उच्च डिग्री के समीकरणों पर

एक नियम के रूप में, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र में, हमें सबसे सरल रैखिक, या आंशिक तर्कसंगत समीकरणों के साथ सामना किया जाता है, कम अक्सर द्विघात वाले। और तीसरे और चौथे डिग्री के समीकरणों के बारे में क्या? यदि आप रुचि रखते हैं, तो मैं एक बिल्ली के लिए पूछता हूं।

सबसे पहले, उच्चतम डिग्री के समीकरण की अवधारणा पर विचार करें। उच्चतम डिग्री का एक समीकरण फॉर्म का एक समीकरण है:


इस लेख में मैं इस पर विचार करूंगा:

1. घन समीकरण।
2. वापसी योग्य घन।
3. हॉर्नर योजना और बेजाउट प्रमेय का अनुप्रयोग।
4. लौटाने योग्य द्विघात समीकरण।

घन समीकरण

घन समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जिनमें अज्ञात पद वरिष्ठ पद के लिए अज्ञात होता है। घन समीकरणों के निम्नलिखित रूप हैं:



इस तरह के समीकरणों को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है, हालांकि, हम बुनियादी विद्यालय के ज्ञान का उपयोग करेंगे और समूह द्वारा घन समीकरण को हल करेंगे:



इस उदाहरण में, समूहीकरण विधि का उपयोग किया जाता है, हम पहले दो और अंतिम दो सदस्यों को समूह बनाते हैं, समान कोष्ठक प्राप्त करते हैं, फिर से हम दो कोष्ठक के समीकरण प्राप्त करते हैं।

उत्पाद शून्य के बराबर है, और केवल तभी जब कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है, इस आधार पर हम प्रत्येक कारक (ब्रैकेट) को शून्य के बराबर करते हैं, एक अपूर्ण द्विघात और रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि एक समीकरण की जड़ों की अधिकतम संख्या अग्रणी शब्द के साथ अज्ञात के बराबर होती है, इसलिए एक घन समीकरण में तीन जड़ों से अधिक नहीं हो सकता है, एक द्विघात (4 डिग्री) में चार से अधिक मूल नहीं और। टी। डी।

वापसी घन समीकरण

रिटर्न क्यूबिक समीकरणों के रूप हैं:



उन्हें वापस करने योग्य कहा जाता है क्योंकि गुणांकों को प्रतिबिंबित किया जाएगा। इसी तरह के समीकरण भी स्कूल के तरीकों से हल होते हैं, लेकिन थोड़ा पेचीदा मामला:



सबसे पहले, समूहन किया जाता है, फिर संक्षिप्त गुणन के सूत्रों का उपयोग करते हुए, हम परिणामी कारकों को विघटित करते हैं। फिर से हमें 2 समान कोष्ठक मिलते हैं, "हम उन्हें निकालते हैं"। हमें दो कारक (कोष्ठक) मिलते हैं और उन्हें दो अलग-अलग समीकरणों के रूप में हल करते हैं।

बेजाउट प्रमेय और हॉर्नर की योजना

बेज़ाउट की प्रमेय की खोज, आश्चर्यजनक रूप से, एटिने बेज़ौट द्वारा, एक फ्रांसीसी गणितज्ञ, जो मुख्य रूप से बीजगणित से संबंधित थी। बेजाउट की प्रमेय को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है:



चलिए इसका पता लगाते हैं। P (x) x में कोई बहुपद है, (x - a) द्विपद है जिसमें समीकरण के पूर्णांक जड़ों में से एक है जो हम मुक्त शब्द के विभाजकों के बीच पाते हैं।

तीन बिंदु, यह एक ऑपरेटर है जो दर्शाता है कि एक अभिव्यक्ति दूसरे से विभाजित है। यह इस प्रकार है कि किसी दिए गए समीकरण का कम से कम एक रूट पाया जा सकता है, हम इस प्रमेय को उस पर लागू कर सकते हैं। लेकिन इस प्रमेय की आवश्यकता क्यों है, इसका प्रभाव क्या है? यदि आप एक बहुपद की डिग्री कम करना चाहते हैं, तो बेज़ाउट प्रमेय एक सार्वभौमिक उपकरण है। उदाहरण के लिए, इसकी सहायता से, घन समीकरण को एक वर्ग, द्विघात, घन, आदि में बदल दिया जा सकता है।

