गणितज्ञ "टैग" के उदाहरण का उपयोग करके गणना करते हैं कि यादृच्छिकता कैसे होती है

"टैग" पहेली का काम गिने हुए टाइल्स की व्यवस्था करना है। आज, गणितज्ञों ने उलटा समस्या हल कर दी है - पहेली को कैसे मिलाया जाए।

आपने शायद टैग खेला है। यह एक निराशाजनक लेकिन नशे की लत खेल है जिसमें 15 टाइलें और एक खाली स्थान होता है, जिसे 4 में 4 ग्रिड द्वारा व्यवस्थित किया जाता है। कार्य टाइल्स को स्थानांतरित करना और उन्हें संख्याओं के आरोही क्रम में व्यवस्थित करना है या, कुछ संस्करणों में, उनसे एक छवि को इकट्ठा करना है।

1870 के दशक में इसकी उपस्थिति के बाद, इसने खेलों के मानक सेट में प्रवेश किया। इसके अलावा, इसने गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया जिन्होंने एक सदी से अधिक समय तक विभिन्न आकारों और प्रारंभिक विन्यासों की पहेलियों का अध्ययन किया है।

आज "15 पर खेल" के लिए एक समाधान के नए सबूत हैं , लेकिन रिवर्स ऑर्डर में। गणितज्ञों यूं चू और स्टोनी ब्रुक विश्वविद्यालय के रॉबर्ट होवे ने क्रमबद्ध फ़ील्ड को यादृच्छिक रूप में बदलने के लिए आवश्यक चालों की संख्या निर्धारित की।

1988 में पर्सी डीकॉन्से द्वारा यादृच्छिककरण के साथ "टैग" समस्या का एक संस्करण प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने सुझाव दिया कि किसी भी आकार की यादृच्छिक पहेली को लगभग n ³ चालों की आवश्यकता होती है। यही है, 4 बाय 4 फील्ड के लिए, 4 ³ या 64 चालों की आवश्यकता होगी, और 10 के लिए 10 फ़ील्ड, 10 ³ , या 1,000 चालों के लिए। (हालांकि उन्हें अभी भी "पंद्रह" के रूप में संदर्भित किया जाता है, खेतों में किसी भी स्थान की संख्या हो सकती है जो सही वर्ग बनाते हैं।)

स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, डीकॉन्से, ने सुझाव दिया कि "15-गेम" समस्या का उनका संस्करण इसी तरह के यादृच्छिककरण मुद्दों के एक बड़े वर्ग का प्रतिनिधि है। इनमें से कई कार्य प्रकृति की मूलभूत विशेषताओं से जुड़े हुए हैं, उदाहरण के लिए, डीएनए के आधार जोड़े के स्थानों के परिवर्तन के साथ, जो एक आनुवंशिक उत्परिवर्तन का कारण बनता है, और कैसे अणु एक दूसरे से अलग हो जाते हैं और विकारग्रस्त हो जाते हैं - यह तब होता है जब बर्फ पिघल जाती है।

डिकेंस ने आशा व्यक्त की कि "स्पॉट" के उलझाव की समस्या को समझने के बाद, हम यह समझने में सक्षम होंगे कि कैसे एक पूरे मिश्रित राज्य में सिस्टम को पूरी तरह से बदल दिया जाए।

"टैग" जैसी स्थितियों में यादृच्छिकता एक समय में एक कदम विकसित करती है। ऊपरी दाएं और निचले स्थान में खाली जगह में एक इकाई के साथ, एक पूरी तरह से ऑर्डर किए गए क्षेत्र की कल्पना करें। हम टाइल्स को स्थानांतरित करते हैं ताकि खाली स्थान चार संभावित दिशाओं में से किसी एक में एक वर्ग को स्थानांतरित करे: ऊपर, नीचे, बाएं या दाएं। (गणितीय लालित्य के लिए, चू और होवे ने एक क्षेत्र पर विचार किया, जिसके किनारे एक दूसरे से एक अंगूठी में जुड़े हुए हैं, इसलिए टाइल कोनों में कभी नहीं अटकते हैं।) आइए एक यादृच्छिक विकल्प बनाते हैं। अब फ़ील्ड एक नए कॉन्फ़िगरेशन में है - एक ऑर्डर में काफी नहीं, लेकिन उससे दूर नहीं। इस प्रक्रिया को दोहराएं। यदि आप खाली वर्ग को स्थानांतरित करना जारी रखते हैं, तो क्षेत्र मूल रूप से आदेशित स्थान से तेजी से दूर हो जाएगा।

