शारीरिक रूप से सटीक प्रतिपादन के लिए संभाव्यता सिद्धांत

परिचय

प्रतिपादन में, बहुआयामी निश्चित इंटीग्रल्स की गणना का अक्सर उपयोग किया जाता है: उदाहरण के लिए, स्थानिक प्रकाश स्रोतों (क्षेत्र प्रकाश) की दृश्यता निर्धारित करने के लिए, पिक्सेल क्षेत्र तक प्रकाशमानता, समय की अवधि में पहुंचने वाली चमक, और एक सतह बिंदु के गोलार्ध में प्रवेश करने वाले विकिरण। इन अभिन्नों की गणना आमतौर पर मोंटे कार्लो एकीकरण का उपयोग करके की जाती है, जिसमें अभिन्न को स्टोकेस्टिक प्रयोग की अपेक्षा से बदल दिया जाता है।

इस लेख में मैं मूल मोंटे कार्लो एकीकरण प्रक्रिया के बारे में विस्तार से बात करूंगा, साथ ही साथ तकनीक के विचरण को कम करने के लिए कई तकनीकों का वर्णन करूंगा। यह व्यावहारिक दृष्टिकोण से किया जाएगा - यह माना जाता है कि पाठक संभावना के सिद्धांत से बहुत परिचित नहीं है, लेकिन फिर भी प्रभावी और सही प्रतिपादन एल्गोरिदम विकसित करना चाहता है।

परिभाषित अभिन्न

एक निश्चित अभिन्न रूप का एक अभिन्न अंग है $$$\ int_ {a} ^ {b} f (x) dx$ जहाँ $$$[ए, बी]$ एक खंड (या क्षेत्र) है, $$$x$ - अदिश, और $$$च (x)$ - एक फ़ंक्शन जिसे खंड में किसी भी बिंदु के लिए गणना की जा सकती है। जैसा कि विकिपीडिया में लिखा गया है , एक निश्चित अभिन्न एक विमान पर एक चिन्ह के साथ एक क्षेत्र है $$$x$ अनुसूची द्वारा सीमित $$$च$ , अक्ष $$$x$ और ऊर्ध्वाधर लाइनें $$$x = एक$ और $$$x = b$ ( चित्रा 1 ए )।

यह अवधारणा तार्किक रूप से अधिक संख्या में आयामों तक फैली हुई है: एक निश्चित दोहरे अभिन्न अंग के लिए, एक संकेत के साथ क्षेत्र एक संकेत ( चित्रा 1 बी ) के साथ एक मात्रा बन जाता है, और सामान्य रूप से कुछ एकाधिक अभिन्नों के लिए यह एक संकेत के साथ बहुआयामी मात्रा बन जाता है।


चित्र 1: कुछ अभिन्न अंग के उदाहरण।

कुछ मामलों में, क्षेत्र को विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए $$$f (x) = 2$ : खंड पर $$$[ए, बी]$ क्षेत्रफल बराबर होगा $$$2 (बी-ए)$ । अन्य मामलों में, एक विश्लेषणात्मक समाधान असंभव है, उदाहरण के लिए, जब हमें पानी के ऊपर हिमखंड के भाग की मात्रा ( चित्रा 1 सी ) का पता लगाने की आवश्यकता होती है। ऐसे मामलों में $$$च (x)$ अक्सर नमूना द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

संख्यात्मक एकीकरण

हम लगभग संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके जटिल इंटीग्रल के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। एक उदाहरण रिमान योग है । इस राशि की गणना क्षेत्र को नियमित आकार (उदाहरण के लिए, आयतों) में विभाजित करके की जाती है, जो एक साथ एक सच्चे क्षेत्र के समान क्षेत्र बनाते हैं। रीमैन योग को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ टैग {1} S = \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (x_i) \ Delta x_i$$

$$$एन$ उप-अंतराल की संख्या है, और $$$\ Delta x_i = \ frac {b-a} {n}$ - एक उप अंतराल की चौड़ाई। प्रत्येक अंतराल के लिए $$$मैं$ हम नमूना है $$$च$ एक बिंदु पर $$$x_i$ उप-अंतराल के अंदर ( चित्रा 2 में, यह बिंदु उप-अंतराल की शुरुआत में है)।


चित्र 2: रीमैन योग।

यह ध्यान देने योग्य है कि बढ़ने के साथ $$$एन$ रीमैन योग अभिन्न के वास्तविक मूल्य में परिवर्तित होता है:

$$

$$\ टैग {2} \ int_ {a} ^ {b} f (x) dx = \ lim_ \ डेल्टा x || \ _ से 0} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (x_i) || \ Delta x_i$$

