अभाज्य संख्याएँ - हमारी शक्तिहीनता कितनी महान है?

कल्पना कीजिए कि आप एक असीम ऊँची दीवार से घिरे हुए हैं, लेकिन दीवार के पीछे क्या है, इसके बारे में कुछ भी नहीं पता है। अब कल्पना कीजिए कि इस दीवार का व्यक्तिीकरण यह समीकरण है:



इस रूपक को समझना आसान होगा यदि हम एक ब्लैक होल के साथ एक सादृश्य आकर्षित करते हैं: हम यह नहीं जानते कि इसकी घटनाओं के क्षितिज के नीचे क्या है, और यह पता लगाने के लिए कि हमें वहां पहुंचने के लिए एक रास्ते के साथ आने की आवश्यकता है। गणित की दुनिया में कुछ ऐसा ही मौजूद है। यह समीकरण एक अभाज्य संख्या का वास्तविक "सूत्र" है, लेकिन इसका उपयोग करने के लिए, हमें यह पता लगाने की आवश्यकता है कि उपयुक्त {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m एन, ओ, पी, क्यू, डब्ल्यू, वी, एक्स, वाई, जेड} ।

ब्लैक होल और यह समीकरण कुछ वास्तविक और अमूर्त हैं। और, यदि पहले के बारे में पर्याप्त अनुमान और विचार हैं, तो दूसरे के बारे में, व्यावहारिक रूप से कुछ भी ज्ञात नहीं है। लेकिन, क्या होगा अगर यह वास्तव में एक "गणितीय" ब्लैक होल है? क्या आप उत्सुक नहीं हैं कि अगर हम क्षितिज से नीचे आते हैं तो क्या हो सकता है?

दीवार में क्या होता है?

संख्या - वे वास्तविक दुनिया में नहीं हैं। सात पासा, सात परमाणु, सात घातक पाप हैं, लेकिन सात खुद मौजूद नहीं हैं - यह एक अमूर्त है। हां, हम यह कह सकते हैं कि संख्याएं बहुत सारी अमूर्त वस्तुएं हैं, हालांकि, यह पूरी दुनिया है। एक ऐसी दुनिया, जिसमें वास्तविक दुनिया की तरह, कानून भी हैं। इस बारे में बहुत सोचा बहुत अजीब लगता है। फिर भी, संख्या सिद्धांत के रूप में गणित की ऐसी शाखा का अस्तित्व बताता है कि यह "विषमता" हमारे लिए बहुत महत्वपूर्ण है।

सबसे रोमांचक बात यह है कि इन काल्पनिक वस्तुओं में विशेष हैं - अभाज्य संख्याएँ। वे निर्धारक अराजकता की तरह हैं - एक ही समय में अनुमानित और अप्रत्याशित, उनके विचार के पैमाने पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, उनके बगल में होने पर, हम देख सकते हैं कि कुछ मनमानी संख्या n के सामने उनकी संख्या अधिक नहीं होगी:



पैमाने को बदलते हुए, हम उनके व्यवहार के कुछ प्रकार के आंतरिक नियमों के बहुत से संकेत देना शुरू करते हैं। धीरे-धीरे, ये संकेत बहुत अधिक हो जाते हैं। अधिक से अधिक बार सवाल "वे कहां से आए?", "यदि प्राइम नंबर प्राप्त करने के लिए एक निश्चित एल्गोरिदम है, तो क्या होगा?", "क्या होगा यदि प्रत्येक प्राइम नंबर को एक ही एल्गोरिदम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है?"

दीवार कैसे दिखाई दी

यदि एक निश्चित एल्गोरिथ्म के संचालन के परिणामस्वरूप संख्याओं का एक निश्चित अनुक्रम प्राप्त किया जाता है, तो इस अनुक्रम की संख्याओं के सेट को गणना योग्य माना जाता है, भले ही यह असीम रूप से बड़ा हो सकता है। गणना किए गए सेटों में एक उल्लेखनीय संपत्ति है - डायोफैंटाइन। इसका मतलब यह है कि इस तरह के किसी भी सेट को डायोफैंटाइन समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है - पूर्णांक सकारात्मक गुणांक और शक्तियों के साथ एक बहुपद।

