डायोफैंटीन समीकरणों की प्रणाली को हल करने की विधि

शुभ दोपहर

जैसा कि मेरे पहले लेख में वादा किया गया था, मैं आपको डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली को हल करने के तरीकों में से एक से परिचित करना चाहता हूं। लेख का उद्देश्य इस तकनीक के साथ अन्य पाठकों को परिचित करना है और इसे कम या ज्यादा समझ में आता है।

दो डायोफैंटाइन समीकरणों की एक प्रणाली पर विचार करें

और

हम पहले समीकरण के लिए सभी संभव समाधान पाते हैं। कैसे, आप पूछें? निश्चित रूप से अलग-अलग विधियां हैं, लेकिन मैं निम्नलिखित लेखों में से एक में साझा करूंगा कि मैं एक समान समस्या को कैसे हल करूंगा। अब, हम केवल यह मान लेते हैं कि सामान्य समाधान का रूप है

कैसे जांचें कि मैं झूठ नहीं बोल रहा हूं?

यह मैट्रिक्स कैलकुलस को याद करने के लिए पर्याप्त है और सभी गुणांक के मैट्रिक्स द्वारा हमारे पहले डायोफैंटीन समीकरण (मुक्त अवधि के बिना) के मूल्यों के वेक्टर को गुणा करना है ।

परिणामस्वरूप मुक्त पद का मूल्य प्राप्त होता है, और इसलिए गणना सही होती है

अगला कदम हमारे सामान्य समाधान को बदलना है।

दूसरे समीकरण में

प्रक्रिया समान है: हम पहले के सामान्य समाधान द्वारा दूसरे समीकरण के गुणांक से वेक्टर को गुणा करते हैं

हमें यह परिणाम मिलता है

यही है, हमें फॉर्म का एक समीकरण मिला है

दूसरे डायोफैंटाइन समीकरण के दाईं ओर, जैसा कि -335 के बराबर एक मुक्त शब्द था, यह बना रहा, अर्थात्, इस स्तर पर हमारे अंतिम समाधान का रूप है

या मुक्त सदस्यों को हम दाईं ओर ले जाते हैं

इसलिए, हमें अगला डायोफैंटाइन समीकरण मिला। आइए इसका सामान्य हल खोजें और सत्य के लिए इसका परीक्षण करें।

यह है, सामान्य समाधान है

और अब हम उलटा परिवर्तन कर रहे हैं (इसे इसे कहा जाए)। वह है, व्यवस्था

अज्ञात x के बजाय हम अंतिम चरण में जो हुआ उसे प्रतिस्थापित करते हैं

मैट्रिक्स कैलकुलस में, यह एक मैट्रिक्स को दूसरे से गुणा करके हल किया जाता है।
लेकिन पहले मैट्रिक्स के साथ, एक निश्चित प्रक्रिया को करने की आवश्यकता है: मुक्त शर्तों के साथ अंतिम कॉलम को हटाएं (अस्थायी रूप से), क्योंकि यह पैरामीटर गुणन में भाग नहीं लेता है, और बाद में इसका उपयोग किया जाएगा।

दो मैट्रिसेस को गुणा करने का परिणाम उत्पन्न होता है

मैट्रिक्स

अंतिम कॉलम इस प्रणाली के मुक्त सदस्य हैं।
हम उस कॉलम को ध्यान में रखते हैं जिसे गुणा करने से पहले अस्थायी रूप से हटा दिया गया था और उन्हें जोड़ दिया गया था

मैट्रिक्स के रूप में हमारा अंतिम उत्तर

इसकी जाँच करें?

पहले समीकरण और मैट्रिक्स के गुणांक के वेक्टर उत्पाद

और दूसरे समीकरण और मैट्रिक्स के गुणांक के वेक्टर उत्पाद

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणाम प्रत्येक समीकरण के मुक्त शब्द के साथ मेल खाता है।
इस प्रकार, सामान्य समाधान का रूप है

जहाँ m, p, q - कोई भी पूर्णांक मान ले सकता है

ऐसे सीधे तरीके से, अधिक जटिल रैखिक डायोफैंटीन समीकरणों को हल करना संभव है। इस एल्गोरिथ्म के मद्देनजर एक वास्तविक कैलकुलेटर बनाया गया था ; यह कैलकुलेटर वास्तव में पसंद नहीं करता है जब प्रारंभिक प्रणाली के पहले समीकरण के गुणांक में मानों के बजाय शून्य उत्पन्न होते हैं। लेकिन यह इस एल्गोरिथ्म के मेरे विशिष्ट कार्यान्वयन की समस्या है।

अगले विषय में, मैं आपको बताऊंगा कि सामान्य समाधान के मैट्रिक्स का उपयोग करके डायोफैंटीन समीकरण कैसे बनाएं। कार्य आम तौर पर प्रतिबंधात्मक होता है और एक कार्रवाई में किया जाता है, लेकिन अचानक किसी को पता नहीं चलता है।

मैं टिप्पणियों, प्रतिक्रिया और सुझावों के लिए आभारी रहूंगा।