श्रेणी सिद्धांत गणित को समानताएं छोड़ने की अनुमति देता है

दो स्मारकीय कार्यों ने कई गणितज्ञों को समान संकेत छोड़ने के लिए मना लिया। उनका लक्ष्य कमजोर संबंध - "समतुल्यता" की मदद से अनुशासन की नींव का पुनर्निर्माण करना है। और यह प्रक्रिया हमेशा सुचारू रूप से नहीं चलती है।

समान चिन्ह गणित की आधारशिला है। वह एक मौलिक और सुसंगत वक्तव्य देता है: ये दोनों इकाइयां बिल्कुल एक जैसी हैं।

हालांकि, गणितज्ञों की मंडली बढ़ रही है, गणित के शुरुआती त्रुटि के रूप में, बराबर संकेत का उल्लेख करते हुए। वे इसे एक बाहरी चमक मानते हैं, मात्राओं के संबंध की महत्वपूर्ण कठिनाइयों को छिपाते हैं - कठिनाइयों जो बड़ी संख्या में समस्याओं का समाधान खोल सकती हैं। वे एक शिथिल तुल्यता भाषा का उपयोग करके गणित में सुधार करना चाहते हैं।

"हमने समानता के इस विचार को जन्म दिया," ड्यूक विश्वविद्यालय के जोनाथन कैंपबेल ने कहा। "और इसके स्थान पर समानता होनी चाहिए थी।"

इस समुदाय में सबसे प्रमुख व्यक्ति जैकब लूरी है । जुलाई में, 41 वर्षीय लॉरी ने हार्वर्ड में पूर्णकालिक कर्मचारी के रूप में प्रिंसटन इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडीज में एक संकाय पद के लिए इस्तीफा दे दिया, जहां दुनिया के कुछ अग्रणी गणितज्ञों ने काम किया।

इस तरह के पैमाने के विचार Lurie के रूप में शायद ही कभी किसी भी क्षेत्र में पाए जाते हैं। तकनीकी विवरणों से भरे हजारों पृष्ठों की अपनी पुस्तकों में, उन्होंने गणित की सबसे बुनियादी अवधारणाओं को समझने के सामान्य तरीके से एक आश्चर्यजनक रूप से अलग तरीका बनाया, जो समान संकेत से परे है। हार्वर्ड के गणितज्ञ और स्नातक स्कूल के प्रमुख माइकल हॉपकिंस ने कहा, "मुझे लगता है कि यह उन्हें गणित के बारे में सोचने का सही तरीका था।"

उन्होंने 2009 में अपनी पहली पुस्तक, द थ्योरी ऑफ़ हायर टॉपोस प्रकाशित की। 944 पृष्ठ की मात्रा "अनन्तता की श्रेणियों" की नई भाषा में गणित के मान्यता प्राप्त क्षेत्रों की व्याख्या करने के लिए एक निर्देश के रूप में कार्य करती है। बाद के वर्षों में, Lurie के विचारों ने गणितीय विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला में प्रवेश किया। कई गणितज्ञ उन्हें इस क्षेत्र के भविष्य के लिए अपरिहार्य मानते हैं। नॉर्थवेस्टर्न यूनिवर्सिटी के जॉन फ्रांसिस ने कहा, "अनंत की श्रेणियों का अध्ययन करने के बाद कोई भी ऐसा नहीं होगा,"


जेकब लुरी

हालांकि, अनंत की श्रेणियों के प्रसार से उन सभी समस्याओं का पता चला, जो गणित के एक सम्मानित क्षेत्र से गुजरती हैं, नए साहसिक विचारों को अवशोषित करने की कोशिश करते हैं - विशेष रूप से एक विचार जो इसकी सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा को चुनौती देता है। "यूनिवर्सिटी समुदाय में रूढ़िवाद का एक निश्चित स्तर है," एडिनबर्ग विश्वविद्यालय के क्लार्क बारविक ने कहा। "मुझे नहीं लगता कि गणितज्ञों के किसी भी समूह को बिना किसी ठोस कारण के किसी भी उपकरण को जल्दी स्वीकार करने की उम्मीद की जा सकती है।"

हालाँकि कई गणितज्ञों ने अनंत की श्रेणियों को स्वीकार किया है, लेकिन कुछ ने लूरी की पूरी लंबी और बेहद सार ग्रंथों को पढ़ा है। परिणामस्वरूप, उनके विचारों पर आधारित कार्य का हिस्सा गणित में स्वीकृत से कम कठोर हो जाता है।

