💟 🖖🏻 🚶🏾 टॉपलेस विडियो गेम डेवलपर के लिए टोपोलॉजी और व्यापक विश्लेषण: सिंगल 3 डी वैक्टर को कंप्रेस करना 👩‍🚒 🚴 👩🏿‍🔬

जैसा कि आप पहले से ही मेरे पिछले लेखों से समझ सकते हैं, मुझे जटिल गणित को प्रदर्शित करने के लिए एक बहाने के रूप में खेल के विकास का उपयोग करना पसंद है जिसके लिए अन्यथा अधिकांश लोगों का कोई उपयोग नहीं होगा। और यह लेख कोई अपवाद नहीं है! मैं एक बहुत ही शांत तकनीक दिखाना चाहता हूं, जो मेरे लिए दिलचस्प है:

प्रक्रिया पर्याप्त स्पष्ट है
यह सामान्य तकनीक की तुलना में बहुत तेज है जो समान कार्य करता है
यह फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्मेट में फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों का प्रतिनिधित्व करने की एक बहुत ही असामान्य संपत्ति का उपयोग करता है, जिसका मतलब है कि ...
यह शास्त्रीय विश्लेषण में काम नहीं करता है । सिद्धांत में काम करने के लिए इस एल्गोरिथ्म के लिए, आपको गैर-शास्त्रीय गणित की अद्भुत दुनिया में उतरना होगा! और अगर इससे आपकी उत्सुकता नहीं जगी, तो मुझे नहीं पता कि और क्या करना है।

यह लेख काफी लंबा और सैद्धांतिक है, क्योंकि इसमें स्पष्टीकरणों के गहन अध्ययन की आवश्यकता है, इसलिए अपना समय लें और उन हिस्सों को फिर से पढ़ें जिन्हें आपने सोचा था कि पहली बार इतना स्पष्ट नहीं था।

संदर्भ के बारे में थोड़ा (GPU)

उन महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक जो आपको खेलों के विकास में और व्यापक अर्थों में ध्यान देना चाहिए - ग्राफिक्स के सक्रिय उपयोग के साथ किसी भी क्षेत्र में - जीपीयू की बैंडविड्थ है। केंद्रीय प्रोसेसर और GPU अलग-अलग भौतिक उपकरण हैं, और उन्हें डेटा का आदान-प्रदान करने के लिए सिंक्रनाइज़ेशन की आवश्यकता होती है। यदि आपने पहले ही समानांतर प्रसंस्करण कर लिया है, तो आप जानते हैं कि जब दो उपकरणों को सिंक्रनाइज़ करने की आवश्यकता होती है, तो इसका मतलब है कि समय की एक महत्वपूर्ण राशि खोना। इस संबंध में सीपीयू-जीपीयू की बातचीत अलग नहीं है, इसलिए हम दोनों ही परिचालनों की संख्या और स्थानांतरित किए गए डेटा की मात्रा में डेटा ट्रांसफर को कम करने का प्रयास करते हैं।

डेटा ट्रांसफर संचालन की संख्या का न्यूनतम उपयोग आमतौर पर बफरिंग का उपयोग करके किया जाता है: हम सभी डेटा को सबसे छोटी संख्या में सरणियों में फिट करने का प्रयास करते हैं, और फिर एक ही बार में सब कुछ स्थानांतरित कर देते हैं ताकि हमें अब उनके बारे में चिंता करने की आवश्यकता न हो। हस्तांतरण के संचालन में डेटा की मात्रा को कम करना एक पूरी तरह से अलग विषय है, और इस समस्या का समाधान लगभग हमेशा व्यक्तिगत होता है। इसके एक चरम उदाहरण के रूप में, आप देख सकते हैं कि डेस्टिनी रेंडरिंग इंजन कैसे स्थिति, सतह के मानदंडों, सामग्री के झंडे और 96-बिट पूर्ण अनिसोट्रोपिक बीएसडीएफ मापदंडों को फिट करने का प्रबंधन करता है, अर्थात। तीन फ़्लोटिंग पॉइंट नंबर (पृष्ठ 62 बाद में)। हालांकि, सामान्य तरीकों से अच्छे परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं, जिसमें अनुकूलन के लिए व्यक्तिगत समाधान जोड़े जाते हैं।

आज हम व्यक्तिगत एकल 3 डी वैक्टर के दोषरहित संपीड़न पर चर्चा करेंगे। इस वाक्य में कई कीवर्ड हैं:

