Dithering: इसे सुधारने के लिए शोर संकेत

परिचय

लेखों की इस श्रृंखला के पहले भाग में , हम थका देने के सैद्धांतिक पक्ष, इतिहास का एक सा और इसके 1D संकेतों और नमूने पर विचार करेंगे। मैं विवेकाधीन त्रुटियों का एक आवृत्ति विश्लेषण करने की कोशिश करूंगा और इस बारे में बात करूंगा कि उन्हें कैसे सही करने में मदद मिलती है। मूल रूप से यह एक सैद्धांतिक लेख होगा, इसलिए यदि आप अधिक व्यावहारिक अनुप्रयोगों में रुचि रखते हैं, तो अगले भागों की प्रतीक्षा करें।

परिणामों को पुन: प्रस्तुत करने के लिए मैथमेटिका नोटबुक यहां पाया जा सकता है , और पीडीएफ संस्करण यहां है ।

क्या मर रहा है?

नमूनाकरण या उप-नमूने के परिणामस्वरूप बड़े पैमाने पर / कम-रिज़ॉल्यूशन त्रुटियों को रोकने के लिए एक संकेत में शोर को जानबूझकर / जानबूझकर परिचय के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

यदि आपने कभी साथ काम किया है:

• ऑडियो संकेत
• 90 के दशक की पैलेट छवि प्रारूप

उन्हें मितव्ययी विकल्पों को पूरा करना चाहिए था, जो कि शोर और कम-रिज़ॉल्यूशन की कलाकृतियों के लिए धन्यवाद, "जादुई रूप से" ध्वनि या छवियों की गुणवत्ता में सुधार करते थे।

हालाँकि, मैंने विकिपीडिया पर पाया कि कैसे पहली बार इसे परिभाषित और उपयोग किया गया था, इस बारे में एक आश्चर्यजनक तथ्य:

... द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान dithering के पहले अनुप्रयोगों में से एक उत्पन्न हुआ। बमवर्षक विमानों ने बमों के प्रक्षेपवक्र को नेविगेट करने और गणना करने के लिए यांत्रिक कंप्यूटरों का उपयोग किया। यह उत्सुक है कि इन कंप्यूटरों (सैकड़ों गियर और गियर से भरे बक्से) ने जमीन पर एक हवाई जहाज पर उड़ान भरते समय अधिक सटीक रूप से काम किया। इंजीनियरों ने महसूस किया कि विमान के कारण होने वाले कंपन चिपचिपाते हुए भागों के कारण होने वाली त्रुटि को कम करते हैं। पृथ्वी पर, वे छोटे झटकेदार आंदोलनों में चले गए, और हवा में उनका आंदोलन अधिक निरंतर था। छोटे वाइब्रोमोटर्स को कंप्यूटर में बनाया गया था, और उनके कंपन को मध्य अंग्रेज़ी शब्द "डीडरन" से अर्थ "कांपना" कहा जाता था। आज, जब आप इसकी सटीकता को बढ़ाने के लिए एक यांत्रिक मीटर पर दस्तक देते हैं, तो आप इससे प्रभावित होते हैं। जब छोटी मात्रा में उपयोग किया जाता है, तो शब्द के अच्छे अर्थ में, डिजिटलीकरण प्रणाली को सफलतापूर्वक अधिक एनालॉग में परिवर्तित करता है।

- केन पॉलमैन, डिजिटल ऑडियो के सिद्धांत

यह एक प्रेरणादायक और दिलचस्प ऐतिहासिक तथ्य है और मुझे समझ में आता है कि क्यों यह हमें यांत्रिक कंपन की प्रतिक्रिया चक्रों को बेतरतीब ढंग से तोड़कर गणना और प्रतिध्वनियों में विचलन से बचने की अनुमति देता है।

लेकिन पर्याप्त कहानी, चलो पहली बार 1 डी संकेतों में प्रक्रिया को देखें, उदाहरण के लिए, ऑडियो में।

एक निरंतर संकेत dithering द्वारा नमूनाकरण

हम दुनिया के सबसे उबाऊ संकेत - एक निरंतर संकेत का विश्लेषण करके शुरू करेंगे। यदि आप ध्वनि से संबंधित संकेतों के डिजिटल प्रसंस्करण के बारे में थोड़ा जानते हैं, तो आप कह सकते हैं: लेकिन आपने ऑडियो पर विचार करने का वादा किया था, और परिभाषा के अनुसार ध्वनि में कोई निरंतर घटक नहीं है! (इसके अलावा, सॉफ़्टवेयर और ध्वनि प्रसंस्करण उपकरण में, तथाकथित डीसी ऑफ़सेट जानबूझकर समाप्त कर दिया जाता है।)

यह सच है, और जल्द ही हम और अधिक जटिल कार्यों को देखेंगे, लेकिन हम फिर से शुरू करेंगे।

कल्पना करें कि हम सामान्यीकृत फ्लोटिंग-पॉइंट सिग्नल के 1-बिट नमूने का प्रदर्शन कर रहे हैं। इसका मतलब यह है कि हम केवल परिमित बाइनरी मान, 0 या 1 के साथ काम कर रहे हैं।

यदि संकेत 0.3 है , तो बिना चक्कर के बिना सरल गोलाई सबसे उबाऊ कार्य होगा - बस शून्य !