"मैंने लोगों को यह कहते हुए सुना है: 'लुरी के पास कहीं है," इन्ना ज़खरेविच ने कहा, जो कॉर्नियो विश्वविद्यालय में गणितज्ञ हैं। - और मैं कहता हूं: 'सच में? आप पाठ के 8,000 पृष्ठों का संदर्भ देते हैं। ' यह एक संदर्भ नहीं है, यह प्राधिकरण के लिए एक अपील है। ”

गणितज्ञ अभी भी Lurie के विचारों की चौड़ाई और उन्हें प्रस्तुत करने के अनूठे तरीके दोनों को महसूस करने की कोशिश कर रहे हैं। वे अनंत की श्रेणियों की अपनी प्रस्तुति का सार निकालते हैं और इसे एक नए पैकेज में पेश करते हैं ताकि अधिक गणितज्ञ इसका उपयोग कर सकें। एक अर्थ में, वे आवश्यक नेतृत्व करते हैं, जो किसी भी क्रांति का पालन करने के लिए बाध्य है, क्रांतिकारी पाठ को कानूनों के रोजमर्रा के कोड में अनुवाद करता है। इस प्रकार, वे समानता के आधार पर नहीं बल्कि समानता पर आधारित गणितज्ञों के भविष्य का निर्माण करते हैं।

अंतहीन तुलनीय टॉवर

गणितीय समानता सभी विचारों में सबसे कम विवादास्पद लगती है। दो मनकों के साथ एक मनके तीन मालाओं के बराबर होते हैं। बात करने के लिए और क्या है? हालांकि, सबसे सरल विचार सबसे भ्रामक हो सकते हैं।

19 वीं सदी के अंत से, गणित की नींव वस्तुओं के सेट पर बनाई गई है जिसे सेट कहा जाता है। सेट सिद्धांत इन सेटों के निर्माण और संचालन के लिए नियम या स्वयंसिद्ध सेट करता है। इनमें से एक स्वयंसिद्ध उदाहरण के लिए, दावा है कि आप दो तत्वों के एक सेट में एक तत्व का एक सेट जोड़ सकते हैं और तीन तत्वों का एक नया सेट प्राप्त कर सकते हैं: 2 + 1 = 3।

दो मात्राओं की समानता प्रदर्शित करने का औपचारिक तरीका जोड़े को एक-दूसरे से मिलाना है। एक मनके के दाईं ओर एक मनका के साथ एक मनका बाईं ओर से मिलाएं। सभी तुलनाओं के बाद, कोई अतिरिक्त मोती नहीं बचेगा।

सेट सिद्धांत यह मानता है कि तीन वस्तुओं के दो सेट प्रत्येक को एक दूसरे से ठीक से मेल खा सकते हैं, लेकिन इस तरह की तुलना के सभी अलग-अलग संभावित तरीकों का मतलब नहीं है। दाईं ओर का पहला मनका बाईं ओर के पहले मनके के रूप में एक जोड़ी उठा सकता है, या दाईं ओर के पहले को बाईं ओर के दूसरे से मिला सकता है, और इसी तरह (छह ऐसे जोड़े हो सकते हैं)। यह कहने के लिए कि दो प्लस एक तीन के बराबर है, और इस पर समाप्त होने का मतलब है कि उन्हें बराबरी करने के सभी संभावित तरीके न देखें। "समस्या यह है कि जोड़ी बनाने के कई तरीके हैं," कैम्पबेल कहते हैं। "और हम उन्हें भूल जाते हैं जब हम कहते हैं कि बराबर है।"



यह वह जगह है जहाँ तुल्यता खेल में आती है। यदि समानता एक स्पष्ट संबंध है - दो चीजें या तो समान हैं या नहीं - तुल्यता भिन्न हो सकती हैं।

जब आप एक सेट के प्रत्येक तत्व को दूसरे के प्रत्येक तत्व से ठीक से मेल खाते हैं, तो आपको मजबूत समानता मिलती है। लेकिन, उदाहरण के लिए, समरूपता के रूप में गणित के ऐसे क्षेत्र में, दो रूप (या ज्यामितीय आंकड़े) समतुल्य होते हैं यदि किसी को बिना तोड़े खींच या संकुचित करके दूसरे में बदला जा सकता है।

होमोटॉपी सिद्धांत के दृष्टिकोण से, एक फ्लैट डिस्क और अंतरिक्ष में एक बिंदु बराबर है - डिस्क को एक बिंदु पर संकुचित किया जा सकता है। हालाँकि, आप किसी बिंदु पर बिंदुओं के साथ डिस्क पर मौजूद बिंदुओं का मिलान नहीं कर सकते। दरअसल, अंकों की डिस्क में एक अनंत संख्या होती है, और एक बिंदु सिर्फ एक बिंदु होता है।



