Matematikawan menjelaskan hipotesis minimalis
Pada tablet ini, aslinya dari Babel, dibuat sekitar 1800 SM, tiga kali lipat Pythagoras terdaftar - bilangan bulat a, b dan c, memenuhi persamaan polinomial a 2 + b 2 = c 2 . Hingga hari ini, pencarian solusi persamaan polinomial dan bilangan bulat tetap menjadi masalah serius bagi matematikawan.Pada abad kelima SM Ahli matematika Yunani membuat penemuan yang mengguncang fondasi matematika, dan, menurut legenda, menghabiskan hidupnya. Sejarawan percaya bahwa itu adalah Hippasus dari Metapont, dan dia berasal dari sekolah matematika Pythagoras, yang dogma utamanya adalah bahwa setiap fenomena fisik dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat dan hubungan mereka (apa yang kita sebut bilangan rasional). Tetapi asumsi ini berantakan ketika, menurut sejarawan, Gippas mempertimbangkan panjang sisi-sisi segitiga siku-siku, yang seharusnya memenuhi teorema Pythagoras - hubungan yang terkenal a 2 + b 2 = c 2 . Dikatakan bahwa Gippas menunjukkan bahwa dengan panjang kaki yang sama dari sebuah segitiga yang diekspresikan oleh bilangan rasional, sisi miringnya tidak dapat dinyatakan oleh bilangan rasional.Menurut salah satu versi cerita, Gippas membuat penemuan ini ketika berada di laut, dan rekan-rekannya, yang terkejut dengan penemuan ini, melemparkannya ke laut.Matematikawan modern tidak lagi malu, seperti orang Yunani kuno, dengan bilangan irasional (dan secara umum mereka menemukan bahwa ada bilangan yang lebih irasional daripada yang rasional). Tapi cinta Pythagoras 'untuk solusi rasional persamaan terus memberi makan matematikawan dengan informasi. Ini mendasari teori bilangan, cabang teoretis tradisional matematika, yang, di era digital kita, secara tak terduga telah menemukan banyak aplikasi.Sekarang dua matematikawan muda telah maju ke garis depan sains dalam studi mereka tentang solusi rasional persamaan kubik. Persamaan polinomial di mana variabel dalam beberapa derajat, seperti y = 3x 3 + 4 atau x2 + y 2 = 1, milik sejumlah objek mendasar yang dipelajari oleh matematikawan, dan digunakan dalam berbagai aplikasi praktis, serta di cabang-cabang matematika.Alam semesta polinomial
Sangat mudah untuk melihat bahwa persamaan polinomial di mana derajat variabel tidak melebihi 1, seperti y = 3x + 4, memiliki jumlah solusi rasional yang tak terbatas. Setiap nilai rasional x memberikan nilai rasional y, dan sebaliknya.Cara menemukan solusi rasional untuk polinomial dengan derajat 2, seperti x 2 + y 2 = 1 atau y = 3x 3+ 2x - 7, dikenal selama seribu tahun. Mereka mungkin tidak memiliki solusi sama sekali, atau memiliki banyak sekali solusi. Grafik kurva tersebut adalah bagian kerucut - lingkaran, parabola, elips dan hiperbola. Jika satu titik rasional P ada di grafik, maka ada cara yang indah untuk menemukan semua titik rasional lainnya. Anda hanya perlu mengambil semua garis yang melewati P dengan kemiringan rasional, dan menghitung persimpangan kedua garis ini dengan bagian kerucut.Pada tahun 1983, Gerd Faltings, yang sekarang memegang jabatan direktur Institut Matematika. Max Planck di Bonn, menemukan persamaan polinom dengan derajat lebih besar dari 3. Dia menunjukkanbahwa kebanyakan dari mereka hanya dapat memiliki sejumlah keputusan rasional yang terbatas. Dan masih ada persamaan kubik, penyimpang keras kepala dari alam semesta polinomial.Persamaan kubik menolak upaya ahli matematika untuk mengklasifikasikan solusi mereka. Upaya untuk mengklasifikasikan solusi rasional persamaan kubik - lebih tepatnya, keluarga persamaan kubik, yang dikenal sebagai kurva eliptik, karena mereka, dengan pengecualian beberapa lainnya, yang dapat memiliki solusi rasional - telah dilakukan oleh semua