Pengalaman matematika transendental atau cerita rakyat matematika

Pada 16 Maret pukul 19:00 di toko Bukvoed (St. Petersburg, Ligovsky pr., 10), sebuah ceramah interaktif akan diadakan sebagai bagian dari proyek "Sains bukan tepung" untuk Hari Pi Dunia: "Eksperimen dalam matematika transendental atau cerita rakyat matematika ".

Jangan takut jika Anda sudah lupa apa itu logaritma dan bagaimana cara menghitung integralnya, Anda tidak akan membutuhkannya. Pengetahuan yang diperlukan untuk kuliah adalah akal sehat dan logika dasar.

Anda sering dapat mendengar bahwa matematika itu membosankan dan terlalu abstrak. Kami akan mencoba untuk membuktikan sebaliknya dengan banyak contoh cerita rakyat matematika, dan titik awal pertemuan kami adalah buku Eduard Frenkel “Cinta dan Matematika. Jantung dari realitas yang tersembunyi . " Buku ilmuwan terkenal itu berupaya menghilangkan mitos bahwa matematika adalah ilmu yang membosankan. Dari kuliah Anda akan belajar mengapa semua kuda memiliki warna yang sama, mengapa bulan terbuat dari keju dan cara menangkap lalat di sisi jauh bulan.

Panduan Anda dalam labirin matematika yang kompleks adalah Vitaly Filippovsky - ahli matematika, mahasiswa pascasarjana ITMO, ahli matematika dan programmer terkemuka Emoji Apps.

Di bawah ini kami menawarkan Anda untuk membiasakan diri dengan kutipan tarian yang indah dari buku Frenkel.

Pada musim gugur 1990, saya menjadi mahasiswa pascasarjana di Harvard. Ini diperlukan untuk mengubah posisi profesor tamu menjadi sesuatu yang lebih permanen. Joseph Bernstein setuju untuk menjadi penyelia resmi saya. Pada saat itu saya telah mengumpulkan cukup bahan untuk disertasi saya, dan Arthur Jaffe membujuk dekan fakultas sebagai perkecualian untuk memungkinkan saya mengurangi masa studi pascasarjana (yang biasanya membutuhkan waktu 4 atau 5 tahun, dan dalam hal apa pun setidaknya 2 tahun, menurut aturan) menjadi satu. tahun, sehingga saya bisa membela diri dalam setahun. Berkat ini, "penurunan pangkat" saya dari profesor menjadi mahasiswa pascasarjana berlangsung cukup lama.

Tesis Ph.D saya adalah tentang proyek baru yang baru saja saya selesaikan. Semuanya dimulai dengan diskusi dengan Drinfeld dari program Langlands pada musim semi tahun itu. Berikut adalah contoh dari salah satu percakapan kami, yang dirancang sebagai skrip.

AKSI 1
ADEGAN 1
KANTOR DRINFELD DI HARVARD

Drinfeld mondar-mandir di sepanjang dinding tempat sebuah papan tulis tergantung.
Edward, duduk di kursi, membuat catatan (di atas meja di sebelahnya ada secangkir teh).

Drinfeld
Jadi, hipotesis Simura - Taniyama - Weil membuka hubungan antara persamaan kubik dan bentuk modular, tetapi Langlands melangkah lebih jauh. Dia meramalkan adanya korespondensi yang lebih umum, di mana peran bentuk modular dimainkan oleh representasi automorfik dari kelompok Lie.

Edward
Apa itu representasi automorfik?

Drinfeld (setelah jeda yang panjang)
Definisi yang tepat tidak masalah bagi kami sekarang. Bagaimanapun, Anda dapat menemukannya di buku teks. Penting bagi kita bahwa ini adalah representasi dari grup Lie G, misalnya, grup SO (3) dari rotasi bola.

Edward
Bagus Dan apa representasi automorfik ini terhubung dengan?

Drinfeld
Ini yang paling menarik. Langlands meramalkan bahwa mereka seharusnya
dihubungkan dengan representasi dari kelompok Galois di kelompok Lie lain.

Edward
Saya melihat. Apakah maksud Anda bahwa grup Lie ini bukan grup G yang sama?

Drinfeld
Tidak! Ini adalah kelompok Lee lain yang disebut kelompok ganda Langlands untuk G. Drinfeld menulis simbol LG di papan tulis.

