मशीन लर्निंग को एक अनसुलझे गणित की समस्या का सामना करना पड़ा

सलाम, ख़बरों को! उन्नत और बुनियादी पाठ्यक्रमों "डेटा साइंस के लिए गणित" पर नए थ्रेड्स के लॉन्च की प्रत्याशा में हम आपके साथ एक दिलचस्प अनुवाद साझा करना चाहते हैं। इस लेख में कोई अभ्यास नहीं होगा, लेकिन सामग्री सामान्य विकास और चर्चा के लिए दिलचस्प है।

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शोधकर्ताओं के एक समूह को कई गणितीय विरोधाभासों से जुड़ी एक खुली गणितीय समस्या का सामना करना पड़ा, जिसे 1930 के दशक में प्रसिद्ध ऑस्ट्रियाई गणितज्ञ कर्ट गोडेल ने खोजा था।

मशीन सीखने की समस्याओं पर काम करने वाले गणितज्ञों ने साबित किया कि "सीखने" की संभावना, अर्थात्, एल्गोरिथ्म सीमित डेटा से एक पैटर्न निकाल सकता है, निरंतरता परिकल्पना के रूप में ज्ञात विरोधाभास से संबंधित है। गोडेल ने कहा कि गणितीय भाषा की मानक क्षमताओं का उपयोग करते हुए, एक परिकल्पना की न तो पुष्टि की जा सकती है और न ही उसे अस्वीकृत किया जा सकता है। इस विषय पर नवीनतम शोध निष्कर्ष 7 जनवरी को नेचर मशीन इंटेलिजेंस में प्रकाशित किए गए थे।

"यह हमारे लिए एक आश्चर्य की बात थी," हैफ में इजरायल के प्रौद्योगिकी संस्थान के अमीर येहुदेव ने कहा, जिन्होंने अध्ययन का सह-लेखन किया। उन्होंने कहा कि कई तकनीकी मुद्दों के बावजूद, जिन्हें "अघुलनशील" के रूप में भी जाना जाता है, उन्होंने इस घटना को मशीन सीखने की प्रतीत होती सरल समस्या में होने की उम्मीद नहीं की थी।

जॉन टकर, ब्रिटेन के स्वानसी विश्वविद्यालय के कंप्यूटर विज्ञान विशेषज्ञ, का कहना है कि यह कार्य "हमारे ज्ञान के किनारे पर एक मूर्त परिणाम है", गणित और मशीन सीखने दोनों के लिए मूलभूत निहितार्थों के साथ।

सभी सेट एक जैसे नहीं होते हैं।

एक एल्गोरिथ्म अपने ज्ञान को सामान्य कर सकता है या नहीं, इस संबंध में शोधकर्ता अक्सर सीखने की क्षमता निर्धारित करते हैं। एल्गोरिथ्म "हां" या "नहीं" का जवाब देता है, उदाहरण के लिए, सवाल "छवि में एक बिल्ली है?" सीमित संख्या में वस्तुओं के लिए, और फिर इसे पहले से अज्ञात नई वस्तुओं के लिए पूर्वानुमान बनाना चाहिए।

येहुदेव और उनके सहयोगियों ने सीखने और "निचोड़ने" के बीच संबंधों की जांच करके परिणाम प्राप्त किए, जिसमें एक बड़े डेटा सेट की विशेषताओं को एक छोटे सेट पर मैप करने का एक तरीका शामिल है। लेखकों ने पाया कि जानकारी को संकुचित करने की क्षमता प्रभावी रूप से सेट सिद्धांत के प्रश्न को कम कर देती है - वस्तुओं के गणितीय सेट, जैसे कि वेन आरेख में सेट। विशेष रूप से, यह विभिन्न आकारों के सेटों पर लागू होता है जिसमें एक बड़ी संख्या में वस्तुओं की संख्या होती है।