त्रुटि भी निरंतर और 0.3 के बराबर है, इसलिए, औसत त्रुटि 0.3 के बराबर है। इसका मतलब है कि हमने सिग्नल में एक बड़ा विचलन शुरू किया और मूल सिग्नल की जानकारी को पूरी तरह से खो दिया।

हम इस संकेत को कम करने और परिणामों को देखने की कोशिश कर सकते हैं।

इस मामले में, डिटरिंग (राउंडिंग फ़ंक्शन का उपयोग करते समय) साधारण साधारण सफेद शोर (प्रत्येक तत्व के लिए एक यादृच्छिक मान, जो एक समान शोर स्पेक्ट्रम बनाता है) पर लागू होता है और नमूना करने से पहले सिग्नल के लिए एक यादृच्छिक अंतराल (-0.5, 0.5) जोड़ता है।

quantizedDitheredSignal =
राउंड [स्थिरांकलवुले + रैंडमReal [] - 0.5] और / @ रेंज [नमूनाकाउंट];

यहां कुछ देखना मुश्किल है, अब विवेक का परिणाम यादृच्छिक लोगों और शून्य का एक सेट है। (अपेक्षित) बहुत सारे शून्य के साथ। अपने आप में, यह संकेत विशेष रूप से दिलचस्प नहीं है, लेकिन त्रुटि अनुसूची और औसत त्रुटि काफी दिलचस्प है।


इसलिए, जैसा कि हम उम्मीद करते हैं, त्रुटि भी बदलती है, लेकिन यह भयावह है कि त्रुटि कभी-कभी बड़ी हो जाती है (निरपेक्ष मान 0.7)! यही है, अधिकतम त्रुटि दुर्भाग्य से बदतर हो गई है, लेकिन औसत शोर मायने रखता है:

मतलब [ditheredSignalError]
0.013

0.3 की प्रारंभिक त्रुटि से बहुत बेहतर है। बड़ी संख्या में नमूनों के साथ, यह त्रुटि शून्य (सीमा तक) हो जाएगी। तो, निरंतर घटक की त्रुटि बहुत कम हो गई है, लेकिन आइए सभी त्रुटियों के आवृत्ति ग्राफ को देखें।


रेड ग्राफ / बर्स्ट = डिटरिंग की अनुपस्थिति में त्रुटि की आवृत्ति स्पेक्ट्रम (आवृत्तियों के बिना निरंतर संकेत)। काला - सफेद शोर का उपयोग करते हुए।

सब कुछ अधिक दिलचस्प होता जा रहा है! यह इस पद से पहला निष्कर्ष प्रदर्शित करता है - कई आवृत्तियों के बीच नमूना त्रुटि / विचलन वितरित करता है ।

अगले भाग में, हम यह पता लगाएंगे कि यह हमारी मदद कैसे करेगा।

आवृत्ति संवेदनशीलता और कम पास छानने

ऊपर, हमने एक सैंपल कंटिन्युअस सिग्नल की डीथरिंग देखी:

• उसने अधिकतम त्रुटि बढ़ाई।
• लगभग औसत त्रुटि शून्य।
• कम आवृत्ति त्रुटि को कम करने, त्रुटि आवृत्ति स्पेक्ट्रम के लिए निरंतर सफेद शोर (पूर्ण स्पेक्ट्रम कवरेज के साथ) जोड़ा गया।

अपने आप में, यह हमारे लिए बहुत उपयोगी नहीं है ... हालांकि, हम किसी भी मनमाने गणितीय कार्य / संकेत के विवेक पर विचार नहीं कर रहे हैं। हम उन संकेतों पर विचार करते हैं जो आदमी द्वारा माना जाएगा। जाहिर है, मानवीय धारणा सीमित है। इसके कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

• हमारी दृष्टि में तीक्ष्णता की सीमा है। कई लोगों को मायोपिया है और चश्मे के बिना वे दूर की वस्तुओं की धुंधली छवियों को देखते हैं।
• हम बहुत अधिक या बहुत कम आवृत्तियों की तुलना में बेहतर विवरणों के औसत पैमाने का अनुभव करते हैं (बहुत चिकनी ग्रेडिएटर्स के छोटे विवरण अदृश्य हो सकते हैं)।
• हमारी सुनवाई एक निश्चित आवृत्ति रेंज (20 हर्ट्ज - 20 किलोहर्ट्ज़) में काम करती है, लेकिन समय के साथ बिगड़ जाती है) और हम मध्यम श्रेणी - 2 kHz - 5 kHz के लिए सबसे अधिक संवेदनशील हैं।

