संभाव्यता सिद्धांत। सूत्र सूत्र

कुछ प्रयोग किए जाएं।

$$$w_1, ..., w_N$ - प्राथमिक घटनाएं (एक प्रयोग के प्रारंभिक परिणाम)।
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - प्राथमिक घटनाओं का स्थान (प्रयोग के सभी संभावित प्राथमिक परिणामों का सेट)।

परिभाषा 1:

सिस्टम सेट करें $$$\ सिग्मा$ यदि निम्न गुणों को संतुष्ट किया जाता है, तो सिग्मा बीजगणित कहा जाता है:

1. $$$\ Omega \ in \ सिग्मा;$
2. $$$A \ में \ सिग्मा \ Rightarrow \ _ पंक्ति {A} \ में \ सिग्मा;$
3. $$$A_1, A_2, ... \ में \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ सिग्मा। $$

परिभाषा 1 के गुण 1 और 2 से यह इस प्रकार है $$$\ emptyset \ में \ सिग्मा$ । परिभाषा 1 के गुण 2 और 3 से यह इस प्रकार है $$$\ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ सिग्मा \ स्पेस ($$ क्योंकि $$$A_i \ in \ सिग्मा \ Rightarrow_ {सेंट 3} \ overline {A_i} in \ Sigma \ Rightarrow_ {सेंट 3} \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ _line_ A_i} \ in \ सिग्मा \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ overline {\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty \ overline {A_i}}, \ सिग्मा \ Rightarrow \ bigcap \ limit \ {i = में = 1} ^ \ infty A_i \ in (सिग्मा)।$

परिभाषा 2:

• $$$ए$ - घटना $$$\ forall A \ सिग्मा में $$
• $$$P \ colon \ सिग्मा \ to \ mathbb R$ - संभाव्य माप (संभावना) यदि:
  
  1. $$$P (\ सिग्मा) = 1;$
  2. $$$\ forall A \ in \ सिग्मा \ space \ space P (A) \ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty, \ अंतरिक्ष A_i \ in \ सिग्मा, \ अंतरिक्ष A_i \ cap A_j = \ emptyset$ पर $$$i \ n = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i)। $$

संभाव्यता गुण:

1. $$$P (A) \ leqslant 1;$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A});$
3. $$$P (\ emptyset) = 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B);$
5. $$$P (A \ cup B) = P (A) + P (B) -P (A \ cap B);$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ space \ space P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i) = \ sum \ limit_ {i = 1} "NP" A_i) - \ sum \ limit_ {i <j} P (A_i \ cap A_j) + \ sum \ limit_ {i <j <k} P (A_i \ cap A_j \ cap A_k) -.. + + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n);$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ colon (A_ {+ 1} \ subseteq A_i, \ space \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty a_i = \ emptyset) \ _ space \ space \ space \ lim \ limit_ {i \ to to infty} P (A_i) = 0.$

परिभाषा 3:

$$$(\ Omega, \ Sigma, P)$ - संभावना स्थान ।

परिभाषा 4:

$$$\ forall A, B \ in \ सिग्मा: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - किसी घटना की सशर्त संभावना $$$ए$ घटना के अधीन $$$ब$ ।

परिभाषा 5:

के लिए दें $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ जहाँ $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} A_i \ in \ सिग्मा$ निष्पादित किया गया है $$$\ forall i, j \ in \ overline {1, N} \ space A_i \ cap A_j = \ emysyset$ और $$$\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ । तो $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ प्राथमिक घटनाओं के स्थान का एक विभाजन कहा जाता है।

प्रमेय 1 (कुल संभावना सूत्र):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - प्राथमिक घटनाओं के स्थान का विभाजन, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ space P (A_i)> 0$ ।
तो $$$\ forall B \ in \ सिग्मा \ quad P (B) = \ sum \ limit_ {i = 1} = NP (B | A_i) P (A_i)$ ।

प्रमेय 2 (सूत्र सूत्र):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - प्राथमिक घटनाओं के स्थान का विभाजन, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ space P (A_i)> 0$ ।

तो $$$\ forall B \ in \ सिग्मा \ colon P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ _ sum \ limit_ {i] 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ ।

बेयस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम एक प्राथमिकता की संभावनाओं को नजरअंदाज कर सकते हैं ( $$$P (A_i)$ ) अवलोकनों के आधार पर ( $$$P (B | A_i)$ ), और वास्तविकता की एक पूरी नई समझ प्राप्त करें।

एक उदाहरण :

मान लीजिए कि एक परीक्षण है जो किसी व्यक्ति को व्यक्तिगत रूप से लागू किया जाता है और निर्धारित करता है: क्या वह "एक्स" वायरस से संक्रमित है या नहीं? हम मानते हैं कि यदि कोई व्यक्ति विशेष के लिए सही निर्णय दिया गया तो परीक्षण सफल रहा। यह ज्ञात है कि इस परीक्षण में 0.95 की सफलता की संभावना है, और 0.05 पहली तरह की दोनों त्रुटियों की संभावना है (झूठी सकारात्मक, यानी परीक्षण एक सकारात्मक निर्णय पारित किया है, और व्यक्ति स्वस्थ है), और दूसरी तरह की त्रुटियां (झूठी नकारात्मक, i.e. परीक्षण एक नकारात्मक निर्णय पारित किया, और व्यक्ति बीमार है)। स्पष्टता के लिए, एक सकारात्मक फैसला = परीक्षण "कहा" कि एक व्यक्ति वायरस से संक्रमित है। यह भी ज्ञात है कि 1% आबादी इस वायरस से संक्रमित है। किसी व्यक्ति को परीक्षण का सकारात्मक निर्णय लेने दें। वह वास्तव में बीमार होने की कितनी संभावना है?

निरूपित: $$$टी$ - परीक्षा परिणाम, $$$ड$ - वायरस की उपस्थिति। फिर, कुल संभावना के लिए सूत्र के अनुसार:

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0) $$$

बायस प्रमेय द्वारा:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0.95 \ times0.01} {0.95 \ times0.01 + 0.05 \ times0.99} = 0.16$$

यह पता चला है कि सकारात्मक परीक्षण के फैसले के तहत "एक्स" वायरस से संक्रमित होने की संभावना 0.16 है। ऐसा परिणाम क्यों? प्रारंभ में, 0.01 की संभावना वाला एक व्यक्ति "एक्स" वायरस से संक्रमित है और यहां तक ​​कि 0.05 की संभावना के साथ परीक्षण विफल हो जाएगा। यही है, इस मामले में जब आबादी का केवल 1% इस वायरस से संक्रमित होता है, 0.05 की एक परीक्षण त्रुटि की संभावना इस बात पर महत्वपूर्ण प्रभाव डालती है कि कोई व्यक्ति वास्तव में बीमार है, बशर्ते कि परीक्षण सकारात्मक परिणाम देता है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

• “संभाव्यता सिद्धांत के मूल सिद्धांत। पाठ्यपुस्तक ”, एम.ई. ज़ुकोवस्की, आई.वी. रोडियोनोव, मास्को इंस्टीट्यूट ऑफ फिजिक्स एंड टेक्नोलॉजी, मोस्को, 2015;
• “गहरी सीख। तंत्रिका नेटवर्क की दुनिया में विसर्जन ”, एस। निकुलेंको, ए। कादुरिन, ई। अरखंजेल्स्काया, पीटर, 2018।