लेकिन यह समझने की बात है, लेकिन विभाजित कैसे करें? बेशक, आप इसे एक कॉलम में विभाजित कर सकते हैं, लेकिन यह विधि सभी के लिए उपलब्ध नहीं है, और गलती करने की संभावना बहुत अधिक है। इसलिए, एक और तरीका है, यह हॉर्नर की योजना है। मैं एक उदाहरण के साथ उसके काम की व्याख्या करूंगा। मान लें:



और इसलिए, हमें एक बहुपद दिया गया है, और हो सकता है कि हमें जड़ों में से एक मिल गया हो। अब हम 6 कॉलम और 2 पंक्तियों की एक छोटी प्लेट खींचते हैं, पहली पंक्ति के प्रत्येक कॉलम में (पहले को छोड़कर), हम समीकरण के गुणांक का परिचय देते हैं। और पंक्ति 2 के पहले कॉलम में हम एक (पाया रूट) का मान जोड़ते हैं। फिर पहला गुणांक, हमारे मामले में 5, हम बस नीचे उड़ाते हैं। निम्न स्तंभों के मूल्यों की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:



(तस्वीर यहां उधार ली गई है )
अगला, हम बाकी कॉलमों के साथ भी ऐसा ही करते हैं। अंतिम कॉलम (2 पंक्तियों) का मूल्य विभाजन का शेष भाग होगा, हमारे मामले में 0, यदि आपको 0 के अलावा कोई संख्या मिलती है, तो आपको एक अलग दृष्टिकोण चुनने की आवश्यकता है। एक घन समीकरण के लिए एक उदाहरण:

वापसी योग्य द्विघात समीकरण

हमने ऊपर दिए गए क्यूबिक समीकरणों पर भी विचार किया, और अब हम द्विघात समीकरणों का विश्लेषण करते हैं। उनका सामान्य दृष्टिकोण:



क्यूबिक रिटर्न समीकरण के विपरीत, प्रत्येक के पास गुणांक के संबंध में एक द्विघात जोड़ी नहीं है, लेकिन अन्यथा वे बहुत समान हैं। यहाँ इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म है:



जैसा कि आप देख सकते हैं, ऐसे समीकरणों को हल करना बिल्कुल भी सरल नहीं है। लेकिन मैं इस मामले को वैसे भी समाप्त कर दूंगा। समाधान x ^ 2 द्वारा पूरे समीकरण को विभाजित करके शुरू होता है। अगला, हम समूह, यहाँ मैंने विशेष रूप से स्पष्टता के लिए एक अतिरिक्त लाइन पेश की। उसके बाद, हम चाल करते हैं, और पहले ब्रैकेट 2 में डालते हैं, जिसे हम पहले जोड़ते हैं, और फिर घटाते हैं, राशि वैसे भी नहीं बदलेगी, लेकिन अब हम इस ब्रैकेट को योग के वर्ग में मोड़ सकते हैं।

हम ब्रैकेट से -2 को हटाते हैं, इसे पहले से गुणा करके एक, जिसके बाद हम एक नया चर पेश करते हैं, t और द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं।

अब एक उदाहरण पर चलते हैं:



सामान्यीकृत एल्गोरिथ्म में मुख्य भाग, x ^ 2 से विभाजित है, समूहीकृत, एक पूर्ण वर्ग में ढह गया, हम चर प्रतिस्थापन करते हैं और द्विघात समीकरण को हल करते हैं। उसके बाद, हम प्राप्त जड़ों को वापस प्रतिस्थापित करते हैं, और 2 और द्विघात समीकरणों को हल करते हैं (एक्स द्वारा गुणा)।

आवेदन का क्षेत्र

उनकी थोकता और विशिष्टता के कारण, उच्च डिग्री के समीकरण उनके आवेदन को शायद ही कभी पाते हैं। हालांकि, अभी भी उदाहरण हैं, भौतिकी में एडियाबेटिक प्रक्रियाओं के लिए पॉइसन समीकरण।

निष्कर्ष

इस लेख में, मैंने केवल घन और द्विघात समीकरण पर विचार किया। हालांकि, माना बेज़ाउट प्रमेय (और हॉर्नर की योजना) का उपयोग 5, 6, 7 और अन्य डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है, भले ही उनका आवेदन सीमित हो।