इसलिए, कथित आवृत्ति की ऊपरी सीमा के करीब आवृत्तियों में कोई भी त्रुटि बहुत कम ध्यान देने योग्य होगी।

इसके अलावा, हमारे मीडिया उपकरण बेहतर और बेहतर हो रहे हैं, जिससे अधिक से अधिक ओवरसैंपलिंग हो रही है । उदाहरण के लिए, टीवी और मॉनिटर के मामले में, हमारे पास "रेटिना" तकनीक और 4K डिस्प्ले हैं (जिस पर एक पिक्सेल देखना असंभव है), ध्वनि के क्षेत्र में हम सस्ते स्पीकरों के साथ कम से कम 44 kHz की नमूना दर के साथ फ़ाइल स्वरूपों का उपयोग करते हैं जो अक्सर नहीं खेल सकते हैं। 5-10 kHz से अधिक।

इसका मतलब है कि हम इसके कम-पास फ़िल्टरिंग के द्वारा संकेत की कथित उपस्थिति का अनुमान लगा सकते हैं। ग्राफ पर, मैंने कम-पास फ़िल्टरिंग किया (बाईं ओर शून्य के साथ भरना एक "वृद्धि" है):


लाल - वांछित गैर-नमूना संकेत। ग्रीन - डिथरिंग के साथ असतत संकेत। ब्लू इस सिग्नल का लो-पास फ़िल्टर है।

सिग्नल मूल, गैर-नमूना फ़ंक्शन के बहुत करीब लगने लगता है!

दुर्भाग्य से, हम कम आवृत्तियों को देखना शुरू कर रहे हैं जो मूल संकेत में बहुत ध्यान देने योग्य और अनुपस्थित हैं। श्रृंखला के तीसरे भाग में, हम इसे नीले शोर की मदद से ठीक करने का प्रयास करेंगे। इस बीच, यहाँ ग्राफ़ एक छद्म-शोर फ़ंक्शन के साथ कैसा दिख सकता है जिसमें बहुत कम आवृत्ति पर सामग्री होती है:

यह संभव है क्योंकि हमारे छद्म यादृच्छिक अनुक्रम में निम्न आवृत्ति स्पेक्ट्रम है:


लेकिन सरल, स्थिर कार्यों को देखते हुए समाप्त करें। साइन लहर पर एक नज़र डालें (यदि आप फूरियर प्रमेय से परिचित हैं, तो आप जानते हैं कि यह किसी भी आवधिक संकेत का निर्माण खंड है!)।

साइन वेव सैंपलिंग

यदि हम 1-बिट नमूने के साथ एक साइनसॉइड का नमूना लेते हैं, तो हमें एक सरल आयताकार संकेत मिलता है।


आयताकार संकेत काफी दिलचस्प है क्योंकि इसमें आधार आवृत्ति और विषम हार्मोनिक्स दोनों शामिल हैं।

यह एक दिलचस्प संपत्ति है जिसका उपयोग सक्रिय रूप से एनालॉग सबट्रैक्टिव सिंथेसाइज़र में खोखले / तांबे के उपकरणों की आवाज़ बनाने के लिए किया जाता है। ध्वन्यात्मक संश्लेषण एक जटिल, सामंजस्यपूर्ण रूप से समृद्ध ध्वनि लेता है और इसे फ़िल्टर करता है, ध्वनियों को वांछित आकार देने के लिए कुछ आवृत्तियों (फ़िल्टर पैरामीटर समय के साथ भिन्न होते हैं) को समाप्त करता है।

एक वर्ग तरंग की आवृत्ति स्पेक्ट्रम:


लेकिन इस पोस्ट में हम नमूनों की त्रुटियों में अधिक रुचि रखते हैं! आइए त्रुटि ग्राफ बनाते हैं, साथ ही त्रुटि आवृत्तियों का एक स्पेक्ट्रम:


इस मामले में, स्थिति बहुत बेहतर है - औसत त्रुटि शून्य के करीब है! दुर्भाग्य से, हमारे पास अभी भी कई अवांछनीय कम आवृत्तियां हैं जो हमारे मुख्य आवृत्ति (घटती परिमाण के साथ विषम गुणक) के बहुत करीब हैं। इस घटना को अलियासिंग या डिटरिंग शोर कहा जाता है - आवृत्तियां दिखाई देती हैं जो मूल संकेत में अनुपस्थित थीं, और वे काफी बड़ी हैं।

