गणितज्ञों ने एक पैटर्न पाया है, यह समझने के लिए कि इसकी उपस्थिति से कैसे बचा जाए

हमें अंत में पता चला कि संख्याओं का सेट कितना बड़ा होना चाहिए ताकि यह "बहुपद प्रगति" नामक एक पैटर्न को शामिल करने की गारंटी दे।

गणित में कुछ पैटर्न इतने दुर्लभ हैं कि उन्हें आपके पूरे जीवन के लिए खोजा जा सकता है और नहीं मिला। दूसरे इतने सामान्य हैं कि उन्हें बचना असंभव लगता है।

ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के सारा पिल्लस द्वारा प्रस्तुत किए गए नए साक्ष्य से पता चलता है कि एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण प्रकार का एक संख्यात्मक पैटर्न अनिवार्य रूप से अपरिहार्य है: यह संख्या के किसी भी पर्याप्त बड़े संग्रह में पाए जाने की गारंटी है, भले ही वे कैसे चुने जाएं।

लॉस एंजिल्स के कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के टेरेंस ताओ ने कहा, "इन पैटर्नों में एक प्रकार की अविनाशीता निहित है।"

पिल्लस के प्रमाण को "बहुपद प्रगति" नामक संख्याओं के अनुक्रम की चिंता है। वे बनाने में आसान हैं - आप अपना खुद का बहुत जल्दी बना सकते हैं - और वे संख्याओं के जोड़ और गुणा के बीच संबंध से संबंधित हैं।

कई दशकों से, गणितज्ञों ने जाना है कि संख्याओं के एक छोटे सेट (या "सेट") के साथ - अर्थात, जब इसमें अपेक्षाकृत कुछ संख्याएँ होती हैं - तो इसमें कोई बहुपद प्रगति नहीं हो सकती है। उन्हें यह भी पता था कि सेट की वृद्धि के साथ यह अंततः एक निश्चित सीमा से गुजरता है, जिसके बाद इसमें पहले से ही इतनी संख्या होती है कि ऐसे दृश्यों में से एक को पूरा करना होगा। यह आटे के पत्रों के साथ सूप के कटोरे जैसा दिखता है - आपके पास जितने अधिक अक्षर हैं, उतनी ही अधिक संभावना है कि आप उनसे शब्द जोड़ सकते हैं।

लेकिन पाइलस से पहले, गणितज्ञों को यह नहीं पता था कि यह दहलीज क्या है। उसका प्रमाण इस प्रश्न का उत्तर प्रदान करता है - एक सटीक सूत्र जो यह निर्धारित करता है कि सेट कितना बड़ा होना चाहिए ताकि यह कुछ बहुपद प्रगति की गारंटी दे।

और इससे पहले, गणितज्ञों का केवल अस्पष्ट विचार था कि बहुपद प्रगति (पूर्णांक 1, 2, 3, आदि) के बीच पाए जाते हैं। अब उन्हें पता है कि उन्हें कहां देखना है।

पैटर्न की तलाश में

इन पैटर्न की कल्पना करने के लिए, उनमें से एक पर विचार करें, जिस पर पिल्लस ने काम किया था, उससे थोड़ा सरल। चलो नंबर 2 से शुरू करते हैं और हम एक ट्रिपल जोड़ेंगे: 2, 5, 8, 11, 14, आदि। यह पैटर्न - एक संख्या से शुरू होकर, दूसरे को जोड़ना - "अंकगणितीय प्रगति" कहा जाता है। यह गणित में सबसे अधिक अध्ययन और लगातार प्रगति में से एक है।



पूर्णांकों के बीच अंकगणितीय प्रगति की घटना की आवृत्ति के बारे में, दो बातों को समझना चाहिए।

Endre Cemeredi 1975 में उनमें से एक साबित हुआ। सबसे पहले, उन्होंने कहा, अपनी अंकगणितीय प्रगति की लंबाई चुनें। यह चार सदस्यों (2, 5, 8, 11), या एक परिवार (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32), या सामान्य रूप से किसी भी संख्या के साथ एक पैटर्न हो सकता है। उसके बाद, वह साबित करता है कि जैसे ही संख्याओं का सेट एक निश्चित आकार (जो वह निर्धारित नहीं कर सकता था) तक पहुंचता है, वह निश्चित रूप से इस तरह की लंबाई के एक अंकगणितीय प्रगति का पता लगाएगा। इस प्रकार, उन्होंने इस विचार को मजबूत किया कि संख्याओं के पर्याप्त रूप से बड़े सेटों में कहीं न कहीं एक पैटर्न है।