20 वीं सदी के मध्य के बाद से, गणितज्ञ सेट सिद्धांत का एक विकल्प विकसित करने की कोशिश कर रहे हैं जिसमें गणित को समतुल्यता के संदर्भ में निपटाना आसान होगा। 1945 में, गणितज्ञ सैमुअल एलबर्ग और सॉन्डर्स मैकलेन ने अंतर्निहित समानता के साथ एक नई मौलिक वस्तु पेश की। उन्होंने इसे एक श्रेणी कहा।

एक श्रेणी किसी भी चीज से भरी जा सकती है। आप स्तनधारियों की श्रेणी ले सकते हैं, जिसमें सभी बालों वाले गर्म-रक्त वाले जीव शामिल होंगे जो दूध का उत्पादन करते हैं। या आप गणितीय वस्तुओं की श्रेणियां बना सकते हैं: सेट, ज्यामितीय आकार या संख्यात्मक प्रणाली।

एक श्रेणी अतिरिक्त मेटाडेटा के साथ एक सेट है: एक वस्तु को दूसरे से मिलान करने के सभी तरीकों का वर्णन, जिसमें उन सभी विशेषताओं का विवरण शामिल है जिनके द्वारा दो वस्तुओं को समान माना जा सकता है। श्रेणियों को ज्यामितीय वस्तुओं के रूप में भी कल्पना की जा सकती है जिसमें श्रेणी के प्रत्येक तत्व को एक डॉट द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, एक गेंद की सतह की कल्पना करें। इस सतह पर प्रत्येक बिंदु अपने प्रकार के त्रिकोणों को इंगित कर सकता है। बिंदुओं के बीच के पथ वस्तुओं के बीच एक समानता संबंध व्यक्त करते हैं। श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से, हम किसी वस्तु का वर्णन करने के विशिष्ट तरीके को भूल जाते हैं और इसके बजाय इस बात पर ध्यान केंद्रित करते हैं कि इस प्रकार की अन्य सभी वस्तुओं के संबंध में वस्तु किस स्थान पर रहती है।


सतह पर प्रत्येक बिंदु एक विशेष प्रकार के त्रिकोण से मेल खाता है।

"हम कई चीजों को चीजों के रूप में मानते हैं, हालांकि वास्तव में वे चीजों के बीच संबंध हैं," ज़खेरेविच ने कहा। - वाक्यांश "मेरे पति" का अर्थ है कि हम एक वस्तु पर विचार करते हैं, लेकिन आप इसे रिश्ते के रूप में सोच सकते हैं। इसका एक निश्चित हिस्सा मेरे साथ संबंधों द्वारा निर्धारित किया जाता है। ”

एलेनबर्ग और मैकलेन से श्रेणी संस्करण मजबूत तुल्यता विकल्पों के साथ काम करने के लिए अच्छी तरह से अनुकूल था। लेकिन 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, गणितज्ञों ने समरूपता के कमजोर रूपों का उपयोग किया, जैसे कि होमोटोपी। जॉन्स हॉपकिंस विश्वविद्यालय के गणितज्ञ एमिली रिएल ने कहा, "गणित अधिक सूक्ष्म होता जा रहा है, और अनिवार्य रूप से हमें सामान्य चीजों के बारे में अधिक सूक्ष्म विचारों की इच्छा है।" तुल्यता के इन बारीक संस्करणों में, दो वस्तुओं के बीच संबंध के बारे में जानकारी की मात्रा तेजी से बढ़ जाती है। इलेनबर्ग और मैकलेन की अल्पविकसित श्रेणियां इसके लिए अभिप्रेत नहीं थीं।

जानकारी की मात्रा में वृद्धि देखने के लिए, सबसे पहले अलग-अलग त्रिकोणों को दर्शाते हुए हमारे गोले को याद करें। दो त्रिकोण समरूप रूप से समतुल्य होते हैं यदि एक को खींचकर या किसी अन्य विरूपण द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है। एक सतह पर दो बिंदु समरूप रूप से समतुल्य हैं यदि उन्हें जोड़ने वाला मार्ग है। एक सतह पर बिंदुओं के बीच होमोटॉपिक रास्तों का अध्ययन करके, आप वास्तव में उन विभिन्न तरीकों का अध्ययन कर रहे हैं जो इन बिंदुओं द्वारा निरूपित त्रिकोण एक दूसरे से जुड़े हुए हैं।



हालांकि, यह बताना पर्याप्त नहीं है कि दो बिंदु कई समान तरीकों से जुड़े हुए हैं। इन सभी रास्तों की समानता के बारे में सोचना भी आवश्यक है। इसलिए, अंकों के समतुल्यता के प्रश्न के अलावा, अब आप एक ही बिंदु पर शुरू और समाप्त होने वाले दो रास्तों के तुल्यता का प्रश्न पूछते हैं - और क्या इन रास्तों को जोड़ने वाला मार्ग है। रास्तों को जोड़ने वाला यह पथ एक डिस्क का रूप लेता है, जिसकी सीमा इनमें से दो पथ हैं।