रीमैन योग का उपयोग बड़े आयामों ( चित्र 3 ) के लिए भी किया जा सकता है। हालांकि, यहां हमें एक समस्या का सामना करना पड़ रहा है: दो मापदंडों के साथ एक फ़ंक्शन के लिए, उप-अंतराल की संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए यदि हम दो-आयामी मामले में उपयोग किए गए तुलनात्मक रूप से एक संकल्प प्राप्त करना चाहते हैं। इस घटना को आयामों का अभिशाप कहा जाता है, और उच्च आयामों में इसे बढ़ा दिया जाता है।


चित्र 3: एक दोहरे अभिन्न अंग के लिए रीमैन योग।

अब हम निम्नलिखित फ़ंक्शन के लिए रीमैन योग की सटीकता का मूल्यांकन करेंगे (हमने जानबूझकर एक जटिल फ़ंक्शन चुना):

$$

$$\ टैग {3} f (x) = \ left | \ sin \ left (\ frac {1} {2} x + \ frac {\ pi} {2} \ right) \ tan \ frac {x} {27} + \ sin \ बाएँ (\ frac {3} {5} x ^ 2 \ right) + \ frac {4} {x + \ pi + 1} -1 \ सही |$$

एक खंड पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ $$$[- 2.5,2.5]$ नीचे दिखाया गया है। संदर्भ के लिए, हमने वुल्फराम अल्फा में एक निश्चित अभिन्न गणना की $$$\ int _ {- 2.5} ^ {2.5} f (x)$ क्षेत्र हो रहा है $$$3.12970$ । दायीं ओर का ग्राफ बढ़ते हुए के लिए रीमैन योग का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण की सटीकता को दर्शाता है $$$एन$ ।


चित्रा 4: फंक्शन ग्राफ और रीमैन योग सटीकता। छोटे के साथ भी $$$एन$ हमें काफी सटीक परिणाम मिलता है।

सटीकता का विचार प्राप्त करने के लिए, हम संख्याएँ देते हैं: के लिए $$$n = 50$ त्रुटि है $$$~ 2 \ टाइम्स 10 ^ {- 3}$ । पर $$$n = 100$ त्रुटि है $$$~ 3 \ times10 ^ {- 4}$ । परिमाण के निम्नलिखित क्रम के साथ प्राप्त किया जाता है $$$n = 200$ ।

रीमैन राशियों की अधिक जानकारी के लिए, निम्न संसाधन देखें:

• कहन अकादमी: https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-accumulation-riemann-sums/ab-riemann-sums/v/simple-riemann-approximation-use-rectangles
• विकिपीडिया: https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum

मोंटे कार्लो (1)

जब प्रतिपादन, लगभग नहीं (और शायद कोई भी नहीं?) इंटीग्रल एकल हैं । इसका मतलब है कि हम जल्दी से आयामों के अभिशाप का सामना करेंगे। इसके अलावा, समान अंतराल पर एक फ़ंक्शन का नमूना अपर्याप्त नमूनाकरण और विरूपण के अधीन है : हम फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण मूल्यों को छोड़ सकते हैं या नमूना किए गए फ़ंक्शन और नमूना पैटर्न ( चित्रा 5 ) के बीच अनपेक्षित पारस्परिक हस्तक्षेप प्राप्त कर सकते हैं।


चित्र 5: विकृतियों से नमूने के फंक्शन (लाल) के कुछ हिस्सों का नुकसान होता है और इस मामले में, फ़ंक्शन की पूरी तरह से गलत व्याख्या होती है।

मोंटे कार्लो एकीकरण नामक तकनीक का उपयोग करके इन समस्याओं को हल किया जाता है। रीमैन योग के समान, यह भी बिंदुओं के एक सेट पर फ़ंक्शन नमूने का उपयोग करता है, लेकिन नियतात्मक रीमैन योग पैटर्न के विपरीत, हम एक मौलिक गैर-निर्धारक घटक का उपयोग करते हैं: यादृच्छिक संख्या।

मोंटे कार्लो एकीकरण निम्नलिखित अवलोकन पर आधारित है: अभिन्न एक स्टोकेस्टिक प्रयोग की उम्मीद से बदला जा सकता है:

$$

$$\ tag {4} \ int_ {a} ^ b (f) dx = (ba) E \ left [f (X) \ right] \ लगभग \ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (X)$$

