प्रसिद्ध द्रव समीकरण लीक हो गए

सदियों से, शोधकर्ताओं ने उन स्थितियों के उदाहरणों की तलाश की है जिसमें एक आदर्श तरल पदार्थ के हाइड्रोडायनामिक्स के लिए यूलर समीकरण गलत साबित होते हैं। और अंत में, गणितज्ञों ने ऐसा उदाहरण पाया।

जब तरल छल्ले कुछ सरलीकृत मामलों में एक दूसरे के पास जाते हैं, तो उनकी गति का वर्णन करने वाले यूलर समीकरण काम नहीं करते हैं

कई वर्षों के लिए, गणितज्ञों को संदेह है कि कुछ शर्तों के तहत यूलर समीकरण काम करने से मना कर देंगे। हालांकि, वे उस विशिष्ट परिदृश्य का वर्णन नहीं कर सकते हैं जिसमें यह होता है। आज तक।

ये समीकरण द्रव गति का एक आदर्श गणितीय वर्णन हैं। कुछ मान्यताओं के भीतर, वे एक तालाब पर लहरों के प्रसार या एक कैन से पिघलाव की घुसपैठ का मॉडल बनाते हैं। उन्हें किसी भी स्थिति में किसी भी तरल के आंदोलन का वर्णन करने में सक्षम होना चाहिए - और दो शताब्दियों से अधिक के लिए, यह था।

$$

$$\ frac {\ आंशिक v} {\ आंशिक t} + ((v \ cdot \ nabla) v = g - \ frac {1} {\ rho} \ nabla p$$

हालांकि, नए सबूत दर्शाते हैं कि कुछ शर्तों के तहत, ये समीकरण अभी भी काम करने से इनकार करते हैं।

"डेढ़ साल पहले, मैं कहूंगा कि मैंने अपने जीवनकाल में भी इस तरह के विकास को देखने की उम्मीद नहीं की थी," सैन डिएगो में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ, तारे एल्गिंडी ने कहा, एक नए काम के लेखक।

एलगिंडी ने 2019 में प्रकाशित दो कामों में यूलर समीकरणों में खामियों के अस्तित्व को साबित किया - उन्होंने खुद अप्रैल लिखा, और अक्टूबर - तेजेदीन गोले और नादेर मसमुदी के साथ मिलकर। काम तरल के लिए इन प्रसिद्ध समीकरणों के बारे में मान्यताओं की एक सदी में बदल गया।

"मुझे लगता है कि यह एक अद्भुत और अद्भुत उपलब्धि है," प्रिंस कॉन्सटेंटाइन ने कहा, प्रिंसटन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ।

एलगिंडी का काम यूलर के समीकरणों के अंत में प्रवेश नहीं करता है। यह साबित करता है कि पूरी तरह से कुछ शर्तों के तहत समीकरण ज़्यादा गरम लगते हैं और बकवास करने लगते हैं। लेकिन अधिक यथार्थवादी स्थितियों में, अब तक के समीकरण अजेय हैं।

हालांकि, एल्गिंडी द्वारा पाए गए अपवाद ने गणितज्ञों को आश्चर्यचकित किया, क्योंकि यह उन परिस्थितियों में होता है जिनके तहत, जैसा कि पहले सोचा गया था, समीकरण को वैसे भी काम करना चाहिए।

न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के गणितज्ञ व्लाद विकोल ने कहा, "सामान्य तौर पर, मुझे लगता है कि तारेक द्वारा दिए गए उदाहरण से लोग आश्चर्यचकित हैं।"

कैसे यूलर समीकरणों में तेजी आई

लियोनहार्ड यूलर ने तरल पदार्थों के समीकरणों को व्युत्पन्न किया जो अब 1757 में उनका नाम है। वे समय के साथ एक तरल पदार्थ के विकास का वर्णन करते हैं, जैसे न्यूटन के समीकरण एक टेबल पर एक बिलियर्ड बॉल की गति का वर्णन करते हैं।