spesialis hebat dalam teori bilangan, mulai dari ahli matematika Prancis abad ke-17, Pierre Fermat kata Benedict Gross dari Universitas Harvard.Persamaan elips kubik dapat memiliki nol, jumlah solusi terbatas atau tidak terbatas. Sejauh ini, matematikawan hanya bisa menebak seberapa sering opsi ini muncul.Kurva elips memiliki kemampuan yang tidak dapat dijelaskan untuk muncul di tempat yang tak terduga, baik dalam matematika teoretis maupun terapan. Pemahaman mereka menjadi elemen kunci dalam pembuktian teorema Fermat dari tahun 1995 , meskipun tampaknya kurva eliptik tidak terkait dengan formulasinya. Operasi menggunakan kurva eliptik telah menjadi komponen utama dari banyak protokol kriptografi yang menyandikan nomor kartu bank dalam transaksi online. Solusi rasional kurva eliptik berada di pusat berbagai masalah geometrik gaya Pythagoras, misalnya, pencarian segitiga segi empat dengan panjang sisi yang rasional dan pada saat yang sama area rasional."Stimulasi cerdas, struktur luar biasa, aplikasi praktis - semua ini adalah kurva elips," kata Manjul Bhargava dari Universitas Princeton.Bargawa berusia 38 tahun, rekannya, Arul Shankar - 26, mereka bekerja di Institute for Advanced Studies di Princeton dan telah mengambil salah satu langkah terbesar selama beberapa dekade terakhir untuk memahami solusi rasional kurva elips.Dalam karya mereka, tidak ada resep untuk menemukan solusi rasional untuk kurva eliptik tertentu; alih-alih, dia menjelaskan skenario apa yang paling memungkinkan untuk keputusan rasional jika kurva dipilih secara acak.Penemuan Bargava dan Shankar "mulai menjelaskan sebagian besar ketidaktahuan kita," kata Gross. "Setelah pekerjaan mereka, seluruh dunia terlihat berbeda."Keamanan elips
Jika kita mengambil dua titik rasional pada kurva eliptik, maka garis yang melewatinya akan hampir selalu memotong kurva di titik lain, juga dengan koordinat rasional. Sangat mudah untuk menggunakan dua titik rasional berbeda untuk menghasilkan yang ketiga, tetapi sangat sulit untuk melakukan yang sebaliknya - ambil satu titik rasional dan temukan dua titik rasional lain yang akan menghasilkannya. Properti ini membuat kurva elips berguna untuk kriptografi: keamanan kriptografi didasarkan pada operasi yang mudah dilakukan di satu arah dan sulit di yang lain."Kurva elips terlibat dalam banyak hal menakjubkan," kata Peter Sarnak dari Universitas Princeton. "Mereka cukup kompleks untuk membawa sejumlah besar informasi, tetapi cukup sederhana untuk studi mendalam."Perjalanan yang menyenangkan
Menemukan solusi rasional dari kurva eliptik berkurang hingga menemukan titik pada grafiknya pada bidang xy, sehingga koordinat x dan y adalah bilangan rasional. Dan seringkali itu cukup sulit untuk dilakukan. Tetapi jika Anda menemukan beberapa poin rasional, menjadi mungkin untuk menghasilkan lebih banyak menggunakan prosedur sederhana, pertama kali ditemukan dua milenium yang lalu oleh ahli matematika Aleksandria Diophantus. Misalnya, jika Anda menggambar garis melalui dua titik rasional, biasanya memotong kurva tepat pada satu titik, juga rasional.Proses ini adalah "struktur yang sangat kompleks, ada sesuatu yang istimewa dalam persamaan kubik yang memberi mereka kedalaman," kata Bargava.Pada 1922, Louis Mordell membuktikan sesuatu yang luar biasa. Untuk setiap kurva elips, bahkan memiliki banyak titik rasional, Anda dapat menghasilkan semua titik rasional, dimulai dengan sejumlah kecil, dan kemudian menghubungkannya bersama. Jika jumlah titik rasional pada kurva elips tidak terbatas, maka jumlah minimum poin yang diperlukan untuk menghasilkan semuanya disebut pangkat kurva. Ketika jumlah titik-titik ini terbatas, maka pangkat kurva adalah 0.
