पहेली के तैयार भागों के लिए आत्मविश्वास मूल्यों के योग के आधार पर एक साधारण मीट्रिक चुन सकते हैं ताकि पूरी तरह से पूरी की गई पहेली 100% आत्मविश्वास दे। यह इस तरह किया जाता है। दो या अधिक जुड़े टुकड़ों के सभी पूर्ण समूहों को लें। प्रत्येक व्यक्तिगत टुकड़े के लिए आत्मविश्वास की मात्रा जोड़ें। यही है, एक सामान्य शीर्ष के साथ तीन टुकड़ों के समूह के लिए, हमें 3 × 0.7037 = 2.11% मिलता है, और एक पूर्ण षट्भुज के लिए हमें 7 × 0.9923 = 6.95% मिलता है। तीन टुकड़ों के तीन समूहों और एक षट्भुज की एक आंशिक रूप से पूरी की गई पहेली आपको 6.95 + 2.11 + 2.11 + 2.11 या 13.3% देगी। दूसरी ओर, यदि आपके पास दो पूर्ण हेक्सागोन्स हैं, तो आपका कुल 6.95 + 6.95 = 13.9% होगा, भले ही इस मामले में आपने दो टुकड़ों का कम उपयोग किया हो।

पाठक ने इस विचार को और विकसित किया , और एक उपाय का प्रस्ताव किया जो लघुगणक का उपयोग करता है और एन्ट्रॉपी की अवधारणा से जुड़ा है - विकार और यादृच्छिकता का एक प्राकृतिक उपाय। 10 × 10 ग्रिड के लिए इसका माप n - 100 × (लॉग मी) / (लॉग 100) है, जहां मी वैकल्पिक लेआउट की संख्या है, और n क्षेत्र पर रखे गए टुकड़ों की कुल संख्या है।

पहेली 3: क्या सही संयोग संभव है?

आज, प्रचलित राय यह है कि क्वांटम भौतिकी आंतरिक प्रकृति, उद्देश्य और आदर्श यादृच्छिकता पर आधारित है। मैंने पाठकों को आइंस्टीन (ई) टीम या बोहर (बी) टीम में शामिल होकर इस दार्शनिक पहेली पर अपने विचार साझा करने के लिए प्रोत्साहित किया। टीम बी क्वांटम दुनिया के उद्देश्य यादृच्छिकता को स्वीकार करता है, और टीम ई भौतिक यादृच्छिकता को तार्किक असंभवता मानती है, जिससे उपप्लंक तराजू पर होने वाली निर्धारक आकस्मिक घटनाओं की हमारी अज्ञानता का पता चलता है। पाठकों की आवाज़ें लगभग समान रूप से विभाजित थीं [जैसा कि हमारे वोट / लगभग में है। ट्रांस।]।

RRG उपनाम वाले पाठक ने इस तरह की चर्चा की पेशकश करने के लिए मेरी प्रेरणा का वर्णन किया:

क्वांटम यांत्रिकी में, यदि हम मानक दो-स्लिट प्रयोग पर विचार करते हैं, तो हम सटीक रूप से यह अनुमान नहीं लगा सकते हैं कि एक विशेष कण स्क्रीन पर कहां दिखाई देगा, लेकिन हम इसकी किसी विशेष स्थान पर होने की संभावना का अनुमान लगा सकते हैं। और ये संभावनाएं बेहद सटीक और विश्वसनीय हो सकती हैं। संभाव्यता की यह विश्वसनीयता और सटीकता किसी प्रकार की छिपी हुई प्रक्रिया की उपस्थिति का स्पष्ट संकेत है।

जो हो रहा है वह थर्मोडायनामिक्स के समान है। हम एक कमरे में तापमान को बहुत सटीक रूप से माप सकते हैं, न कि यह जानते हुए कि प्रत्येक हवा के अणु क्या करते हैं। क्वांटम भौतिकी में संभावनाओं की तरह, तापमान एक गहरे भौतिक स्तर के आधार पर स्वयं प्रकट होता है।