आप इस विचार को और विकसित कर सकते हैं। दो डिस्क बराबर हैं यदि वे एक पथ से जुड़े हुए हैं - और यह पथ तीन-आयामी ऑब्जेक्ट का रूप लेगा। ऐसी त्रि-आयामी वस्तुओं को स्वयं चार-आयामी पथों द्वारा जोड़ा जा सकता है (दो वस्तुओं के बीच का मार्ग हमेशा एक आयाम स्वयं वस्तुओं से अधिक होता है)।

नतीजतन, आप समकक्षों के बीच एक अंतहीन टॉवर का निर्माण करते हैं। पूरे सिद्धांत के बारे में तर्क देते हुए, आप उन सभी वस्तुओं के बारे में एक सामान्य दृष्टिकोण उत्पन्न करते हैं जिन्हें आपने गोले पर डॉट्स के साथ चिह्नित किया है।

"यह एक क्षेत्र है, लेकिन यह पता चलता है कि एक गोले के आकार को समझने के लिए, आपको किसी तरह से अनंत तक जाने की जरूरत है," ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय के डेविड बेन-ज़वी ने कहा।

20 वीं शताब्दी के अंतिम दशकों में, कई गणितज्ञों ने "इनफिनिटी की श्रेणियों" के सिद्धांत पर काम किया है - जो कि समतुल्यता के बीच के अनंत टॉवर को ट्रैक करने में सक्षम है। उनमें से कुछ ने गंभीर सफलता हासिल की है। लेकिन अंत तक केवल एक ही पहुंचा।

मठ को फिर से शुरू करना

अनंत की श्रेणियों में जैकब लूरी का पहला काम बहुत सफल नहीं था। 5 जून, 2003 को, 25 वर्षीय वैज्ञानिक ने वैज्ञानिक प्रीप्रिंट्स arxiv.org की साइट पर " ऑन द टॉपोस ऑफ इन्फिनिटी " नामक 60-पृष्ठ का एक दस्तावेज प्रकाशित किया। वहाँ उन्होंने नियमों के मोटे मसौदे बनाने शुरू किए, जिससे गणितज्ञ अनन्तता की श्रेणियों के साथ काम कर सके।

सभी ने पहले काम को उसी तरह स्वीकार नहीं किया। पढ़ने के कुछ ही समय बाद, शिकागो विश्वविद्यालय में गणितज्ञ पीटर मे ने लूरी के पर्यवेक्षक, माइकल हॉपकिंस को लिखा, कि हालांकि लूरी के काम में दिलचस्प विचार हैं, यह अधूरा दिखता है और इसके लिए अधिक अनुशासित दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

", मैंने माइक को अपनी टिप्पणियों के बारे में बताया, और उसने उन्हें जैकब को सौंप दिया," मई ने कहा।

यह अज्ञात रहता है कि क्या Lurie ने मई के पत्र को एक चुनौती के रूप में लिया था, या यदि उसने पहले ही अपने अगले कदम की योजना बना ली थी (Lurie ने एक साक्षात्कार के लिए कई अनुरोधों को अस्वीकार कर दिया)। यह स्पष्ट है कि महत्वपूर्ण टिप्पणियों को प्राप्त करने के बाद, Lurie ने उत्पादकता के एक बहु-वर्ष की अवधि में हिट किया, जो बाद में पौराणिक हो गया।

"मैं जैकब के दिमाग में नहीं जा सकता, और इसलिए मुझे नहीं पता कि वह क्या सोच रहा था," मई ने कहा। "लेकिन हमारे द्वारा समीक्षा किए गए मसौदे और अंतिम संस्करणों के बीच एक बड़ा अंतर है, जो पहले से ही पूरी तरह से अलग गणितीय स्तर पर हैं।"

2006 में, Lurie ने arxiv.org पर "उच्चतम सिद्धांतों के सिद्धांत" का एक प्रारूप पोस्ट किया। इस स्मारकीय कार्य में, उन्होंने अनंत के श्रेणियों के आधार पर गणित के लिए एक नए आधार के साथ सेट सिद्धांत को बदलने के लिए आवश्यक उपकरण बनाया। "उन्होंने इस मौलिक उपकरण के हजारों पन्नों का वास्तविक रूप से उपयोग किया, जिसे हम सभी अब उपयोग करते हैं," उर्जाना-शैंपेन विश्वविद्यालय में इलिनोइस विश्वविद्यालय के गणितज्ञ चार्ल्स रेजक ने कहा, जिन्होंने अनंत श्रेणियों को विकसित करने में महत्वपूर्ण काम किया। "मैं कल्पना नहीं कर सकता कि जीवनकाल में 'थ्योरी ऑफ़ द हाईएस्ट टॉपोस' जैसा काम कैसे संभव है - और उन्होंने इसे दो या तीन वर्षों में बनाया।"