Beberapa dekade matematika telah merenungkan hipotesis minimalis yang memperkirakan pangkat kurva eliptik, dengan bukti beragam. Hipotesis mengatakan bahwa secara statistik, sekitar setengah dari kurva eliptik memiliki peringkat 0 (yaitu, mereka memiliki sejumlah titik rasional, atau nol), dan setengah lainnya memiliki 1 (yaitu, jumlah titik rasional tak terbatas mereka dapat dihasilkan dari satu ) Menurut hipotesis ini, jumlah semua kasus lainnya semakin kecil. Ini tidak berarti bahwa tidak ada pengecualian, atau bahkan jumlah mereka terbatas - tetapi jika kita mengambil koleksi kurva eliptik yang semakin besar, maka kurva yang masuk dalam kategori lain akan menjadi semakin sedikit persentase, dan jumlahnya akan cenderung 0% .Asumsi ini pertama kali dirumuskan pada tahun 1979 oleh Dorian Goldfeld dari Universitas Columbia, merujuk pada kelas tertentu dari kurva eliptik. "Sudah lama cerita rakyat," kata Barry Mazur dari Universitas Harvard.Hipotesis sebagian minimalis didukung oleh keyakinan luas bahwa kurva elips tidak boleh memiliki terlalu banyak titik rasional. Memang, minoritas berada di garis bilangan angka rasional."Poin-poin rasional dari kurva eliptik adalah mutiara acak dari matematika, dan sangat sulit untuk membayangkan bahwa ada terlalu banyak kecelakaan berharga seperti itu," tulis Mazur dan tiga rekan penulisnya pada tahun 2007 untuk jurnal Bulletin dari American Mathematical Society .Pada pandangan pertama, ini menunjukkan bahwa sebagian besar kurva elips harus memiliki peringkat 0. Tetapi banyak ahli matematika percaya pada hipotesis paritas, yang mengasumsikan bahwa kurva eliptik dengan genap dan ganjil terjadi 50 hingga 50. Jika Anda menggabungkan hipotesis paritas dengan kelangkaan titik-titik rasional, maka kami mendapatkan hipotesis minimalis - membagi 50 dengan 50 di antara peringkat terendah, 0 dan 1.Data eksperimental juga mendukung hipotesis minimalis, yang menurutnya kurva eliptik sangat sulit untuk dilakukan. naik pangkat tinggi. Spesialis kurva elips menggunakan komputer untuk mencari kurva peringkat tinggi. Rekor saat ini ditetapkan sekitar 28 - tetapi ada sangat sedikit kurva seperti itu dan koefisiennya sangat besar.Tapi perkiraan lain tidak begitu menginspirasi. Matematikawan telah menghitung peringkat ratusan ribu kurva eliptik, dan sejauh ini 20% dari semua kurva memiliki peringkat 2. Untuk persentase kurva yang kecil tetapi tidak terlalu kecil, peringkatnya adalah 3. Menurut hipotesis minimalis, persentase mereka harus cenderung nol jika semua kurva elips diperhitungkan. "Rupanya, data itu bertentangan dengan asumsi," kata Mazur.Biasanya, ketika data tidak sesuai dengan hipotesis, itu akan dibuang dengan benar. Tetapi banyak ahli matematika berpegang teguh pada hipotesis minimalis. Meskipun komputer telah mengerjakan ulang banyak contoh, ahli matematika menunjukkan bahwa perhitungan ini hanyalah puncak gunung es. "Mungkin juga terjadi bahwa sampai kita membuktikan hipotesis, tidak ada data yang dikumpulkan oleh kami, bahkan dalam jumlah yang sangat besar, akan meyakinkan para ahli teori," tulis Mazur dengan rekannya.Mereka juga menambahkan bahwa sebagian besar kurva elips yang dihitung dengan peringkat lebih dari 1 mirip dengan materi gelap dalam fisika. “Massa poin-poin rasional yang besar ini jelas ada di sana. Kami tidak ragu tentang ini. Kami hanya meragukan bagaimana memberikan penjelasan yang memuaskan karena mereka ada di sana. ”Karena konflik data dan teori, mereka menulis, selama beberapa dekade, hipotesis minimalis "ditolak atau diterima begitu saja."Metode baru
Sampai baru-baru ini, Manjul Bargava, bintang terbit dari dunia matematika, berada di kubu yang ragu. Salah satu majalah Popular Science menempatkannya di antara "sepuluh genius top" pada tahun 2002, dan pada tahun berikutnya pada usia 28, ia menjadi salah satu orang termuda yang menerima gelar profesor di Universitas Princeton. Rekan-rekannya mengagumi tidak hanya prestasi matematikanya, tetapi juga sifatnya yang baik dan kreatif.
