न्यूट्रिनो के अध्ययन से गणित में अप्रत्याशित खोज हुई

तीन भौतिक विज्ञानी न्यूट्रिनो को बदलने की प्रक्रिया की गणना करना चाहते थे। नतीजतन, उन्होंने गणित की कुछ सबसे सामान्य वस्तुओं के बीच एक अप्रत्याशित संबंध पाया।

अगस्त में एक दिन, नाश्ते के बाद सुबह, गणितज्ञ टेरेंस ताओ ने तीन भौतिकविदों द्वारा लिखित एक ईमेल खोला, जिसके साथ वह परिचित नहीं थे। ट्रिनिटी ने उसे समझाया कि वह एक सरल सूत्र पर लड़खड़ा गई है, जो अगर सच है, तो रैखिक बीजगणित की कुछ सबसे बुनियादी और महत्वपूर्ण वस्तुओं के बीच एक अप्रत्याशित संबंध का वर्णन करेगा।

सूत्र "सच होना बहुत अच्छा लग रहा था," ताओ ने कहा, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में एक प्रोफेसर, एक फील्ड्स विजेता , दुनिया के अग्रणी गणितज्ञों में से एक। उन्होंने कहा, "कुछ समय पहले पाठ्यपुस्तकों में इतना कम और सरल होना चाहिए था।" "इसलिए, सबसे पहले मैंने सोचा - नहीं, यह नहीं हो सकता।"

और फिर उसने कुछ और सोचा।

भौतिक विज्ञानी - राष्ट्रीय त्वरक प्रयोगशाला के स्टीफन पार्क । फर्मी, शिकागो विश्वविद्यालय से Xining जांग और Brookhaven National Laboratory के पीटर डेंटन - ने दो महीने पहले यह गणितीय पहचान प्राप्त की, जिसमें न्यूट्रिनोस नामक प्राथमिक कणों के अजीब व्यवहार से निपटने की कोशिश की गई।

उन्होंने देखा कि " eigenvectors ", गणना करना मुश्किल है, उनके मामले में वर्णन करते हुए कि न्यूट्रिनो कैसे मामले में फैलते हैं, "eigenvalues" के रूप में जाने जाने वाले शब्दों के संयोजन के लिए समान हैं, जिनकी गणना करना बहुत आसान है। इसके अलावा, उन्होंने महसूस किया कि eigenvectors और eigenvalues ​​के बीच यह संबंध - गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग गणना की वस्तुओं में बहुत सामान्य है जो XVIII सदी के बाद से अध्ययन किए गए हैं - एक अधिक सामान्य क्रम के लगते हैं।

हालांकि भौतिक विज्ञानी यह विश्वास नहीं कर सकते थे कि उन्होंने इस तरह के मूल गणित से संबंधित एक नए तथ्य की खोज की थी, लेकिन उन्हें पुस्तकों या लेखों में ऐसा संबंध नहीं मिला। इसलिए, उन्होंने एक मौका लेने और ताओ से संपर्क करने का फैसला किया, इस तथ्य के बावजूद कि उनकी वेबसाइट पर इस तरह के मामलों में उन्हें परेशान न करने का अनुरोध किया गया था।

"हमारे आश्चर्य के लिए, उसने दो घंटे बाद जवाब दिया, और कहा कि उसने पहले कभी ऐसा कुछ नहीं देखा था," पार्क ने कहा। और इसके अलावा, ताओ के जवाब में इस पहचान के तीन स्वतंत्र प्रमाण थे।


Xining Zhang, पीटर डेंटन और स्टीफन पार्क अपने फार्मूले के साथ खुले

एक और डेढ़ हफ्ते बाद, भौतिकविदों और ताओ, जिन्हें पार्क "गणित की आग की नली" कहता है, ने इंटरनेट पर एक नए सूत्र की रिपोर्ट करते हुए एक पत्र प्रकाशित किया। अब इस काम का मूल्यांकन गणितीय भौतिकी में संचार पत्रिका के विशेषज्ञों द्वारा किया जाता है। जर्नल ऑफ हाई एनर्जी फिजिक्स, डेंटन, पार्क और झांग में प्रकाशित एक अलग पेपर में, न्यूट्रिनो के व्यवहार का वर्णन करने वाले समीकरणों को सरल बनाने के लिए इस सूत्र का उपयोग करते हैं।