निम्नलिखित कथन पूरी तरह से असंभव लग सकता है, लेकिन इस परिभाषा के आधार पर, हम यह तर्क दे सकते हैं कि सभी सुरक्षा कुंजी और हैश फ़ंक्शंस (यहां तक ​​कि बिटकॉइन) के मूल्यों को डायोफैंटाइन समीकरणों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यानी पूर्णांक में हल किए गए समीकरण। और हां, सैद्धांतिक रूप से, कोई भी किसी भी रहस्य को जान सकता है, असीम रूप से समृद्ध और शक्तिशाली व्यक्ति हो सकता है। लेकिन, ऐसे व्यक्ति बनने के लिए, इन समीकरणों को पहले कटौती की जानी चाहिए, और फिर हल किया जाना चाहिए।

कंप्यूटर आंशिक रूप से या पूरी तरह से डायोफैंटाइन समीकरण द्वारा सेट का प्रतिनिधित्व करने के कार्य के साथ सामना कर सकता है। लेकिन यहां एक और समस्या उत्पन्न होती है - डायोफैंटाइन समीकरण सामान्य रूप में हल नहीं होते हैं, अर्थात्। उन्हें हल करने के लिए कोई एकल एल्गोरिथ्म नहीं है। यह एक बड़ी समस्या नहीं लगती है, क्योंकि हम जानते हैं कि कुछ समीकरणों को अलग-अलग रूपों में प्रतिष्ठित किया जाता है, जिनके समाधान के लिए प्रभावी तरीके पहले ही मिल चुके हैं।

लेकिन इन विधियों की उपस्थिति के बावजूद, हम अनिवार्य रूप से कम्प्यूटेशनल कठिनाइयों का सामना करते हैं जो या तो गणना की सटीकता के साथ या पुनरावृत्तियों की गति के साथ जुड़े हुए हैं।

यह कैसे हुआ कि prunerable थे? गणना योग्य सेटों का प्रतिनिधित्व करने वाले समीकरण बनाने की बहुत प्रक्रिया गणित की नींव पर निर्भर करती है - अंकगणित और तर्क। और अगर हमारे पास एक निश्चित सेट की वस्तुओं के गुणों के बारे में पर्याप्त ज्ञान है, तो, इस ज्ञान के आधार पर, हम एल्गोरिथ्म के बारे में धारणा बना सकते हैं जो उन्हें प्राप्त करने की अनुमति देता है। और, जैसा कि यह निकला, इस उद्देश्य के लिए primes के गुणों के बारे में ज्ञान पर्याप्त रूप से जमा हुआ था। समीकरण प्राप्त कर लिया गया है, और अब अभाज्य संख्याओं से संबंधित सभी प्रश्न अकेले ही घट गए हैं।

लेकिन हम इसे हल नहीं कर सकते।

दीवार की मोटाई और ताकत

वास्तव में, हमें चुनौती दी जाती है। और हम अपरिहार्य हार के बारे में पहले से जानते हैं। शायद एक वापसी सबसे विवेकपूर्ण निर्णय होगा। लेकिन क्या हमें खुद को पार करने के लिए इन पराजयों की जरूरत नहीं है? आइए इसे थोड़ा हल करने की कोशिश करते हैं।

समीकरण को फिर से देखें:



यह एक बहुपद है जिसका सकारात्मक मूल्य सेट के साथ मेल खाता है। इसमें दो कारक होते हैं: बायां कारक केवल एक प्रधान होगा यदि घुंघराले कोष्ठक द्वारा इंगित सही कारक, एक के बराबर है, और यह, बदले में, केवल तभी संभव है जब दिए गए कारक में प्रत्येक शब्द, वर्ग कोष्ठक द्वारा इंगित किया गया हो, शून्य के बराबर है । यह पता चला है कि इस समीकरण को हल करने का प्रश्न निम्नलिखित समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए कम करता है:



यदि हम समीकरणों की इस प्रणाली को हल करते हैं और k के पाया मान में 2 जोड़ते हैं, तो हमें एक अभाज्य संख्या मिलती है। लेकिन हम दूसरे रास्ते जा सकते हैं। कुछ प्राइम नंबर लें, उसमें से 2 घटाएं, इस प्रकार k का मान प्राप्त करें, फिर इस मान को सिस्टम में स्थानापन्न करें और इसके सापेक्ष शेष चर का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। यह इस प्रकार है कि हम जाएंगे - इस बहुपद का कम से कम एक समाधान खोजने का प्रयास करें।

सभी चर दो सख्त प्रतिबंधों के अधीन हैं; वे पूर्णांक होने चाहिए और नकारात्मक नहीं हो सकते। यदि हम k = 0 लेते हैं, तो हम प्राप्त कर सकते हैं पहला अभाज्य संख्या है। यह हमारा प्रारंभिक बिंदु होगा। इस मान को समीकरणों की प्रणाली में प्रतिस्थापित करने के बाद, यह निम्न रूप लेगा:



समीकरण (1) - (5) रेखीय समीकरण हैं, अर्थात सभी चर की डिग्री 1. समीकरण (6) - (11) एक समान संरचना है। और अंत में, समीकरण (12) - (14) भी एक अलग समूह में बाहर खड़े होते हैं, और समीकरण (13) और (14) एक दूसरे के समान होते हैं, जैसे दो बूंद पानी।

हम चर से छुटकारा पा सकते हैं, या डिग्री कम कर सकते हैं, लेकिन हम पहले भी ऐसा कर चुके हैं। चर की संख्या में कमी अन्य चर की डिग्री में एक मजबूत वृद्धि की ओर जाता है, और चर की डिग्री में कमी केवल उनकी संख्या में वृद्धि के माध्यम से संभव है। तो आइए इस प्रणाली को इस रूप में हल करने का प्रयास करें।

समीकरण (6) - (11) पेल समीकरण के संशोधन हैं:



वास्तव में, यदि आप उन्हें इस तरह से लिखते हैं:



तब समानता स्पष्ट हो जाती है। यह बहुत उत्साहजनक है, क्योंकि हम पेल समीकरणों को अच्छी तरह से हल करने में सक्षम हैं। हम इस प्रणाली को इस तरह हल करने की कोशिश कर सकते हैं: पहले हम एक समीकरण को हल करते हैं, इसके समाधान को दूसरे में बदलते हैं, जिसे हम हल भी करते हैं, और इसी तरह, बहुत अंत तक। यह बहुत आसान लगता है, लेकिन यह कम से कम मोटे तौर पर पता है कि समीकरणों को हल करने के लिए किस क्रम में क्रमचय ग्राफ की तरह कुछ खींचने के लिए चोट नहीं पहुंचेगी:


ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है।

दीवार पर लात मारना

हम पेल समीकरण के साथ शुरू करते हैं। उन्हें हल करने के लिए, हम एक छोटी सी स्क्रिप्ट लिखेंगे:

from decimal import * getcontext().prec = 50 def peq_dec(N): n = Decimal(N).sqrt() a = int(n) x = n - a p0, q0 = 1, 0 p1, q1 = int(a), 1 while True: a = int(1/x) x = 1/x - a p_i = a*p1 + p0 q_i = a*q1 + q0 if p_i**2 - N*q_i**2 == 1: return p_i, q_i break p0, q0 = p1, q1 p1, q1 = p_i, q_i 

उसके लिए धन्यवाद, हम तुरंत समीकरण (10) n = 2 , f = 17 का हल खोज सकते हैं। हालांकि, आगे बढ़ने से पहले, हमें पेल समीकरण के बारे में कुछ जानना होगा।



शुरू करने के लिए, n एक पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता है। इसके अलावा, किसी भी पेल समीकरण में अनंत संख्या में समाधान होते हैं, जिनके बीच हमेशा एक तुच्छ होता है: x = 1 और y = 0 । प्रत्येक बाद का निर्णय पिछले पुनरावृत्ति सूत्र के अनुसार पिछले वाले के आधार पर प्राप्त किया जा सकता है:



यह पता चला है कि न्यूनतम गैर-तुच्छ समाधान खोजने के लिए यह हमारे लिए पर्याप्त है, और हम एक साधारण एल्गोरिथ्म का उपयोग करके शेष सभी प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, n = 2 के लिए, हम आसानी से इस तरह का एक समाधान पा सकते हैं, यह x = 3 और y = 2 है , फिर बाद के समाधान इस तरह दिखेंगे:

 17, 12 99, 70 577, 408 3363, 2378 19601, 13860 114243, 80782 665857, 470832 3880899, 2744210 22619537, 15994428 131836323, 93222358 768398401, 543339720 4478554083, 3166815962 26102926097, 18457556052 152139002499, 107578520350 886731088897, 627013566048 

क्या यह आगे के निर्णय को जारी रखने के लायक है? बेशक यह इसके लायक है, लेकिन ... हम भविष्यवाणी करने की कोशिश कर सकते हैं कि आगे क्या है।

आइए अभी के लिए कल्पना करें कि हम निम्नलिखित फॉर्म के तीन पेल समीकरणों के समीकरणों की एक प्रणाली को हल कर रहे हैं:



किसी भी पेल समीकरण का समाधान पूर्णांक निर्देशांक के साथ हाइपरबोला बिंदु है। फिर, हम इस तरह पहले दो समीकरणों के समाधान की कल्पना कर सकते हैं:



पहले समीकरण का हल लाल हाइपरबोला के पूर्णांक अंक हैं, लेकिन प्रत्येक ऐसे बिंदु का y निर्देशांक दूसरे समीकरण में मौजूद है और किसी भी नीले हाइपरबोला को उत्पन्न कर सकता है जिसका पूर्णांक दूसरे समीकरण का समाधान होगा।

यहां तक ​​कि यह योजनाबद्ध आरेख यह समझने के लिए पर्याप्त है कि हम सिस्टम को हल करने के लिए संभावित उम्मीदवारों की एक बड़ी संख्या के साथ काम कर रहे हैं। उम्मीदवार क्यों? क्योंकि हाइपरबोला के कुछ पूर्णांक बिंदु आवश्यक रूप से पूर्ण वर्ग होंगे, अर्थात। अनुचित समाधान। और अगर आप कल्पना करते हैं कि सिस्टम में प्रत्येक चर पर कोई अतिरिक्त शर्तें लगाई गई हैं, तो समाधान के लिए उम्मीदवारों को ढूंढना बेहद मुश्किल हो जाएगा। और अभी तक हम केवल तीन समीकरणों की प्रणाली के बारे में बात कर रहे हैं।

लेकिन आइए, हम अपने "फॉर्मूले" के बारे में जानें। हमसे आगे क्या हो सकता है?

जल्दी या बाद में, हम पाएंगे कि पेल समीकरण में पैरामीटर n भयावह रूप से बड़ा हो जाएगा। निरंतर अंशों की विधि बस बेकार हो जाएगी। हम निश्चित रूप से कुछ और करने की कोशिश करेंगे, उदाहरण के लिए, स्थानांतरण के साथ मूल्यों की गणना करना, किसी तरह पूरी प्रक्रिया को सामान्य करना और एक क्वाड्रेटिक छलनी या संख्या क्षेत्र की छलनी जैसे एल्गोरिदम में आना। अंत में, हम "चक्रवाल" पद्धति पर ध्यान केंद्रित करेंगे, हालांकि इसमें कुछ कठिनाइयों का भी अनुभव होगा।

एक निश्चित समय पर, हम सिस्टम के प्रत्येक व्यक्तिगत समीकरण के समाधान में कुछ आत्मविश्वास महसूस करेंगे। लेकिन पूरी व्यवस्था नहीं। हम कुछ अनुमानी अनुकूलन विधियों को लागू करने का प्रयास करेंगे, उदाहरण के लिए, एक एनीलिंग एल्गोरिथ्म या एक चींटी एल्गोरिथ्म। लेकिन यहां हम असफल होंगे। कम से कम किसी तरह से इन विफलताओं के कारणों को समझने के लिए, हमें बीजगणितीय ज्यामिति और टोपोलॉजी में थोड़ा गोता लगाना होगा। धीरे-धीरे, हम "स्फटिक पदार्थ" का कुछ विचार प्राप्त करेंगे। हम दूरस्थ रूप से हाइपरसुरफेस की संरचना की कल्पना कर सकते हैं, जिस पर हम चींटियों को छोड़ते हैं।

इन विचारों के आधार पर, हम अपने एल्गोरिदम को बेहतर बनाने का प्रयास करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम गणित की कई शाखाओं से सर्वोत्तम उपलब्धियां लेंगे। धीरे-धीरे, एल्गोरिदम में कम संभावना होगी, लेकिन आप अभी भी इससे छुटकारा नहीं पा सकते हैं। आगे क्या होगा? हम अचानक पाते हैं कि कुछ स्थानों पर एक सच्चे निर्णय के लिए कई उपयुक्त उम्मीदवार विरोधाभासी रूप से घने हैं। प्रत्येक ऐसा घनत्व यह आशा देगा कि उसके केंद्र में कहीं छिपा हुआ उत्तर छिपा है। इस तरह के घनत्व चींटियों को "प्रतीत" होते हैं, जैसे कि एक औंधा हाइपरफुनेल। हम उनके केंद्रों और ऊँचाइयों को "हिट" करने का प्रयास करेंगे। लेकिन तब क्या होगा?

दीवार के पीछे क्या है?

