गणितज्ञों ने "खतरनाक" समस्या के अध्ययन में एक सफलता हासिल की है

गणितज्ञ कोलज़ की परिकल्पना को "दलदल" मानते हैं, और एक दूसरे को चेतावनी देते हैं कि वह इससे दूर रहने के लायक है। अब, हालांकि, टेरेंस ताओ ने दशकों में किसी की तुलना में अधिक प्रगति की है।

कोई भी नंबर लो। यदि यह सम है, तो इसे दो भागों में विभाजित करें। यदि विषम है, तो तीन से गुणा करें, एक जोड़ें। दोहराएँ। क्या कोई संख्या अंततः 1 पर आती है?

अनुभवी गणितज्ञ शुरुआती लोगों को Collatz परिकल्पना से दूर रहने की सलाह देते हैं । वे इसे एक मोहिनी गीत कहते हैं: इसके प्रभाव में आते हैं, और आप कभी भी सार्थक काम नहीं कर सकते हैं।

Collatz परिकल्पना, शायद गणित की अनसुलझी समस्याओं में से सबसे सरल है, ठीक वही है जो इसे विश्वासघाती रूप से आकर्षक बनाती है।

“यह एक बहुत ही खतरनाक काम है। भले ही यह पूरी तरह से असंभव हो, लोग इसके प्रति जुनूनी हो जाते हैं, ” जेफरी लैगरियास ने कहा, मिशिगन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, कोलेज़ की परिकल्पना के विशेषज्ञ हैं।

लेकिन 2019 में, दुनिया के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों में से एक ने इसके पास जाने की हिम्मत की, और कई दशकों में प्राप्त किए गए सभी परिणामों में से सबसे महत्वपूर्ण प्राप्त किया।

8 सितंबर, 2019 को, टेरेंस ताओ ने एक प्रमाण प्रकाशित किया जिसमें दिखाया गया था कि Collatz परिकल्पना सभी संख्याओं के लिए कम से कम "लगभग" सही "लगभग" है। यद्यपि ताओ का परिणाम परिकल्पना का एक पूर्ण प्रमाण नहीं है, लेकिन यह एक ऐसे कार्य के लिए बहुत गंभीर सफलता है जो इसके सभी रहस्यों को प्रकट करना इतना आसान नहीं है।

"मैं पूरी तरह से समस्या को हल करने की उम्मीद नहीं करता था," कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में गणितज्ञ ताओ ने कहा। "लेकिन मैं उम्मीद से ज्यादा करने में कामयाब रहा।"

Collatz पहेली

लोथर कोलजेट ने संभवतः 1930 के दशक में इसी नाम की एक परिकल्पना को आगे बढ़ाया। चुनौती पार्टी की चाल की तरह लगती है। कोई भी नंबर लो। यदि यह सम है, तो इसे दो भागों में विभाजित करें। यदि विषम है, तो तीन से गुणा करें, एक जोड़ें। एक नया नंबर प्राप्त करें। उसके लिए समान नियम लागू करें। परिकल्पना कहती है कि यदि आप लगातार इस प्रक्रिया को दोहराते हैं तो क्या होगा।

अंतर्ज्ञान बताता है कि शुरुआती संख्या अंतिम परिणाम को प्रभावित करती है। शायद कुछ संख्याएँ अंततः घट जाएंगी 1. शायद अन्य संख्या अनिश्चित काल तक बढ़ जाएगी।

हालांकि, Collatz ने भविष्यवाणी की कि यह ऐसा नहीं है। उन्होंने सुझाव दिया कि यदि आप एक सकारात्मक पूर्णांक के साथ शुरू करते हैं और लंबे समय तक संकेत दिए गए अनुक्रम को दोहराते हैं, तो किसी भी प्रारंभिक संख्या से आप 1 पर आएंगे और एकता में आकर, परिकल्पना के नियम आपको एक अंतहीन लूप में पकड़ लेंगे: 1, 4, 2, 1 4, 2, 1, और इसी तरह, अनंत को।

इन वर्षों में, कई कार्य प्रेमियों को कोलेज़ की परिकल्पना की आकर्षक सादगी, या "3x + 1 समस्या" के रूप में आकर्षित किया गया है, क्योंकि इसे भी कहा जाता है। गणितज्ञों ने पहले से ही एक क्विंटिलियन उदाहरण (यह 18 शून्य के साथ एक संख्या है) की जाँच की है, जिससे Collatz की भविष्यवाणी का एक भी अपवाद नहीं मिला है। आप स्वयं इंटरनेट पर उपलब्ध कई " Collatz कैलकुलेटर " में से कुछ के साथ कुछ उदाहरणों को देखने की कोशिश कर सकते हैं। इंटरनेट एक परिकल्पना के अपरिवर्तनीय शौकिया सबूतों से भरा है, जिनमें से लेखकों का दावा है कि वे इसे साबित करने या इसे बाधित करने में सक्षम थे।