सिंगल 3 डी वैक्टर : 3 डी वैक्टर 1 की लंबाई वाले
दोषरहित संपीड़न : सटीकता के नुकसान के बिना एकल 3 डी वैक्टर के विवरण के आकार को कम करें। यह हानिपूर्ण संपीड़न के विपरीत है ।
अलग : वेक्टर एन्कोडिंग और डिकोडिंग अपने पड़ोसियों के बारे में जानकारी के बिना किया जाता है। यदि स्थिति विपरीत थी, तो यह बैच संपीड़न जैसा कुछ हो सकता है, जिसमें व्यक्तिगत वैक्टर संकुचित नहीं होते हैं, लेकिन उनके ऐरे

आगे बढ़ने से पहले, मुझे Cigolle, Donow, Evangelakos, Mara, McGuire और Meyer द्वारा एक उत्कृष्ट लेख "स्वतंत्र इकाई क्षेत्र के लिए कुशल प्रतिनिधियों का सर्वेक्षण" का उल्लेख करना चाहिए, जिससे मैंने अपने पद की प्रेरणा ली। मुझे तुरंत यह कहना चाहिए कि मैं जिस एल्गोरिथ्म के बारे में बात करूंगा वह लेख में प्रस्तुत किए गए ऑक्टो एल्गोरिथ्म की तुलना में कम कुशल है । यदि आप अधिकतम दक्षता चाहते हैं, तो लेख पढ़ें और ऑक्ट का उपयोग करें। मेरी पोस्ट का उद्देश्य बहुत ही असामान्य गणित का उपयोग करने की सुंदरता दिखाना है, जबकि हम बाद में देखेंगे, एक बहुत ही सुविधाजनक एल्गोरिदम।

आपके वीडियो गेम में टोपोलॉजी सही है

इकाई क्षेत्र के मामले में, केवल case और because महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि ρ हमेशा 1 है, और इसलिए निरर्थक है।

एल्गोरिथ्म का प्रारंभिक बिंदु यह अवलोकन है कि इकाई 3 डी वैक्टर एक क्षेत्र पर बिंदुओं के बराबर है। जैसा कि आप शायद जानते हैं, एक गोला एक दो-आयामी सतह है, जो कि एक गोले पर बिंदुओं की विशिष्ट पहचान के लिए केवल दो निर्देशांक की आवश्यकता होती है। इसका एक बहुत ही सामान्य उदाहरण गोलाकार निर्देशांक है, जिसमें गोले के एक बिंदु को दो कोणों, φ और this द्वारा परिभाषित किया गया है।

दिलचस्प बात यह है कि एक अप्रिय संपत्ति यह है कि हालांकि गोले और भरा हुआ वर्ग (2 डी निर्देशांक के लिए एक संभावित स्थान) 2 डी ऑब्जेक्ट हैं, वास्तव में उनके बीच कोई पत्राचार नहीं है। इसका मतलब यह है कि वर्ग के प्रत्येक अद्वितीय बिंदु (कम से कम एक निरंतर तरीके से) क्षेत्र पर एक अद्वितीय बिंदु संलग्न करने का कोई तरीका नहीं है; उन्हें गैर-होमियोमॉर्फिक कहा जाता है (दूसरे शब्दों में, एक की सीमा होती है और दूसरे की नहीं होती है)। इसका एक अप्रिय परिणाम यह है कि कुछ 2D निर्देशांक इस अर्थ में खो जाते हैं कि विभिन्न निर्देशांक गोले पर समान बिंदुओं के अनुरूप होते हैं (उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक के मामले में, जब 0 0 होता है, तो संबंधित बिंदु उत्तर ध्रुव होगा, समन्वय regardless की परवाह किए बिना)। संपीड़न के संदर्भ में, हम मूल्यवान बिट पैटर्न खो देते हैं जिसके साथ हम एक क्षेत्र के बिंदुओं का वर्णन कर सकते हैं!

यदि आप अधिक गणित चाहते हैं और आप यह साबित करना चाहते हैं कि वर्ग और क्षेत्र होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, तो आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि वर्ग के विपरीत, क्षेत्र अनुबंध योग्य नहीं है, और अनुबंध एक सामयिक संपत्ति है; बोर्सुक-उलम प्रमेय का उपयोग प्रमाण के लिए भी किया जा सकता है। उन्होंने मुझे यह भी बताया कि होमोटोपी समूह सबूत के साथ मदद कर सकते हैं, लेकिन यह पहले से ही मेरी विशेषज्ञता के क्षेत्र से बाहर है।

हालांकि, यह समस्या न केवल गोलाकार निर्देशांक के साथ उत्पन्न होती है; क्षेत्र के बिंदुओं के किसी भी निरंतर 2 डी प्रतिनिधित्व से पीड़ित होंगे। हालांकि, इसे भविष्य के लिए याद रखें।