Manjul Bargava di 38"Manjul adalah pria yang sangat tidak biasa," kata Gross. "Dia melihat berbagai hal dengan cara yang berbeda dari kebanyakan orang, dan inilah yang menjadi kejeniusannya."Bargawa, seorang spesialis dalam teori bilangan, menjadi tertarik pada perbedaan yang jelas antara data yang dihitung dan hipotesis minimalis. "Ini menunjukkan bahwa sesuatu yang menarik sedang terjadi di sana," katanya. "Saya pergi ke rekan saya, Peter Sarnak, dan bertanya kepadanya," Bagaimana Anda bisa percaya pada asumsi ini? "Kenang Bargava. "Bagi saya itu terlihat lucu."Tetapi Sarnak percaya bahwa data sebagai hasilnya akan mulai condong ke arah yang berlawanan, ketika akan mungkin untuk menghitung kurva eliptik dengan koefisien yang jauh lebih besar. "Dia sangat percaya diri dalam hipotesis ini," kata Bargava.Bargawa memutuskan dengan satu atau lain cara untuk menemukan sesuatu yang spesifik tentang hipotesis. "Waktunya telah tiba untuk membuktikan sesuatu," katanya. Dia mulai mempelajari serangkaian algoritma yang menghitung jajaran kurva eliptik, yang berasal dari prosedur yang diperkenalkan oleh Fermat pada abad ke-17. Ini adalah keluarga algoritma yang disebut algoritma keturunan - untuk setiap bilangan bulat lebih besar dari 2 ada algoritma - mereka bekerja dengan ahli dan menemukan kurva elips dengan titik-titik rasional. Tetapi meskipun telah banyak upaya, tidak ada yang bisa membuktikan bahwa algoritma ini akan selalu berfungsi.Bargawa memutuskan untuk mencoba pendekatan yang berbeda. "Saya punya ide untuk mencoba algoritma penurunan untuk semua kurva elips pada saat yang sama, dan kemudian membuktikan bahwa dalam kebanyakan kasus itu akan berhasil," kata Bargava. Memang, untuk mempelajari hipotesis minimalis, tidak perlu mengetahui seperti apa masing-masing kurva eliptik - cukup untuk mengetahui jenis apa yang mereka perjuangkan.Pendekatan semacam itu termasuk pekerjaan di bidang geometri angka, yang terlibat dalam penghitungan simpul kisi dalam berbagai angka (simpul kisi adalah titik dengan koordinat bilangan bulat). Dalam bentuk paling sederhana seperti lingkaran atau persegi, jumlah node kisi kira-kira sesuai dengan luas gambar. Tetapi tugas Bargawa berkaitan dengan figur yang lebih kompleks, dan ketika figur memiliki fitur yang rumit, seperti tentakel, ia dapat memiliki node kisi yang lebih banyak atau lebih sedikit daripada yang diprediksi oleh wilayahnya.