अधिक सटीक रूप से, ये समीकरण एक तरल के अनंत कणों के तात्कालिक गति को दर्शाते हैं। उनके विवरण में कण की गति (यह कितनी तेजी से और किस दिशा में चलती है) शामिल है और इस तरह की मात्रा इसके साथ जुड़ी हुई है (कितनी तेजी से कण एक शीर्ष के तरीके से घूमता है, और किस दिशा में)।

यह सब जानकारी पूरी तरह से एक "वेग क्षेत्र" बनाती है, जो किसी निश्चित समय पर द्रव गति का एक स्नैपशॉट है। यूलर समीकरण प्रारंभिक वेग क्षेत्र से शुरू होते हैं, और भविष्यवाणी करते हैं कि यह भविष्य में किसी भी समय कैसे बदल जाएगा।


तारेक एल्गिंडी

यूलर समीकरण वास्तविक दुनिया के तरल पदार्थ का शाब्दिक वर्णन नहीं करते हैं। इनमें कई गैर-भौतिक धारणाएं शामिल हैं। उदाहरण के लिए, वे केवल तभी काम करते हैं जब द्रव में आंतरिक प्रवाह घर्षण पैदा नहीं करते हैं, एक दूसरे के सापेक्ष बढ़ते हैं। तरल पदार्थों की असंगति को भी ग्रहण किया जाता है, अर्थात् यूलर समीकरणों के नियमों के अनुसार किसी तरल को संपीड़ित करना असंभव है, इसे पहले से ही ले जाने की तुलना में थोड़ी मात्रा के स्थान पर रखा गया है।

"इस मॉडल को एक आदर्श दुनिया के रूप में कल्पना की जा सकती है, और इस दुनिया के आंदोलन के नियमों के रूप में समीकरण किया जा सकता है," व्लादिमीर सेवरक ने मिनेसोटा विश्वविद्यालय से हमें ईमेल से लिखा।

इन असामान्य स्थितियों ने गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी जॉन वॉन न्यूमैन को मजाक में कहा कि ये समीकरण "सूखे पानी" के व्यवहार का अनुकरण करते हैं। आंतरिक घर्षण (तथाकथित चिपचिपाहट) का अनुभव करने वाले अधिक यथार्थवादी तरल पदार्थ का अनुकरण करने के लिए, शोधकर्ता नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का उपयोग करते हैं ।

“यूलर के समीकरण बहुत आदर्श हैं। घर्षण वास्तविक तरल पदार्थों में मौजूद है, ”कोन्स्टेंटिन ने कहा।

लेकिन एक ही समय में, यूलर समीकरण अभी भी विज्ञान में एक सम्मानित स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। शोधकर्ता यह जानना चाहते हैं कि क्या ये समीकरण घर्षण और संपीड़न के बिना इस आदर्श दुनिया के ढांचे में स्पष्ट रूप से काम करते हैं - अर्थात, क्या वे सभी भविष्य के राज्यों के वेग क्षेत्रों के सभी संभावित प्रारंभिक संस्करणों का वर्णन कर सकते हैं। या, दूसरे शब्दों में: क्या ऐसी कोई द्रव गति है जो ये समीकरण मॉडल नहीं कर सकते हैं?

"इसके मूल में, सवाल सरल है: क्या ये समीकरण हमेशा अपना काम करते हैं?"

सिद्धांत रूप में, तरल की वर्तमान स्थिति के समीकरणों में प्रतिस्थापित, आपको इसकी भविष्य की स्थिति का वर्णन करने के लिए सटीक मान मिलेंगे। तब आप फिर से इन नए मूल्यों को समीकरणों में स्थानापन्न कर सकते हैं, और अपने पूर्वानुमान का विस्तार कर सकते हैं। और आमतौर पर भविष्य में किसी भी लंबाई के लिए इसी तरह की प्रक्रिया जारी रखी जा सकती है।

हालांकि, यह भी संभव है कि बहुत ही दुर्लभ परिस्थितियों में समीकरण टूट जाएं। वे क्रैक, पफ, भविष्य के इनपुट मापदंडों की भूमिका के लिए उपयुक्त आउटपुट मान का उत्पादन कर सकते हैं, और फिर अचानक एक मूल्य का उत्पादन कर सकते हैं जो उनके लिए बिल्कुल उपयुक्त नहीं है। ऐसे मामलों में, गणितज्ञ कहते हैं कि समीकरण "जल्दी" हो गए।