गोलाकार निर्देशांक में अन्य बुरे गुण भी होते हैं:

क्षेत्र में उनका खराब वितरण होता है। यदि यादृच्छिक गोलाकार निर्देशांक उत्पन्न होते हैं और 3 डी बिंदुओं में परिवर्तित होते हैं, तो वे ध्रुवों के चारों ओर क्लस्टर बनाते हैं और भूमध्य रेखा के पास काफी दुर्लभ हो जाएंगे। यह इस तथ्य के कारण है कि भूमध्य रेखा के पास 3 डी वैक्टर कम सटीक रूप से अलग-अलग होंगे।

10,000 समान रूप से वितरित गोलाकार निर्देशांक के एक क्षेत्र पर वितरण
उनकी पैकेजिंग और अनपैकिंग महंगा है। पैकिंग (3 डी → 2 डी) के लिए, एक ऑपरेशन एकोस और एक एटैन 2 की आवश्यकता होती है, जो कि काफी महंगा प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य हैं, और अनपैकिंग (2 डी → 3 डी) के लिए दो ऑपरेशन कॉस और दो ऑपरेशन पाप , जो किफायती से बहुत दूर हैं, की आवश्यकता होती है।

गोलाकार निर्देशांक और अन्य संपीड़न विधियों की अन्य तुलनाओं के बारे में जानने के लिए उपरोक्त लेख देखें।

बिट पैटर्न ... और गति को संरक्षित करने का कार्य

जिस विधि पर हम विचार करेंगे, उसका एक बड़ा फायदा है - इसकी गणना बहुत तेज है, दो बार से ज्यादा गैर-अनुकूलित भोले बेंचमार्क (पैकेजिंग पर परीक्षण और इंटेल कोर आई 7 वें जीन पर विजुअल स्टूडियो 19 में C ++ में 10 मिलियन यादृच्छिक वैक्टर को अनपैक करने के लिए)। इसके अलावा, विधि में एक विलक्षणता नहीं है, अर्थात, प्रत्येक पैक बिंदु ऊपर वर्णित गोलाकार निर्देशांक के विपरीत, एक एकल अनपैक बिंदु से मेल खाता है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, इकाई क्षेत्र और इकाई वर्ग के बीच कोई होमियोमॉर्फिज्म नहीं है, अर्थात हम वर्ग में प्रत्येक अद्वितीय बिंदु को गोलाकार पर किसी अन्य अद्वितीय बिंदु पर ठीक से बाँध नहीं सकते हैं। लेकिन आइए निम्नलिखित निर्माणों पर विचार करें - अब तक केवल उत्तरी गोलार्ध, जिसमें सकारात्मक या शून्य समन्वय Z के साथ अंक हैं, हमें चिंतित करेगा।

हम डिस्क में उत्तरी गोलार्ध को "चपटा" करते हैं, प्रत्येक बिंदु के जेड समन्वय को छोड़ देते हैं (या इसे 0 का मान निर्दिष्ट करते हैं)।

हमें उत्तरी गोलार्ध के प्रत्येक बिंदु को एकल डिस्क के प्रत्येक बिंदु से जोड़ने का एक तरीका मिला। कुछ उल्लेखनीय बिंदु:

उत्तरी ध्रुव (0, 0) में गिरता है।
गोलार्ध की सीमा पर प्रत्येक बिंदु समान रहता है। अधिक विशेष रूप से, गोलार्ध और डिस्क की एक ही सीमा होती है। यह तर्कसंगत है, क्योंकि गोलार्द्ध की सीमा पर स्थित बिंदुओं में Z = 0 है, अर्थात, Z समन्वय को छोड़ते हुए, हम कुछ भी नहीं बदलते हैं।

डिस्क संपीड़न: एक सरल जटिल कार्य

निम्नलिखित निर्माण के लिए एक छोटे से परिचय की आवश्यकता होती है। बस के मामले में, मैं कहता हूँ कि जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के स्थान का एक विस्तार है (साधारण संख्याएँ जैसे 0, 1, 129,43, pi, 335/117, वर्गमूल 2 और इसी तरह), जो एक विशेष संख्या का उपयोग करता है जिसे मैं काल्पनिक कहा जाता हूँ इकाई । जटिल संख्याओं में एक + ib होता है , जहाँ a और b कुछ वास्तविक संख्याएँ (क्रमशः, वास्तविक और काल्पनिक भाग) होती हैं, और मेरे पास संपत्ति ² = -1 होती है। यह हमें एक 2D विमान पर बिंदुओं के साथ जटिल संख्याओं का मिलान करने की अनुमति देता है। यदि हम z की एक जटिल संख्या z = a + ib के लिए लेते हैं, तो हम विमान पर निर्देशांक ( a , b ) के साथ बिंदु के रूप में z का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। जटिल संख्या z के "वास्तविक भाग" और "काल्पनिक भाग" के निष्कर्षण कार्यों को Re (z) और Im (z) द्वारा दर्शाया जाता है।