“आपको केवल 3 से गुणा करने और 2 से विभाजित करने की आवश्यकता है, और आप पहले से ही इसके साथ खेलना शुरू कर सकते हैं। और यह बहुत ही लुभावना है, "ग्रिनलाइन कॉलेज के गणितज्ञ मार्क चेम्बरलेन ने कहा, जिन्होंने इस समस्या के बारे में एक लोकप्रिय YouTube वीडियो रिकॉर्ड किया है, जिसे" सबसे सरल नाम की असंभव समस्या "कहा जाता है।


लेकिन इसके बहुत कम प्रमाण हैं।

1970 के दशक में, गणितज्ञों ने दिखाया कि लगभग सभी Collatz अनुक्रम - संख्याओं की एक सूची जो आपको प्रक्रिया को दोहराते समय मिलती है - अंततः प्रारंभिक एक की तुलना में छोटी संख्या में आती है। यह कमजोर सबूत था कि लगभग सभी Collatz अनुक्रम 1 का नेतृत्व करते हैं, लेकिन फिर भी, यह था। और 1994 से ताओ परिणाम 2019 में, इवान कोरेट्स ने न्यूनतम मूल्य का प्रदर्शन करने के लिए रिकॉर्ड रखा। अन्य कार्यों ने इसी तरह कार्य पर हमला करने की कोशिश की, अपने मुख्य लक्ष्य के करीब नहीं।

स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ कन्नन सौंदरराजन ने कहा, "हम वास्तव में कोलज के सवाल को अच्छी तरह से समझ नहीं पाए हैं, इसलिए इस मुद्दे पर महत्वपूर्ण काम नहीं हुआ है।"

इन प्रयासों की निरर्थकता ने कई गणितज्ञों को निष्कर्ष निकाला कि यह परिकल्पना केवल ज्ञान के वर्तमान स्तर पर उपलब्ध नहीं है, और यह उनके लिए बेहतर है कि वे अन्य अध्ययनों पर अपना समय व्यतीत करें।

दक्षिण कैरोलिना विश्वविद्यालय के जोशुआ कूपर ने कहा, "कोलाज़ समस्या को इसकी जटिलता के लिए जाना जाता है - इतना कि गणितज्ञ आमतौर पर प्रत्येक चर्चा से पहले इस पर समय बर्बाद न करने की चेतावनी देते हैं।"

अप्रत्याशित सलाह

पहली बार, लैगरियस कम से कम 40 साल पहले एक छात्र के रूप में इस परिकल्पना में रुचि रखते थे। दशकों तक, वह उससे जुड़ी हर चीज का अनौपचारिक क्यूरेटर था। उन्होंने उससे संबंधित कार्यों की एक पूरी लाइब्रेरी एकत्र की, और 2010 में उनमें से कुछ को एक पुस्तक के रूप में प्रकाशित किया, जिसका शीर्षक है: " निर्णायक निर्णय: समस्या 3x +1 "।

"अब मैं इस समस्या के बारे में अधिक जानता हूं, और मैं अभी भी कह सकता हूं कि इसे हल करना असंभव है," लैगरियास ने कहा।

ताओ आमतौर पर असंभव कार्यों पर अपना समय नहीं बिताते हैं। 2006 में, उन्हें गणित में सर्वोच्च पुरस्कार , फील्ड्स पुरस्कार मिला, और उन्हें अपनी पीढ़ी के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों में से एक माना जाता है। उनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, हवा में महल का पीछा नहीं करते।

"ये गणित के पेशे से जुड़े जोखिम हैं," उन्होंने कहा। "आप किसी भी व्यक्ति की क्षमताओं से परे हैं और एक टन समय गंवा सकते हैं।"

हालांकि, ताओ हमेशा इस क्षेत्र से प्रलोभनों का विरोध करने में सफल नहीं होता है। हर साल वह गणित में सबसे अधिक अनसुलझी समस्याओं पर एक या दो दिन बिताता है। इन वर्षों में, उन्होंने Collatz परिकल्पना के लिए कई दृष्टिकोण अपनाए, लेकिन कोई फायदा नहीं हुआ।

फिर अगस्त में, एक अनाम पाठक ने ताओ के ब्लॉग पर एक टिप्पणी छोड़ दी। उन्होंने कोलज़ की परिकल्पना को "लगभग सभी" संख्याओं के लिए हल करने की कोशिश की, बिना पूरी तरह से साबित करने की कोशिश के।

"मैंने जवाब नहीं दिया, लेकिन इसने मुझे इस कार्य के बारे में फिर से सोचने के लिए कहा," ताओ ने कहा।