इस प्रक्रिया की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि प्रत्येक चरण में बाद के क्षेत्र विन्यास केवल वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है। यह मोनोपॉली में एक खेल की याद दिलाता है: पार्क प्लेस से बोर्डवॉक तक पासा फेंकने और दो वर्गों को स्थानांतरित करने की संभावना उन रोल पर निर्भर नहीं करती है जो हमें पार्क प्लेस पिंजरे तक ले गए थे।

पंद्रह ढोंगी धीरे-धीरे विकार की ओर रेंगते हैं, एक समय में एक कदम। कई अन्य प्रणालियां, जैसे कि पिघलती बर्फ, उसी तरह यादृच्छिक होती हैं। गणितज्ञ इस घटना का अध्ययन "मार्कोव श्रृंखला" नामक मॉडल का उपयोग करते हुए करते हैं। मार्कोव श्रृंखला किसी भी यादृच्छिककरण प्रक्रिया का अध्ययन करने का एक औपचारिक तरीका है जिसमें बाद के सिस्टम कॉन्फ़िगरेशन केवल वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन पर निर्भर करता है। वे मौका की गणितीय समझ के मामले में सबसे आगे हैं।

गणितज्ञ युवल पेरेज़ कहते हैं, "मार्कोव की श्रृंखलाएं सुनहरे अर्थ में हैं - एक तरफ, हम अभी भी उनका विश्लेषण कर सकते हैं, दूसरी ओर, वे कई घटनाओं का वर्णन करते हैं, जो हमें रुचि देती हैं।"

अपने नए काम में, चू और होवे ने मार्कोव श्रृंखला के साथ "टैग" के यादृच्छिककरण के साथ काम किया। विशेष रूप से, उन्होंने मार्कोव श्रृंखला के "संक्रमण मैट्रिक्स" नामक संख्या का एक सेट माना। संक्रमण मैट्रिक्स संख्याओं का एक व्यापक सेट है जो इस संभावना को निर्धारित करता है कि "15 पर एक गेम" एक कॉन्फ़िगरेशन से दूसरे में स्थानांतरित हो जाएगा यदि हम खाली स्थान को यादृच्छिक रूप से स्थानांतरित करने का निर्णय लेते हैं।

संक्रमण मैट्रिक्स को समझना एक आदेशित क्षेत्र को यादृच्छिक या फेरबदल करने के लिए आवश्यक चालों की संख्या की गणना करने की कुंजी है। विशेष रूप से, चू और होउ ने संख्याओं के सेट को परिभाषित करने पर ध्यान केंद्रित किया जो कि संक्रमण मैट्रिक्स को चिह्नित करते हैं - संख्याएं जिन्हें "आइगेनवेल्यूज़" कहा जाता है।

होवे कहते हैं, "आइजनवेल्स के बारे में पर्याप्त जानकारी एकत्र करके, हम बहुत सटीक मिश्रण जानकारी प्राप्त कर सकते हैं।"

"स्पॉट" के लिए ट्रांस्फ़ॉर्म मैट्रिक्स में बड़ी मात्रा में जानकारी होती है, जो विभिन्न कॉन्फ़िगरेशनों के खरबों को दर्शाती है जो 4 फ़ील्ड द्वारा एक छोटा 4 भी बना सकती है। यह गणितज्ञों की तुलना में अधिक जानकारी है जो सीधे प्रक्रिया कर सकती है। इसलिए, यादृच्छिककरण के लिए फील्ड पथ के प्रत्येक चरण पर संक्रमण मैट्रिक्स का विश्लेषण करने के बजाय, चू और होवे ने पाया कि पूरे यात्रा के दौरान पूरे संक्रमण मैट्रिक्स के औसत व्यवहार को कैसे चित्रित किया जाए।