जटिल संख्या z और उसके मान।

जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों के अलावा, एक्स अक्ष के साथ इसके द्वारा बनाई गई लंबाई और कोण को भी ध्यान में रखा जा सकता है। इसे ध्रुवीय प्रतिनिधित्व कहा जाता है। ध्रुवीय लंबाई और ध्रुवीय कोण मानदंड हैं | z और तर्क Arg (z) । दोनों अभ्यावेदन की एक सुविधाजनक संपत्ति यह है कि जटिल संख्याओं को जोड़ने का कार्य वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़कर किया जाता है , और जटिल संख्याओं का गुणा मानदंडों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर किया जाता है ।

यहां हम दो कार्यों में रुचि रखते हैं: एक जटिल संख्या के वर्गमूल को प्राप्त करना और प्राप्त करना। एक जटिल संख्या को चुकाना वास्तविक संख्याओं के समान है: बस इसे स्वयं से गुणा करें, अनिवार्य रूप से आदर्श को चुकता करें और तर्क को दोगुना करें । ध्यान दें कि यदि एक जटिल संख्या का मान 1 से कम है, तो इसे चुकता करते समय, इसकी लंबाई एक से कम रहेगी; इस प्रकार, यदि हम डिस्क पर प्रत्येक जटिल संख्या लेते हैं जिसमें एक सकारात्मक वास्तविक भाग होता है, और उन सभी को एक वर्ग में रखा जाता है, तो हम अनिवार्य रूप से संपूर्ण डिस्क प्राप्त करेंगे।

बाईं ओर पॉजिटिव रियल पार्ट (एक्स कोऑर्डिनेट) के साथ डिस्क के आधे हिस्से में कई जटिल नंबर हैं। दाईं ओर इन सभी बिंदुओं को चुकाने का परिणाम है। आधी डिस्क अब पूरी डिस्क को भर देती है!

एक चाल "तर्क के दोहरीकरण" के साथ जुड़ा हुआ है: यह एक्स अक्ष के किनारे पर निर्भर करता है जिस पर बिंदु निहित है। नियम नीचे दिखाया गया है।

एक सकारात्मक काल्पनिक भाग (Y निर्देशांक) के साथ एक जटिल संख्या बाईं ओर घूमती है, और एक नकारात्मक काल्पनिक भाग (Y निर्देशांक) के साथ एक जटिल संख्या दाईं ओर घूमती है।

जैसा कि वास्तविक संख्याओं के मामले में, वर्गमूल वर्ग का व्युत्क्रम है: किसी दिए गए जटिल संख्या z के लिए , वर्गमूल (उनमें से दो) संख्याएं हैं जैसे c² = z । जैसा कि वास्तविक संख्याओं के मामले में, यदि c , z का वर्गमूल है, तो -c भी है। संख्याओं में से c और -c , जिसका तर्क आधे तर्क z के बराबर है, को वर्गमूल का मुख्य मान कहा जाता है (यह ऋणात्मक वर्गमूल के बजाय एक वास्तविक संख्या के धनात्मक वर्गमूल को लेने के समान है)।

यदि आप समझते हैं कि जब एक जटिल संख्या चुकती है, तो इसका मानदंड चुकता है और इसका तर्क दोगुना हो जाता है, तो आप आसानी से अनुमान लगा सकते हैं कि वर्गमूल का मुख्य मान मान से वर्गमूल लेता है और तर्क को रोक देता है (ऊपर दिखाए गए नियम का पालन करता है, लेकिन तीर उल्टा हो जाता है) । जैसे कि स्क्वेरिंग के मामले में, जब एक जटिल संख्या का वर्गमूल 1 से कम मानदंड के साथ लिया जाता है, तो मान 1 से कम रहता है; इसलिए, यह इकाई डिस्क को उसके सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के आधे हिस्से में "संपीड़ित" करता है।

बाईं ओर एक डिस्क पर कई डॉट्स हैं। दाईं ओर इन सभी बिंदुओं के वर्गमूल लेने का परिणाम दिखाता है। पूरी डिस्क अब आधे में ही फिट हो जाती है!