"सेमरेड्डी, वास्तव में, ने कहा कि एक पूर्ण गड़बड़ असंभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कितने लेते हैं, कुछ संरचना हमेशा इसे प्राप्त करने का प्रबंधन करेगी, ” बेन ग्रीन ने ऑक्सफोर्ड से कहा।

हालाँकि, ज़ेमेरीरी की प्रमेय कुछ भी नहीं कहता है कि इन पैटर्नों के अपरिहार्य बनने के लिए संख्याओं का संग्रह कितना बड़ा होना चाहिए। उन्होंने बस इतना कहा कि किसी भी चुने हुए लंबाई की अंकगणितीय प्रगति के लिए, अज्ञात आकार की एक संख्या होनी चाहिए, जिसमें यह शामिल है।

उसके बाद के दो दशकों से अधिक, गणितज्ञों ने इस आकार को निर्धारित किया - इस तरह से अंकगणितीय कानूनों के संबंध में दूसरा मूल तथ्य।

2001 में, कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय से टिमोथी गोवर्स ने साबित किया कि यदि आप पांच सदस्यों की एक अंकगणितीय प्रगति को खोजने, कहने की गारंटी देना चाहते हैं, तो आपको कम से कम एक निश्चित संख्या के कई नंबरों की आवश्यकता है - और यह निर्धारित करना कि यह किस आकार का होगा (सटीक आकार का वर्णन करना मुश्किल है, यह सूत्र में विशाल घातीय संख्याएं शामिल हैं)।

यह समझने के लिए कि गोवर्स ने क्या किया है, आपको यह समझने की जरूरत है कि गणितज्ञों का मतलब संख्याओं के समूह के "आकार" और "काफी बड़े आकार" के विचार के बारे में बात करना है।

सबसे पहले, संख्या रेखा पर एक अंतराल का चयन करें, उदाहरण के लिए, 1 से 1000 तक, या कुछ और यादृच्छिक, जैसे कि 17 से 1016 तक। अंतराल की शुरुआत और अंत कोई फर्क नहीं पड़ता, केवल इसकी लंबाई महत्वपूर्ण है। फिर इस अंतराल से संख्याओं का अंश निर्धारित करें जिसे आप सेट में जोड़ना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप 1 से 1000 तक 100 नंबर का एक सेट बनाते हैं, तो आपके सेट का आकार अंतराल का 10% होगा।

गोवर्स प्रूफ इस बात पर ध्यान दिए बिना काम करता है कि आप इस सेट से नंबर कैसे लेते हैं। आप 1 से 1000 तक की 100 पहली विषम संख्याएँ, 6 में समाप्त होने वाली 100 पहली संख्याएँ, या 100 यादृच्छिक संख्याएँ भी ले सकते हैं। और गोवर्स ने साबित किया कि विधि की परवाह किए बिना, जैसे ही सेट पर्याप्त रूप से लंबे अंतराल में पर्याप्त रूप से बड़े स्थान (जरूरी नहीं कि 10%) पर कब्जा कर लेता है, पांच सदस्यों की एक अंकगणितीय प्रगति अनिवार्य रूप से इसमें दिखाई देगी। उन्होंने किसी भी लम्बाई की अंकगणितीय प्रगति के लिए भी यही साबित किया।

पिल्लस ने कहा, "गोवर्स के बाद, हम जानते हैं कि अगर वे मुझे किसी भी लम्बाई की अंकगणितीय प्रगति देते हैं, तो एक निश्चित आकार की संख्याओं के सबसेट" आवश्यक रूप से इस प्रगति में शामिल होंगे।

पिल्लस का काम गोवर्स की उपलब्धि के समान है, केवल उसने बहुपद प्रगति पर ध्यान केंद्रित किया है।

