Menurut rumor, 20th Century Fox akan merilis sebuah remake dari film fiksi ilmiah 1966
Fantastic Journey dalam beberapa tahun. Menurut plot, protagonis dikompresi dan disuntikkan ke dalam tubuh manusia, melalui mana mereka melakukan perjalanan di kapal selam berukuran mikroskopis. Pada skala seperti itu, aliran darah berubah menjadi turbulensi berbahaya, tubuh putih dapat menelan sebuah kapal, dan tegangan permukaan setetes berubah menjadi penghalang yang tidak dapat diatasi.
Peningkatan meningkatkan pemahaman intuitif kita tentang apa yang penting bagi kita, apa yang memiliki kekuatan, dan apa yang berbahaya. Untuk bertahan, Anda perlu mengkonfigurasi ulang intuisi. Bahkan jika ada efek pada skala yang akrab dapat diabaikan, efek yang sedikit kurang dapat diabaikan menjadi sangat penting pada skala yang tidak dikenal.
Bagaimana kita memahami apa yang penting pada skala yang tidak dikenal? Ternyata ada teori matematika tentang penyimpangan besar yang bekerja dengan probabilitas dengan cara yang sama seperti sinar yang menurun bekerja dengan tim Fantastic Travel. Sementara teori klasik tentang kemungkinan berurusan dengan probabilitas peristiwa biasa, teori penyimpangan besar mengkhususkan diri pada peristiwa yang sangat langka yang muncul ketika beberapa yang agak tidak biasa bergabung. Hal ini memungkinkan kita untuk memperbesar pada mikroskop probabilistik untuk menentukan cara yang paling tidak mungkin tentang bagaimana peristiwa yang sangat tidak mungkin dapat terjadi.
Dari saat teori dirumuskan 50 tahun yang lalu, ahli matematika S.R. Srinivasa Varadhan, itu dipelajari dan dikembangkan dengan hati-hati. Ini menunjukkan bagaimana perilaku rata-rata sistem acak dapat menyimpang dari tipikal. Dengan hati-hati membandingkan semua kemungkinan langka, Anda dapat melihat bagaimana kita sering meremehkan probabilitas peristiwa yang tidak biasa ketika kita membatasi perhatian kita pada cara-cara biasa di mana mereka dapat terjadi.
Mari kita melakukan perjalanan dengan mikroskop di tangan kita
Pedagang frekuensi tinggi
Pedagang frekuensi tinggi melakukan urutan transaksi yang panjang. Pada masing-masing dari mereka, kondisinya dengan nilai awal $ 1.000.000 meningkat setengah persen atau berkurang setengah persen, dan probabilitas hasil apa pun adalah ½. Berapa banyak uang yang mungkin dia miliki dalam sejuta transaksi?
Dia dapat beralasan seperti ini: setiap transaksi naik atau turun dalam jumlah yang sama, sehingga jumlah rata-rata tidak akan berubah, dan pada akhirnya dia harus memiliki sisa $ 1 juta.
Dan inilah argumen lain: ketika dia menang, kekayaannya dikalikan dengan 1.005. Saat kalah, maka di 0,995. Baik itu dan yang lain mengalikannya dengan 1.005 x 0,995 = 0,999975. Untuk satu juta transaksi, 500.000 kasus ini dan lainnya akan terjadi, sehingga juta asli akan berubah menjadi $ 1.000.000 x (0,999975)
500.000 , yang kira-kira sama dengan $ 3,73.
Alasan mana yang benar? Cukup aneh, keduanya, tetapi yang kedua akan lebih penting. Kemungkinan besar, trader tidak akan memiliki apa-apa lagi, tetapi jika kita meningkatkan rangkaian peristiwa yang tidak terduga di mana dia menang, kita akan melihat opsi seperti itu di mana dia sangat menang. Fungsi utama di sini adalah I (x), fungsi hubungan yang menunjukkan bagaimana probabilitas untuk mendapatkan hasil x berkurang dengan peningkatan jumlah transaksi. Di sini x adalah angka, tetapi tergantung pada tugasnya, itu bisa berupa lintasan acak, struktur jaringan acak atau geometri acak alam semesta. I (x) = 0 sesuai dengan kasus tipikal dengan probabilitas yang tidak terlalu kecil - dalam kasus kami, ini adalah opsi di mana keadaan pedagang menurun dengan tingkat eksponensial. Nilai besar I (x) sesuai dengan kemungkinan x yang paling kecil secara eksponensial.