यह एल्गोरिथ्म का आधार है: वास्तव में, हम पूरी यूनिट डिस्क को सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ एक आधा - आधा में संपीड़ित करते हैं। जैसा कि आपको याद है, हाल ही में हमने एक गोले के ऊपरी आधे हिस्से को एक डिस्क में समतल किया है; अब यह देखने लायक है कि हम इसके साथ क्या करेंगे।

यह सब एक साथ रखना

आइए संक्षेप में बताएं कि हमने अभी क्या किया: हमने क्षेत्र के आधे हिस्से को एक इकाई डिस्क में समतल कर दिया, अपने सभी बिंदुओं के Z समन्वय को छोड़ दिया, और जटिल प्रिंसिपल वर्गाकार मूल मान का उपयोग करके सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ इकाई डिस्क को अपने ही आधे में निचोड़ दिया। वास्तव में, हमने आधे क्षेत्र को आधे डिस्क में समतल कर दिया! अब मामूली बदलाव के साथ, हम गोले के शेष आधे भाग को डिस्क के शेष आधे भाग में संपीड़ित करने के लिए भी कर सकते हैं।

गोले का निचला आधा भाग (एक ऋणात्मक Z निर्देशांक के साथ गोले के सभी बिंदु) इसी तरह Z निर्देशांक को बार-बार छोड़ने से एक इकाई डिस्क में चपटा होता है। हालाँकि, डिस्क में सभी जटिल संख्या z के लिए, हम z के मुख्य वर्गमूल के विपरीत मान लेते हैं (अर्थात, हम c के बजाय c को लेते हैं। )। चूंकि वर्गमूल के मुख्य मूल्य में हमेशा एक सकारात्मक वास्तविक भाग होता है, इसलिए विपरीत मान में हमेशा एक नकारात्मक वास्तविक भाग होता है; वास्तव में, हमने डिस्क के शेष आधे हिस्से को डिस्क के शेष आधे हिस्से में समतल कर दिया है, और संपीड़न चरण अब पूरा हो गया है!

पूर्ण संपीड़न कदम। ध्यान दें कि उत्तरी और दक्षिणी गोलार्ध (नीले और नारंगी) को एक ही डिस्क की दो प्रतियों में समतल किया जाता है, और फिर एक ही डिस्क के दो हिस्सों में संकुचित किया जाता है।

संपीड़न एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

function packUnitVector(unit) disk = new Complex(unit.x, unit.y) packed = principalSquareRoot(disk) return unit.z < 0 ? -packed : packed

और इसलिए, स्यूडोकोड की सिर्फ तीन पंक्तियों में, हमने एक प्रभावी एल्गोरिदम बनाने के लिए हमारे द्वारा जांचे गए पूरे सिद्धांत को लागू किया। यदि आपके वातावरण में वर्गमूल के मुख्य मूल्य के लिए कोई सूत्र नहीं है, तो यह विकिपीडिया पर पाया जा सकता है (काल्पनिक भाग के संकेत को चुनने पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए)। यहाँ संदर्भ C ++ कार्यान्वयन है जो मैं अपने कोड में उपयोग करता हूं:

 // Principal complex square root of 'x + iy' float2 csqrt(float x, float y) { float r = sqrt(x * x + y * y); return float2(sqrt((r + x) / 2), (y < 0 ? -1 : 1) * sqrt((r - x) / 2)); }

लौट आओ

हम संपीड़न से मुकाबला करते हैं, अब हम अनपैक करने के लिए आगे बढ़ते हैं।

अनपैकिंग में सभी संपीड़न चरणों का उल्टा क्रम होता है:

हम एकल डिस्क के भौतिक भागों के सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हिस्सों को दो पूर्ण डिस्क में विस्तारित करते हैं
प्रत्येक पूर्ण डिस्क को उसके संबंधित गोलार्ध से मिलाएं

संक्षेप में, हम पी के पैक मूल्य के साथ शुरू करते हैं, इसे गोलार्ध में से किसी एक से प्राप्त डिस्क पर बिंदु पर लौटने के लिए वर्ग करते हैं, और फिर साइन रे (पी) का उपयोग करके यह पता लगाने के लिए कि डिस्क में किस गोलार्ध से लिया गया है। समीकरण का उपयोग करते हुए x , + y² + z² = 1 , जो इकाई क्षेत्र पर बिंदुओं को परिभाषित करता है, हम पैक बिंदु के लापता जेड समन्वय को फिर से बना सकते हैं।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि पैक्ड मूल्य के वर्ग की गणना हमेशा डिस्क के सही बिंदु को देगी, भले ही इसके प्रारंभिक गोलार्ध (ऊपरी या निचले) की परवाह किए बिना, क्योंकि z² = (-z) calcul ।

विघटन एल्गोरिथ्म इस प्रकार है:

 function unpackUnitVector(packed): disk = packed * packed unit = new Vec3() unit.x = disk.real() unit.y = disk.imag() unit.z = sqrt(1 - unit.x * unit.x - unit.y * unit.y) * (packed.real() < 0 ? -1 : 1) return unit

