गणितज्ञ समीकरणों के कुछ हिस्सों की तलाश में आकृतियों को काटते हैं

"समान संरेखण" की समस्या पर एक नया काम बताता है कि जब एक आकृति को काटने और दूसरे से इसे इकट्ठा करना संभव है

यदि आपके पास कागज और कैंची के दो फ्लैट टुकड़े हैं, तो क्या आप एक टुकड़े को काट सकते हैं और दूसरे को प्राप्त करने के लिए टुकड़ों को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं? यदि आप कर सकते हैं, तो ये दो आंकड़े "कैंची बधाई" [ बराबर ] हैं।

हालांकि, गणितज्ञ इस बात में रुचि रखते हैं कि क्या कैंची का उपयोग किए बिना आंकड़ों में इस तरह के संबंध का पता लगाना संभव है? दूसरे शब्दों में, क्या इन आंकड़ों में ऐसी विशेषताएं हैं जिन्हें पहले से मापा जा सकता है और यह निर्धारित किया जा सकता है कि क्या वे अनुरूप हैं?

द्वि-आयामी आंकड़ों के लिए, उत्तर सरल है। आपको बस उनके क्षेत्र को मापने की आवश्यकता है; यदि वे मेल खाते हैं, तो आंकड़े कैंची बधाई हैं।

लेकिन उच्च आयामों में आंकड़ों के लिए - उदाहरण के लिए, तीन-आयामी गेंद या एक ग्यारह-आयामी डोनट के लिए जो कल्पना करना असंभव है - एक अलग रूप में काटने और पुन: संयोजन करने का प्रश्न बहुत अधिक जटिल हो जाता है। और सदियों के प्रयास के बावजूद, गणितज्ञ उन विशेषताओं को निर्धारित नहीं कर सके जो उच्च आयाम के अधिकांश आंकड़ों के लिए समान संरचना की पुष्टि करते हैं।

हालांकि, इस गिरावट, दो गणितज्ञों ने कई दशकों में इस समस्या को हल करने में सबसे महत्वपूर्ण सफलता हासिल की। 6 अक्टूबर को शिकागो विश्वविद्यालय में प्रस्तुत एक पेपर में, ड्यूक विश्वविद्यालय के जोनाथन कैंपबेल और कॉर्नेल विश्वविद्यालय के इन्ना ज़खरेविच ने किसी भी आयाम के आकार के लिए कैंची की बधाई साबित करने की दिशा में एक महत्वपूर्ण कदम उठाया।

लेकिन केवल इतना ही नहीं। सबसे महत्वपूर्ण गणित की समस्याओं की तरह, समभाव एक खरगोश छेद है: एक विनम्र बयान जो गणितज्ञों को जटिल गणित के गहरे छेद में खींचता है। कैंची की समझ को समझने की कोशिश में, कैंपबेल और ज़खेरेविच ने इस विज्ञान के पूरी तरह से अलग क्षेत्र के बारे में बात करने का एक नया तरीका दिखाया है: बीजीय समीकरण।

पहला कट

समान संरेखण एक साधारण कार्य की तरह लग सकता है। 2000 से अधिक साल पहले, यूक्लिड ने महसूस किया कि एक ही क्षेत्र के दो दो आयामी आंकड़े एक से दूसरे में पुन: व्यवस्थित किए जा सकते हैं। यह मान लेना उचित है कि समान मात्रा के उच्च आयामों के आंकड़ों को इसी तरह से फिर से बनाया जा सकता है।

लेकिन 1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने सुझाव दिया कि यह कार्य वास्तव में इतना सरल नहीं है।

उस वर्ष, पेरिस में अंतर्राष्ट्रीय गणितीय कांग्रेस में बोलते हुए, उन्होंने 23 खुली समस्याओं की पहचान की, जो उनकी राय में, आने वाली शताब्दी में गणितीय विचार का मार्गदर्शन करेंगे। उनमें से तीसरी कैंची कैंची [समान पॉलीहेड्रोन की समान रचना] से संबंधित थी। हिल्बर्ट ने सुझाव दिया कि एक ही खंड के सभी तीन आयामी आंकड़े बधाई नहीं हैं - और यह साबित करने वाले आंकड़ों की एक जोड़ी खोजने का प्रस्ताव करके गणितज्ञों को चुनौती दी।