विशेषज्ञों का कहना है कि इस फार्मूले को लागू करने के लिए और अधिक तरीके हो सकते हैं, क्योंकि बड़ी संख्या में कार्यों में, eigenvectors और eigenvalues ​​की गणना की आवश्यकता होती है। ओहियो विश्वविद्यालय में कण भौतिकी के विशेषज्ञ जॉन बिकॉम ने कहा, "इसके उपयोग की एक विस्तृत श्रृंखला है।" "कौन जानता है कि वह कौन से दरवाजे खोल सकता है।"

गणितज्ञ भी ऐसा ही सोचते हैं। "यह आश्चर्यजनक और दिलचस्प दोनों है," वान वू ने कहा, येल विश्वविद्यालय में गणितज्ञ। "मुझे संदेह नहीं था कि यह केवल eigenvalues ​​के बारे में जानकारी का उपयोग करके eigenvectors की गणना करना संभव था।"

वू और ताओ ने 2009 में एक समान पहचान साबित की (इसीलिए डेंटन, पार्क और झांग ने ताओ से संपर्क करने का फैसला किया), लेकिन नया फार्मूला स्पष्ट रूप से पुराने का पालन नहीं करता है। और यद्यपि संयोग से एक समान सूत्र इस वर्ष के मई में एक गणितीय कार्य में दिखाई दिया, लेकिन इसके लेखकों ने इसे eigenvectors और eigenvalues ​​के साथ नहीं जोड़ा।

एक अर्थ में, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कई सदियों पुरानी गणितीय वस्तुओं के बारे में एक नया विचार भौतिकविदों से आता है। प्रकृति ने गणितीय शोध को प्रेरित किया है क्योंकि लोगों ने 10 उंगलियों पर गिनना शुरू किया था। "गणित को फलने-फूलने के लिए, इसे प्रकृति के साथ जोड़ने की जरूरत है," वु ने कहा। "कोई और रास्ता नहीं है।"

परिवर्तन ट्रिक्स

Eigenvectors और eigenvalues ​​इसलिए आम हैं क्योंकि वे रैखिक परिवर्तनों की विशेषता रखते हैं: ऐसे ऑपरेशन जो खिंचाव, संपीड़ित, घूमते हैं, या किसी अन्य तरीके से समान वस्तु के सभी भागों को समान रूप से बदलते हैं। इन परिवर्तनों को संख्याओं के आयताकार सरणियों द्वारा दर्शाया जाता है जिन्हें मैट्रिसेस कहा जाता है। एक मैट्रिक्स ऑब्जेक्ट को 90 डिग्री घुमाता है; दूसरा इसे उल्टा कर देता है और इसे आधा कर देता है।


इस मैट्रिक्स को किसी दिए गए ऑब्जेक्ट पर लागू करना विमान के सापेक्ष इसे प्रतिबिंबित करेगा, और इसकी ऊंचाई को भी दोगुना करेगा। मैट्रिक्स के eigenvectors उन दिशाओं का वर्णन करते हैं जिनमें स्केलिंग को छोड़कर ऑब्जेक्ट नहीं बदलता है। मैट्रिक्स के eigenvalues ​​का वर्णन है कि इन eigenvectors के साथ ऑब्जेक्ट कितना तराजू है।
आइजनवेक्टर A, ऊर्ध्वाधर अक्ष के समानांतर है। इसका ईजेंवल्यू 2 है, क्योंकि ऑब्जेक्ट इसकी ऊंचाई दोगुनी करता है।
आइजनवेक्टर बी रिफ्लेक्शन प्लेन में है। इसका प्रतिजन 1 है, क्योंकि वस्तु इसके साथ नहीं बदलती है।
Eigenvector C प्रतिबिंब विमान के लंबवत है। इसका आइजनवेल्यू -1 है, जिसका अर्थ है कि विमान के सापेक्ष परावर्तन।
मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर, छोटे मैट्रिक्स बनाए जा सकते हैं। मूल मैट्रिसेस के आइगेनवैल्यूज़ के साथ उनके आइजेन्यूल्स का उपयोग मूल मैट्रिसेस के आइगेनवेक्टर्स की गणना के लिए किया जा सकता है।

