Jadi orang-orang dahulu percaya. Babel

Ini adalah kelanjutan dari seri yang saya bayangkan tentang sejarah komputasi dan penghitungan. Artikel pertama tentang Mesir ada di sini .

Sekarang saya akan mencoba berbicara sedikit tentang peradaban besar dan budaya masa lalu lainnya. Kerajaan Babel muncul pada awal milenium ke-2 SM, menggantikan Sumer dan Akkad dan ada sebelum Persia ditaklukkan pada 539 SM. Mereka menulis di Babel, seperti yang diingat semua orang, pada tablet tanah liat dengan tulisan runcing, yang terpelihara dengan sangat baik tidak seperti kertas, papirus, dan hal-hal serupa, jadi kita tahu cukup banyak tentang Babel dan matematika. Tapi tentu saja kita tidak tahu segalanya. Berbeda dengan orang Yunani, orang Babilonia tidak meninggalkan algoritma yang akurat dan penjelasan yang jelas tentang trik mereka. Sekarang kita hanya bisa menebak dengan tepat bagaimana orang Babilonia bertindak dalam kasus tertentu dalam menyelesaikan masalah. Dalam karya ini, saya akan fokus terutama pada aritmatika Babel, meninggalkan geometri, aljabar, dan astronomi.


Orang Babel dalam matematika bergerak lebih jauh daripada orang Mesir, sejauh yang kita tahu, meskipun mereka tidak sama dengan orang Yunani, tampaknya. Mereka sudah tahu bagaimana memecahkan persamaan kuadrat, di samping itu, mereka memiliki beberapa dasar aljabar numerik. Salah satu pencapaian mereka adalah pengenalan sistem angka desimal enam desimal tanpa nol. Ini berarti bahwa penanganan angka menjadi jauh lebih fleksibel dan sederhana daripada di Mesir. Tidak diketahui secara pasti dari mana sistem seperti itu berasal. Satu versi mengatakan bahwa campuran sistem 6-desimal dan 10-desimal dari rakyat Sumer dan Akkad mengarah ke sana. Tetapi ada pemikiran lain tentang hal ini.
Sayangnya, sistem ini (mungkin untungnya, saya tidak ingin mempelajari tabel perkalian mereka) tidak dikuasai oleh orang-orang lain di Dunia Kuno, dan saya harus menunggu kedatangan sistem posisi India. Namun, beberapa refleksi dari matematika Babel dalam budaya kita tetap: membagi satu menit dengan enam puluh detik dan satu jam dengan 60 menit adalah gema dari sistem bilangan kuno Babel.

Angka dan sistem angka

Gambar ini menunjukkan bagaimana orang Babilonia menyatakan 1 dan 10. Dengan bantuan mereka, semua angka dari 1 hingga 59 ditampilkan. Angka 33 ditunjukkan pada gambar di bawah. Ini mirip dengan sistem penulisan angka Romawi dan non-posisional lainnya.



Angka 60 dilambangkan dengan tepat sebagai unit. Pada awalnya, itu ditarik lebih besar, tetapi kemudian perbedaan ini dihapus. Jumlah yang lebih besar dari 60, tapi kurang dari 120, yang ditunjuk sebagai berikut: pertama jumlah 60 ditulis, maka sisa nomor tersebut, kurang dari 60, dipisahkan oleh spasi.
Bawah ini adalah contoh dari jumlah 63.



angka dari bentuk K * 60 + n (1 <= K <60; n = 1 , 2, 3, ... 59) ditunjuk dengan analogi, seperti pada contoh di bawah ini.



Orang Babel tidak memiliki 0, tetapi seiring waktu mereka muncul dengan menggunakan tanda yang menunjukkan bit yang hilang. Tanda ini hanya digunakan untuk digit di dalam nomor dan tidak ditempatkan di bagian akhir. Berikut ini contoh dalam gambar.



Masalahnya adalah bahwa angka ini dapat dibaca sebagai 2 * 60 ^ 2 +2, dan sebagai 2 * 60 ^ 5 + 2 * 60 ^ 3. Sangat tidak nyaman! Sistem rekaman seperti itu seharusnya menyebabkan banyak kesalahan, bukan begitu? Orang Babilonia berusaha memisahkan buangan dengan sangat hati-hati untuk menghindari kebingungan (jauh lebih akurat daripada saya). Namun demikian, dalam beberapa kasus, kesalahan sangat mungkin terjadi. Contoh angka besar diketahui ketika bagian dari nomor itu ditransfer ke saluran lain. Coba di sini untuk mencari tahu apa yang dimaksud! Tetapi jumlah kesalahan dalam teks-teks Babel kecil, meskipun sudah selesai.
Pecahan juga ditunjuk dengan cara yang sama. Hanya untuk 1/2, 1/3 dan 2/3 yang sangat populer ada lencana khusus.
Di mana-mana lebih jauh saya akan menulis angka-angka Babel, memisahkan digit dengan koma dan bagian integer dari yang fraksional menggunakan titik koma. Misalnya: 177 akan menjadi 2,57, dll. Digit yang terlewat, saya akan mengganti 0.