भाषण के एक साल बाद, हिल्बर्ट के छात्र, मैक्स डान ने बस यही किया। ऐसा शब्द गणितज्ञों को संदिग्ध लगा। "कुछ लोगों का मानना ​​है कि हिल्बर्ट ने इस कार्य को सूची में केवल इसलिए शामिल किया क्योंकि उसके छात्र ने पहले ही इसे हल कर लिया था," ज़खारेविच ने कहा।

यह एक साजिश थी या नहीं, डैन के परिणाम ने गणितज्ञों को समान प्रतिनिधित्व के विचार को उल्टा कर दिया। उन्होंने साबित कर दिया कि एकल खंड का टेट्राहेड्रोन समान मात्रा के घन के बराबर नहीं है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप पहले को कैसे काटते हैं, आप कभी भी दूसरे से टुकड़ों को इकट्ठा नहीं कर सकते।

यह प्रदर्शित करने के अलावा कि आयतन समानता समान रचना का निर्धारण करने के लिए पर्याप्त नहीं है, डेन ने आकृतियों को मापने का एक नया तरीका प्रस्तावित किया। उन्होंने साबित किया कि किसी भी तीन आयामी आंकड़े, एक-दूसरे के बराबर, एक ही मात्रा होनी चाहिए, और एक नई सीमा तक मेल खाते हैं।

डैन ने तीन आयामी आकृति के दो चेहरों के बीच आंतरिक कोनों पर ध्यान केंद्रित किया। उदाहरण के लिए, एक घन के अंदर, सभी चेहरे समकोण पर मिलते हैं। लेकिन अधिक जटिल रूपों में, कोण अलग होते हैं और अलग महत्व रखते हैं। लंबे किनारों के बीच के कोण छोटे किनारों के बीच के कोणों की तुलना में आकृति के आकार को अधिक प्रभावित करते हैं, इसलिए डेन ने किनारों को लंबाई के आधार पर सौंपा जो कि उन्हें बनाते हैं। उन्होंने इस जानकारी को एक जटिल सूत्र में जोड़ा, जो एक दिए गए आंकड़े के लिए - "डेन इन्वारिएंट" - एक एकल संख्या प्राप्त करता है।


गणितज्ञ जानना चाहते हैं कि एक आकृति को कब काटा जा सकता है और उसमें से दूसरे को इकट्ठा किया जा सकता है।
दो आयामी आंकड़े समान रूप से फैलाए जाते हैं यदि उनके समान क्षेत्र हो।
यदि उनके पास समान आयतन और Dehn व्युत्क्रम है, तो त्रि-आयामी आंकड़े समान रूप से रचे गए हैं।
क्यूब और टेट्राहेड्रॉन समान रूप से निर्मित नहीं हैं - उनके पास एक ही वॉल्यूम है, लेकिन अलग-अलग डेन इन्वर्टर।
आकृतियों को टुकड़ों में काटा जा सकता है, और समीकरणों के ग्राफ़ को सबग्राफ में काटा जा सकता है। गणितज्ञों को Dehn अपरिवर्तनीय के एक एनालॉग की तलाश है, जो दर्शाता है कि दो समीकरणों में समान टुकड़े होते हैं।

देंग ने साबित कर दिया कि किसी भी त्रि-आयामी आंकड़े एक-दूसरे के समतुल्य होने के कारण समान मात्रा और डेंग अपरिवर्तनीय होना चाहिए। लेकिन वह एक अधिक जटिल प्रश्न का उत्तर नहीं दे सका: यदि तीन-आयामी आंकड़ों में समान मात्रा और डान अक्रियाकार है, तो क्या इसका मतलब यह है कि वे आवश्यक रूप से समान हैं? जीन-पियरे सिडलर ने अंततः 1965 में यह साबित कर दिया। तीन साल बाद, ब्योर्ग जेसेन ने दिखाया कि ये दो ही विशेषताएं चार आयामों में समतामूलकता को निर्धारित करती हैं।

सिडलर और जेसन के परिणाम गंभीर कदम आगे थे, लेकिन गणितज्ञ एक लालची लोग हैं: क्या सभी आयामों में आंकड़ों की समान संरचना को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त मात्रा और डैन के आक्रमणकारी हैं? क्या ये माप यूक्लिडियन के अलावा ज्यामितीय स्थानों में पर्याप्त हैं - गोलाकार ज्यामिति में (पृथ्वी की सतह पर अक्षांश और देशांतर की कल्पना करें) या हाइपरबोलिक ज्यामिति के काठी के आकार का ब्रह्मांड?