फिर 2011 में, Lurie ने एक और दिया, और भी लंबा काम। इसमें, उन्होंने बीजगणित को फिर से किया।

बीजगणित हमें समीकरणों में हेरफेर करने के लिए औपचारिक नियमों का एक अद्भुत सेट देता है। गणितज्ञ लगातार इन नियमों का उपयोग प्रमेयों को साबित करने के लिए करते हैं। हालांकि, बीजगणित बराबर संकेत के निश्चित सलाखों पर जिमनास्टिक करता है। इन पट्टियों को हटा दें, उन्हें अधिक समानता की अवधारणा के साथ बदल दिया जाएगा, और कुछ संचालन बहुत जटिल हो जाएंगे।

बीजगणित के पहले नियमों में से एक को लें, जो बच्चे स्कूल में सीखते हैं: समरूपता। तीन या अधिक संख्याओं का योग या उत्पाद उनके समूहन पर निर्भर नहीं करता है: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4।

यदि आप समानता के साथ काम करते हैं, तो तीन या अधिक संख्याओं की सूची के लिए संबद्धता संपत्ति को साबित करना आसान है। यह मुश्किल है जब आप मजबूत तुल्यता की अवधारणा के साथ भी काम करते हैं। लेकिन जब आप समतुल्यता के अधिक सूक्ष्म संस्करणों की ओर बढ़ते हैं, तो रास्तों को जोड़ने वाले उनके अंतहीन टावरों के साथ, यहां तक ​​कि समरूपता के समान एक सरल नियम, एक अंधेरे जंगल में बदल जाता है।


बीजगणित में, सहक्रियाशीलता बताती है कि (a × b) × c = a × (b × c)। लेकिन समतुल्यता के उपयोग के साथ, अकेलेपन की गारंटी नहीं है कि तत्वों के किसी भी समूह में एक ही गुणा परिणाम होगा। इस assocahedron में समूह समतुल्य रिकॉर्ड होते हैं। प्रत्येक शीर्ष एक समूहीकरण से मेल खाता है। किनारों और चेहरे समूहों को एक दूसरे के समतुल्य रूप से जोड़ते हैं।

"यह समस्या को बहुत जटिल बनाता है, जिससे गणित के इस नए संस्करण के साथ काम करना असंभव हो जाता है," मोंटाना विश्वविद्यालय के गणितज्ञ डेविड इसला ने कहा।

हायर अलजेब्रा में, जिसका नवीनतम संस्करण 1553 पृष्ठों में फैला हुआ है, लुरी ने अनन्तता श्रेणियों के लिए एक संगति विकल्प विकसित किया - साथ ही साथ कई अन्य बीजीय प्रमेय जो कि समतुल्यता के गणित का आधार बनाते हैं।

इन दो पुस्तकों ने एक विस्फोट बम का प्रभाव उत्पन्न किया; इस तरह के काम एक वैज्ञानिक क्रांति को जन्म देते हैं। "पैमाने असाधारण था," रील ने कहा। "यह बीजीय ज्यामिति में Grothendieck स्तर की उपलब्धि थी।"

हालाँकि, क्रांति में समय लगता है, और, जैसा कि गणितज्ञों को लुरी की पुस्तकों के प्रकाशन के बाद पता चला, ये वर्ष अराजक हो सकते हैं।

एक गाय को खोदो

गणितज्ञों को अस्पष्ट सोच वाले लोगों के रूप में माना जाता है: प्रमाण या तो सच है या नहीं; विचार काम करता है या नहीं। हालांकि, गणितज्ञ भी सामान्य लोग हैं, और वे नए विचारों पर उसी तरह से प्रतिक्रिया करते हैं जैसे आम लोग: व्यक्तिपरक, भावनात्मक रूप से, व्यक्तिगत उद्देश्य रखते हैं।

कैम्पबेल ने कहा, "मुझे लगता है कि गणितज्ञों के बारे में बहुत सारे ग्रंथ इस तरह के लहजे में लिखे गए हैं कि वे एक स्पार्कलिंग क्रिस्टल स्पष्ट सत्य की तलाश में हैं।" "लेकिन ऐसा नहीं हो रहा है।" ये अपने स्वाद, आराम क्षेत्र के साथ लोग हैं, और वे उन चीजों से इनकार कर सकते हैं जो वे सौंदर्य या व्यक्तिगत कारणों से पसंद नहीं करते हैं। ”

