ग्रे कोड के ज्यामितीय अर्थ के बारे में

ग्रे कोड्स का हिल्बर्ट वक्र के साथ घनिष्ठ संबंध है ।

हालांकि, सहकर्मियों के साथ संवाद करते समय यह पता चला कि यह साधारण लत उनकी आँखों में कुछ गैर-तुच्छ लगती है। एक इंटरनेट सर्च ऑफहैंड ने विकी पर कुछ भी नहीं दिया, लेकिन एक मैला वाक्यांश दिया: "अधिक आयाम के स्थानों में हिल्बर्ट घटता ग्रे कोड के सामान्यीकरण के प्रतिनिधि हैं"। इसलिए, विषय खोलने की इच्छा थी - संक्षेप में, सरल भाषा में।

नतीजतन, कटौती के तहत - "घोटालों, साज़िशों, जांच"।

ग्रे कोड की मुख्य विशेषता यह है कि दो समसामयिक आसन्न मूल्य केवल एक श्रेणी में भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, हिल्बर्ट वक्र निरंतर है - दो आसन्न बिंदुओं के बीच की दूरी हमेशा एक होती है। यह अकेले उनके आंतरिक संबंध पर संकेत देता है।

ग्रे कोड एक हाइपरक्यूब के भीतर एक हिल्बर्ट वक्र की घटनाओं का वर्णन करता है। वास्तव में, यदि हम एक 3-बिट कोड लेते हैं और इसे 3-आयामी स्थान में खींचते हैं (प्रत्येक बिट को इसी समन्वय के लिए लेते हैं), तो हम प्राप्त करते हैं


एक 3-आयामी घन के रूप में चित्रा 1 3-बिट ग्रे कोड

परिचित तस्वीर हिल्बर्ट वक्र का 3-आयामी सिंप्लेक्स है! एक ही सिंप्लेक्स के प्रत्येक नोड को क्रमिक रूप से प्रतिस्थापित करने (निरंतरता बनाए रखने के लिए घुमाव और परावर्तन को ध्यान में रखकर), हम एक हिल्बर्ट वक्र 4x4x4 प्राप्त करते हैं।

इन पुनरावृत्तियों को जारी रखते हुए, हम लगातार किसी भी आकार का एक घन जाली भर सकते हैं।


चित्रा 2 हिल्बर्ट वक्र के सिंप्लेक्स के कई पुनरावृत्तियों।

लेकिन यह कैसे हुआ?

यह ज्ञात है कि ग्रे कोड आत्म-समान है। इसे कभी-कभी दर्पण कहा जाता है "इस तथ्य के कारण कि ऑर्डर बदलते समय मूल्यों का पहला भाग दूसरे बिट के बराबर होता है, उच्च बिट के अपवाद के साथ। सबसे महत्वपूर्ण बिट बस उल्टा है। " स्पष्टता के लिए, 3-बिट कोड सबसे महत्वपूर्ण बिट है - सबसे बाईं ओर:



चूंकि हम आत्म-समानता के बारे में बात कर रहे हैं, चलो शुरू से शुरू करते हैं - एक-बिट कोड के साथ। कड़ाई से बोलना, एक शून्य आयाम के साथ शुरू करना संभव होगा - अंक, यह मौलिक रूप से कुछ भी नहीं बदलता है, बस शब्दों को अधिक लिखना होगा।

ग्रे का सिंगल-डिजिट कोड तीन-लाइन राइफल से भी सरल है, यह 0 या 1 है।

ज्यामितीय रूप से, यह एक आयामी इकाई क्यूब से संबंधित है - एक खंड। आप एक खंड के साथ या तो शुरुआत से अंत तक, या अंत से शुरुआत तक समरूपता की ओर बढ़ सकते हैं, यह एक और एक ही है। लेकिन फिर भी, हम शुरुआत को उस स्थान पर कहेंगे जहां मूल्य कम है (याद रखें कि घन के पक्ष संख्या के अंक हैं), और अंत - जहां यह अधिक है।

हम द्वि-आयामी मामले की ओर मुड़ते हैं। द्वि-आयामी घन एक वर्ग है। आत्म-समानता को ध्यान में रखते हुए, हम एक आयामी घन (0,1) को क्लोन करते हैं और दो खंड प्राप्त करते हैं - (0,0 -> 1,0) और (0,1 -> 1,1)। अब आपको वर्ग के चारों ओर जाने के लिए इन खंडों को जोड़ने की आवश्यकता है। और यहाँ दो विकल्प उत्पन्न होते हैं:

• हम पिछले पुनरावृत्ति की शुरुआत को जोड़ते हैं - एक आयामी घन इसके क्लोन की शुरुआत के साथ। समरूपता तक, यह अंत को अंत से जोड़ने के समान है। समरूपता का प्रकार दर्पण है। इस विकल्प को सशर्त रूप से "मिशनरी" कहा जाता है।
  
• हम पिछले क्लोन के अंत को इसके क्लोन की शुरुआत से जोड़ते हैं। समरूपता तक, यह एक क्लोन के अंत के साथ एक पंक्ति की शुरुआत में शामिल होने के समान है। समरूपता का प्रकार केंद्रीय है। हम इस विकल्प को "ट्रेन" कहते हैं।

हम तीन या अधिक आयामी मामलों को पारित करने में समान रूप से कार्य करते हैं।


चित्र 3 "मिशनरी" संस्करण के पहले दो पुनरावृत्तियों

यहां पिछले पुनरावृत्ति को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, इसका क्लोन नीले रंग में है, और उनका कनेक्शन फ़िरोज़ा में है।

ध्यान दें कि कनेक्शन हमेशा एक ही आयाम से गुजरता है - नया जोड़ा गया, इसलिए ग्रे कोड की मुख्य विशेषता आत्म-समानता के कारण दिखाई देती है। और चूंकि पिछली पुनरावृत्ति का अंत इसके क्लोन के अंत के साथ जुड़ा हुआ है, "मिररिंग" तब होता है - जब चारों ओर जा रहे हैं, हम रिवर्स ऑर्डर में क्लोन के माध्यम से जाने के लिए मजबूर हैं। आयाम चाहे जो भी हो। यहां आप हिल्बर्ट वक्र की उत्पत्ति और विशेषताएं देख सकते हैं - चाहे वह कितना भी बड़ा (किसी भी आयाम का) जाली क्यों न हो, जमीनी स्तर पर यह अभी भी एक ही यूनिट क्यूब है जिसमें लंबाई एक के संक्रमण के साथ है।


चित्र 4 विकल्प "ट्रेन" के पहले दो पुनरावृत्तियों, एक ही रंग

लेकिन यह संगीत हमारे लिए भी परिचित है - हमें एक सरल जेड-कर्व मिला। यहाँ पर सिंप्लेक्स शब्द का अर्थ यह भी है कि यदि हम इसके प्रत्येक बिंदु को लेते हैं और इसे एक सिम्प्लेक्स से प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें 4x4x4 क्यूब मिलता है, पुनरावृत्तियों को जारी रखते हुए - हम एक मनमाने ढंग से बड़े घन जाली को भर सकते हैं।

यह हास्यास्पद है कि इस मामले में, मूल से कोड के लिए पारित मार्ग का रूपांतरण, जिसे बिट्स में पार्स किया जा सकता है, तुच्छ है।
जबकि ग्रे कोड का मामला G = W ^ (W >> 1) है, जहां W पास की लंबाई है, G ग्रे कोड है।


चित्रा 5 Z- वक्र के पहले दो पुनरावृत्तियों (विकी)


तुलना के लिए 6, हिल्बर्ट वक्र के पहले दो पुनरावृत्तियों (विकी)

लेकिन एकल हाइपरक्यूब को दरकिनार करने के लिए कोई अन्य (प्राकृतिक) विकल्प नहीं हैं।
तो यह पता चला है कि आप जहां भी फेंकते हैं, हिल्बर्ट, लेब्सगे ... और खालीपन के आसपास।

पुनश्च : शीर्षक चित्र में, आठ-अंकीय ग्रे कोड वाला एक गोलाकार एनकोडर।
PPS : यहाँ उन्होंने मुझे बताया कि सिम्प्लेक्स एक अच्छी तरह से स्थापित शब्द है, यह इसके साथ अच्छा नहीं है। खैर, यह लेख केवल एक सिम्पलेक्स नहीं है, बल्कि हिल्बर्ट वक्र का एक सिंपल या जेड-कर्व का सिम्पलेक्स है। विश्वासयोग्य गणितज्ञ मुझे क्षमा कर सकते हैं।