1870 के सेट सिद्धांत के संस्थापक, जॉर्ज कैंटर ने साबित किया कि सभी अनंत सेट समान नहीं हैं: उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का सेट सभी वास्तविक संख्याओं के सेट की तुलना में "कम" है, जिसे सातत्य के रूप में भी जाना जाता है। (चूंकि वास्तविक संख्या में तर्कहीन के साथ-साथ तर्कसंगत और पूर्णांक संख्या भी शामिल हैं।) कैंटर ने यह भी सुझाव दिया कि मध्यवर्ती आकार का कोई सेट नहीं है, अर्थात् पूर्णांक के सेट से बड़ा है, लेकिन निरंतरता से छोटा है। लेकिन वह इस निरंतर परिकल्पना को साबित नहीं कर सका, जैसे कई गणितज्ञों और तर्कशास्त्रियों - उनके अनुयायी।

उनके प्रयास व्यर्थ थे। 1940 में, गोडेल ने एक अध्ययन किया (जो केवल 1960 के दशक में अमेरिकी गणितज्ञ पॉल कोहेन द्वारा पूरा किया गया था), जिसमें, स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, उन्होंने साबित किया कि सातत्य परिकल्पना न तो सच हो सकती है और न ही गलत।

सातत्य परिकल्पना पर गोडेल और कोहेन का काम मानता है कि मानक गणित के नियमों को पूरा करने वाले समानांतर गणितीय ब्रह्मांड हो सकते हैं: एक जिसमें निरंतरता की परिकल्पना आम तौर पर स्वीकृत स्वयंसिद्ध बन जाती है, अर्थात, इसे सच घोषित किया जाता है, और दूसरा जिसमें इसे गलत भी घोषित किया जाता है।

सीखने वाला अंग

अपने नवीनतम काम में, येहुदेव और उनके सहयोगियों ने सीखने को एक छोटी संख्या के डेटा बिंदुओं के नमूने द्वारा निर्धारित अपेक्षाकृत बड़े डेटा के लिए पूर्वानुमान बनाने की क्षमता के रूप में परिभाषित किया। कैंटर समस्या के साथ संबंध यह है कि छोटे सेट का चयन करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं, लेकिन इस अनंत का आकार अज्ञात है।

इसके अलावा, लेखक बताते हैं कि यदि निरंतरता परिकल्पना सच है, तो एक छोटा सा नमूना एक्सट्रपलेशन के लिए पर्याप्त है। लेकिन अगर यह गलत है, तो एक परिमित नमूना नहीं हो सकता है जो पर्याप्त होगा। इस प्रकार, वे मानते हैं कि सीखने की समस्या वास्तव में सातत्य परिकल्पना के बराबर है। परिणामस्वरूप, सीखने की समस्या भी अनिश्चितता की स्थिति में है, जिसे केवल स्वयंसिद्ध ब्रह्मांड को चुनकर हल किया जा सकता है।

"अध्ययन का परिणाम भी सीखने की एक व्यापक समझ बनाने में मदद करता है," येहुदेव कहते हैं। "सीखने की प्रक्रिया को समझने में संपीड़न और सामान्यीकरण के बीच यह संबंध वास्तव में मौलिक है।"

यूनिवर्सिटी कॉलेज लंदन के कंप्यूटर विज्ञान विशेषज्ञ पीटर ओ'हर्न कहते हैं, "शोधकर्ताओं ने ऐसी कई" अघुलनशील "समस्याओं की खोज की है। विशेष रूप से, गोडेल के काम के परिणामों के अनुसार, एल्गोरिथ्म के सिद्धांत के संस्थापकों में से एक एलन ट्यूरिंग ने उन सवालों के एक वर्ग की खोज की, जो किसी भी कंप्यूटर प्रोग्राम को किसी भी सीमित संख्या के चरणों के जवाब देने की गारंटी नहीं दे सकते हैं।

ओ'हर्न कहते हैं, "हालांकि, हाल के अध्ययनों में प्राप्त असुरक्षा बहुत दुर्लभ और बहुत अधिक आश्चर्यजनक है," यह बताता है कि गोडेल ने किसी भी तरह की गणितीय भाषा की आंतरिक अपूर्णता की खोज की थी। प्राप्त परिणाम मशीन लर्निंग के सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण होने की संभावना है, लेकिन यह एक महान व्यावहारिक प्रभाव होने की संभावना नहीं है।

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