दूसरे शब्दों में, हम फ़ंक्शन का नमूना लेते हैं $$$एन$ एक खंड के भीतर यादृच्छिक बिंदुओं पर बार (एक पूंजी द्वारा चिह्नित) $$$X$ ), नमूनों की औसत और खंड की चौड़ाई से गुणा (एक आयामी समारोह के लिए)। के रूप में Riemann राशि के मामले में, जब $$$एन$ अनन्तता के लिए, नमूनों का औसत मूल्य अभिन्नता के लिए, अर्थात् अभिन्न के वास्तविक मूल्य में परिवर्तित हो जाता है।

संभावना सिद्धांत का एक सा

यहां इस्तेमाल की जाने वाली प्रत्येक अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है। आइए प्रतीक्षा के साथ शुरू करें : यह एकल नमूने के लिए अपेक्षित मूल्य है। ध्यान दें कि यह आवश्यक रूप से एक संभव मूल्य नहीं है, जो प्रतिवाद प्रतीत हो सकता है। उदाहरण के लिए, जब हम मर को रोल करते हैं, तो उम्मीद के बराबर होता है $$$3.5$ - सभी संभावित परिणामों का औसत: $$$(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6=21/6=3.5$ ।

दूसरी अवधारणा यादृच्छिक संख्या है । यह स्पष्ट लग सकता है, लेकिन मोंटे कार्लो एकीकरण के लिए हमें समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं की आवश्यकता है, अर्थात्। प्रत्येक मूल्य में पीढ़ी की समान संभावना होनी चाहिए। हम इस बारे में बाद में बात करेंगे।

तीसरी अवधारणा है विचलन और इससे जुड़ा विचरण । यहां तक ​​कि जब हम कम संख्या में संख्या लेते हैं, तो अपेक्षित औसत मूल्य, साथ ही प्रत्येक व्यक्ति के नमूने की उम्मीद भी समान होनी चाहिए। हालांकि, समीकरण 4 की गणना करते समय , हमें शायद ही कभी ऐसा मूल्य मिलता है। विचलन अपेक्षा और प्रयोग के परिणाम के बीच का अंतर है: $$$X-E (X)$ ।

व्यवहार में, इस विचलन का एक दिलचस्प वितरण है:


यह सामान्य वितरण या गाऊसी वितरण का एक ग्राफ है: यह दर्शाता है कि सभी विचलन समान रूप से होने की संभावना नहीं है। वास्तव में, लगभग 68.2% नमूने सीमा में हैं $$$-1 \ sigma..1 \ sigma$ जहाँ $$$\ _ सिग्मा$ (सिग्मा) मानक विचलन है । मानक विचलन को दो तरीकों से वर्णित किया जा सकता है:

• मानक विचलन डेटा परिवर्तनशीलता का एक उपाय है ।
• 95% डेटा पॉइंट्स हैं $$$2 \ सिग्मा$ औसत से।

मानक विचलन को निर्धारित करने के दो तरीके हैं:

1. मानक विचलन $$$\ sigma = \ sqrt {\ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ left (X_i-E \ left [X \ right] \ right) ^ 2}$ : इसकी गणना की जा सकती है यदि असतत संभाव्यता वितरण हो और अपेक्षा ज्ञात हो $$$E [X]$ । यह क्यूब्स के लिए सही है $$$X = {1,2,3,4,5,6}$ और $$$E [X] = 3.5$ । संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $$$\ _ सिग्मा = 1.71$ ।
2. इसके अलावा, नमूनों के मानक विचलन की गणना की जा सकती है $$$\ sigma = \ sqrt {\ frac {1} {n-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ left (X_i-X \ right) ^ 2}$ । विकिपीडिया पर इसके बारे में और पढ़ें।

जाँच करें: क्या यह सही है? अगर $$$\ _ सिग्मा = 1.71$ , हम घोषणा करते हैं कि 68.2% नमूने 3.5 से 1.71 की सीमा में हैं। हम जानते हैं कि $$${2,3,4,5}$ इस कसौटी पर खरा उतरें, और $$$1$ और $$$6$ - नहीं। छह में से चार 66.7% हैं। अगर हमारे घन अंतराल में किसी भी मूल्य का उत्पादन कर सकते हैं $$$[1..6]$ , तब हमें ठीक 68.2% मिलेगा।

मानक विचलन के बजाय, विचरण की संबद्ध अवधारणा, जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है $$$वर \ लेफ्ट [X \ right] = \ sigma ^ 2$ । चूंकि वर्ग का उपयोग किया जाता है, इसलिए विचरण हमेशा सकारात्मक होता है, जो गणना में मदद करता है।