यहां तक ​​कि कम-पास फ़िल्टरिंग भी सिग्नल की महत्वपूर्ण मदद करने में सक्षम नहीं होगा। त्रुटि बहुत कम आवृत्तियों है:


विच्छिन्न साइन वेव कम पास फ़िल्टरिंग


सैंपल साइन वेव एक्यूरेसी

आइए एक नज़र डालते हैं कि डिटेरिंग को जोड़ने पर स्थिति कैसे बदलती है। पहली नज़र में, लगभग कोई सुधार नहीं है:


हालांकि, अगर हम इसे एक छवि के रूप में मानते हैं, तो यह बेहतर दिखने लगता है:


ध्यान दें कि नमूना त्रुटियों को फिर से विभिन्न आवृत्तियों के बीच वितरित किया जाता है:


यह बहुत ही आशाजनक लग रहा है! विशेष रूप से यह देखते हुए कि अब हम फ़िल्टरिंग की कोशिश कर सकते हैं:


यह थोड़ा विकृत साइन वेव है, लेकिन यह डाइथमरिंग के बिना संस्करण की तुलना में मूल के बहुत करीब दिखता है, असममित फिल्टर द्वारा पेश किए गए चरण शिफ्ट के अपवाद के साथ (मैं यहां यह व्याख्या नहीं करूंगा; मैं केवल यह कह सकता हूं कि सममित फिल्टर लगाने से समस्या को ठीक किया जा सकता है):


लाल मूल साइन लहर है। ग्रीन - कम-दर-फ़िल्टर्ड सिग्नल बिना डिटेरिंग के। ब्लू - डीथिंग के साथ कम-पास फ़िल्टर्ड सिग्नल।

दोनों त्रुटियों के ग्राफ संख्यात्मक रूप से पुष्टि करते हैं कि त्रुटि बहुत छोटी है:


लाल - बिना पासिंग के कम-पास फ़िल्टर्ड सिग्नल की त्रुटि। ब्लू - डीथरिंग के साथ कम-पास फ़िल्टर किए गए सिग्नल की त्रुटि।

अंत में, आइए एक संकेत को बेहतर ढंग से केवल उच्च आवृत्तियों वाले डीथरिंग फ़ंक्शन के साथ देखें:


शीर्ष छवि सफेद शोर का एक कार्य है। निचली छवि उच्च आवृत्तियों वाली एक फ़ंक्शन है।


कम-पास फ़िल्टरिंग, डीथरिंग और एक बेहतर फ़ंक्शन के साथ एक संस्करण - लगभग पूर्ण परिणाम, यदि आप फ़िल्टर के कारण चरण शिफ्ट को ध्यान में नहीं रखते हैं!

और अंत में, तीनों त्रुटि स्पेक्ट्रा की तुलना:


लाल - dithering के बिना नमूना त्रुटि का स्पेक्ट्रम। काला - सफेद शोर के साथ नमूने की त्रुटि का स्पेक्ट्रम। ब्लू - उच्च आवृत्तियों के साथ dithering के साथ नमूना त्रुटि का स्पेक्ट्रम।

परिणाम

यह श्रृंखला समाप्त होने का पहला भाग है। मुख्य निष्कर्ष:

• Dithering आवृत्तियों की बहुलता के बीच नमूना त्रुटि / विचलन को वितरित करता है, और यह dithering फ़ंक्शन पर निर्भर करता है; वे कम आवृत्तियों पर ध्यान केंद्रित नहीं करते हैं।
• किसी भी संकेत (ध्वनि, दृष्टि) की एक व्यक्ति की धारणा बहुत विशिष्ट आवृत्ति रेंज में सबसे अच्छा काम करती है। संकेतों को अक्सर अवधारणात्मक स्पेक्ट्रम की सीमाओं पर निरीक्षण किया जाता है, जहां धारणा संवेदनशील नहीं होती है। उदाहरण के लिए, मानक ऑडियो नमूनाकरण दरें आपको उन संकेतों को पुन: पेश करने की अनुमति देती हैं जो अधिकांश वयस्क बिल्कुल नहीं सुन सकते हैं। पूर्ववर्ती पैराग्राफ के कारण, यह इस आवृत्ति रेंज में डाइथरिंग और शिफ्टिंग त्रुटियों का उपयोग करने का विचार बहुत आकर्षक बनाता है।
• विभिन्न शोर फ़ंक्शन विभिन्न त्रुटि स्पेक्ट्रा बनाते हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है, यह जानना कि कौन सा त्रुटि स्पेक्ट्रम सबसे अधिक वांछनीय है।

अगले भाग में, हम विभिन्न डाइटिंग फ़ंक्शंस पर नज़र डालेंगे - एक जो मैंने इस लेख (गोल्डन अनुपात श्रृंखला) और नीले शोर में इस्तेमाल किया था।