Nilai rata-rata menentukan kompromi antara probabilitas yang menurun secara eksponensial dan keadaan yang meningkat secara eksponensial. Beberapa x ternyata sangat besar, meskipun ukurannya kecil kemungkinannya. Optimalisasi kompromi ini menegaskan gagasan intuitif naif bahwa hasil perdagangan rata-rata akan sama dengan $ 1 juta - meskipun Anda dapat yakin bahwa hampir semua pedagang akan kehilangan hampir semuanya. Jika ada 1 juta pedagang, dan masing-masing dari mereka melakukan satu juta transaksi dengan modal $ 1 juta, maka hasil rata-rata akan benar-benar sama dengan $ 1 juta. Tetapi rata-rata ini akan ditentukan oleh 1-2 pedagang, yang akunnya akan ada ratusan miliar dolar. Sebagian besar uang akan berada di rekening sejumlah kecil pedagang acak, dan sebagian besar pedagang akan kehilangan segalanya.
Peluang untuk menang, atau tinggal sendiri, tidak melebihi 1 dalam 100.
Simpul Telepon
Masalah utama jaringan komunikasi adalah menentukan probabilitas kemacetan. Buffer data dari simpul telepon atau Internet dapat memiliki kapasitas yang cukup untuk beban rata-rata, tetapi tidak cukup untuk menangani jumlah permintaan simultan yang tidak biasa.
Matematikawan dari laboratorium Bella, Alan Weiss dan Adam Shwartz, menunjukkan penerapan teori deviasi besar ke jaringan komunikasi pada 1995. Secara teori, probabilitas peristiwa langka berkurang secara eksponensial dengan ukuran sistem. Dalam bahasa matematika, probabilitas berubah sebagai e
-n * I (x) , di mana n menunjukkan ukuran, x adalah jalan menuju peristiwa langka, saya adalah fungsi rasio yang memberikan probabilitas relatif untuk memilih jalur ini. Kejadian langka biasanya terjadi dengan cara yang dapat diprediksi - yang meminimalkan fungsi hubungan - dan terjadi dalam kelompok yang dipisahkan oleh interval waktu yang lama.
Dalam tugas apa pun, kesulitannya terletak pada menentukan (dan berhasil menafsirkan) fungsi hubungan. Ini memberikan kemungkinan relatif dari semua urutan beban, dari mana kombinasi menyebabkan kelebihan beban dan memiliki nilai paling kecil dari fungsi rasio, yaitu, probabilitas terbesar, dapat diturunkan. Kombinasi-kombinasi ini menentukan frekuensi kemacetan, serta sifatnya: berapa banyak sumber yang akan aktif, apa sumbernya, dan seberapa cepat akan berhasil untuk mengatasi kemacetan.
Sebagai contoh sederhana, pertimbangkan jaringan telepon di mana masing-masing dari sejumlah besar pengguna - katakanlah, satu juta - terhubung secara acak, sehingga rata-rata mereka tetap di jalur 1% dari waktu. (Kami berasumsi bahwa mereka melakukan panggilan secara independen satu sama lain, dan dengan peluang yang sama setiap saat sepanjang hari). Jaringan membutuhkan 10.000 jalur komunikasi untuk memenuhi permintaan rata-rata. Perusahaan, menggunakan penyimpangan besar, memperkirakan bahwa ketika 10.500 jalur komunikasi ditugaskan, akan berada dalam kondisi kelebihan muatan selama sekitar 2 menit per tahun.
Bayangkan bahwa di samping jaringan, setengah juta pemain mulai menggunakan konsol yang ada di garis 1 persen dari waktu, tetapi membutuhkan bandwidth besar - mereka mengambil masing-masing 5 baris. Pengguna baru juga membutuhkan rata-rata 10.000 saluran, sehingga perusahaan memutuskan untuk menggandakan kapasitasnya menjadi 21.000 saluran. Tetapi sebagai hasilnya, jaringan kelebihan beban selama beberapa menit seminggu. Analisis fungsi hubungan menunjukkan bahwa pemain menggunakan kapasitas jaringan yang sama rata-rata dengan pengguna lain menggunakan 8% lebih banyak garis selama kemacetan, dan bahwa tambahan 250 garis akan mengembalikan waktu kerja jaringan. Jika kita memplot beban jaringan beberapa detik sebelum kemacetan, kita akan melihat bahwa hampir selalu mengikuti pola tertentu, dengan lembut menekuk ke atas sebelum tiba-tiba berbatasan dengan langit-langit - dan kurva ini juga dapat dihitung sebagai fungsi rasio meminimalkan.