अंकगणितीय प्रगति में, हम एक प्रारंभिक संख्या का चयन करते हैं और इसमें दूसरा जोड़ते हैं। जिस बहुपदीय प्रगति के रूप में पिलियस ने अध्ययन किया है, आप प्रारंभिक मूल्य का चयन करते हैं, और इसमें दूसरी संख्या की शक्तियाँ जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए: 2, 2 + 3 ¹ , 2 + 3 ² , 2 + 3 ³ , 2 + 3 ⁴ । अर्थात्, 2, 5, 11, 29, 83. इसकी प्रगति में, प्रत्येक डिग्री के लिए केवल एक सदस्य भी था - यह आवश्यकता उनके साथ काम को सरल बनाती है।

ये बहुपद प्रगति, ज्यामितीय प्रगति के रूप में इस तरह के एक महत्वपूर्ण नियमितता से निकटता से संबंधित हैं, जो संख्या को एक बढ़ती हुई डिग्री तक बढ़ाते हुए बनता है: 3 ¹ , 3 ² , 3 ³ , 3 ⁴ , ... वे स्वाभाविक रूप से गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में दिखाई देते हैं और गणितज्ञों को प्रसन्न करते हैं। कई सदियों के लिए। ज्यामितीय प्रगति संख्याओं के बड़े सेट में भी कम आम हैं, हालांकि, यदि आप इसे थोड़ा ठीक करते हैं - उदाहरण के लिए, प्रत्येक पद के लिए एक निरंतरता जोड़ते हुए - आपको एक बहुपद प्रगति मिलती है। लेकिन वे सिर्फ हर जगह दिखाई देते हैं।



“आप संख्याओं के बड़े समूह बना सकते हैं जिसमें ज्यामितीय प्रगति नहीं होती है। लेकिन अगर आप खुद को थोड़ी आजादी देते हैं और ज्यामितीय प्रगति को आगे बढ़ाते हैं , "एक बहु-बहुपद प्रगति बना रही है, तो बड़े सेट उन्हें शामिल करने के लिए मजबूर होने लगते हैं, लैंकेस्टर विश्वविद्यालय के सीन प्रेंडेविले ने कहा, जिन्होंने बहुपदीय प्रगति पर सिलसिला के साथ काम किया।

1996 में विटाली बर्गल्सन और अलेक्जेंडर लीबमैन ने यह साबित कर दिया कि जब वे एक भीड़ द्वारा पर्याप्त रूप से बड़े आकार तक पहुँचते हैं, तो आवश्यक रूप से बहुपद प्रगति को प्रदर्शित करना चाहिए - यह सेरेमेडी के कार्य के बहुपद के बराबर था। हालाँकि, गणितज्ञों को पता नहीं था कि एक "पर्याप्त रूप से बड़ा" सेट कितना बड़ा होना चाहिए।

पिल्लस ने इस सवाल का जवाब एक सहज तरीके से दिया - यह सोचकर कि कई संख्याओं के गुण क्या होने चाहिए ताकि इस तरह के पैटर्न न हों।

पैटर्न के साथ लड़ पैटर्न

पिल्लस यह निर्धारित करना चाहता था कि सेट कितना बड़ा होना चाहिए - अंतराल में संख्याओं का कितना प्रतिशत इसमें होना चाहिए - यह सुनिश्चित करने के लिए कि इसमें दी गई बहुपद प्रगति होगी। ऐसा करने के लिए, उसने उन सभी तरीकों को प्रस्तुत किया, जिसमें बहुत सी संख्याएँ इसमें प्रगति की उपस्थिति से बच सकती हैं - और फिर साबित किया कि एक निश्चित आकार से अधिक भी इन रणनीतियों के सबसे सरल काम नहीं करता है।

इस कार्य को एक प्रतियोगिता माना जा सकता है। मान लीजिए कि कोई आपसे 1 से 1000 तक के आधे नंबरों वाला एक सेट बनाने के लिए कहता है। आप जीतते हैं अगर सेट में बहुपद प्रगति के पहले चार सदस्य नहीं हैं। आप नंबर कैसे लेंगे?


ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के सारा पिलियस

आप सहज रूप से संख्याओं को यादृच्छिक रूप से चुनने का प्रयास कर सकते हैं। लेकिन यह वृत्ति त्रुटिपूर्ण होगी।

“ज्यादातर सेट एक सामान्य वितरण के बीच में होते हैं। वे बहुपद प्रगति की औसत संख्या में शामिल हैं, ”Prendeville कहा। और यह औसत मूल्य आपके लिए आवश्यक शून्य से बहुत अधिक है।

यह ऐसा है जैसे कि आप ग्रह की पूरी आबादी से एक यादृच्छिक व्यक्ति का चयन करते हैं और उसे प्राप्त करते हैं जिसका विकास औसत के करीब है। यदि आपका लक्ष्य 2 मीटर से अधिक दुर्लभ नमूना खोजना है, तो आपको और अधिक दिशात्मक तरीके से खोज करने की आवश्यकता है।

इसलिए, संख्या चयन प्रतियोगिता को जीतने के लिए, आपको यह तय करने के लिए अधिक संगठित तरीके की आवश्यकता है कि कौन से नंबर आपके 500 सेट के सेट में शामिल किए जाएं। उदाहरण के लिए, आप देख सकते हैं कि यदि आप केवल संख्याओं का चयन करते हैं, तो आप इस संभावना को समाप्त कर सकते हैं कि सेट में विषम संख्याओं वाली बहुपद प्रगति होगी। प्रगति! स्वाभाविक रूप से, इस तरह आप इस संभावना को बढ़ाते हैं कि आपके सेट में बहुपद प्रगति होती है जिसमें सम संख्याएँ भी होती हैं।

हालांकि, लब्बोलुआब यह है कि 500 ​​नंबर का चयन करने के लिए एक संरचित तरीके के साथ आ रहा है, आप कुछ बहुपद प्रगति के सेट में होने की संभावना को समाप्त कर सकते हैं। दूसरे शब्दों में, एक पैटर्न से बचने के लिए एक पैटर्न का पालन करना आवश्यक है।

पिलियस ने यह साबित करने का फैसला किया कि एक निश्चित आकार तक पहुंचने पर, यहां तक ​​कि बहुत चतुराई से तैयार किए गए सेटों में अभी भी बहुपद प्रगति को शामिल करना होगा। वास्तव में, वह उस महत्वपूर्ण बिंदु को निर्धारित करना चाहती थी जिस पर आप हर बार एक प्रकार की बहुपद प्रगति को शामिल करने से परहेज करते हैं, दूसरे प्रकार की बहुपद प्रगति की उपस्थिति पर आते हैं - जैसा कि सम और विषम संख्याओं के साथ होता है।

ऐसा करने के लिए, उसे सेट की संरचना को निर्धारित करने का एक तरीका खोजने की आवश्यकता थी।

संरचना माप

पिल्लस के काम से पहले, कई गणितज्ञों ने ठीक से समझने की कोशिश की, जब कई संख्याओं में बहुपद प्रगति दिखाई देती है। बहुत से सफल गणितज्ञ इसमें लगे हुए थे, लेकिन उनमें से कोई भी सेट के आकार का पता लगाने के लिए महत्वपूर्ण प्रगति करने में सक्षम नहीं था, जिसे विभिन्न लंबाई की बहुपद प्रगति को शामिल करने के लिए पहुंचना चाहिए।

उनके लिए मुख्य बाधा यह थी कि गणितज्ञों को पता नहीं था कि संरचनाओं को कैसे चित्रित किया जाए जो बहुपद प्रगति की उपस्थिति से बचें। इसके लिए एक संभावित तकनीक थी, लेकिन जब पिल्लस ने इस क्षेत्र में काम करना शुरू किया, तो इसे बहुपद प्रगति से संबंधित प्रश्नों पर लागू नहीं किया जा सका।

यह तकनीक गेटर 2001 के अंक में अंकगणितीय प्रगति पर दिखाई दी। गोवर्स ने परीक्षण का निर्माण किया, इसे "गौर्स मानदंड" कहा, जो संख्याओं की भीड़ में एक निश्चित प्रकार की संरचनाओं का पता लगाता है। परीक्षण एक एकल संख्या का उत्पादन करता है जो सेट में संरचनात्मकता की मात्रा निर्धारित करता है - अर्थात, यह संख्यात्मक रूप से दिखाता है कि एक सरल सेट से यादृच्छिक संख्या कितनी दूर चली गई है।

ग्रीन ने कहा, "सेट की अवधारणा यादृच्छिक दिखती है," स्पष्ट रूप से गणितीय रूप से परिभाषित नहीं है। गोवर्स ने इस अवधारणा को निर्धारित करने का एक तरीका पाया।