इस संबंध में, Lurie का कार्य समुदाय के लिए एक जटिल चुनौती बन गया है। वास्तव में, यह उत्तेजक था: यहां गणित करने का एक नया और बेहतर तरीका है। इस संदेश को विशेष रूप से गणितज्ञों को संबोधित किया गया था, जिन्होंने अपने पूरे करियर को विकसित करने के तरीकों पर खर्च किया था, जो कि लुरी ने उत्कृष्ट प्रदर्शन किया।

फ्रांसिस ने कहा, "लोग हमेशा अगली पीढ़ी को उनके काम को फिर से लिखते देखना पसंद नहीं करते हैं और यह प्रक्रिया तनाव पैदा करती है।" "यह अनंत की श्रेणियों के सिद्धांत की विशेषताओं में से एक है - पिछले कार्यों के अधिकांश।"

Lurie का काम अन्य कारणों से पचाना मुश्किल था। सामग्रियों के आयतन का मतलब था कि गणितज्ञों को उसकी किताबें पढ़ने में कई साल लगेंगे। व्यस्त गणितज्ञों से मांग करना लगभग असंभव है जो एक कैरियर के बीच में हैं, और स्नातक छात्रों के लिए जिनके पास केवल कुछ वर्षों का परिणाम है जो उन्हें नौकरी खोजने की अनुमति देता है, यह बहुत जोखिम भरा है।

सब कुछ उन्नत गणित के अध्ययन की अत्यंत सार प्रकृति की तुलना में, लुरी का काम भी बहुत सार था। और सभी को यह पसंद नहीं आया। कैंपबेल ने कहा, "बहुत से लोगों ने सोचा था कि लुरी का काम अमूर्त बकवास है, और कई लोग उसके प्यार में पड़ गए।" "इंटरमीडिएट विकल्प थे, जिनमें वे भी शामिल थे, जो उसे बिल्कुल नहीं समझते थे।"


एमिली रील

वैज्ञानिक समुदाय लगातार नए विचारों को मानता है, लेकिन आमतौर पर यह धीरे-धीरे और इस भावना के साथ होता है कि हर कोई एक ही समय में बढ़ रहा है। नए विचारों का उद्भव समुदाय के बौद्धिक तंत्र के लिए मुश्किलें पैदा करता है। कैम्पबेल ने कहा, "बहुत सारी नई चीजें तुरंत सामने आती हैं - यह एक गाय को पचाने के लिए बोआ की तरह है।" "एक विशाल जन समुदाय के माध्यम से गुजरता है।"

यदि आप गणितज्ञ हैं, जो मानते हैं कि गणित करने के लिए Lurie का दृष्टिकोण सबसे अच्छा तरीका है, तो आपका मार्ग आगे बढ़ेगा। कुछ लोगों ने लुरी के काम को पढ़ा, उन्हें संक्षिप्त रूप से पढ़ाने के लिए कोई पाठ्यपुस्तकें नहीं थीं, और आपके बियरिंग प्राप्त करने में मदद करने के लिए कोई सेमिनार नहीं किया गया था। एमआईटी में स्नातक छात्र लुरी के काम में एक साल बिताने वाले पीटर हेइन ने कहा, "महान विस्तार में यह सब अध्ययन करने का एक ही तरीका था - खुद बैठ जाना और सबकुछ करना।" - मुझे लगता है कि यह सबसे कठिन है। "यह बैठना आसान नहीं है, और अपने आप को यह पता लगाने के लिए - अर्थात्, बैठना और टॉपोस थ्योरी के 800 पृष्ठों को स्वयं पढ़ना।

कई नए आविष्कारों की तरह, उच्च टोपोस के सिद्धांत को गणितज्ञों को सक्रिय रूप से तंत्र के साथ बातचीत करने की आवश्यकता होती है, जो इसे काम करने की अनुमति देता है।यह है कि हर 16 साल के लड़के को ड्राइविंग लाइसेंस का सपना देखने के लिए पहले इंजन को कैसे छाँटना है, सीखें। हार्वर्ड के एक गणितज्ञ डेनिस गेट्सगोरी ने कहा, "अगर यह सब कुछ एक मित्र संस्करण था, तो सिद्धांत तुरंत व्यापक गणितीय हलकों तक पहुंच बन जाएगा।"

जब लोगों ने लुरी के काम को पढ़ना शुरू किया और अपने अध्ययन में अनन्तता की श्रेणियों का उपयोग किया, तो अन्य समस्याएं सामने आईं। गणितज्ञों ने अपना काम अनंत की श्रेणियों के आधार पर बनाया। पत्रिका समीक्षकों ने इन पत्रों को प्राप्त किया और पूछा: यह क्या है?