यदि यूलर के समीकरणों में तेजी आती है, तो यह इसलिए होगा क्योंकि वे कुछ अप्राकृतिक तरीके से बिंदु की गति या तीव्रता को बढ़ाना शुरू करते हैं। यह लाभ इतना मजबूत होगा कि एक निश्चित समय में एक बिंदु की गति या भंवर अनंत हो जाता है। और जैसे ही समीकरण एक अनंत मूल्य देते हैं, वे भविष्य में किसी भी पर्यावरणीय स्थिति का वर्णन करना बंद कर देंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि आमतौर पर अनंत मूल्यों के साथ गणना करना असंभव है - यह शून्य से विभाजित करने के समान है (वैसे, इस मामले में गति मान प्रकाश की गति को पार कर जाएगा - हालांकि मॉडल के आदर्श दुनिया में यह सबसे खराब नहीं है)।

इन भाग्य अनंत अर्थों को "विलक्षणता" कहा जाता है। जब गणितज्ञ पूछते हैं, "क्या यूलर समीकरण हमेशा काम करते हैं?", वे वास्तव में पूछते हैं "क्या ऐसे परिदृश्य हैं जिनमें यूलर समीकरण विलक्षणता देते हैं?"

कई गणितज्ञों का मानना ​​है कि हालांकि - आज तक, वे एक विशिष्ट परिदृश्य नहीं पा सके हैं जिसमें समीकरण वास्तव में विस्फोट करते हैं।

"एक भावना थी कि यूलर विलक्षणता से बचने की कोशिश कर रहा था, और हाल ही में, जब तक वह सफल नहीं हो गया," कॉन्स्टेंटिन ने कहा।

नया काम यह प्रदर्शित नहीं करता है कि समीकरण किस तरह से विलक्षणताओं को शर्तों के तहत देते हैं जो गणितज्ञ सबसे अधिक रुचि रखते हैं। हालांकि, अब तक यह परिणाम बाकी की तुलना में लक्ष्य के करीब आ गया है। और इसके लिए, एलगिंडी ने द्रव गति का एक सरलीकृत मॉडल माना।

जटिलता को कम करना

गणितज्ञों के पास द्रव गति की जटिलता को कम करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिसके अनुकरण के लिए वे यूलर समीकरणों का उपयोग करते हैं। एलगिंडी द्वारा प्राप्त किए गए उन लोगों के समान कई सबसे दिलचस्प नतीजे शामिल हैं कि आप तरल पदार्थ के व्यवहार को कितना सरल बना सकते हैं - यानी, आप समीकरणों में निर्दिष्ट डेटा को कितना सरल बना सकते हैं - जबकि अभी भी समीकरणों के बारे में कुछ सार्थक कहने में सक्षम हैं।

एक वास्तविक त्रि-आयामी तरल पदार्थ में, जैसे कि तालाब में पानी, किसी भी कण में आंदोलन के लिए तीन संभावित अक्ष होते हैं: x- अक्ष (बाएं-दाएं), y- अक्ष (ऊपर-नीचे), और z- अक्ष (आगे-पीछे)। बहुत सारे आंदोलन की स्वतंत्रता। इसके अलावा, तरल के एक हिस्से में कणों की आवाजाही जरूरी नहीं कि दूसरे हिस्से में कणों के आंदोलन के साथ दृढ़ता से जुड़ी हो।

"आपको बहुत ज्यादा नज़र रखनी होगी," एल्गिंडी ने कहा।

नए पेपर में, एलगिंडी यूलर समीकरणों के लिए काम को सरल करता है। यह आवश्यक है कि तरल z अक्ष के साथ सममित हो, जो आमतौर पर वास्तविक तरल पदार्थों में नहीं पाया जाता है। समरूपता के कारण, वेग क्षेत्र की गणना करना आसान हो जाता है, क्योंकि यह ज्ञात है कि जेड अक्ष के दोनों किनारों पर अंक दर्पण सममित हैं। इसलिए, यदि आप एक बिंदु की गति या विविधता को जानते हैं, तो आपको बस इन मूल्यों के संकेत को बदलने की जरूरत है, और इन मूल्यों को किसी अन्य बिंदु पर प्राप्त करें।