Edward
Huruf L untuk menghormati Langlands?

Drinfeld (dengan sedikit senyum)
Awalnya, Langlands didorong oleh keinginan untuk memahami benda-benda yang disebut fungsi-L, karena ia menyebut kelompok ini kelompok-L ...

Edward
Artinya, untuk setiap grup Lie G ada grup Lie lain bernama LG, kan?

Drinfeld
Ya Dan dia hadir menurut Langlands, yang secara skematis terlihat seperti ini. Drinfeld menggambar diagram di papan tulis



Edward
Saya tidak mengerti ... setidaknya untuk saat ini. Tetapi izinkan saya mengajukan pertanyaan yang lebih sederhana: apa yang akan, misalnya, terlihat seperti kelompok dua Langlands untuk SO (3)?

Drinfeld
Ini cukup sederhana - penutup ganda SO (3). Pernahkah Anda melihat trik dengan piala?

Edward
Fokus dengan cangkir? Oh ya, saya ingat ...

SCENE 2
Rumah Pascasarjana Universitas Harvard

Selusin siswa, lebih dari dua puluh tahun lebih, berbicara, minum bir dan anggur. Edward berbicara dengan seorang mahasiswa pascasarjana.

Mahasiswa pascasarjana
Begini cara melakukannya.
Seorang mahasiswa pascasarjana mengambil gelas plastik anggur dan meletakkannya di telapak tangan kanannya. Kemudian dia mulai memutar telapak tangannya, memutar tangannya seperti dalam urutan foto
(di bawah). Dia membuat satu revolusi penuh (360 derajat), dan lengannya terbalik. Masih memegang cangkir tegak, itu terus berputar, dan sesudahnya
giliran penuh lagi - kejutan! - Tangan dan cangkirnya kembali ke posisi normal semula.

Mahasiswa pascasarjana lainnya
Saya mendengar bahwa di Filipina ada tarian tradisional dengan anggur dimana mereka melakukan trik ini dengan kedua tangan. Dia mengambil dua gelas bir dan mencoba membalik kedua telapak tangan
pada saat bersamaan. Tapi dia tidak bisa melacak tangannya, dan dia segera menumpahkan bir dari keduanya. Semua orang tertawa.

SCENE 3
KANTOR DRINFELD LAGI

Drinfeld
Fokus ini menggambarkan fakta bahwa pada kelompok SO (3) ada jalan tertutup nontrivial, jalur ganda yang, bagaimanapun, memberi kita jalan sepele.

Edward
Oh, aku mengerti. Rotasi penuh pertama cangkir memutar tangan pada sudut yang tidak biasa - ini adalah analog dari jalur non-sepele ke SO (3). Dia mengambil secangkir teh dari meja dan melakukan bagian pertama dari fokus.

Edward
Tampaknya belokan kedua akan membuat Anda lebih memutar tangan, tetapi sebaliknya tangan kembali ke posisi normal. Edward menyelesaikan langkahnya.

Drinfeld
Benar

Edward
Tapi apa yang umum antara ini dan kelompok Langlands ganda?

Drinfeld
Grup Langlands ganda untuk SO (3) adalah penutup ganda SO (3), jadi ...


Edward
Jadi, setiap elemen grup SO (3) sesuai dengan dua elemen dari grup dual Langlands.

Drinfeld
Itulah mengapa dalam grup baru ini tidak ada lagi jalur tertutup yang tidak sepele.

Edward
Artinya, transisi ke kelompok Langlands ganda adalah cara untuk menyingkirkan dislokasi itu?

Drinfeld
Benar Sepintas kelihatannya perbedaannya minimal, tetapi dalam kenyataannya konsekuensinya lebih dari signifikan. Ini, misalnya, menjelaskan perbedaan perilaku bahan-bahan penyusun materi, seperti elektron dan quark, dan partikel yang membawa
interaksi di antara mereka, seperti foton. Untuk kelompok Lie yang lebih umum, perbedaan antara kelompok itu sendiri dan kelompok Langlands ganda bahkan lebih kuat. Bahkan, dalam banyak kasus bahkan tidak ada koneksi yang terlihat antara dua kelompok ganda.

Edward
Mengapa kelompok ganda umumnya muncul sesuai dengan Langlands? Semacam sihir ...