"एक ऐसी स्थिति थी जिसमें काम या तो बेतुकी समीक्षाओं के साथ पत्रिकाओं से वापस आ गया, जिसमें से समझ की पूरी कमी दिखाई दे रही थी, या उन्हें प्रकाशित करने में कई साल लग गए," बारविक ने कहा। "यह बहुत असुविधा हो सकती है, क्योंकि वर्षों से आपकी साइट पर जो अप्रकाशित काम किया गया है वह अधिक हास्यास्पद लगता है।"

हालांकि, सबसे बड़ी समस्या अप्रकाशित कार्यों की नहीं थी, बल्कि अनन्तता की श्रेणियों का उपयोग करके काम करती है, और प्रकाशित - लेकिन त्रुटियों से युक्त।

Lurie की किताबें अनंत की श्रेणियों के बारे में जानकारी का एकमात्र आधिकारिक स्रोत हैं। वे सख्त हैं, लेकिन उन्हें पूरी तरह से समझना मुश्किल है। और वे विशेष रूप से निर्देशों की भूमिका के लिए खराब रूप से अनुकूल हैं जिन्हें संदर्भित किया जा सकता है - कुछ प्रमेयों की खोज करना मुश्किल है, या यह सत्यापित करना है कि किसी व्यक्ति के काम में आई अनंत की श्रेणियों का एक निश्चित अनुप्रयोग वास्तव में काम करता है।

"इस क्षेत्र में काम करने वाले अधिकांश गणितज्ञों ने ल्यूर को व्यवस्थित रूप से नहीं पढ़ा," आंद्रे जोयल ने कहा, मॉन्ट्रियल में क्यूबेक विश्वविद्यालय से एक गणितज्ञ, जिसका शुरुआती काम लुरी की पुस्तकों में एक महत्वपूर्ण घटक था। “इसमें बहुत समय और ऊर्जा लगती है, इसलिए हम बस यह मान लेते हैं कि उनकी किताबों में जो कुछ लिखा गया है वह सच है - क्योंकि लगभग हर बार जब हम किसी चीज़ की जाँच करते हैं, तो यह सच हो जाता है। वास्तव में, हर बार। ”

Lurie की किताबों की दुर्गमता ने कुछ अध्ययनों में अशुद्धि का नेतृत्व किया। Lurie की पुस्तकों को पढ़ना, कठिन से कठिन उद्धरण, और अन्य लोगों के काम का परीक्षण करने के लिए उपयोग करना कठिन है।

"इन्फिनिटी की श्रेणियों के विषय पर सामान्य साहित्य गड़बड़ लगता है," ज़खरेविच ने कहा।

अपनी सभी औपचारिकता के बावजूद, गणित एक पवित्र पाठ नहीं होना चाहिए जो केवल पुजारी पढ़ सकते हैं। इस क्षेत्र में न केवल मोटे संस्करणों की आवश्यकता होती है, बल्कि बुकलेट भी, न केवल प्रारंभिक खुलासे, बल्कि उनके विवरणों की व्याख्या भी। इस बीच, अनंत श्रेणियों का सिद्धांत मौजूद है, अधिकांश भाग के लिए, एक शेल्फ पर कई बड़ी पुस्तकों के रूप में।

"आप दृष्टिकोण ले सकते हैं। 'जैकब आपको बताएंगे कि क्या करना है, और सब कुछ क्रम में है," रेजक ने कहा। "या आप यह तय कर सकते हैं कि 'हम अपने विषय को अच्छी तरह से प्रस्तुत करना नहीं जानते हैं ताकि लोग इसका उपयोग कर सकें।"

हालांकि, कुछ गणितज्ञ इस चुनौती को स्वीकार करने और अनंत की श्रेणी को एक ऐसी तकनीक बनाने में सक्षम थे जो उनके अध्ययन के क्षेत्र के अधिक लोग उपयोग कर सकते थे।

उपयोगकर्ता के अनुकूल सिद्धांत

वास्तविक गणितीय कार्यों में सक्षम वस्तु में शिशुओं की श्रेणियों का अनुवाद करने के लिए, लुरी को उनसे जुड़े प्रमेयों को साबित करना था। और इसके लिए, उसे एक परिदृश्य चुनना था, जिस पर यह साक्ष्य बनाया जाए - ठीक उसी तरह जैसे कि एक व्यक्ति जो ज्यामिति में लगा हुआ है, काम के लिए एक समन्वय प्रणाली चुनना आवश्यक है। गणितज्ञ इस मॉडल के चयन को कहते हैं।