मोंटे कार्लो (2)

ऊपर, हमने लगभग रीमैन 3 राशि का उपयोग करके समीकरण 3 की गणना की। अब हम मोंटे कार्लो एकीकरण के साथ इस प्रयोग को दोहराते हैं। स्मरण करो कि मोंटे कार्लो एकीकरण निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ टैग {5} \ int_ {a} ^ b (f) dx = (ba) E \ left [f (X) \ right] \ लगभग \ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (X)$$

आइए इसे सी कोड में अनुवाद करें:

double sum = 0; for( int i = 0; i < n; i++ ) sum += f( Rand( 5 ) - 2.5 ); sum = (sum * 5.0) / (double)n; 

से मूल्यों के लिए परिणाम $$$n = 2$ को $$$n = 200$ नीचे दिए गए चार्ट में दिखाया गया है। इससे यह माना जा सकता है कि मोंटे कार्लो एकीकरण खुद को रीमैन योग की तुलना में बहुत खराब करता है। त्रुटि की एक नजदीकी परीक्षा कहती है कि $$$n = 200$ रीमैन योग की औसत त्रुटि है $$$0.0002$ और मोंटे कार्लो $$$0.13$ ।


चित्र 6: 2..200 नमूनों में मोंटे कार्लो त्रुटि।

उच्च आयामों में, यह अंतर कम हो जाता है, लेकिन पूरी तरह से समाप्त नहीं होता है। नीचे दिखाया गया समीकरण दो उपयोगों को प्राप्त करते हुए, ऊपर उपयोग किए गए संस्करण का एक विस्तारित संस्करण है:

$$

$$f (x, y) = \ left | \ sin \ left (\ frac {1} {2} x + \ frac {\ pi} {2} \ right) \ tan \ frac {x} {27} + \ sin \ बायाँ (\ frac {1} {6} x ^ 2 \ right) + \ frac {4} {x + \ pi + 1} -1 \ सही | \ बाएँ | \ sin \ left (1.1y \ right) \ cos \ बायां (2.3x \ दा) \ दा | (६)$$

चित्र 7: उपरोक्त समीकरण का ग्राफ।

परिभाषा के क्षेत्र में $$$x $ [-2.5,2.5], y∈ [-2.5,2.5]$ इस फ़ंक्शन और विमान द्वारा सीमित मात्रा $$$xy$ बराबर है $$$6.8685$ । पर $$$n = 400$ (20 × 20 नमूने) रीमैन योग की त्रुटि है $$$0.043$ । समान नमूनों की संख्या के साथ, मोंटे कार्लो एकीकरण की औसत त्रुटि है $$$0.33$ । यह पिछले परिणाम की तुलना में बेहतर है, लेकिन अंतर अभी भी महत्वपूर्ण है। इस समस्या को समझने के लिए, हम "स्ट्रेटिफिकेशन" नामक प्रसिद्ध मोंटे कार्लो एकीकरण फैलाव कमी तकनीक का अध्ययन करेंगे।


चित्र 8: स्तरीकरण का प्रभाव; ए) खराब वितरण के साथ नमूने; बी) वर्दी वितरण के साथ नमूने।

स्तरीकरण यादृच्छिक संख्या की एकरूपता को बढ़ाता है। चित्रा 8 ए में , आठ यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग फ़ंक्शन के नमूने के लिए किया जाता है। चूंकि प्रत्येक संख्या को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, वे अक्सर परिभाषा के क्षेत्र में असमान रूप से वितरित किए जाते हैं। चित्रा 8 बी स्तरीकरण के प्रभाव को दर्शाता है: परिभाषा क्षेत्र को आठ स्तरों में विभाजित किया गया है, और प्रत्येक स्ट्रेटम में एक यादृच्छिक स्थिति का चयन किया जाता है, जो एकरूपता में सुधार करता है।