और इसलिए हमें एक एल्गोरिथ्म मिला जो बहुत कुशलता से एकल 3 डी वैक्टर का एक 2 डी प्रतिनिधित्व करता है, जो गोलाकार निर्देशांक के विपरीत, किसी भी बिट पैटर्न को नहीं खोता है और इसमें कोई विलक्षणता नहीं है। यदि आप गणना को गति देने के लिए कुछ अनुकूलन ट्रिक्स को ध्यान में नहीं रखते हैं, तो यह एल्गोरिथम का लगभग तैयार संस्करण है।

... या नहीं? यदि आपने ध्यान से देखा, तो आपने देखा कि यहाँ कुछ गड़बड़ है। मैंने कहा कि गोले और इकाई वर्ग होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, और फिर भी किसी तरह से डिस्क पर प्रत्येक अनूठे बिंदु को क्षेत्र में एक अनूठे बिंदु को बांधने में सक्षम था? इसके अलावा, हमने किसी गैर-शास्त्रीय गणित का उल्लेख नहीं किया है, तो क्या हो रहा है?

वास्तव में, हमारे एल्गोरिथ्म में एक गंभीर खामी है: यह पूरे क्षेत्र में हर बिंदु के लिए काम करता है, Y = 0 और X <= 0 के साथ उत्तरी गोलार्ध के बिंदुओं को छोड़कर, जब पैकिंग और अनपैकिंग करते हैं, तो गलती से उत्तरी गोलार्ध पर इसी बिंदु के साथ तुलना की जाती है।

इसका कारण यह है कि जब उनके निर्देशांक जेड को छोड़ दिया जाता है, तो संबंधित जटिल संख्या एक नकारात्मक वास्तविक संख्या होती है, इसमें एक काल्पनिक हिस्सा नहीं होता है। जब हम एक नकारात्मक वास्तविक संख्या के वर्गमूल का मुख्य मूल्य लेते हैं, तो हम बदले में एक पूरी तरह से काल्पनिक जटिल संख्या प्राप्त करते हैं जिसमें वास्तविक भाग नहीं होता है (यह इस तथ्य के समान है कि -1 के वर्गमूल का मुख्य मूल्य i के बराबर है)। फिर हम Z के संकेत को मूल रूप से शून्य में रखने की कोशिश करते हैं।

समस्या पट्टी। Y = 0 और X <= 0 के साथ अंक शुद्ध वास्तविक भागों के साथ विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्याओं की एक पंक्ति में पैक किए जाते हैं।

आइए देखें कि क्या होता है जब हम दो ऐसे बिंदुओं को पैक करते हैं (उस x <= 0 को मत भूलना)।

  |  उत्तर बिंदु |  दक्षिण बिंदु
  इकाई |  (x, 0, z) |  (x, 0, -z)
  डिस्क |  x + 0i |  x + ० आई
 पैक किया हुआ |  0 +-(-x) i |  -0 --(-x) i

चूँकि दोनों बिंदुओं की डिस्क पर प्रक्षेपण का काल्पनिक भाग शून्य के बराबर है, इसलिए हम वर्गाकार जड़ के मुख्य मूल्य के वास्तविक भाग के संकेत में Z समन्वय का चिह्न नहीं रख सकते, क्योंकि यह स्वयं शून्य के बराबर है। हम बस इस पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं, इस तथ्य को स्वीकार करते हुए कि एल्गोरिथ्म इन बिंदुओं के लिए काम नहीं करता है - या हम आगे बढ़ सकते हैं।

हमने जो सीखा, उसे भूल जाओ

गणित के हर क्षेत्र और शाखा में मुझे पता है, यह माना जाता है कि 0 = -0। यह -a की परिभाषा से इस प्रकार है, जो एक के विपरीत है , यह बताते हुए कि "-a केवल एक संख्या है जो 0 दे रही है जब" के साथ अभिव्यक्त किया गया है । चूँकि 0 जोड़ के साथ एक शून्य तत्व भी है ( 0 + a = a + 0 = a ), केवल 0 को प्राप्त करने के लिए आपको केवल 0 को जोड़ने की आवश्यकता है।

