कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन सिस्टम में सबसे कठिन कार्यों में से एक है जब जटिल आकार की वस्तुओं को मॉडलिंग करना। Fillets के निर्माण के लिए, साथ ही साथ CAD में सभी ज्यामिति के लिए, ज्यामितीय कोर जिम्मेदार है।

कर्नेल डेवलपर के दृष्टिकोण से, उनकी अनंत विविधता के कारण सभी गोलाई विकल्पों को कवर करना असंभव है। हमारे गणितज्ञ लगातार C3D कोर में नए विशेष मामलों को जोड़ रहे हैं, और हाल ही में तीन चेहरों (या पूर्ण गोलाई) की एक राउंडिंग की है।

अन्ना लादिलोवा, गणितज्ञ और प्रोग्रामर C3D लैब्स ने कहा कि इसकी जटिलता क्या है और एल्गोरिथम कैसे काम करता है।

पूर्ण गोलाई क्या है?

मान लें कि हमारे पास चेहरे की तीन श्रृंखलाओं के साथ एक शरीर है - केंद्रीय (ऊपरी) और पक्ष (दाएं और बाएं)। यह केंद्रीय चेहरे को एक फिलेट सतह के साथ बदलने के लिए आवश्यक है जो आसानी से आसन्न पक्ष के चेहरे में फिट होगा। यह नई सतह पूर्ण गोलाई होगी। सामान्य तौर पर, इसका एक चर त्रिज्या होता है जो स्वचालित रूप से पता लगाया जाता है।



कई प्रसिद्ध सीएडी प्रणालियों में, पूर्ण-गोल पट्टिका संचालन कार्यान्वित किया जाता है, लेकिन इसके गणित का खुलासा नहीं किया जाता है।


Solidworks पूर्ण दौर पट्टिका ऑपरेशन

इसलिए, हमने अपना खुद का एल्गोरिदम विकसित किया। और यह अन्य डेवलपर्स के एल्गोरिदम से अलग है।

संचालन, हालांकि उन्हें समान कहा जाता है, थोड़ा अलग परिणाम देते हैं। इससे पता चलता है कि सॉलिडवॉर्क तीन चेहरे को गोल करने के लिए एक अलग परिभाषा देता है।


दाईं ओर मूल मॉडल है, केंद्र में सॉलिडवर्क्स में पूर्ण गोलाई है, बाईं तरफ - सी 3 डी में।

पूर्ण दौर एल्गोरिथ्म

किसी भी प्रकार की पट्टिका के निर्माण के कार्य में कई चरण शामिल हैं:

1. दिए गए श्रृंखला को प्राथमिक घटकों में तोड़ें (तीन चेहरों को गोल करने के लिए यह ठीक तीन चेहरे हैं: बाएं, दाएं और केंद्र)।
2. प्राथमिक घटकों को लगातार व्यवस्थित करें।
3. प्रत्येक प्राथमिक घटक के लिए एक पट्टिका सतह बनाएँ।
4. पसलियों के साथ आसन्न पट्टिका सतहों को सिलाई करें।
5. पट्टिका श्रृंखला के अंत वर्गों को संसाधित करने के लिए, अर्थात्, उन्हें संशोधित शरीर से सही ढंग से कनेक्ट करें।

इस प्रक्रिया में मुख्य बिंदु तीसरा चरण है: तीन दिए गए चेहरों के लिए एक पट्टिका सतह का निर्माण करना।

वांछित सतह का निर्माण करने के लिए, पहले उन वक्रों को निर्धारित करना आवश्यक है जिनके द्वारा पट्टिका प्रत्येक तीन चेहरे को छूती है। सामान्य स्थिति में, इन वक्रों को केवल ज्ञात बिंदुओं से गुजरने वाले स्प्लिन के रूप में निर्मित किया जा सकता है जिनकी गणना पहले से की जाती है।

इस बात पर विचार करें कि आप अंकों के तिहरे भाग की गणना कैसे कर सकते हैं - प्रत्येक पंक्ति में एक।


मौलिक प्रसंस्करण। पट्टिका कर्व के साथ तीन चेहरों में से प्रत्येक को स्पर्श करती है l ₀ ; एल ₁ ; l _२ । नीली रेखा क्रॉस सेक्शन को दर्शाती है

प्रत्येक क्रॉस सेक्शन में $$$एबीसी$:

• $$$OA = OB = OC$- स्वचालित रूप से गणना की
• $$$OA, OB, OC$इसी बिंदु पर सतहों के स्पर्शरेखा विमानों के लिए ओर्थोगोनल
• $$$पी$₀ - लंगर बिंदु, विमान में निहित है $$$एबीसी$।

हम परिभाषा के एक निश्चित डोमेन में त्रिज्या वैक्टर द्वारा केंद्रीय, बाएं और दाएं चेहरे की प्रारंभिक सतहों को परिभाषित करते हैं। साइड सतहों को त्रिज्या वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है $$$आर$₁ $$$(u, v)$और $$$आर$₂ $$$(z, w)$और केंद्रीय एक $$$आर$₀ $$$(x, y)$। हम एक सकारात्मक संख्यात्मक पैरामीटर पेश करते हैं $$$ड$।

द्वारा निरूपित करें $$$एन$₀ $$$(x, y)$। $$$एन$₁ $$$(u, v)$। $$$एन$₂ $$$(z, w)$संबंधित सतहों के लिए एकल मानदंड, "आवक" निर्देशित।


एक पट्टिका का निर्माण करते समय "अनुभाग" क्रॉस करें

हमें आवश्यकता है कि इन मानदंडों के सिरों को बढ़ाया जाए $$$ड$समय, एक बिंदु - बिंदु मारा $$$O$।

अंतर ज्यामिति के संदर्भ में, हमारी आवश्यकताओं को सात मानकों के साथ सात समीकरणों की एक प्रणाली द्वारा तैयार किया जा सकता है:

$$$डीएन$₀ $$$(x, y)$= $$$डीएन$₁ $$$(u, v)$।
$$$डीएन$₀ $$$(x, y)$= $$$डीएन$₂ $$$(z, w)$।
( $$$आर$₀ $$$(x, y)$- $$$पी$₀ $$$आर$₁ $$$(u, v)$- $$$पी$₀ $$$आर$₂ $$$(z, w)$- $$$पी$_० ) = $$$0$।

जहाँ

• $$$ड$- चर त्रिज्या
• $$$पी$₀ - लंगर बिंदु
• $$$x, y, u, v, z, w$- पैरामीटर परिभाषा क्षेत्र से चर।

संख्यात्मक विधियों के एल्गोरिदम का उपयोग करना (उदाहरण के लिए, न्यूटन की विधि), हम इस प्रणाली का हल ढूंढते हैं: $$$x$₀ $$$य$₀ $$$यू$₀ $$$वी$₀ $$$z$₀ $$$w$₀ $$$ड$_० ।

समाधान सतहों के साथ स्पर्श बिंदुओं को परिभाषित करता है:

• $$$आर$₀ ( $$$x$₀ $$$य$₀ )
• $$$आर$₁ ( $$$यू$₀ $$$वी$₀ )
• $$$आर$₂ ( $$$z$₀ $$$w$₀ )

साथ ही त्रिज्या $$$ड$_० ।

अंकों के एक सेट के माध्यम से चल रहा है $$$पी$₀ , हमें सतहों के साथ स्पर्शरेखा बिंदुओं के त्रिभुज के सेट मिलते हैं जिनसे आप "स्पर्श घटता" को पुनर्स्थापित कर सकते हैं $$$ल$₀ $$$ल$₁ $$$ल$_{2 के} रूप में हरमाइट विभाजित बिंदुओं से होकर गुजरता है।

स्कोप [ $$$टी$_{मिनट,} $$$टी$_{अधिकतम} ] सभी वक्र समान हैं, और पैरामीटर $$$टी$_मैं एक बिंदु के अनुरूप _हूं $$$आर$_0i, $$$आर$_{1 मैं,} $$$आर$_{२ आई} । इसके अलावा, इन वक्रों का उपयोग वांछित पट्टिका क्रॉस-सेक्शन की गणना के लिए किया जाता है।

हम कुछ पैरामीटर को ठीक करते हैं $$$टी$और इसके लिए अंक की गणना करें:

• $$$आर$₀ $$$(x (t), y (t)),$
• $$$आर$₁ $$$(u (t), v (t)),$
• $$$आर$₂ $$$(z (t), w (t))$।

हम इन बिंदुओं से गुजरने वाले एक स्पाइन वक्र का निर्माण करते हैं और सामान्य वैक्टर ऑर्थोगोनल उन्हें $$$एन$₀ $$$(x (t), y (t))$। $$$एन$₁ $$$(u (t), v (t))$। $$$एन$₂ $$$(z (t), w (t))$क्रमशः।