मैट्रेस ऑब्जेक्ट के "वैक्टर" को बदलकर ऐसा करते हैं - ऑब्जेक्ट के प्रत्येक भौतिक स्थान की ओर इशारा करते हुए गणितीय तीर। एक मैट्रिक्स के आइजनवेक्टर वे वैक्टर होते हैं जो मैट्रिक्स को लागू करने के बाद पहले की तरह उसी दिशा में इंगित करते रहते हैं। मान लीजिए कि हम एक मैट्रिक्स लेते हैं जो एक्स-एक्सिस के चारों ओर एक ऑब्जेक्ट को 90 डिग्री तक घुमाता है: एक्सजेनेवेर्स को एक्स-एक्सिस के साथ निर्देशित किया जाता है, क्योंकि इस अक्ष पर स्थित बिंदु तब नहीं घूमते हैं जब बाकी सभी उनके चारों ओर घूमते हैं।

एक समान मैट्रिक्स एक्स अक्ष के चारों ओर वस्तुओं को घुमा सकती है और उन्हें दो बार संपीड़ित कर सकती है। मैट्रिक्स वस्तु के आइजेनवेक्टरों को कितना संपीड़ित करता है या बढ़ाता है, संबंधित आइगेनवेल्यूज का वर्णन करते हैं - इस मामले में, 1/2 (यदि ईगेनवेक्टर नहीं बदलता है, तो इसका ईजेनवल्यू 1 है)।


टेरेंस ताओ

Eigenvectors और eigenvalues ​​स्वतंत्र हैं, और आमतौर पर उन्हें अलग से गणना करना पड़ता है, जो मैट्रिक्स की पंक्तियों और स्तंभों के साथ शुरू होता है। छात्रों को यह करने के लिए सरल matrices सीखते हैं। लेकिन नया फॉर्मूला मौजूदा तरीकों से अलग है। "इस पहचान के बारे में दिलचस्प बात यह है कि कुछ की गणना करने के लिए आपको मैट्रिक्स में निहित किसी भी मूल्य को जानने की आवश्यकता नहीं है," ताओ ने कहा।

पहचान हर्मिटियन मेट्रिसेस पर लागू होती है जो कि आइजनवेक्टरों (काल्पनिक संख्याओं के विपरीत) के वास्तविक परिवर्तनों को पूरा करते हैं, और इसलिए, वास्तविकता में होने वाली स्थितियों पर लागू होते हैं। सूत्र इस मैट्रिक्स और इसके "लघु मैट्रिक्स" के आइगेनवैल्यूज़ के संदर्भ में हर्मिटियन मैट्रिक्स के प्रत्येक ईजेनवेक्टर को व्यक्त करता है - ऐसा छोटा मैट्रिक्स, जो मूल से पंक्ति और स्तंभ को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

पीछे देखते हुए, सूत्र उचित लगता है, ताओ ने कहा, चूंकि लघु मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यूज़ अपने आप में छिपी जानकारी को एनकोड करते हैं। हालांकि, "उदाहरण के लिए, मैंने व्यक्तिगत रूप से ऐसी बात के बारे में कभी नहीं सोचा होगा।"

उन्होंने कहा कि एक कार्य से संबंधित एक उपकरण गणित में शायद ही कभी दिखाई देता है। हालांकि, उनका मानना ​​है कि eigenvectors और eigenvalues ​​का परस्पर संबंध मायने रखता है। "यह इतना सुंदर है कि मुझे यकीन है कि सूत्र निकट भविष्य में कुछ आवेदन पाएंगे," उन्होंने कहा। "अब तक, हमारे पास उसके लिए केवल एक ही उपयोग है।"