हालांकि, सॉफ्टवेयर विकास में, सब कुछ अलग है। फ्लोटिंग पॉइंट नंबरों के अधिकांश अभ्यावेदन में, प्रतिपादक और मंटिसा के साथ, चरित्र को संग्रहीत करने के लिए एक अतिरिक्त बिट का उपयोग किया जाता है। इसका मतलब यह है कि जब घातांक और मंटिसा 0 होते हैं, तो साइन बिट का उपयोग सकारात्मक और नकारात्मक शून्य के बीच अंतर करने के लिए किया जा सकता है। अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में (यदि सभी नहीं), इन दोनों शून्य को एक ही शून्य के रूप में माना जाता है (बस 0 == -0 प्रयास करें), लेकिन एक अंतर है, और यह देखा जा सकता है यदि आप टर्मिनल पर "-0" और "0" आउटपुट करने का प्रयास करते हैं "- कि वे कैसे कटौती की जाएगी।

यह हमारे लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है: शून्य के मूल्य का उपयोग वास्तव में संकेत के बारे में जानकारी संग्रहीत करने के लिए किया जा सकता है! वास्तव में, यह वैसे भी सही ढंग से संग्रहीत है; हमारे मामले में, समस्या यह है कि इसे सही तरीके से नहीं पढ़ा जाता है। अगर हम अनप्लगिंग एल्गोरिथ्म में प्रचलित रेखा को देखते हैं, तो हम निम्नलिखित देखेंगे:

 packed.real() < 0 ? -1 : 1

यह ऑपरेशन पैक्ड मान के वास्तविक भाग के संकेत को पढ़ता है यह निर्धारित करने के लिए कि कौन सा गोलार्द्ध बिंदु से संबंधित है - उत्तर या दक्षिण। हालाँकि, जब मामला पैक किया जाता है। वास्तविक () 0 या -0 होता है, तो चरित्र की तुलना ऑपरेटर द्वारा की जाती है और टर्नरी ऑपरेटर हमेशा वापस आ जाता है। चरित्र को पढ़ने का सही तरीका साइन बिट की स्थिति के लिए एक वास्तविक अनुरोध है, उदाहरण के लिए, std का उपयोग करके :: C ++ या np से साइनबिट । Numpy से Python तक .signbit - फ़ंक्शन भाषा पर निर्भर है। याद रखें कि संख्या के ऋणात्मक होने पर साइन बिट 1 है, और संख्या के सकारात्मक होने पर 0।

इस प्रकार, हम एक सही और एक सौ प्रतिशत कार्य कर रहे हैं:

 function unpackUnitVector(packed): disk = packed * packed unit = new Vec3() unit.x = disk.real() unit.y = disk.imag() unit.z = sqrt(1 - unit.x * unit.x - unit.y * unit.y) * (signbit(packed.real()) ? -1 : 1) return unit

वह सब है! अब एल्गोरिथ्म पूरा हो गया है। गैर-शास्त्रीय गणित इस तथ्य में प्रकट होता है कि हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि 0 -0 से भिन्न होता है, जो कि मेरे द्वारा ज्ञात गणित के सभी क्षेत्रों के लिए गलत है। हालांकि, इस विचित्रता को सैद्धांतिक, गणितीय रूप से कठोर अर्थ में तार्किक बनाने का एक तरीका है।

रिक्त स्थान जो नियमों से नहीं खेलते हैं: मूल के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा

निम्नलिखित को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आपको समतुल्यता वर्ग और पड़ोस की अवधारणाओं को जानना चाहिए। यह वैकल्पिक है, लेकिन यह स्पष्ट होगा।

हम इस अजीबता की स्थिरता को एक "साइन शून्य" के साथ सुनिश्चित कर सकते हैं, जो एक दिलचस्प टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ शुरू होता है: मूल के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा।

उत्पत्ति के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा एक साधारण वास्तविक संख्यात्मक धुरी है, जो किसी तरह अपने लिए अतिरिक्त 0 का विकास करती है।

उत्पत्ति के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा प्राप्त होती है जब हम दो वास्तविक संख्यात्मक कुल्हाड़ियों को लेते हैं और प्रत्येक संख्या को इसके विपरीत के साथ गोंद करते हैं, सिवाय 0. औपचारिक रूप से, मूल के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा एक भागफल स्थान R² है जिसके समतुल्य संबंध की पहचान दो समान हैं यदि वे समान हैं और are 0. परिणाम किसी भी बिंदु से दो भिन्न शून्य के समतुल्य वास्तविक संख्याओं की एक सीधी रेखा है, लेकिन एक ही समय में एक दूसरे से अलग है। औपचारिक रूप से, प्रत्येक शून्य के किसी भी दो पड़ोस में हमेशा एक गैर-रिक्त चौराहा होता है।

हम इसका विस्तार कर सकते हैं और इस आलेख में उपयोग की गई "डिस्क जैसी" वस्तु को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं। इससे पहले, हमने ज़बरदस्ती डिस्क के मुख्य वर्गमूल के वास्तविक भाग में बिंदु के Z समन्वय को जटिल डिस्क पर रखा, भले ही यह वास्तविक हिस्सा 0. है। इसका मतलब है कि हमने जटिल संख्याओं का उपयोग नहीं किया था, लेकिन उनके समान एक और अवधारणा: एक जटिल संख्या, जिसका काल्पनिक भाग एक वास्तविक संख्या है, और जिसका वास्तविक भाग मूल के दो बिंदुओं वाली रेखा पर एक बिंदु है, इसलिए हम वास्तविक भाग को +0 और -0 के बराबर भेद कर सकते हैं। वास्तव में, हम मूल के दो बिंदुओं के साथ जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं!