Perhitungan

Karena sistem Babilonia bersifat posisional, perhitungannya sangat mirip dengan kita. Ketika mengurangi dan menambahkan, mereka hanya menambah dan mengurangi angka sedikit demi sedikit. Nilai tambah lainnya adalah bahwa angka enam desimal ditetapkan dalam cara non-posisional menggunakan satuan dan puluhan, dan dalam sistem seperti itu, jauh lebih mudah untuk mengurangi dan menambah daripada dalam notasi abstrak kami, yang membutuhkan pembelajaran tabel tambahan khusus.
Multiplikasi, seperti yang Anda duga, juga mirip dengan kita. Tetapi bagaimana mereka menggunakan tabel perkalian besar mereka? Mengejarnya dengan hati? Mereka telah menyiapkan meja khusus di mana mereka bisa menonton karya.
Banyak tabel perkalian telah turun dari Babilonia, tetapi mereka tidak memasukkan semua produk angka "bernilai tunggal", seperti tabel desimal kami. Meja mereka mulai dari 1 hingga 20 inklusif, kemudian karya diikuti oleh 30, 40, 50. Jika orang Babilonia ingin mengalikan 35 dengan 47, maka ia perlu menemukan 35 * 40 dalam tabel, dan kemudian 35 * 7 dan menambahkannya. Ini membutuhkan tindakan yang tidak perlu, tetapi dengan cara ini dimungkinkan untuk menghemat ruang secara signifikan.
Perpecahan, sebagai tindakan independen, orang Babilonia tidak tahu. Sebagai gantinya, mereka menggunakan perkalian terbalik. Untuk melakukan ini, tentu saja, mereka membutuhkan tabel angka terbalik. Misalnya, jika perlu membagi 1,15 dengan 5, maka Babel menemukan 1/5, yang dalam catatan kami akan menjadi 0; 12 dan dikalikan 1,15 dengan 0; 12. Jika angka seperti itu tidak dinyatakan oleh fraksi heksadesimal terbatas, maka orang Babel mencari angka yang, ketika dikalikan dengan pembagi, memberikan dividen.
Misalnya, Anda perlu membagi 22.45.0 dengan 6.30. Dalam hal ini, kondisi berikut dirumuskan: “Apa yang harus saya ambil dari 6,30 untuk mendapatkan 22,45,0? ”Jawabannya adalah 3,30. Tentu saja, orang Babilonia menggunakan nilai perkiraan saat diperlukan.
Tabel terbalik terlihat seperti ini:

2	tigapuluh
3	dua puluh
4	lima belas
5	12
6	10
8	7; 30
9	6; 40
12	5
lima belas	4
enambelas	3; 45
delapan belas	3; 20
dua puluh	3

Dll
Selain tabel nilai terbalik, orang Babel memiliki banyak tabel lain: kuadrat, kubus, akar kuadrat dan kubik, dan beberapa lainnya.

Tugas

Tugas apa yang bisa diselesaikan orang Babilonia?
Misalnya, ini adalah:
“10 saudara dan 1 perak utuh dan 2/3 tambang. Kakak lebih tinggi dari kakak. Seberapa jauh itu, saya tidak tahu. Bagian saudara yang kedelapan adalah 6 syikal. Saudara laki-laki berapa banyak yang lebih tinggi? “
Tugasnya adalah untuk membagi jumlah antara saudara-saudara sehingga bagian dari masing-masing adalah perkembangan aritmatika dan menemukan perbedaan dari perkembangan ini.
Tentu saja, orang Babel juga memecahkan masalah yang menarik. Termasuk tugas-tugas untuk bunga majemuk:
“Dia memberi satu gur untuk pertumbuhan. Dalam berapa tahun dia akan tumbuh pada dirinya sendiri? "
Persentase diasumsikan 0, 12 per tahun. Beberapa ahli berpendapat bahwa orang Babilonia memiliki dasar logaritma. Yang lain tidak setuju dengan mereka.
Contoh lain termasuk persamaan kuadrat:
“Saya menjumlahkan luas dua kotak, dan ini adalah 37,5. Sisi satu kotak adalah 2/3 dari sisi kotak lainnya. 10 ditambahkan ke sisi yang lebih besar, 5 ditambahkan ke sisi yang lebih kecil. Kotak ini adalah apa? "
Dalam tabel, tugas-tugas ini diberikan dengan penjelasan tentang solusi mereka. Anda dapat melihat bahwa orang Babilonia mengetahui persamaan kuadrat dan sistem persamaan linear.
Orang Babel juga mengetahui akar kuadrat, yang dihitung dengan rumus perkiraan:
"Diagonal dari bujur sangkar adalah 10. Temukan sisi bujur sangkar. 10 s 0; 42,30 kalikan 7; 5 adalah sisinya. 7; 5 s 1; 25 berlipat ganda. 10; 25 itu memberi. "

Source: https://habr.com/ru/post/id380927/