वेयरवोल्फ कण

और यह एप्लिकेशन न्यूट्रिनो के साथ जुड़ा हुआ है: ज्ञात मौलिक कणों का सबसे अजीब, कम से कम अध्ययन और सबसे गुप्त। प्रत्येक सेकंड, ऐसे कणों के खरब मानव शरीर से गुजरते हैं, लेकिन चूंकि वे व्यावहारिक रूप से अपनी उपस्थिति नहीं दिखाते हैं, इसलिए उनके कई गुण अज्ञात बने हुए हैं।

दिलचस्प है, सिद्धांत का दावा है कि यह न्यूट्रिनोस और एंटीन्यूट्रिनो के व्यवहार में ठीक अंतर है जो ब्रह्मांड में एंटीमैटर पर हावी होने का कारण बन सकता है । यदि बिग बैंग के बाद दोनों विरोधी समान मात्रा में दिखाई देते हैं, तो वे एक-दूसरे का सफाया कर देंगे, और प्रकाश के साथ अंतरिक्ष में कुछ भी नहीं छोड़ा जाएगा। एक न्यूट्रिनो और एक एंटीन्यूट्रिनो के बीच का अंतर पदार्थ के एक महत्वपूर्ण अतिरिक्त को जन्म दे सकता है। "यदि वे अलग तरह से व्यवहार करते हैं, तो यह हमें कुछ विचार देगा कि ब्रह्मांड क्यों मामले से भरा है," डोनर प्रयोग (डीप अंडरग्राउंड न्यूट्रिनो एक्सपेरिमेंट, डीप अंडरग्राउंड न्यूट्रिनो) में काम कर रहे यॉर्क विश्वविद्यालय और फरमिलाब के भौतिक विज्ञानी डेबोरा हैरिस ने कहा। प्रयोग) ऐसे अंतरों को मापने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

प्रयोग, जो इलिनोइस में फर्मिलैब से लॉन्च किए गए न्यूट्रिनों की विशेषताओं को दक्षिण डकोटा में स्रोत से 1300 किमी दूर स्थित एक भूमिगत डिटेक्टर में मापेगा, इस तथ्य का उपयोग करता है कि तीन अलग-अलग प्रकार के न्यूट्रिनो - इलेक्ट्रॉन, म्यूऑन और ताऊ हैं। हालांकि, प्रत्येक प्रकार एक क्वांटम-मैकेनिकल मिश्रण है, और न्यूट्रिनो ऑसिलेट, चलते-चलते अपने प्रकार बदलते हैं। चूंकि न्यूट्रिनो फ़र्मिलाब से यात्रा करते हैं, उनका मिश्रण बदल जाता है, इसलिए म्यूऑन न्यूट्रिनो एक इलेक्ट्रॉन या ताऊ न्यूट्रिनो में बदल सकते हैं।

ये दोलन एक अत्यंत जटिल 3x3 मैट्रिक्स द्वारा वर्णित हैं। आइजेनवेक्टरों और ईजेनवेल्यूज़ के आधार पर, भौतिकविद् इस संभावना की व्याख्या करते हुए एक अभिव्यक्ति की गणना कर सकते हैं कि एक म्यूऑन न्यूट्रिनो एक इलेक्ट्रॉनिक न्यूट्रिनो में बदल जाएगा, जब तक कि यह दक्षिण डकोटा में नहीं आता। वे इस संभावना की भी गणना करते हैं कि एक म्यूऑन न्यूट्रिनो एक इलेक्ट्रॉन एंटीन्यूट्रिनो बन जाएगा।


एक न्यूट्रिनो के अल्पकालिक कण न केवल पदार्थ से गुजरते हैं, बल्कि मक्खी पर अपना प्रकार भी बदलते हैं। DUNE प्रयोग में, एक न्यूट्रिनो बीम लॉन्च किया जाएगा, जिनमें से कई स्रोत से लक्ष्य के रास्ते पर अपने प्रकार बदल देंगे। इन परिवर्तनों को भौतिकविदों द्वारा मापा जाएगा।
आरेख किमी में उनकी यात्रा दूरी के आधार पर विभिन्न प्रकार के न्यूट्रिनो का पता लगाने की संभावना दर्शाता है। पीला - म्यूऑन, नीला - इलेक्ट्रॉनिक, भूरा - ताऊ।