और वास्तव में, हमें गोले और इकाई डिस्क के बीच एक आक्षेप (वन-टू-वन मैपिंग) नहीं मिला, लेकिन हमें दो बिंदुओं और उत्पत्ति के साथ इकाई डिस्क के बीच एक आक्षेप मिला। मैंने यह जांच नहीं की कि क्या यह आक्षेप एक होमियोमॉर्फिज़्म है (एक होमियोमॉर्फिज़्म दोनों दिशाओं में एक निरंतरता है), लेकिन शायद किसी दिन मैं यह करूँगा।

अंत में थोड़ा सा टोपोलॉजी

अंत में, मैं इस बात पर जोर देना चाहता हूं कि यद्यपि हम जिस जटिल विमान का उपयोग दो मूल बिंदुओं के साथ करते हैं, वह दो निर्माणों के साथ सीधी रेखा के समान निर्माण से नहीं निकलता है, वास्तव में यह समन्वय के मूल के दो बिंदुओं के साथ एक अन्य जटिल विमान के बराबर है, जिसका निर्माण सीधी रेखा के समान होता है। दो मूल।

मूल के दो बिंदुओं के साथ एक सीधी रेखा के मामले में, हमने 0. को छोड़कर सभी स्थानों में वास्तविक संख्यात्मक अक्ष की दो प्रतियों को चिपकाया है। हम जटिल विमान की दो प्रतियों के साथ एक ही कर सकते हैं समान संख्या के प्रत्येक जोड़ी को जोड़कर, जो 0 नहीं हैं, और इसी तरह जटिल हो जाते हैं उत्पत्ति के दो बिंदुओं वाला एक विमान। यह निर्माण एक सीधी रेखा से दो मूल और एक साधारण वास्तविक संख्यात्मक अक्ष के साथ एक नए जटिल विमान के निर्माण से भिन्न होता है: पूर्व एक कारक स्थान है, और बाद वाला रिक्त स्थान का एक उत्पाद है। हालांकि, दो परिणामी रिक्त स्थान के बीच एकमात्र अंतर प्रत्येक अंतरिक्ष में अलग शून्य लिखने का तरीका है: पहले में उन्हें ( 0 + 0i) a ( 0 + 0i) b के रूप में गिना जाता है (दो अलग-अलग स्थानों से लिए गए दो शून्य एक साथ चिपके हुए हैं), और बाद में उन्हें (0a + 0i) और (0b + 0i ) के रूप में पढ़ा जाता है। वास्तव में, दोनों स्थान होमियोमॉर्फिक हैं, इसलिए आप सुरक्षित रूप से एक का उपयोग कर सकते हैं जहां दूसरे की आवश्यकता होती है।

निष्कर्ष

मुझे आशा है कि आप विचित्र और अस्पष्ट गणित की दुनिया में इस भ्रमण का आनंद लेंगे। फिर, मैं इस तथ्य पर जोर देता हूं कि, कड़ाई से बोल रहा हूं, यह एल्गोरिथ्म शुरुआत में मेरे द्वारा उल्लिखित लेख से ओक्टी एल्गोरिदम से भी बदतर व्यवहार करता है। यद्यपि यह निष्पादन के समय के करीब या उससे भी तेज है, लेकिन इसके गोले पर बिंदुओं का वितरण इतना अच्छा होने से बहुत दूर है। मैंने यह लेख तब दिखाया है कि अमूर्त बकवास की तरह प्रतीत होता है कि कैसे विदेशी गणित, वास्तव में वास्तविक दुनिया में बहुत दिलचस्प अनुप्रयोग हो सकता है; इसके अलावा, मुझे यह अमूर्त बकवास लगता है। मुझे उम्मीद है कि आपने लेख से कुछ उपयोगी सीखा, पढ़ने के लिए धन्यवाद!

टॉपलेस विडियो गेम डेवलपर के लिए टोपोलॉजी और व्यापक विश्लेषण: सिंगल 3 डी वैक्टर को कंप्रेस करना