20 वीं शताब्दी के अंत में, गणितज्ञ अलेक्जेंडर बोरिसोविच गोंचारोव ने एक दृष्टिकोण प्रस्तावित किया, जो उनकी राय में, पूरी समस्या को एक बार और सभी के लिए हल कर सकता है - और एक ही समय में गणित के पूरी तरह से अलग क्षेत्र के साथ समानता से संबंधित है।

अजीब कनेक्शन

गणित अप्रत्याशित कनेक्शन से भरा है। ज़खरेविच का कहना है कि गणित करना कुछ अजीबोगरीब चीज़ों पर ठोकर खाने जैसा है और यह समझने की कोशिश करना कि यह क्यों है।

“यदि आप एक जंगल में मशरूम की एक अंगूठी से मिलते हैं और यह नहीं जानते कि मशरूम कैसे उगते हैं, तो आप सोचते हैं कि वे कैसे जानते हैं कि वे कैसे विकसित होते हैं? उसने कहा। "कारण यह है कि मशरूम में भूमिगत रूप से एक माइसेलियम होता है।"

1996 में, गोंचारोव ने एक गणितीय संरचना के अस्तित्व का सुझाव देने वाली परिकल्पनाओं का एक समूह तैयार किया, जो सतह के नीचे भी छिपी हुई थी। यदि यह संरचना मौजूद है, तो यह व्याख्या करने में सक्षम होगा कि कुछ गणितीय घटनाएं - समान संरचना सहित - इस तरह से काम करती हैं।

एक परिकल्पना में कहा गया है कि किसी भी आयाम और किसी भी स्थान के आंकड़ों की समान संरचना को निर्धारित करने के लिए आकृति और उसके डान इनवेरिएंट की मात्रा पर्याप्त है।

"गोचार्रोव ने कहा कि तीन सिद्धांतों में लागू होने वाले समान सिद्धांत सभी पर लागू होते हैं," रटगर्स विश्वविद्यालय के चार्ल्स वेइबल ने कहा।

लेकिन अब येल में कार्यरत गोंचारोव ने भी भविष्यवाणी की कि यह छिपी हुई संरचना इससे कहीं अधिक व्याख्या करेगी। उन्होंने कहा कि समान संरेखण एक अधिक सार्वभौमिक अवधारणा है, और यह न केवल ज्यामितीय आकृतियों को काटने के लिए लागू होता है, बल्कि बीजगणितीय समीकरणों के समाधान द्वारा उत्पन्न आकृतियों को काटने के लिए भी लागू होता है - उदाहरण के लिए, समीकरण x ² + y ² + ^{2 2} = 1. का ग्राफ और समान संरचना द्वारा वर्गीकृत करने के लिए आवश्यक जानकारी, बीजीय समीकरणों को वर्गीकृत करने के लिए आवश्यक जानकारी को दर्शाती है - जैसे कि समान वर्ग के समीकरण समान टुकड़ों से बने होते हैं।

यह कनेक्शन चौंकाने वाला था, जैसे कि जानवरों को व्यवस्थित करने के लिए उपयुक्त एक सिद्धांत किसी तरह आपको रासायनिक तत्वों को व्यवस्थित करने की अनुमति देगा। कई गणितज्ञों को यह विचार उतना ही अजीब लगता है जितना पहली नज़र में लगता है।

“यह पूरी तरह से रहस्यमय है। पहली नज़र में, इन चीजों को बिल्कुल भी नहीं जोड़ा जाना चाहिए, ”कैम्पबेल ने कहा।

स्लाइसिंग समीकरण

यह समझने के लिए कि ज्यामितीय आकार और बीजगणितीय समीकरण कैसे समान हो सकते हैं, यह समझना सबसे पहले उपयोगी होगा कि समीकरणों के समाधान को भागों में कैसे विभाजित किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, चलिए अपने पिछले उदाहरण पर वापस जाते हैं और समीकरण x ² + y ² + z ² = 1 का ग्राफ खींचते हैं।

यह एक गोला होगा। हालांकि, यह सतह न केवल इस समीकरण के समाधान का एक संग्रह है: यह अन्य समीकरणों के समाधान के कई छोटे रेखांकन, या सबग्राफ का भी संग्रह है। उदाहरण के लिए, एक गोले की सतह पर, आप पृथ्वी के भूमध्य रेखा के तरीके से एक वृत्त खींच सकते हैं। यह बीजगणितीय समीकरण x ² + y ² = 1. के सबग्राफ का प्रतिनिधित्व करने वाला एक है, या आप समीकरण z = 1 के गोले के उत्तरी ध्रुव पर एक बिंदु को अलग कर सकते हैं। 1. एक बड़े ग्राफ के भीतर खींचे जा सकने वाले विभिन्न उपसमूहों का अध्ययन करके - इसके घटक भागों की तरह कुछ - आप एक बड़े चार्ट के कुछ गुणों का पता लगा सकते हैं।

