बहुत से लोग जानते हैं कि
1+2+3+ dots=− dfrac112
लेकिन वास्तव में
1+2+3+ dots=− dfrac18
आइए पहले परिणाम पर अधिक विस्तार से विचार करें। बेशक, प्राकृतिक संख्या की एक श्रृंखला शास्त्रीय अर्थ में विचलन करती है (आंशिक रकम के अनुक्रम के अभिसरण के अर्थ में: यह, निश्चित रूप से, कोई सीमा नहीं है)।
इस लेख में, लेखक ने अन्य योग विधियों का उल्लेख किया है, जैसे कि सेसरो विधि और हाबिल विधि। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं: ऐसी श्रृंखला का योग
sum limitn geqslant0(−1)n=1−1+1−1+1−1+ dots
सेसरो विधि का उपयोग करना समान होगा
dfrac12 ।
एक और उदाहरण:
1−2+3−4+5+ dots= dfrac14।
मेरी राय में, यह कहना गलत है कि पहली पंक्ति का योग बराबर है
dfrac12 ; सही ढंग से कहते हैं कि
सेसरो के अर्थ में पहली पंक्ति का योग बराबर है
dfrac12 । इसी तरह दूसरे के लिए:
हाबिल के अर्थ में इसकी राशि के बराबर है
dfrac14 ।
इसे देखते हुए, पहले परिणाम में (कि
− dfrac112 ) अवधारणाओं का एक प्रतिस्थापन है, जो सामान्य ज्ञान के साथ विरोधाभास की ओर जाता है।
अब हम दूसरे परिणाम पर अधिक विस्तार से विचार करते हैं। सबसे पहले, हम पूरी राशि को निरूपित करते हैं
X :
1+2+3+4+ dots=X.
अब हम निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं:
1+2+3+4+ dots=1+ underbrace2+3+49+ underbrace5+6+718+ underbrace8+9+1027+ dots=
1+9+18+27+ dots=1+9 underbrace left(1+2+3+ dots right)X=X.
यहाँ से
1+9X=X RightarrowX=− dfrac18
एक और उपाय है। शब्दों को दूसरे तरीके से मिलाएं:
1+2+ अंडरब्रेस3+4+5+6+725+ अंडरब्रेस8+9+10+11+1250+ dots=
=1+2+25 underbrace left(1+2+3+ dots right)X=
वह है
1+2+25X=X RightarrowX=− dfrac324=− dfrac18$
वास्तव में, शीर्ष तीन से शुरू होकर, हम 7 शब्दों को अलग कर सकते हैं, जिनमें से योग 49 होगा, और हम समीकरण में आएंगे
1+2+3+49X=X,
जो एक ही परिणाम देगा।
सामान्य तौर पर, आपको इस तरह से कार्य करने की आवश्यकता है: पहले का चयन करें
एन शर्तें, और फिर कोष्ठक में
2n+1 शर्तें:
1+ dots+n+ underbrace left(n+1+ dots+3n+1 right)(2n+1)2+ underbrace बाएँ(3n+2+ dots)+5n+2 right)2(2n+1)2+ dots=
1+ dots+n+(2n+1)2 बाएँ(1+2+3+ dots right)=X.
अंकगणित की प्रगति
1+ dots+n के बराबर है dfracn(n+1)2 इसलिए, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
dfracn(n+1)2+(2n+1)2X=X,
यह कहां निकलता है
X=− dfrac18।