विचरण पर प्रभाव काफी हद तक स्पष्ट है। चित्रा 9 ए स्तरीकरण के साथ और बिना परिणामों का एक ग्राफ दिखाता है। चित्रा 9 बी अनुमानित मूल्य त्रुटि को दर्शाता है। पर $$$n = 10$ 8 स्ट्रैट के लिए औसत त्रुटि है $$$0.05$ ; 20 तबके के लिए - $$$0.07$ , और 200 स्ट्रैट के लिए यह घट जाती है $$$0.002$ । इन परिणामों के आधार पर, ऐसा लगता है कि यह बड़ी संख्या में स्ट्रैट का उपयोग करने के लायक है। हालांकि, स्तरीकरण के नुकसान हैं जो बढ़ती संख्या के साथ बढ़ते हैं। सबसे पहले, नमूनों की संख्या हमेशा स्ट्रैटा की संख्या से कई होनी चाहिए; दूसरी बात, जैसा कि रीमैन योग में, स्तरीकरण आयामों के अभिशाप से ग्रस्त है।


चित्रा 9: स्तरीकरण और विचरण: ए) एन = 2 से एन = 200 तक नमूनों की संख्या के लिए एक अनुमानित मूल्य; बी) विचलन।

महत्व का नमूना

पिछले अनुभागों में, हमने समान रूप से समीकरणों का नमूना लिया। मोंटे कार्लो के एकीकृत कार्य का विस्तार हमें स्थिति को बदलने की अनुमति देता है:

$$

$$\ tag {7} \ int_ {a} ^ b (f) dx = (ba) E \ left [f (X) \ right] \ लगभग \ frac {ba} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {f (X)} {p (X)}$$

यहां $$$p (X)$ एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) है : यह सापेक्ष संभावना को निर्धारित करता है कि एक यादृच्छिक चर एक निश्चित मूल्य लेगा।

अंतराल में एक समान यादृच्छिक चर के लिए $$$0..1$ , पीडीएफ 1 ( चित्रा 10 ए) है, और इसका मतलब है कि प्रत्येक मूल्य में पसंद की समान संभावना है। यदि हम इस फ़ंक्शन को एकीकृत करते हैं $$$[0,0.5]$ तब हमें इसमें संभावना मिलती है $$$0.5$ क्या $$$X <\ frac {1} {2}$ । के लिए $$$X> \ frac {1} {2}$ हम स्पष्ट रूप से समान संभावना प्राप्त करते हैं।


चित्र 10: संभाव्यता वितरण। क) निरंतर पीडीएफ जिस पर प्रत्येक नमूने की पसंद की समान संभावना है; बी) पीडीएफ, जहां 0.5 से नीचे के नमूनों में चयन की अधिक संभावना है।

चित्र 10 बी एक और पीडीएफ दिखाता है। इस मामले में, संख्या उत्पन्न करने की संभावना कम है $$$\ frac {1} {2}$ 70% के बराबर। यह निम्नलिखित कोड स्निपेट का उपयोग करके लागू किया जा सकता है:

 float SamplePdf() { if (Rand() < 0.7f) return Rand( 0.5f ); else return Rand( 0.5f ) + 0.5f; } 

इस पीडीएफ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ टैग {8} पी (एक्स) = \ लेफ्ट \ {\ _ शुरू {मैट्रिक्स} 1.4, अगर x <\ frac {1} {2} \\ 0.6, अन्यथा \ अंत {मैट्रिक्स} \ दा $$$

संख्या $$$1.4$ और $$$0.6$ उस संभावना को प्रतिबिंबित करें $$$x <\ frac {1} {2}$ 70% के बराबर था। जब पीडीएफ को एकीकृत करके $$$[0 .. \ frac {1} {2}]$ देता है $$$1.4 \ गुना \ frac {1} {2}$ , और $$$0.6 \ गुना \ frac {1} {2}$ है $$$0.3$ । यह सामान्य रूप से सभी pdfs के लिए एक महत्वपूर्ण आवश्यकता दिखाता है: पीडीएफ को एकीकृत करने का परिणाम होना चाहिए 1. एक और आवश्यकता यह है कि $$$p (x)$ अगर शून्य नहीं हो सकता $$$च (x)$ गैर-शून्य: इसका मतलब यह होगा कि भागों $$$च$ एक शून्य नमूना संभावना है, जो स्पष्ट रूप से मूल्य को प्रभावित करता है।

पीडीएफ अवधारणा को समझने के लिए कुछ सुझाव:

• एक पीडीएफ मूल्य संभावना का वर्णन नहीं करता है: इसलिए, स्थानीय रूप से पीडीएफ 1 से अधिक हो सकता है (उदाहरण के लिए, जैसा कि बस जांच की गई पीडीएफ में)।
• हालांकि, पीडीएफ की परिभाषा के डोमेन पर अभिन्नता एक संभावना है, जिसका अर्थ है कि पीडीएफ का एकीकरण 1 देता है।