50 से अधिक वर्षों के लिए, गणितज्ञों ने बीजीय समीकरणों के उपग्रहों के सिद्धांत को विकसित किया है। जैसे साधारण पदार्थ में परमाणु होते हैं, वैसे ही गणितज्ञों के अनुसार, बीजीय समीकरणों में "मोटिव" नामक मूलभूत भाग होते हैं। यह शब्द फ्रांसीसी शब्द रूपांकना से आया है, जो माधुर्य के मूल तत्वों को दर्शाता है।


कार्नेल यूनिवर्सिटी से इन्ना ज़खरेविच

“उद्देश्य मौलिक घटक हैं। वे हर उस चीज के बारे में बात करेंगे जो बीजगणितीय समीकरणों में मेलोडी की तरह होती है, जिसमें विभिन्न घटक होते हैं, ”ज़खरेविच ने कहा। एक क्षेत्र, उदाहरण के लिए, मंडलियों, बिंदुओं और विमानों के होते हैं। उनमें से प्रत्येक में घटक होते हैं (उन पर गणितीय क्रियाओं के परिणामस्वरूप प्रकट होता है), और इसी तरह, निम्न और निम्न तब तक, जब तक हम उद्देश्यों पर नहीं आते हैं, बीजीय समीकरणों की कथित नींव।

गणितज्ञों को सबसे महत्वपूर्ण गणितीय वस्तुओं से संबंधित समीकरणों का एक पूर्ण और व्यवस्थित चित्र प्राप्त करने के लिए उनके उद्देश्यों के अनुसार बीजीय समीकरणों को वर्गीकृत करने की आवश्यकता है। यह एक मुश्किल और अधूरा काम है। लेकिन 1996 में, गोंचारोव ने सुझाव दिया कि समान रचना के आधार पर छँटाई के आंकड़े और मकसद से बीजीय समीकरणों को छाँटना एक कार्य के दो पक्ष हैं - अर्थात्, एक का वर्गीकरण आपको एक सिद्धांत देगा जिसके द्वारा दूसरे को वर्गीकृत किया जा सकता है।

उन्होंने सुझाव दिया कि यह कनेक्शन देहान आक्रमणकारी के एनालॉग पर आधारित है। केवल सबसे सरल ज्यामितीय गणना से प्रदर्शित होने के बजाय, यह एनालॉग बीजीय समीकरणों ("मकसद प्रतिरूप ") के उद्देश्यों की एक समान गणना से उत्पन्न होना चाहिए।

"विचार यह है कि डैन इनवेरिएंट समस्या उद्देश्यों से संबंधित एक अन्य समस्या के समानांतर है," वीबेल ने कहा।

लेकिन इस तरह के संबंध की खोज करने के लिए, गणितज्ञों को पहले यह साबित करने की जरूरत है कि देहान आक्रमणकारी समान समूहों द्वारा आंकड़ों को क्रमबद्ध करता है। डेन ने खुद दिखाया कि किसी भी समतुल्य त्रि-आयामी आंकड़ों में समान मात्राएँ और डेन अपरिवर्तनीय हैं। हालांकि, डेन, और उसके बाद बाकी सभी ने इस संभावना का खंडन नहीं किया कि एक ही वॉल्यूम के उच्च आयामों के समान आंकड़े हैं और एक ही डैन इनवेरिएंट के साथ, जो समान रूप से समान नहीं हैं। अपने नए काम में, कैंपबेल और ज़खरेविच ने इस अवसर को स्थायी रूप से बंद करने की कोशिश की।

एक की कीमत के लिए दो

जून 2018 में, कैम्पबेल और ज़खरेविच ने प्रिंसटन, न्यू जर्सी में उन्नत अनुसंधान संस्थान में तीन सप्ताह तक एक साथ काम किया। वे लंबे समय से समान उपचार में रुचि रखते थे, लेकिन ज़खरेविच का मानना ​​था कि गोंचारोव की परिकल्पना को इतने कम समय में निपटाया जाना बहुत जटिल था। लेकिन कैंपबेल अभी भी कोशिश करना चाहता था, और ज़खरेविच को लंबे समय तक मनाने की ज़रूरत नहीं थी।