इन अभिव्यक्तियों में अज्ञात है: " सीपी आक्रमण के उल्लंघन का चरण", जो दिखाता है कि न्यूट्रिनो और एंटीन्यूट्रिनो दोलन के नियम एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं। वास्तविक दोलन अनुपातों को मापने और तुलना करके, DUNE वाले वैज्ञानिक इस अज्ञात की गणना कर सकते हैं। यदि गड़बड़ी का चरण काफी बड़ा है, तो यह समझाने में मदद करेगा कि ब्रह्मांड पदार्थ से क्यों भरा है।

और जैसे कि ये कठिनाइयाँ पर्याप्त नहीं हैं, एक अजीब प्रभाव, जिसके पूर्वापेक्षाएँ 1978 में भौतिक विज्ञानी लिंकन वोल्फेंस्टीन द्वारा पहली बार खोज की गई थीं, वे न्यूट्रिनो मैट्रिक्स को और भी जटिल बना देती हैं। न्यूट्रीनो शायद ही कभी सामान्य अर्थों में पदार्थ के साथ बातचीत करते हैं, लेकिन वोल्फेंस्टीन ने पाया कि रिक्त स्थान के विपरीत, पदार्थ के माध्यम से उनका मार्ग, अभी भी उनके प्रचार के तरीके को बदल देता है। कभी-कभी पदार्थ के माध्यम से प्रवेश करने वाला एक न्यूट्रिनो एक परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के साथ बातचीत करता है, अनिवार्य रूप से इसके साथ स्थानों को बदल देता है: एक इलेक्ट्रॉन न्यूट्रिनो एक इलेक्ट्रॉन में बदल जाता है और इसके विपरीत।

इस तरह के प्रतिस्थापन मैट्रिक्स में एक नया शब्द पेश करते हैं, जिससे इलेक्ट्रॉन न्यूट्रिनो प्रभावित होता है, जो गणित को बहुत जटिल बनाता है। यह मिखेव का प्रभाव है - स्मिर्नोव - वोल्फेंस्टीन [जिसकी भविष्यवाणी की गई थी और सैद्धांतिक रूप से सोवियत भौतिकविदों स्टैनिस्लाव मिखेव और एलेक्सी स्मिरनोव ने 1985 में न्यूट्रॉन दोलनों के मामले के आधार पर एक निरंतर घनत्व वाले वुल्फेनस्टीन में विचार किया था] पार्क, झांग, और डेंटन को खोजने के लिए। ।

Eigenvalues ​​की गणना के लिए अभिव्यक्ति eigenvectors के लिए अभिव्यक्ति की तुलना में सरल है, इसलिए पार्क, झांग और डेंटन ने इसे शुरुआती बिंदु के रूप में इस्तेमाल किया। इससे पहले, उन्होंने eigenvalues ​​की अनुमानित गणना के लिए एक नई विधि विकसित की। इसके आधार पर, उन्होंने देखा कि पिछले कामों से आईजेनवेक्टरों के लिए लंबे समय के भाव इन ईजेनवल के संयोजन के बराबर थे। झांग ने कहा कि यह सब एक साथ रखकर, "आप आसानी से और न्यूट्रिनो दोलनों की गणना आसानी से कर सकते हैं।"

इस बात के बारे में कि उन्होंने उस पैटर्न को कैसे देखा जिसमें से सूत्र का पालन किया जाता है, भौतिकविदों को पूरी तरह से यकीन नहीं है। पार्क का कहना है कि उन्होंने बस पैटर्न की व्यक्तिगत अभिव्यक्तियों पर ध्यान दिया और इसे सामान्यीकृत किया। वह यह भी स्वीकार करता है कि वह पहेलियों को हल करने में अच्छा है। वह 1986 में खोजे गए एक अन्य महत्वपूर्ण नियमितता के सह-लेखक हैं, जिन्होंने कण भौतिकी के क्षेत्र में गणना की सुविधा प्रदान की, और यह आज भी वैज्ञानिकों को नई खोजों के लिए प्रेरित करता है।