यही कारण है कि मैं तर्क दिया! डबल स्लिट के माध्यम से एक निश्चित कण क्यों गुजरता है, कहते हैं, स्क्रीन के ऊपरी बाएं भाग, और निचले दाएं नहीं? एक निश्चित कारण श्रृंखला (संभवतः क्वांटम गुरुत्व के स्तर पर द्रव्यमान-ऊर्जा में उतार-चढ़ाव) को एक निश्चित मामले में एक निश्चित स्थान की पसंद के लिए नेतृत्व करना चाहिए। यदि ऐसा है, तो क्वांटम यादृच्छिकता यूनिवर्स का एक आदर्श, उद्देश्य और जादुई हिस्सा नहीं है, लेकिन भौतिक विज्ञान के सिद्धांतों के बारे में हमारी अज्ञानता का एक परिणाम है - बस एक शास्त्रीय यादृच्छिकता की तरह।

जैसा कि पाठक ने मार्क थॉमस को लिखा है, प्लैंक द्रव्यमान-ऊर्जा द्वारा परिभाषित संभावना स्थान बहुत बड़ा हो सकता है। यह कोलमोगोरोव अर्थ में परिपूर्ण यादृच्छिकता के करीब संकेतक प्राप्त करने के लिए काफी बड़ा हो सकता है (कोलमोगोरोव जटिलता और यादृच्छिकता के बारे में स्पष्टीकरण के साथ लिंक के लिए एक और पाठक के लिए धन्यवाद)। लेकिन इस मामले में, श्रोडिंगर समीकरण एक सन्निकटन होगा, और इसे कुछ अछूत के रूप में व्याख्या नहीं किया जा सकता है, और गणितीय सादगी के विचारों के आधार पर अब लोकप्रिय "बहु-विश्व व्याख्या" के आधार के रूप में इस्तेमाल नहीं किया जा सकता है। बाद के दृष्टिकोण भौतिक विज्ञानी शॉन कैरोल द्वारा वकालत की जाती है।

पाठक रॉब मैककर्न ने मेरी इस बात पर टिप्पणी की: "यदि आप जानते हैं कि सभी बलों ने एक फ़्लिप किए गए सिक्के या पासा पर काम किया, यदि आपके पास पर्याप्त कंप्यूटिंग शक्ति थी, तो आप परिणाम की भविष्यवाणी कर सकते हैं":

यह कथन गलत है। आपको इस प्रयोग से जुड़ी सभी प्रारंभिक स्थितियों को भी जानना होगा। और यहाँ समस्या है। किसी भी कठिन परिस्थिति में, प्रारंभिक स्थितियों की सूचना सामग्री प्रकृति के सभी बलों या कानूनों की सूचना सामग्री की तुलना में बहुत बड़ी है। तदनुसार, सभी कानूनों की सटीक जानकारी प्राप्त करने की तुलना में प्रारंभिक स्थितियों के बारे में सभी आवश्यक जानकारी प्राप्त करना अधिक कठिन (और अक्सर सिद्धांत में भी असंभव) है।

मैं मानता हूं कि प्रारंभिक परिस्थितियों का एक आदर्श ज्ञान अनंत सटीकता के साथ प्राप्त नहीं किया जा सकता है। लेकिन मुझे लगता है कि ज्यादातर भौतिक विज्ञानी इस बात से सहमत होंगे कि पर्याप्त सटीकता के साथ कमरे में सिक्के को उछालने और अधिकांश मामलों में परिणाम की भविष्यवाणी करने के बारे में ज्ञान प्राप्त करना संभव है। बेशक, यह संभव नहीं होगा यदि तूफान अचानक खिड़की में उड़ जाए और अराजकता का आयोजन करे। यह संभव है कि प्लैंक तराजू पर द्रव्यमान-ऊर्जा के उपरोक्त उतार-चढ़ाव तूफान हैं जो लगातार कहर बरपाते हैं, जो क्वांटम यादृच्छिकता का सही कारण है। लेकिन इस मामले में भी, सिद्धांत रूप में, एक कारण श्रृंखला मौजूद होनी चाहिए। टीम ई बस इतना ही कहेगी कि हमें सारी जानकारी नहीं है।