और उन्होंने महसूस किया कि Collatz की परिकल्पना कुछ प्रकार के विशेष प्रकार के समीकरणों के समान थी - आंशिक अंतर समीकरण - जो उनके करियर के दौरान प्राप्त हुए सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में दिखाई दिए।

इनपुट्स और आउटपुट

आंशिक अंतर समीकरणों (PDE) का उपयोग ब्रह्मांड में कई मौलिक भौतिक प्रक्रियाओं को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि तरल पदार्थ का विकास या अंतरिक्ष-समय के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण तरंगों का मार्ग। वे उन स्थितियों में दिखाई देते हैं जहां सिस्टम की भविष्य की स्थिति - उदाहरण के लिए, तालाब की स्थिति को उस पर एक पत्थर फेंकने के बाद पांच सेकंड - दो या दो से अधिक कारकों के योगदान पर निर्भर करता है, जैसे कि चिपचिपाहट और पानी का वेग।

ऐसा लगता है कि कॉम्प्लेक्स की परिकल्पना के रूप में इस तरह के एक सरल अंकगणितीय प्रश्न के साथ जटिल पीडीई का बहुत कम संबंध है।

लेकिन ताओ ने महसूस किया कि उनके पास कुछ सामान्य था। पीडीई में मूल्यों को स्थानापन्न करना, अन्य मान प्राप्त करना, प्रक्रिया को दोहराना संभव है - और यह सब सिस्टम की भविष्य की स्थिति को समझने के लिए है। प्रत्येक दिए गए पीडीई के लिए, गणितज्ञों को यह जानना होगा कि क्या इनपुट पर प्रारंभिक मान आउटपुट पर अनंत मूल्यों को जन्म देगा, या क्या समीकरण हमेशा प्रारंभिक मानों की परवाह किए बिना अंतिम मूल्यों का उत्पादन करेंगे।


टेरेंस ताओ, जो अपने ब्लॉग पर टिप्पणी से प्रेरित थे, ने Collatz परिकल्पना का अध्ययन करने में दशकों में सबसे बड़ी प्रगति की है

ताओ के लिए, यह लक्ष्य उसी आदेश का था जैसे कि आप कोलैज़ैट प्रक्रिया से हमेशा एक ही मूल्य (1) प्राप्त करते हैं, चाहे प्रारंभिक मूल्य कुछ भी हो। परिणामस्वरूप, उन्होंने महसूस किया कि PDE के अध्ययन के लिए तकनीक Collatz परिकल्पना का अध्ययन करने के लिए उपयुक्त हो सकती है।

एक विशेष रूप से उपयोगी तकनीक एक छोटी संख्या के प्रारंभिक व्यवहारों के दीर्घकालिक व्यवहार का अध्ययन करने के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति का उपयोग करती है (एक तालाब में प्रारंभिक जल विन्यासों की एक छोटी संख्या की तरह) और तालाब के सभी संभावित प्रारंभिक परिवर्तनों के दीर्घकालिक व्यवहार के लिए परिणाम का अनुमान लगाता है।

Collatz परिकल्पना के संदर्भ में, कल्पना करें कि हमने संख्याओं के एक बड़े नमूने के साथ शुरुआत की। हमारा लक्ष्य यह अध्ययन करना है कि जब हम उनके लिए Collatz प्रक्रिया लागू करते हैं तो ये संख्याएँ कैसे व्यवहार करती हैं। यदि नमूने में लगभग 100% संख्या 1 या 1 के बहुत करीब आती है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि लगभग सभी संख्याएँ समान व्यवहार करेंगी।

लेकिन इस निष्कर्ष को सही ठहराने के लिए, नमूने का सावधानीपूर्वक चयन करना आवश्यक है। यह कार्य अमेरिकी राष्ट्रपति चुनाव में मतदाताओं के नमूने को संकलित करने के समान है। संपूर्ण आबादी के सावधानीपूर्वक नमूने के लिए, रिपब्लिकन और डेमोक्रेट्स, पुरुषों और महिलाओं, और इसी तरह के लिए भारित अनुपात का उपयोग किया जाना चाहिए।

संख्याओं के अपने "जनसांख्यिकीय" पैरामीटर हैं। अजीब और यहां तक ​​कि संख्या, संख्या 3 से विभाज्य, और संख्याएं जो एक दूसरे से और भी अधिक पेचीदा तरीकों से भिन्न होती हैं। संख्याओं का चयन करने के बाद, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कुछ प्रकार की संख्याएँ इसमें प्रविष्ट होती हैं, और अन्य किसी संतुलित सिद्धांत के अनुसार प्रवेश नहीं करते हैं - और जितना बेहतर आप वज़न चुनते हैं, आपके निष्कर्ष सामान्य रूप से सभी संख्याओं के बारे में उतने ही सटीक होंगे।