यदि समस्या कथन को थोड़ा बदल दिया जाता है और इन बिंदुओं पर दिए गए बिंदुओं और स्पर्शरेखा वाले वैक्टरों के लिए वक्र की खोज की जाती है, तो इस तरह के तरीकों को लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, निकोलाई गोलोवानोव की पुस्तक "जियोमेट्रिक जांच" में।

पुस्तक में शरीर के किनारे को गोल करने के तरीकों का विस्तार से वर्णन किया गया है, विशेष रूप से, यह दिखाया गया है कि एक गोलाई के क्रॉस-सेक्शन को तीन बिंदुओं द्वारा परिभाषित NURBS वक्र के रूप में महसूस किया जा सकता है। यदि तीन चेहरे गोल हैं, तो एक समान वक्र पांच बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाएगा।

इसलिए, प्रत्येक पैरामीटर के लिए $$$टी$हम NURBS के निर्माण के लिए बिंदुओं के एक समूह को परिभाषित कर सकते हैं, और इसलिए, पट्टिका सतह के क्रॉस-सेक्शन के प्रत्येक बिंदु को परिभाषित करते हैं। इस प्रकार, सतह निर्माण की समस्या पूरी तरह से हल हो गई है।

एल्गोरिथ्म के इस हिस्से के विवरण में एक छोटा सा सवाल था - "सही ढंग से" अंक का सेट कैसे चुनें $$$पी$क्रॉस-सेक्शन के लिए इसी के माध्यम से "स्पर्श घटता" को पुनर्स्थापित करना आसान होगा $$$ल$₀ $$$ल$₁ $$$ल$₂ ?

कुछ पूर्व चयनित वक्र के साथ उन्हें ले जाना उचित प्रतीत होता है। हम इस वक्र के निर्माण के विवरण में नहीं जाएंगे, हम केवल यह ध्यान देते हैं कि यह स्वयं-चौराहों और "औसत" बिना चिकनी होना चाहिए, किनारों की श्रृंखलाएं बाईं ओर और दाईं ओर केंद्रीय चेहरे को बांधती हैं।


वाम, पार-अनुभागीय, बिंदु-निर्भर $$$पी$_० ।
दाईं ओर, आंकड़े काफी जटिल हो सकते हैं, इसलिए "सहायक" वक्र को सही ढंग से चुनना एक अलग कार्य है।

अब जब हम सरलतम प्राथमिक मामलों के लिए पट्टिका सतहों का निर्माण करने में सक्षम हैं, तो हम अधिक जटिल समस्या पर आगे बढ़ सकते हैं: चेहरों की श्रृंखला के लिए सतह का निर्माण करना।
यहाँ मुख्य समस्या एक चिकनी तरीके से आसन्न सतहों को "सीना" करना है। यह एल्गोरिथम का चौथा चरण है।

क्रॉसलिंकिंग की चिकनाई में कठिनाई ठीक है, क्योंकि सतहों को अलग-अलग प्रारंभिक डेटा के साथ बनाया गया है। चिकनाई सुनिश्चित करने के लिए, किसी को विभिन्न ट्रिकों का सहारा लेना पड़ता है: सीमा से एक निश्चित दूरी पर अनुदैर्ध्य दिशा में डेरिवेटिव के वैक्टर की दिशा और लंबाई को बदलना, सीमाओं पर भार कार्यों के डेरिवेटिव के मूल्यों को बदलना आदि। परिणाम आंकड़े में दिखाई दे रहे हैं: चिकनी ज़ेबरा लाइनें एक चिकनी सतह के अनुरूप हैं।




ऊपर एक चौरसाई एल्गोरिथ्म के बिना एक मॉडल है। नीचे - एल्गोरिथ्म को लागू करने के बाद।

परिणाम

हमारे शोध के परिणामस्वरूप, C3D ज्यामितीय कोर एक गोल क्रॉस-सेक्शन, सपोर्ट कर्व्स, और तीन चेहरे के गोलाई का निर्माण करने में सक्षम है; एक पैरामीटर का चयन करके सतह को कैसे चिकना करना जानता है; आंशिक रूप से जानता है कि आसन्न पट्टिका सतहों को आसानी से कैसे जोड़ा जाए।


लेखक - अन्ना लादिलोवा, पीएचडी, गणितज्ञ / प्रोग्रामर C3D लैब्स