Lurie ने quasicategories के मॉडल पर शिशुओं की श्रेणियों का विकास किया। उसके पहले अन्य गणितज्ञों ने अन्य मॉडलों पर शिशुओं की श्रेणियों को विकसित किया था। और यद्यपि उनका कार्य लूरी के समान व्यापक नहीं था, लेकिन कुछ स्थितियों में उनसे निपटना आसान है। "जैकब ने एक मॉडल चुना और जाँच की कि इसमें सब कुछ काम करता है, लेकिन अक्सर यह सबसे आसान नहीं है," ज़खारेविच ने कहा।

ज्यामिति में, गणितज्ञ स्पष्ट रूप से समझते हैं कि विभिन्न समन्वय प्रणालियों के बीच कैसे बढ़ना है। उन्होंने यह भी साबित किया कि कुछ परिस्थितियों में प्रमेय दूसरों में काम करते हैं।

अनंत श्रेणियों के लिए, ऐसी गारंटी मौजूद नहीं है। हालांकि, जब गणितज्ञ शिशुओं की श्रेणियों का उपयोग करके काम लिखते हैं, तो वे अक्सर परिणामों के पोर्टेबिलिटी का सुझाव (लेकिन साबित नहीं) का सुझाव देते हुए आसानी से मॉडल के बीच स्विच करते हैं। "लोगों ने निर्दिष्ट नहीं किया कि वे क्या कर रहे हैं, वे इन सभी विभिन्न मॉडलों के बीच स्विच करते हैं, और वे कहते हैं: आह, यह एक ही बात है," हाइन ने कहा। "लेकिन यह सबूत नहीं है।"

पिछले छह वर्षों में, गणितज्ञों के एक जोड़े ने इन गारंटियों को प्राप्त करने की कोशिश की है। राइल और डोमिनिक वेरिटीऑस्ट्रेलिया में मैकयूरा विश्वविद्यालय से, अपने मॉडल का उपयोग करके पिछले प्लेटफार्मों में दिखाई देने वाली कठिनाइयों पर काबू पाने के लिए, अनन्तता की श्रेणियों का वर्णन करने का एक तरीका विकसित किया। बारविक और अन्य के पिछले कामों के आधार पर, उनके काम ने साबित कर दिया कि थ्योरी ऑफ़ हायर टॉपोस के कई सिद्धांत उपयोग किए गए मॉडल की परवाह किए बिना सही हैं। और वे इस अनुकूलता को एक उपयुक्त तरीके से साबित करते हैं: "हम अनंत की श्रेणियों का अध्ययन करते हैं, जिनमें से वस्तुएं स्वयं अनंत की श्रेणियाँ हैं," रिल ने कहा। "श्रेणी सिद्धांत इसकी पूंछ काटता है।"

रिल और वेरिटी को अभी तक एक और तरीके से शिशुओं की श्रेणियों के सिद्धांत को विकसित करने की उम्मीद है। वे सिद्धांत के पहलुओं को चुनते हैं जो मॉडल की परवाह किए बिना काम करते हैं। इस तरह की एक प्रस्तुति, जो मॉडल से स्वतंत्र है, में तत्काल प्रयोज्यता का एक सुविधाजनक गुण है, जो उन्हें उम्मीद है, गणितज्ञों को अनुसंधान के इस क्षेत्र में आकर्षित करेगा जो केवल इनपुट के उच्चतर थ्योरी सिद्धांत होने पर इससे दूर रहे।

हॉपकिंस ने कहा, "इस दुनिया में जाने के लिए, आपको खंदक पर काबू पाने की जरूरत है।" "और वे पुल को कम करते हैं।"

अगले साल काम खत्म करने के लिए रीएल और वेरिटी योजना। इस बीच, Lurie ने हाल ही में Kerodon प्रोजेक्ट पर काम शुरू किया ।, जिसे उन्होंने विकिपीडिया के समान सर्वोच्च श्रेणी के सिद्धांत पर एक तरह की संदर्भ पुस्तक में बदलने की योजना बनाई। टॉपोस थ्योरी के तेरह साल बाद समतुल्यता के गणित को औपचारिक रूप दिया गया, इन पहलों ने इन विचारों को परिष्कृत करने और प्रसार करने की कोशिश की - ताकि समतुल्यता के गणित को और अधिक सुलभ बनाया जा सके।

"जीनियस की गणित के विकास में एक महत्वपूर्ण भूमिका है, लेकिन ज्ञान ही पूरे समुदाय के काम का परिणाम है," झोनल ने कहा। "ज्ञान का वास्तविक लक्ष्य पूरे समुदाय का ज्ञान होना है, न कि एक या दो लोगों से संबंधित होना।"