उनका दृष्टिकोण इस बात से मिलता-जुलता है कि आप कैसे पता लगा सकते हैं कि हम 1000 डाइस रोल के बाद मोनोपॉली फील्ड पर समाप्त होने की सबसे अधिक संभावना है: आप वास्तव में कई बार पासा रोल कर सकते हैं, या बस कई रोल का औसत निकाल सकते हैं और उन्हें एक्सट्रपलेट कर सकते हैं।

इस तकनीक का उपयोग करके, चू और होवे ने संक्रमण मैट्रिक्स के आइगेनवेल्यूज़ की गणना की, जिसने उन्हें बताया कि "स्पॉट" को यादृच्छिक बनाने के लिए कितने चालों की आवश्यकता है। उन्होंने यादृच्छिकता की दो अलग-अलग परिभाषाओं के आधार पर दो उत्तर भी प्राप्त किए।

पहले, उन्होंने एक यादृच्छिक क्षेत्र पर विचार किया, जिस पर समान संभावना वाले प्रत्येक टाइल क्षेत्र के किसी भी वर्ग में हो सकते हैं। इस परिभाषा के साथ, उन्होंने पाया कि एक क्षेत्र n से n को यादृच्छिक बनाने के लिए , n ⁴ चालों की आवश्यकता होगी (यानी एक फ़ील्ड 4 के लिए 256 चरणों और 4 से 10,000 चरणों के लिए 10 फ़ील्ड 10 तक)। यह डायकोनिस की भविष्यवाणी की तुलना में अधिक है (जैसा कि हम याद करते हैं, उन्होंने n ³ चरणों का सुझाव दिया)।

चू और हो द्वारा मौका की दूसरी परिभाषा सख्त थी। उन्होंने एक यादृच्छिक क्षेत्र पर विचार किया, जो समान संभावना के साथ इसके कई संभावित विन्यासों में से किसी में भी हो सकता है। उन्होंने साबित कर दिया कि यादृच्छिकता की ऐसी परिभाषा को प्राप्त करने के लिए थोड़े और कदमों की आवश्यकता होगी - लगभग ⁴ लॉग एन चालों से अधिक नहीं।

चू और होवे ने प्रदर्शित किया कि "15 का खेल" यादृच्छिक करना डायकोनिस की भविष्यवाणी की तुलना में अधिक कठिन है; एक निश्चित अर्थ में, यह बताता है कि सिस्टम में आदेश को पूरी तरह से समाप्त करने की अपेक्षा अधिक समय लगता है। उनके काम के लिए धन्यवाद, "टैग" अब कुछ यादृच्छिक कार्यों में से एक बन गया है, जिसमें होवे के अनुसार, "वास्तव में, यादृच्छिकरण के लिए आवश्यक चरणों की संख्या ज्ञात है।"

हॉवे और पेरेज़ अब साक्ष्य के विस्तार पर काम कर रहे हैं। अन्य बातों के अलावा, वे इस बात में रुचि रखते हैं कि क्या क्षेत्र एक तेज छलांग से बढ़ते आकार के साथ यादृच्छिक अवस्था में पहुंच जाता है। इस व्यवहार वाले सिस्टम बिल्कुल भी यादृच्छिक नहीं लगते हैं, और केवल एक कदम के बाद वे अचानक बदल जाते हैं।

पेरेज़ कहते हैं, "हम पूरी तरह से नहीं समझते हैं कि मार्कोव श्रृंखलाएं किस तरह का प्रदर्शन करती हैं।" "यह इस क्षेत्र के सबसे बड़े रहस्यों में से एक है।"