कई कमोबेश संरचित हो सकते हैं। यादृच्छिक संख्या वाले सेटों में कोई संरचना नहीं होती है, इसलिए, उच्च संभावना के साथ संख्यात्मक पैटर्न होते हैं। इस तरह के सेट में लो गोवर्स नॉर्म्स होते हैं। केवल विषम संख्या, या केवल 10 से विभाज्य संख्या वाले सेटों में एक अल्पविकसित संरचना होती है। यह साबित करना आसान है कि यदि एक निश्चित आकार को पार किया जाता है, तो इस तरह के एक सरल संरचना के सेट में विभिन्न नियमितताएं भी दिखाई देंगी।

सबसे कठिन काम कई जटिल संरचनाओं के साथ काम करना है। वे यादृच्छिक लग सकते हैं, लेकिन एक ही समय में कुछ बहुत ही मुश्किल नियम के अनुसार बनाया जा सकता है। उनका गोवर्स का मानदंड उच्च है, और वे सेट का आकार बढ़ने पर पैटर्न से बचने के लिए सबसे अच्छा मौका देते हैं।

चूंकि गोवर्स ने इन तकनीकों का उपयोग अंकगणितीय प्रगति से संबंधित प्रश्नों के उत्तर खोजने के लिए किया था, इसलिए उन्हें बहुपद प्रगति के बारे में प्रश्नों पर लागू नहीं किया जा सकता था। अंकगणितीय प्रगति में समान अंतराल होते हैं, और बहुपद प्रगति में संख्या बहुत सक्रिय रूप से कूदती हैं। गोवर्स मानदंड बहुपद प्रगति के साथ-साथ एक घर से पुराने पेंट को साफ करने के लिए घास ट्रिमर के अध्ययन के लिए उपयोगी थे: विचार समान है, हालांकि यह इस काम के लिए पूरी तरह से उपयुक्त नहीं है।

नए साक्ष्य में, पिलियस ने पॉलीओनोमिक प्रगति से जुड़े संरचनाओं का विश्लेषण करने के लिए एक नया तरीका बनाने के लिए गोवर्स मानदंड के मूल विचार का उपयोग किया। उसने "डिग्री कम करने" की तकनीक का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि उसके लिए ब्याज की बहुपद प्रगति के साथ कार्यवाही में, आपको कम गोवर्स मानदंड के साथ केवल सरल संरचनाओं के बारे में चिंता करनी चाहिए। तथ्य यह है कि बहुपद प्रगति एक शब्द से दूसरे में संक्रमण के दौरान इतनी बदल जाती है कि वे अनिवार्य रूप से कम टिकाऊ संख्यात्मक बाधाओं से टूटते हैं - जैसे कि एक हाथी एक चीन की दुकान से बाहर शोकेस के माध्यम से धक्का देता है।

पिल्लस सूत्र का सरल शब्दों में वर्णन करना कठिन है। इसमें मूल अंतराल की लंबाई का दोहरा लघुगणक शामिल है जिसमें से आप अपने सेट के लिए संख्याओं का चयन करते हैं। उसके द्वारा प्राप्त न्यूनतम आकार आवश्यक रूप से सभी संभव सबसे छोटा नहीं होगा - भविष्य के कार्यों में यह पाया जा सकता है कि सही सीमा कम है। लेकिन जब तक इसका प्रमाण सामने नहीं आया, तब तक गणितज्ञों को बहुपद प्रगति की मौजूदगी की गारंटी की मात्रात्मक समझ नहीं थी।

"वह दिखावा करने वाली पहली व्यक्ति थी कि सेट का आकार कितना बड़ा होना चाहिए," प्रेंडिविल ने कहा।

सबूत पिल्लस मात्रात्मक रूप से बहुपदीय प्रगति से संबंधित एक प्रश्न का उत्तर देता है। अब गणितज्ञ एक और सवाल का जवाब पाने की उम्मीद में इसका इस्तेमाल करते हैं - जब बहुपद प्रगति पूरी तरह से primes से मिलकर सेट में दिखाई देती है, तो गणित में सबसे महत्वपूर्ण संख्या, किसी भी क्रम का डटकर विरोध करते हैं। इससे पहले कि यह सबूत सामने आए, गणितज्ञों को पता नहीं था कि इस प्रश्न को कैसे अपनाया जाए।

"उम्मीद है कि मेरे काम के कुछ तर्कों को अभाज्य संख्याओं के क्षेत्र में लागू किया जा सकता है," पिल्लस ने कहा।