Dalam jaringan terdesentralisasi modern yang bertukar paket, fungsi hubungan dapat membantu mendeteksi botnet, jaringan komputer yang terinfeksi virus yang digunakan penjahat untuk mengirim spam dan serangan pada sistem. Idenya adalah untuk mengidentifikasi komputer pengontrol botnet yang berkomunikasi dengan sejumlah besar komputer lain, dan kemudian mengkonfirmasi identifikasi dengan menemukan korelasi yang tidak biasa di komputer yang berkomunikasi dengannya. Untuk tujuan ini, para peneliti dari Boston University menggunakan fungsi hubungan yang dapat menggambarkan, di antara semua alasan, mengapa satu set besar komputer yang tidak terhubung dapat berkomunikasi dengan server jauh yang sama, yang mana dari pilihan untuk menghubungkan komunikasi mereka yang paling mungkin. (Wang, J. & Paschalidis, deteksi IC Botnet berdasarkan anomali dan deteksi komunitas. Transaksi IEEE pada Kontrol Sistem Jaringan (2016). Diperoleh dari DOI: 10.1109 / TCNS.2016.2532804.)
Benih tidur
Diapause - keterlambatan dalam perkembangan biologis, sering terjadi pada tahap awal. Banyak spesies tanaman menghasilkan biji yang tidak mulai berkembang dengan segera, tetapi tetap tidak aktif untuk waktu yang lama, dan membentuk pasokan yang stabil. Mengingat bahwa pertempuran untuk bertahan hidup biasanya berubah menjadi "siapa yang lebih dulu dan lebih banyak", penundaan perkembangan acak adalah sedikit misteri lingkungan.
Untuk memahami situasinya, Shripad Tuljapurkar dan saya dalam kerja bersama kami memeriksa model sederhana: spesies dengan siklus hidup dua tahun di mana ia tumbuh dari benih hingga dewasa untuk tahun pertama dan menghabiskan yang kedua dalam produksi benih. (Steinsaltz, D. & Tuljapurkar, S. Tingkat pertumbuhan stokastik untuk riwayat hidup dengan migrasi langka atau diapause. ArXiv: 1505.00116 (2015).) Kami menanyakan pertanyaan berikut: bagaimana laju pertumbuhan akan memengaruhi fakta bahwa beberapa benih akan tetap hibernasi selama satu tahun?
Dalam kasus di mana pertumbuhan, kelangsungan hidup dan produksi benih dari tahun ke tahun tetap konstan, jawabannya jelas: keterbelakangan pertumbuhan individu memperlambat pertumbuhan populasi. Tetapi di bawah berbagai kondisi lingkungan, semuanya ternyata berbeda. Bahkan sedikit keterlambatan menyebabkan peningkatan tajam dalam populasi.
Jika 1% dari benih menunggu satu tahun, seseorang akan mengharapkan lintasan genealogis khas mengalami 1 keterlambatan 100 tahun, dan jatuh ke dalam kondisi lingkungan yang khas ketika tumbuh dewasa. Tetapi generasi benih berikutnya akan memiliki lintasan yang sangat langka yang lebih sering hidup, di mana keterlambatan ini terjadi hanya pada tahun-tahun terburuk, ketika pertumbuhan berarti kematian yang hampir pasti atau ketidakmampuan untuk menghasilkan benih. Lintasan ini berfungsi sebagai penyimpangan besar - jarang terjadi secara eksponensial - tetapi seiring berjalannya waktu mereka menghasilkan keturunan yang lebih banyak secara eksponensial. Tingkat pertumbuhan populasi pada akhirnya ditentukan oleh jalur yang tidak biasa ini. Dengan kata lain, jika kita melacak kembali lintasan individu yang hidup hari ini, itu akan terlihat seperti serangkaian kecelakaan yang berhasil.
Matematika yang sama berlaku untuk migrasi, mendukung prinsip penting perlindungan habitat: pandangan akan mendapat manfaat dari kemampuan untuk berpindah di antara dua wilayah yang sama-sama baik di mana kondisi cuaca berubah secara acak dari tahun ke tahun. Setiap individu, yang melacak sejarah keluarga, akan menemukan di dalamnya para leluhur yang melarikan diri dari satu tempat, secara kebetulan, tepat sebelum awal bencana, atau tiba di tempat lain tepat ketika ada banyak makanan. Ini adalah kasus khusus evolusi dangkal: sebagian besar organisme hidup mati tanpa meninggalkan keturunan, tetapi Anda dapat melacak leluhur Anda selama miliaran generasi dan tidak bertemu satu pun yang kalah. Beruntung untukmu!
