रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का मौलिक समाधान। साइड व्यू

शुभ दोपहर

इस लेख में मैं रेखीय समीकरणों की प्रणाली के लिए एक सामान्य समाधान खोजने के लिए एल्गोरिथ्म पर एक नया नज़र डालने की कोशिश करूंगा।

हम जो काम करेंगे वह इस तरह से ध्वनि है।
समीकरणों के निम्नलिखित प्रणाली के लिए एक सामान्य समाधान खोजें



गॉस विधि के अनुसार प्रारंभिक प्रणाली को त्रिकोणीय रूप में कम करके इस समस्या को हल किया जाता है। फिर, मुफ्त चर का चयन करते हुए, सामान्य समाधान की गणना की जाती है।

मैं यह दिखाना चाहता हूं कि इस तरह के सिस्टम को दूसरे तरीके से कैसे हल किया जा सकता है। जहां तक ​​यह ज्ञात है और कहीं और लागू किया गया है, मुझे पता नहीं चला। सभी सार्वजनिक / लोकप्रिय सामग्रियों में, गॉस विधि का उपयोग किया जाता है।

मुझे तुरंत यह कहना चाहिए कि समाधान निश्चित रूप से इष्टतम नहीं है (गति के संदर्भ में), क्योंकि वेक्टर उत्पाद की गणना करते समय, मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करना आवश्यक है, और यह किसी तरह त्रिकोणीय मैट्रिक्स की गणना है।

लेकिन समाधान सुंदर और स्पष्ट है, इसके अलावा कसौटी को देखना आसान है जिसके तहत प्रणाली का कोई समाधान नहीं है।

तकनीक का सार क्या है?



इस प्रणाली को दो वैक्टर के उत्पाद के रूप में हल करते हुए, हम प्राप्त करते हैं



इसलिए, सिस्टम की जड़ें समान हैं



जो लोग विश्वास नहीं करते हैं, उनके लिए यह प्रतिस्थापन द्वारा आसानी से सत्यापित किया जाता है।

हम इस तकनीक का उपयोग करते हैं और विचार करते हैं कि वेक्टर उत्पादों का उपयोग करके ऐसी प्रणालियों को कैसे हल किया जाता है।

इसलिए हमारे पास स्रोत प्रणाली है



मुक्त शब्दों को बाईं ओर ले जाएं


हमें 6 कॉलम मिले।

इस स्तर पर, हम नई संस्थाओं को पेश नहीं करेंगे और अपने काम में मैट्रिक्स रैंक की अवधारणाओं का उपयोग नहीं करेंगे। (कृपया मेरे साथ कृपालु व्यवहार करें)
हम सिर्फ यह देखते हैं कि 3 समीकरण हैं, और 5 चर। इसलिए, सामान्य समाधान 5-3 = 2 स्वतंत्र चर का उपयोग करेगा।

उसी चरण में, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन से चर मुक्त होंगे। हम दो चर लेते हैं जो सभी के दाईं ओर होंगे और उन्हें मुफ्त में सेट करेंगे।
नोट: अन्य समीकरणों के लिए, यह हमेशा यह नहीं बताता है कि बस अंतिम सही गुणांक लेने के लिए आवश्यक है



और अब तीन चरणों में हम मूल प्रणाली के मूलभूत समाधान का निर्धारण करते हैं

चरण 1. यहां अंतिम कॉलम सिस्टम के मुक्त सदस्य हैं।



चरण 2. यहां अंतिम कॉलम चर के लिए गुणांक है



चरण 3. यहां अंतिम कॉलम चर के लिए गुणांक है



विस्तार से बताने की आवश्यकता नहीं है कि हमें डेटा कहाँ से मिलता है। मुझे लगता है कि यह पाठकों के लिए स्पष्ट है। (जिसने भी Cramer पद्धति का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली को हल किया है, वे सामान्य विशेषताएं पाएंगे)

क्या दिलचस्प है कि हम इन "वैक्टर" के साथ क्या करेंगे।

-81 से उन्हें विभाजित करें

हमें निम्नलिखित तीन वैक्टर मिलते हैं







उन्हें लंबवत रूप से व्यवस्थित करें और इस तरह मौलिक निर्णय का रूप ले लेता है



वाह! यह नहीं है ...

समीकरणों की दी गई प्रणाली की सॉल्वेबिलिटी की कसौटी के लिए, ज्यादातर मामलों में क्रोनकर-कोपेली नियम का उपयोग किया जाता है, यहां वेक्टर उत्पाद का परिणाम बस विश्लेषण किया जाता है।

यदि परिणामस्वरूप वेक्टर का रूप है

जहाँ , और शेष सभी के बीच कम से कम एक गैर-शून्य है, तो इस तरह के समाधान की व्यवस्था नहीं है

यदि परिणामस्वरूप वेक्टर में सभी शून्य गुणांक होते हैं, तो यह इंगित करता है कि या तो कम से कम एक समीकरण दूसरे का रैखिक प्रतिनिधित्व है, और / या चर में से एक दूसरे के लिए आनुपातिक है।

यह लेख सबसे पहले है, और मैं अपने पते में टिप्पणियों, आलोचनाओं, इच्छाओं को सुनना चाहूंगा।

एल्गोरिथ्म और कैलकुलेटर जनवरी 2019 में वापस बनाया गया था, और केवल आज मैंने हीबे पर जानकारी प्रकाशित करने का फैसला किया।

यदि आप अपनी टीम / समाज में स्वीकार करते हैं, तो अगला विषय होगा
- डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली का एक सामान्य समाधान कैसे खोजा जाए।