मैं शायद नहीं जानता कि कैसे, लेकिन हम इस समीकरण को हल करेंगे। शायद क्वांटम या (!) क्वार्क कंप्यूटर हमारी मदद करेंगे। लेकिन यह दीवार में छेद नहीं बनेगा। शायद, गॉसियन के अपराध और एक और भी अधिक जटिल समीकरण जो उनमें से कई का प्रतिनिधित्व करेंगे, आगे हमारे लिए इंतजार करेंगे। फिर, शायद, अन्य हाइपरकम्पलेक्स नंबरों के बीच, हम फिर से किसी तरह के "सरल" व्यवहार में आएंगे। शायद यह, अंत में, एक गणितीय ब्लैक होल के लिए सीमा, एक प्रकार का घटना क्षितिज होगा।

इस क्षितिज के नीचे क्या हो सकता है? संभवतः किसी प्रकार की गणितीय विलक्षणता। शायद, हम सभी सेटों के बारे में पूरी तरह से जानेंगे, हम किसी भी समीकरण और किसी भी समस्या को हल करने में सक्षम होंगे। या शायद कोई और नए सवाल और कार्य नहीं होंगे?

यह ठीक ऐसे विचार हैं जो उत्पन्न होते हैं। ठीक है, वास्तव में, primes के बारे में कोई भी प्रश्न पूछें और इस समीकरण के लिए धन्यवाद आपको इसका जवाब मिल सकता है। क्या जुड़वां अपराधों की संख्या अनंत है? इस समीकरण को हल करें, बीजीय गणना की एक जोड़ी बनाएं और उत्तर प्राप्त करें। 1, 3, 7, या 9 में प्रमुख संख्याएं क्या हैं? समान एल्गोरिथ्म: समीकरण की गणना और प्रतिस्थापन के एक जोड़े। क्या आप जल्दी से प्रमुख कारकों में संख्याओं को विघटित करना चाहते हैं?

निष्कर्ष में

मैं पहली बार 2008 में इस समीकरण से मिला था, तब तक मैं क्रिप्टोग्राफी और संख्या सिद्धांत के बारे में पहले से ही पागल था, विशेष रूप से, आरएसए स्कीम और फैक्टराइजेशन समस्या। बेशक, बहुपद जनन संख्याएँ मुझे एक बहुत ही रोचक विषय लगता है, लेकिन बहुत जटिल है। हालाँकि, उन सभी समस्याओं को हल किया जा सकता था या नहीं किया जा सकता था जो किसी तरह से डायोफैंटाइन समीकरणों से जुड़ी हुई थीं। इसलिए, पहले से ही 2014 में, मैं फिर से इस बहुपद में बदल गया, बस एक पंक्ति में गणित के सभी वर्गों का पता लगाने और इसे हल करने में उपयोगी हो सकने वाली किसी चीज़ की तलाश करने का निर्णय लिया। बेशक, मेरे सभी कार्यों की किसी भी शैक्षणिक संस्कृति की कोई बात नहीं हो सकती है - मैंने कभी व्यवस्थित रिकॉर्ड नहीं रखे, कभी भी उत्पन्न कोड को एकत्र नहीं किया। यह सिर्फ मेरा शौक है।

इस लेख को लिखने का विचार तब आया जब मैंने फिल्म इंटरस्टेलर देखी। मुझे विश्वास नहीं हो रहा था कि ब्लैक होल और ग्रेविटी का प्रतिनिधित्व इतना लाजवाब हो सकता है। लेकिन, जैसा कि यह निकला, "गैर-मौजूद" गणित की दुनिया ने मुझे हर समय समान छापों के साथ प्रदान किया। इस दुनिया का अपना दुर्गम "गहरा स्थान" और अपना "प्राथमिक कण" भी है।

इस लेख के साथ मैं यह दिखाना चाहता था कि कम से कम किसी भी व्यक्ति के लिए थोड़ा संभव है, सबसे कठिन, यहां तक ​​कि असंभव कार्य। इस तरह के बहुत सारे कार्य हैं, और आप अपनी पसंद के हिसाब से चुन सकते हैं और ब्याज के क्षेत्र के सबसे करीब हैं। बेशक, अत्यधिक जटिलता और गारंटीकृत हार इस उपक्रम में थोड़ी सी भी इच्छा से वंचित करेगी। लेकिन पूरे विरोधाभास यह है कि सबसे दिलचस्प यात्रा और रोमांच, यहां तक ​​कि "गैर-मौजूद" गणित की दुनिया में, सबसे अधिक बार, इस तरह से शुरू होता है।