पाठक अभिनव देशपांडे ने इस क्षेत्र की वर्तमान स्थिति का एक सुंदर, संतुलित, व्यापक और प्रमाण-समर्थित विवरण दिया, साथ ही साथ बहुत ही रोचक लेखों के लिंक भी दिए। वह सही ढंग से कहता है: "मुझे नहीं लगता कि सापेक्षता के सिद्धांत के संस्थापक को गैर-स्थानीयता के लिए अच्छी तरह से निपटाया गया था (भले ही गैर-स्थानीयता प्रकाश से अधिक तेजी से सूचना के प्रसारण की अनुमति न दे)।" लेकिन हमें याद रखना चाहिए कि आइंस्टीन की मृत्यु के दस साल बाद बेल का प्रमेय साबित हुआ था। और बेल की असमानताओं के प्रायोगिक साक्ष्य को समझाने के लिए, टीम ई के पास आइंस्टीन की प्रारंभिक राय को टालने और गैर-स्थानीयता के तथ्य को स्वीकार करने और "लंबी दूरी की कार्रवाई" को स्वीकार करने के अलावा कोई विकल्प नहीं था। इसका मतलब यह है कि एक उलझे हुए क्वांटम ऑब्जेक्ट के घटकों के बीच सुपरमूलिनल या सुपरस्पेश कनेक्शन हो सकते हैं, भले ही सूचना का बाहरी प्रसारण सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार प्रकाश की गति से सीमित हो, और गैर-स्थानीयता एक दृश्यमान रिसाव देता है।

किसी तरह मैं इस तरह की एक उज्ज्वल तस्वीर भर आया: एक अपारदर्शी सतह के साथ एक झील की कल्पना करो। एक विशाल लकड़ी का हाथी इसमें तैरता है, लगभग पूरे झील के आकार का होता है, और इसके पैर झील के चारों कोनों में बाहर की ओर चिपकते हैं, जैसे स्तंभ, और इसका शरीर पानी के नीचे छिपा हुआ है और दिखाई नहीं देता है। पहले आप यह तय कर सकते हैं कि चार कॉलम स्वतंत्र ऑब्जेक्ट हैं। हालांकि, फिर आप देखते हैं कि उनकी हरकतें एक-दूसरे के साथ पूरी तरह से संबद्ध हैं - वे भ्रमित हैं। उसी तरह, उलझे हुए कण एक एकल इकाई बनाते हैं जो पूरे ब्रह्मांड का विस्तार कर सकते हैं, और इसके आंतरिक कनेक्शन सुपरलाइट या सुपरस्पेश हो सकते हैं। एक दिलचस्प विचार इसके साथ जुड़ा हुआ है, जिसे ईआर = ईपीआर के रूप में जाना जाता है - एक रहस्यमय परिकल्पना, जो शानदार सैद्धांतिक भौतिकविदों, जुआन मालदासेना और लियोनार्ड ससाइंड द्वारा सामने रखी गई है । विचार यह है कि उलझे हुए कण (ईपीआर) एक वर्महोल, आइंस्टीन-रोसेन ब्रिज (ईआर) से जुड़े हैं। प्रारंभ में, इसे ब्लैक होल के अध्ययन के संदर्भ में प्रस्तावित किया गया था, लेकिन शायद यह सभी उलझे हुए कणों के लिए काम करता है। जैसा कि बोहम के सिद्धांत से पता चलता है, नियतात्मकता और क्वांटम यांत्रिकी उद्देश्य यादृच्छिकता की आवश्यकता के बिना आंतरिक सुपरमूलिनल कनेक्शन के साथ स्थानीयता को सह-अस्तित्व और अस्वीकार कर सकते हैं।