Centenarians
Setelah hidup sampai usia tertentu - yang ternyata lebih sedikit dari yang dipikirkan kebanyakan orang, karena kemungkinan Anda akan hidup satu tahun lagi maksimum 12 tahun - Anda akan menghadapi kenyataan bahwa kondisi fisik Anda dan kemungkinan hidup satu tahun lagi setiap saat berkurang, bahkan jika untuk periode singkat Anda dapat mencapai peningkatan. Para ahli demografi teoretis menganggap model yang menua di mana “kemampuan bertahan” seorang individu berfungsi sebagai variabel acak yang berubah dalam langkah-langkah kecil, dan yang lebih cenderung berubah ke bawah daripada ke atas, dan kemungkinan kematian meningkat semakin tinggi semakin rendah kemampuan bertahan hidup.
Tidak mengherankan, mengikuti model ini, dapat dihitung bahwa rata-rata kemampuan bertahan suatu populasi menurun sebagai fungsi usia ... sampai titik tertentu. Tetapi sebagian kecil dari populasi bertahan sampai usia tertentu, dan ini adalah individu yang luar biasa. Mungkin mereka beruntung memenangkan lotere genetik. Mungkin benjolan kehidupan acak mengarahkan mereka ke arah yang relatif positif.
Bagaimanapun, model memprediksi bahwa survivabilitas survivor secara bertahap berhenti menurun. Setiap individu masih menurun, tetapi mereka yang mengalami penurunan diambil oleh seorang wanita tua dengan sabit. Total survivabilitas survivor mencapai keseimbangan yang disebut "distribusi quasiistationary" antara lintasan individu yang turun dan memilah-milah individu berlebih di bagian bawah distribusi survivabilitas.
Dalam bahasa penyimpangan besar, ada fungsi rasio I (x) - di mana x adalah catatan kemampuan bertahan hidup - yang merupakan nol untuk lintasan yang tetap dekat dengan rata-rata. Mereka yang menyimpang kuat dari rata-rata memiliki fungsi hubungan positif, yaitu, probabilitas mereka secara eksponensial lebih kecil. Dalam model yang khas, Anda dapat menemukan bahwa di antara semua jalur kehidupan yang bertahan lama tidak seperti biasanya, yang paling mungkin adalah mereka yang secara tidak sengaja mempertahankan kemampuan bertahan pada tingkat yang luar biasa tinggi daripada yang mengikuti jalur menurun yang normal dan tidak mati secara tidak sengaja.
Oleh karena itu tingkat kematian - probabilitas meninggal tahun depan untuk seorang individu dari usia tertentu - meningkat pada usia dewasa, dan kemudian meratakan pada usia yang sangat terhormat. Pola seperti itu, "dataran tinggi kematian", dapat dengan jelas terlihat pada organisme seperti Drosophila dan nematoda, jika diamati dalam jumlah besar dalam kondisi laboratorium yang sama - tingkat kematian disamakan di laboratorium paling umum Drosophila, Drosophila melanogaster, sudah pada usia 4 minggu. (Vaupel, JW, et al. Lintasan Biodemografi umur panjang. Ilmu 280, 855-860 (1998).)
Dataran tinggi kematian tidak muncul pada manusia sampai populasi tumbuh dan perawatan kesehatan meningkat sehingga cukup banyak orang dapat hidup hingga 100 tahun atau lebih. Rata-rata, tingkat kematian seseorang berlipat ganda setiap 8 tahun, berkisar antara 30-an hingga 90-an. Jika kita mengambil sampel orang Amerika yang lahir pada tahun 1900, angka kematian mereka pada 90 tahun adalah sekitar 0,16, yaitu, 16% dari mereka meninggal tahun ini. Lebih dari dua kali lipat pada usia 98, dan kemudian tidak pernah berlipat ganda. Tingkat kematian tertinggi yang tercatat adalah 0,62 pada usia 108. Setelah ini, data menjadi sangat kecil, tetapi analisis menyeluruh terhadap orang berusia di atas 110 tahun dari seluruh dunia secara meyakinkan menunjukkan bahwa dalam kondisi saat ini, koefisien akan menyamakan di suatu tempat dalam kisaran 0,4 hingga 0,7. (Vaupel, JW & Robine, JM Munculnya supercentenarian di negara-negara dengan mortalitas rendah. North American Actuarial Journal 6, 54-63 (2002))