भारित विकल्प

ताओ का कार्य केवल सही वजन के साथ संख्याओं का प्रारंभिक चयन करने के तरीके को समझने की तुलना में बहुत अधिक जटिल था। Collatz प्रक्रिया के प्रत्येक चरण पर, आपके द्वारा परिवर्तन के साथ काम करने वाले नंबर। एक स्पष्ट परिवर्तन यह है कि नमूने में लगभग सभी संख्या कम हो रही है।

एक और, शायद कम स्पष्ट, परिवर्तन यह है कि संख्या समूहों में जमा होना शुरू हो सकती है। उदाहरण के लिए, आप एक से मिलियन तक की संख्याओं के सुंदर समान वितरण के साथ शुरुआत कर सकते हैं। लेकिन पांच पुनरावृत्तियों के बाद, संख्या संख्या रेखा के कई छोटे अंतरालों पर ध्यान केंद्रित करने की संभावना है। दूसरे शब्दों में, आप एक अच्छे नमूने के साथ शुरुआत कर सकते हैं, जो पांच चरणों में निराशाजनक रूप से विकृत हो जाएगा।

"आप आमतौर पर उम्मीद कर सकते हैं कि पुनरावृत्ति के बाद वितरण प्रारंभिक एक से पूरी तरह से अलग होगा," ताओ ने कहा। हालांकि, उनका प्रमुख विचार यह था कि संख्याओं का एक नमूना कैसे बनाया जाए कि अधिकांश भाग के लिए Collatz प्रक्रिया में अपने मूल वजन को बनाए रखें।

उदाहरण के लिए, ताओ के प्रारंभिक नमूने को भारित किया जाता है, ताकि उसमें तीन से विभाज्य संख्या न हो, क्योंकि Collatz प्रक्रिया अभी भी बहुत जल्दी से ऐसे संख्याओं को समाप्त कर देती है। ताओ द्वारा चुने गए कुछ अन्य वजन अधिक कठिन हैं। वह उन संख्याओं को पसंद करता है जिनका शेष भाग 3 से भाग 1 है, और संख्या से प्रस्थान करता है जिसका शेष भाग 3 से विभाजित है।

नतीजतन, जिस नमूने के साथ ताओ शुरू होता है, वह कोलाजेट प्रक्रिया शुरू होने के बाद भी अपने चरित्र को बरकरार रखता है।

सौंदरराजन ने कहा, "उन्होंने इस प्रक्रिया को जारी रखने का एक तरीका ढूंढ लिया ताकि कुछ कदमों के बाद भी यह स्पष्ट हो सके कि क्या हो रहा है।" "जब मैंने पहली बार यह काम देखा, तो मैं बहुत खुश था और फैसला किया कि यह आश्चर्यजनक था।"

ताओ ने अपने वजन असाइनमेंट तकनीक का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि लगभग सभी प्रारंभिक मूल्य - कम से कम 99% - अंततः एक मूल्य के बहुत करीब आ गए 1. इससे उन्हें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति मिली कि 99% प्रारंभिक मूल्य एक क्वाड्रिलियन से बड़े हैं नतीजतन, 200 से कम मूल्यों पर आते हैं।

यह यकीनन इस परिकल्पना के लंबे इतिहास का सबसे मजबूत परिणाम है।

"यह इस कार्य के साथ क्या हो रहा है, हमारे ज्ञान में एक बड़ी सफलता है," लैगरियास ने कहा। "यह निश्चित रूप से बहुत लंबे समय में सबसे अच्छा परिणाम है।"

कोलाओ की परिकल्पना के पूर्ण प्रमाण को प्राप्त करने में ताओ पद्धति लगभग निश्चित रूप से असमर्थ है। कारण यह है कि उनका प्रारंभिक चयन प्रत्येक चरण के बाद भी थोड़ा विकृत है। विरूपण कम से कम होगा, जबकि नमूने में अभी भी कई अलग-अलग मूल्य हैं, 1 से दूर। लेकिन Collatz प्रक्रिया में, नमूने की सभी संख्याएँ एक के लिए प्रवृत्ति करने लगती हैं, और एक छोटा विरूपण बड़ा हो जाता है - ठीक उसी तरह जैसे वोटिंग परिणाम की गणना करने में एक छोटी सी त्रुटि नहीं होती है एक बड़े नमूने के मामले में एक बड़ा मूल्य, लेकिन जब नमूना छोटा होता है, तो परिणाम को दृढ़ता से प्रभावित करता है।

पूर्ण परिकल्पना का कोई भी प्रमाण सबसे अलग दृष्टिकोण पर आधारित होगा। नतीजतन, ताओ का काम एक जीत और सभी रुचि के लिए चेतावनी है: जैसे ही यह आपको लगता है कि आपने कार्य को बंद कर दिया है, यह ईगल करता है।

ताओ ने कहा, "आप कोलेज़ की परिकल्पना के करीब आ सकते हैं, लेकिन यह अभी भी अप्राप्य है।"