एक मूल्य की व्याख्या एक विशिष्ट मूल्य की उपस्थिति की सापेक्ष संभावना के रूप में की जा सकती है।

यह विचार करने योग्य है कि सामान्य वितरण एक संभावना वितरण फ़ंक्शन है: यह हमें संभावना देता है कि कुछ यादृच्छिक चर एक निश्चित अंतराल में होंगे। एक सामान्य वितरण के मामले में, यह यादृच्छिक चर माध्य से विचलन है। किसी भी सभ्य पीडीएफ की तरह, सामान्य वितरण को एकीकृत करने का परिणाम 1 है।

इसलिए, समीकरण 7 हमें गैर-समान नमूना प्रदर्शन करने की अनुमति देता है। यह अपनी पसंद की सापेक्ष संभावना द्वारा प्रत्येक नमूने को विभाजित करके इसके लिए क्षतिपूर्ति करता है। इसका महत्व चित्र 11a में दिखाया गया है। फ़ंक्शन ग्राफ एक महत्वपूर्ण अंतराल दिखाता है जिसमें इसका मूल्य है $$$0$ । इस क्षेत्र में नमूना लेना व्यर्थ है: योग में कुछ भी नहीं जोड़ा जाता है, हम बस एक बड़ी संख्या से विभाजित होते हैं। चित्र 1 सी से आइसबर्ग को याद रखें: यह हिमशैल के आसपास एक बड़े क्षेत्र में ऊंचाई का नमूना लेने के लिए कोई मतलब नहीं है।


चित्र 11: शून्य मान वाले फ़ंक्शन के लिए pdf।

फ़ंक्शन के इस ज्ञान का उपयोग करने वाला एक पीडीएफ चित्र 11 बी में दिखाया गया है। ध्यान दें कि यह पीडीएफ वास्तव में मूल्यों की श्रेणी के लिए शून्य है। यह इसे एक गलत पीडीएफ में नहीं बदलता है: कुछ स्थानों पर, फ़ंक्शन शून्य है। हम इस विचार को शून्य से आगे बढ़ा सकते हैं। नमूने उन स्थानों पर सबसे अच्छा खर्च किए जाते हैं जिनमें फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण मूल्य होते हैं। वास्तव में, आदर्श पीडीएफ नमूना फ़ंक्शन के लिए आनुपातिक है । हमारे फ़ंक्शन के लिए एक बहुत अच्छा पीडीएफ चित्र 12 ए में दिखाया गया है। एक बेहतर पीडीएफ चित्र 12 बी में दिखाया गया है। दोनों मामलों में, हमें इसे सामान्य करने के लिए नहीं भूलना चाहिए ताकि अभिन्न 1 के बराबर हो।


चित्रा 12: चित्र 11 में फ़ंक्शन के लिए एन्हांस किए गए पीडीएफ।

चित्र 12 में पीडीएफ हमारे लिए दो कार्य हैं:

1. ऐसे pdf कैसे बनाये;
2. ऐसे पीडीएफ का नमूना कैसे लें?

दोनों प्रश्नों का उत्तर समान है: हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है। कई मामलों में, जिस फ़ंक्शन को हम एकीकृत करना चाहते हैं वह अज्ञात है, और उन स्थानों को निर्धारित करने का एकमात्र तरीका है जहां यह महत्वपूर्ण है कि इसे नमूना करना है, और इसके लिए हमें पीडीएफ की आवश्यकता है; "चिकन और अंडे" की क्लासिक स्थिति।

हालांकि, अन्य मामलों में, हमारे पास एक मोटा विचार है जहां फ़ंक्शन उच्च मान या शून्य मान दे सकता है। इस तरह के मामलों में, एक बहुत ही रफ पीडीएफ अक्सर पीडीएफ की तुलना में बेहतर होता है।

साथ ही, हमारे पास मक्खी पर पीडीएफ बनाने का अवसर हो सकता है। नमूने के एक जोड़े समारोह के रूप का एक विचार देते हैं, और इसके आधार पर हम बाद के नमूनों को उन स्थानों पर लक्षित करते हैं जहां हम उच्च मूल्यों की उम्मीद करते हैं, जिसका उपयोग हम पीडीएफ में सुधार करने के लिए करते हैं, और इसी तरह।

अगले लेख में, हम इन अवधारणाओं को प्रतिपादन कार्यान्वयन पर लागू करेंगे। एक गंभीर चुनौती पीडीएफ का निर्माण है। हम कई मामलों की जांच करते हैं जहां पीडीएफ़ नमूने लेने में मदद करते हैं।