1) तरल पदार्थ की ओर बढ़ते हैं। गति क्षेत्र तरल पदार्थ के छोटे वर्गों की गति को ट्रैक करते हैं।
2) अंगूठियों के केंद्र आकर्षित होते हैं, जिससे अंगूठियां खिंचती हैं।
3) छल्ले टकराते हैं, "विलक्षणता" का एक बिंदु बनाते हैं, अनंत गति से घूमते हैं।

यह द्रव में बिंदुओं के संभावित संचलन को भी सीमित करता है। कण को ​​या तो z अक्ष के साथ, या उससे दूर ले जाया जा सकता है, या उसकी ओर ले जाया जा सकता है। वे z अक्ष के चारों ओर नहीं घूम सकते हैं। गणितज्ञों का कहना है कि ऐसे तरल पदार्थों में कोई भँवर नहीं हैं।

"यह कार्य को दो-आयामी करता है," एल्गिंडी ने कहा।

अंत में, एलगिंडी ने यूलर समीकरणों में पेश किए गए प्रारंभिक आंकड़ों पर कुछ और शर्तें लगाईं। एक मायने में, ये आंकड़े वास्तविक तरल पदार्थों का वर्णन करने वालों की तुलना में अधिक मोटे हैं, और विलक्षणताओं के गठन की संभावना को बढ़ाते हैं।

वास्तविक जीवन में, यदि आप एक बिंदु से दूसरे तक जाते हैं, तो इसके बहुत करीब स्थित है, तो इन दो बिंदुओं की गति लगभग बराबर होगी। इन दोनों बिंदुओं के भंवर भी समान होने चाहिए। गणितज्ञों का कहना है कि इस संपत्ति के साथ वेग क्षेत्र "सुचारू" हैं, अर्थात्, उन पर मूल्य धीरे-धीरे बदलते हैं - या सुचारू रूप से - जब एक बिंदु से दूसरे तक बढ़ते हैं। कोई त्वरित परिवर्तन नहीं।

लेकिन एल्जीन्डी से तरल के विवरण के मामले में, सब कुछ अलग है।

"तारेक के डेटा में मोड़ बहुत कुछ बदल सकता है," विकोल ने कहा। "अंक के पास बहुत अलग भंवर हो सकते हैं।"

ऐसा लग सकता है कि एल्गिंडी के सरलीकरण बहुत उपयोगी होने के लिए वास्तविक तरल पदार्थों के व्यवहार से प्रस्थान करते हैं। हालांकि, वे अभी भी कई सरलीकृत परिदृश्यों की तुलना में बहुत कम कठोर हैं जिनमें वैज्ञानिकों ने पहले यूलर समीकरणों पर विचार किया था। वास्तव में, एलगिंडी ने यह भी दिखाया कि इन सरलीकृत के तहत - लेकिन बहुत अधिक नहीं - स्थितियां, यूलर समीकरण बहुत अप्रत्याशित परिणाम उत्पन्न करना शुरू करते हैं।

खेल खत्म

एल्गिंडी की खोज को समझने के लिए, पानी के एक कंटेनर की कल्पना करें। यह एक सटीक उदाहरण नहीं है, क्योंकि एलगिंडी का काम उन तरल पदार्थों को मानता है जिनकी कोई सीमा नहीं है, अर्थात शून्य गुरुत्वाकर्षण में बुलबुले की तरह उड़ रहा है। लेकिन स्क्रिप्ट की कल्पना करने के लिए, जो उसके काम के केंद्र में है, टैंक में पानी की व्यवस्था करना उपयोगी होगा। यद्यपि सबसे महत्वपूर्ण गणितीय परिकल्पनाएँ - और जो कि सबसे कठिन साबित होती हैं - सीमाओं के बिना तरल पदार्थ की चिंता।