Arul Shankar pada usia 26Sebelum memulai bentuk-bentuk seperti itu, Bargava menetapkan tugas serupa namun sederhana untuk Arul Shankar, mahasiswa pascasarjana. Seringkali, mahasiswa pascasarjana berjuang dengan tugas-tugas dari disertasi selama bertahun-tahun, tetapi Shankar membawa solusi hanya dalam tiga bulan. Karena itu, kata Bargava, "Saya bertanya kepadanya apakah dia ingin bergabung dengan saya."Bargava dan Shankar telah mengembangkan serangkaian teknik baru yang kepentingannya cenderung melampaui tugas asli yang mereka selesaikan, kata Mazur. "Geometri angka selalu menjadi metode yang mendalam dan kuat, dan sekarang mereka secara serius meningkatkan kekuatannya." Dia menambahkan bahwa kejeniusan teknik mereka "membuka kemungkinan baru dalam teori bilangan."Teknik-teknik baru ini "akan mempengaruhi teori bilangan selama bertahun-tahun lagi," setuju Gross.Pola yang jelas
Jika hipotesis minimalis itu benar, maka peringkat rata-rata kurva elips harus ½, tetapi sebelum karya Bargava dan Sankar, matematikawan bahkan tidak dapat membuktikan bahwa nilai rata-rata akan terbatas. Menggunakan algoritma 2-order descent, Bargava dan Shankar mampu menunjukkan bahwa peringkat rata-rata untuk semua kurva elips tidak melebihi 1,5. Menggunakan pesanan 3, 4, dan 5 untuk beberapa kurva yang tidak diproses pada langkah sebelumnya, mereka mampu menurunkan bilah atas menjadi 0,88.Dan meskipun ada kesenjangan antara nilai ini dan rata-rata yang diprediksi oleh hipotesis minimalis, penemuan Bargava dan Shankar merupakan lompatan ke depan. "Ini hanya langkah pertama, tetapi sudah sangat besar," kata Sarnak. “Sangat menyenangkan melihat bagaimana dua orang muda begitu aktif bergerak maju.”Selain itu, setelah menunjukkan bahwa peringkat rata-rata kurang dari 1, Bargava dan Shankar membuktikan bahwa sepotong kurva eliptik yang agak besar - setidaknya 12% - memiliki peringkat 0 (karena jika tidak rata-rata akan lebih tinggi). Mereka menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa bagian yang sama dari kurva memenuhi hipotesis Birch-Swinnerton-Dyer yang terkenal , pertanyaan lama tentang kurva eliptik, di mana Clay Institute of Mathematics dianugerahi hadiah jutaan dolar .Pada ceramah Bargawa di Clay Institute, salah satu pendengar bercanda bertanya apakah Bargava dan Shankaru sekarang bergantung pada 12% dari hadiah dalam sejuta. "Perwakilan lembaga berada di kuliah, dan mereka segera mengatakan bahwa tidak, mereka tidak boleh," kata Bargava dengan sedih.Penemuan Bargava dan Shankar mengkhawatirkan spesialis dalam teori bilangan, banyak di antaranya tidak mengharapkan kemajuan di bidang peringkat menengah. "Kau bertanya padaku sebulan sebelum Manjul memberitahuku tentang pekerjaannya," kata Gross, "aku akan menjawab bahwa itu tidak ada harapan." Sekarang, katanya, hipotesis minimalis terlihat semakin menjanjikan. "Aku akan bertaruh uang padanya."Salah satu cara yang mungkin - yang mungkin membutuhkan pemasukan ide-ide baru, seperti yang dikatakan para ahli matematika - adalah mencoba menggunakan algoritma untuk menurunkan pesanan lebih tinggi dari 5 untuk lebih menyempurnakan batas-batas peringkat menengah. "Dengan menggunakan keturunan dari pesanan ke-2, ke-3, ke-4 dan ke-5 ada pola yang jelas, dan kemungkinan besar itu akan berlanjut," kata Bargava.Bargava tidak menganggap dirinya pemilik tunggal dari hak atas ide ini, dan berharap bahwa pekerjaan mereka akan menginspirasi ahli matematika muda untuk penelitian lebih lanjut di bidang titik-titik rasional kurva elips. "Hipotesis minimalis bukanlah tujuan itu sendiri," katanya. - Setiap kali, membuka pintu, ternyata Anda perlu membuka lebih banyak pintu. Semakin banyak orang melakukan ini, semakin banyak pintu yang bisa kita buka. ”Source: https://habr.com/ru/post/id401493/
All Articles