"जोनाथन ने कहा:" हमारे पास तीन सप्ताह हैं, चलो इसे देखने की कोशिश करें और देखें कि क्या हुआ, पहले के अंत तक, "ज़खेरविच ने कहा। दो हफ्ते बाद, उन्होंने कई महत्वपूर्ण विचारों को विकसित किया जो उनके नए काम को रेखांकित करते हैं।

कार्य में, वे एक प्रतिवादी विचार प्रयोग करते हैं। इसे समझने के लिए, कल्पना करें कि आपके पास कई कमरों वाला एक होटल है। आपको एक ही कमरे में एक दूसरे के साथ सभी समान आंकड़े व्यवस्थित करने की आवश्यकता है। हम नहीं जानते कि यह कैसे निर्धारित किया जाए कि आंकड़े समान रूप से दूरी पर हैं - यह समस्या की जड़ है। हालांकि, हमारे विचार प्रयोग के लिए, आइए कल्पना करें कि यह संभव है। या, जैसा कि ज़खरेविच कहता है, "हम दिखावा करेंगे कि एक निश्चित सर्वज्ञ व्यक्ति है जो जानता है कि दो आंकड़े समान हैं या नहीं।"

कमरों द्वारा आंकड़ों को क्रमबद्ध करने के बाद, हम यह सत्यापित करते हैं कि एक ही कमरे के सभी आंकड़ों में समान आयतन और समान डेन अपरिवर्तनीय है। यह सत्यापित करना भी महत्वपूर्ण है कि एक ही वॉल्यूम के सभी आंकड़े और एक ही डेन इनवेरिएंट सही कमरे में थे - जो आंकड़े सामूहिक से गिर गए थे, होटल के बार में नहीं घूम रहे थे। एक विचार प्रयोग का लक्ष्य समान आयतन वाले समूहों और समान आयतन वाले समूहों के बीच एक आदर्श, एक-से-एक पत्राचार के अस्तित्व को साबित करना है और एक ही डैन इनवेरिएंट है। इस तरह के पत्राचार का अस्तित्व यह साबित करेगा कि आंकड़ों की समान संरचना निर्धारित करने के लिए केवल वॉल्यूम और डैन इनवेरिएंट वास्तव में आपके लिए पर्याप्त होगा।

गोंचारोव ने इस तरह के पत्राचार के अस्तित्व की भविष्यवाणी की, और कैम्पबेल और ज़खरेविच ने अपनी उपस्थिति साबित की - एक शर्त के तहत। पत्राचार मौजूद है अगर बीलिन्सन परिकल्पना से संबंधित एक और अप्रमाणित परिणाम सत्य है।

गोंचारोव की दो परिकल्पनाएँ - आयतन और देहान आव्यूह के साथ समान आकृतियों का वर्गीकरण, साथ ही साथ देह अनारीय के एनालॉग द्वारा बीजीय समीकरणों का वर्गीकरण - पूरी तरह से कैंपबेल और ज़खरेविच द्वारा सिद्ध नहीं किया गया है। हालांकि, उनका काम फिर भी गणितज्ञों को यह स्पष्ट करने के लिए प्रदान करता है कि उन सभी को कैसे साबित किया जाए: यदि आप बेइलिन्सन की परिकल्पना को साबित कर सकते हैं, तो कैंपबेल और ज़खरेविच के काम के लिए धन्यवाद, आप भी स्वतंत्रता प्राप्त करेंगे।

"उनका काम वास्तव में इस कार्य को पुनर्विचार करता है," वेइबल ने कहा। "जब आप दो परिकल्पनाओं को इस तरह से जोड़ते हैं, तो यह अध्ययन की जा रही वस्तु की संरचना पर प्रकाश डालती है।"

कैंपबेल और ज़खारेविच अब शिकागो विश्वविद्यालय के एक अन्य गणितज्ञ, डेनियल रुडेंको के साथ काम कर रहे हैं, जो गोंचारोव द्वारा प्रस्तावित समीकरणों के कुछ हिस्सों में आंकड़ों के विश्लेषण और विश्लेषण के बीच संबंधों को निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं। रुडेंको ने पहले ही इस दिशा में कुछ प्रगति कर ली थी। अब, कैम्पबेल और ज़खरेविच के साथ मिलकर, वह बहुत आगे बढ़ने की उम्मीद करता है।

"मुझे लगता है कि हमारे पास महत्वपूर्ण प्रगति हासिल करने का हर मौका है। शायद इस तरह यह गोंचारोव की परिकल्पना को साबित करने के लिए भी बदल गया है, ”रुडेंको ने कहा।