फिर टैंक के विभिन्न छोरों पर स्थित पानी के दो मोटे छल्लों की कल्पना करें। वे छोटे फ़नल बनाते हैं, जैसे कि भंवर - द्रव के अंदर संगठित गड़बड़ी। इसी तरह की घटनाएं प्रकृति में पाई जाती हैं, और धुएं के छल्ले के समान हैं जो अनुभवी धूम्रपान करने वाले दे सकते हैं।

अब कल्पना करें कि दो विरोधी छल्ले एक साथ कैसे आते हैं।

दृष्टिकोण के दौरान, यूलर समीकरण सामान्य रूप से काम करते हैं, जो वेग के क्षेत्रों की गणना करते हैं जो समय पर प्रत्येक क्षण द्रव का वर्णन करते हैं। लेकिन जब वे एक साथ पर्याप्त पास हो जाते हैं, तो समीकरण बहुत ही अजीब परिणाम उत्पन्न करने लगते हैं।

वे दिखाते हैं कि कैसे छल्ले एक दूसरे को अधिक से अधिक आकर्षित करने लगते हैं - और छल्ले के केंद्रीय बिंदु बाहरी हिस्सों की तुलना में एक-दूसरे से भी अधिक आकर्षित होते हैं। नतीजतन, छल्ले बढ़ाए जाते हैं, और एक फ़नल जैसा दिखता है। और रिंग के केंद्र जितने करीब आते हैं, उनकी गति उतनी ही बढ़ती जाती है। और फिर वे टकराते हैं।

और अगर इस समय आप टकराव का वर्णन करने वाले वेग क्षेत्र को देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यूलर के पूरे इतिहास में मान्यताओं के इस सेट के साथ किसी ने भी समीकरण नहीं देखा: विलक्षणता। एल्गिंडी ने साबित कर दिया कि यूलर समीकरण टकराव के बिंदु पर अनंत गति देते हैं। खेल खत्म हो गया है।

"समीकरण का क्लासिक रूप टूट जाता है," एल्गिंडी ने कहा। "उसके बाद, यह स्पष्ट नहीं है कि क्या चल रहा है।"

परिणाम की अपनी सीमाएँ हैं। अर्थात्, इस परिणाम के आधार पर पूरी तरह से "चिकनी" स्थितियों में यूलर समीकरणों के व्यवहार को एक्सट्रपलेशन करना असंभव है। कुछ दशक पहले गणितज्ञों ने यह साबित कर दिया कि "सहज" परिस्थितियों में, एल्गिंडी द्वारा माना जाने वाला परिदृश्य एक विलक्षणता पैदा नहीं करेगा।

हालांकि, उसके बाकी परिणाम इन पुराने समीकरणों पर गणितज्ञों के दृष्टिकोण को पूरी तरह से बदल देते हैं।

एल्गिंडी के काम से पहले, गणितज्ञ सीमाओं के बिना किसी तरल पदार्थ में किसी भी स्थिति के अस्तित्व को साबित नहीं कर सकते थे, जिसमें यूलर समीकरण कुछ समय के लिए काम करते हैं (जबकि छल्ले एक साथ आते हैं), लेकिन असीम रूप से नहीं। पिछले सभी कार्यों में, गणितज्ञों ने कहा कि यदि समीकरण मूल रूप से काम करते हैं, तो वे हमेशा काम करते हैं।

"यह एक बहुत ही उल्लेखनीय परिणाम है, क्योंकि यह परिदृश्य में विलक्षणताओं की उपस्थिति को साबित करता है, जिसे हम 'सही ढंग से परिभाषित' कहते हैं।" यह समझ में आता है, लेकिन एक ही समय में हम एक सीमित समय में एक विलक्षणता के लिए आते हैं, ”कोन्स्टेंटिन ने कहा।

वैज्ञानिकों की कई पीढ़ियों ने यूलर के समीकरणों में एक कमजोर जगह की तलाश की है। और अंत में - कुछ आरक्षणों के साथ - गणितज्ञ ने उसे पाया।