और फिर भी, यह तथ्य कि न्यूट्रिनो के अजीब व्यवहार से मैट्रिक्स से संबंधित नए विचारों का उदय हो सकता है, कई लोगों को झटका लगा। "लोग बहुत लंबे समय से रैखिक बीजगणित को हल कर रहे हैं," पार्क ने कहा। "मैं अभी भी किसी के लिए मुझे एक ईमेल भेजने के लिए इंतजार कर रहा हूं जहां यह कहता है: यदि आप कॉची के इस अल्पज्ञात काम को देखते हैं, तो तीसरे परिशिष्ट के नोट में यह सूत्र है।"

मामूली अंतर

वास्तव में, एक समान सूत्र पहले से ही ज्ञात था, लेकिन किसी ने इस पर ध्यान नहीं दिया, क्योंकि यह नकाबपोश था।

सितंबर में, ताओ को एक और अप्रत्याशित ईमेल प्राप्त हुआ, इस बार ऑस्ट्रेलिया में मेलबर्न विश्वविद्यालय से गणित में स्नातक छात्र जियुआन जांग। जांग ने मई में अपने क्यूरेटर पीटर फॉरेस्टर के साथ एक कार्य में एक समान सूत्र के अस्तित्व की ओर इशारा किया, इससे पहले कि ताओ और तीन भौतिकविदों के काम दिखाई दिए। झांग और फॉरेस्टर ने शुद्ध गणित के क्षेत्र में काम किया, यादृच्छिक मेट्रिसेस का सिद्धांत। उन्होंने इस सूत्र को लागू किया, 1999 में ताओ और उनके सहयोगियों के समाधान से जुड़ी समस्या की खोज की।

फॉरेस्टर ने हमें समझाया कि पहली बार यह सूत्र 2001 के काम में एक और रूप में दिखाई दिया, यूलिया बैरशनिकोवा द्वारा लिखित, एक गणितज्ञ जो अब इलिनोइस विश्वविद्यालय में अर्बन-शैंपेन में काम कर रहा था, जिसके कार्य पर फॉरेस्टर और झांग आधारित थे। लेकिन इन गणितज्ञों ने अपनी पहचान की वस्तुओं का वर्णन eigenvectors के रूप में नहीं किया, बल्कि कुछ छोटी-छोटी मैट्रिक्स के eigenvalues ​​की गणना के लिए आवश्यक हैं जो उनकी समस्या को हल करने के दौरान दिखाई देते हैं।

फॉरेस्टर ने अपने काम में सूत्र को ताओ और तीन भौतिकविदों द्वारा इस्तेमाल किए गए झांग के समान "समान" कहा। ताओ ने सूत्रों को "लगभग समान" कहा, एक दूसरे का उसी तरह से जिक्र किया जैसे कि खरगोश के दो पक्षों / भ्रम। "कुछ लोगों ने खरगोशों की तलाश की, दूसरों ने केवल बतख की तलाश की," उन्होंने कहा।



डेंटन ने एक ईमेल में लिखा है कि पहले जो फार्मूला मौजूद था, वह "हमारे परिणाम के करीब है, लेकिन सही नहीं है।" उन्होंने कहा कि "कई समस्याओं के लिए eigenvectors के महत्व के प्रकाश में, हम अभी भी सोचते हैं कि हमारा परिणाम इसे नया मानने के लिए बाकी से काफी अलग है।"

शायद यह इतना अजीब नहीं है कि कई शताब्दियों के बाद एक ही गर्मियों में इस क्षेत्र में, इस तरह की अचानक उत्तेजना पैदा हो सकती है। ताओ ने कहा, "गणित में एक साथ खोजों के कई उदाहरण हैं।" - नतीजे किसी तरह हवा में लटकते हैं। और लोग उन्हें सही स्थानों पर ढूंढना शुरू कर देते हैं। ”