Drinfeld
Ini tidak diketahui.

Langlands dualitas membangun hubungan pasangan antara kelompok-kelompok Berbohong: untuk setiap kelompok Berbohong G ada dua kelompok Berbaring Langland LG, dan ganda
ke LG adalah G.9 itu sendiri. Fakta bahwa program Langlands menghubungkan objek dari dua jenis berbeda (satu dari teori bilangan dan yang kedua dari analisis harmonik) mengejutkan dalam dirinya sendiri, tetapi fakta bahwa dua kelompok ganda, G dan LG, hadir dalam berbagai bagian dari korespondensi ini - itu tidak dapat dipahami pikiran!

Kami berbicara tentang bagaimana program Langlands menghubungkan berbagai benua di dunia matematika. Mari kita lanjutkan analoginya: biarlah Eropa dan Amerika Utara dan biarkan ada jalan
cocokkan setiap orang di Eropa dengan seseorang dari Amerika Utara dan sebaliknya. Selain itu, anggaplah korespondensi ini menyiratkan kesesuaian sempurna dari berbagai atribut, seperti berat badan, tinggi dan usia, dengan satu pengecualian: setiap pria dikaitkan dengan seorang wanita, dan sebaliknya. Situasi ini adalah analog dari mengganti kelompok Lie dengan kelompok rangkapnya,
sesuai dengan prediksi yang diprediksi oleh program Langlands.

Memang, penggantian ini adalah salah satu aspek paling misterius dari program Langlands. Kami tahu beberapa mekanisme yang menggambarkan bagaimana dua kelompok muncul, tetapi kami
masih tidak mengerti mengapa ini terjadi. Ketidaktahuan ini adalah salah satu alasan mengapa para ilmuwan mencoba memperluas ide-ide program Langlands ke bidang matematika lainnya (melalui batu Rosetta Wealth) dan bahkan ke fisika kuantum, seperti yang akan kita pelajari di bab berikutnya. Kami mencoba untuk menemukan lebih banyak contoh dari fenomena dualisme Langlands dengan harapan bahwa ini akan memberi kita petunjuk tambahan mengapa mereka muncul dan apa artinya.

Mari kita fokuskan perhatian kita pada kolom kanan batu Rosetta Weil, yang didedikasikan untuk permukaan Riemann. Seperti yang kita bahas di bab sebelumnya, dalam versi korespondensi Langlands yang relevan untuk kolom ini, para aktornya adalah "bundel automorfik". Mereka memainkan peran fungsi automorfik (atau representasi automorfik) yang terkait dengan kelompok Lie G. Ternyata berkas berkas otomorfik ini "hidup" di ruang tertentu yang melekat pada permukaan Riemann X dan kelompok G, yang disebut ruang moduli G-bundel pada X. Kami pada saat itu tidak masalah apa itu. 10 Di bagian yang berlawanan dari korespondensi, seperti yang kita lihat di Bab 9, kelompok fundamental dari permukaan Riemann yang diberikan memainkan peran kelompok Galois. Dari diagram di atas, maka korespondensi Langlands geometris harus secara skematis terlihat sebagai berikut:


Ini berarti bahwa kita harus dapat memetakan berkas otomorfik ke setiap representasi kelompok fundamental di LG. Dan Drinfeld punya ide baru yang radikal tentang bagaimana melakukan ini.

AKSI 2
ADEGAN 1
KANTOR DRINFELD DI HARVARD

Drinfeld
Jadi, kita perlu menemukan metode untuk membangun bundel automorfik ini. Dan bagi saya tampaknya representasi aljabar Katz - Moody dapat membantu kita.

Edward
Mengapa

Drinfeld
Kita sekarang berada di dunia permukaan Riemann. Permukaan seperti itu mungkin memiliki perbatasan yang terdiri dari loop.

Drinfeld menggambar di papan tulis.



Drinfeld
Dengan menggunakan loop, permukaan Riemann dapat dikaitkan dengan grup loop dan, oleh karena itu, dengan aljabar Kac - Moody. Dan hubungan ini memberi kita kesempatan untuk mengubah ide
Kac - Aljabar Moody menjadi berkas berkas pada ruang moduli G-bundel pada permukaan Riemann kami. Mari kita tidak membahas detail untuk saat ini. Seperti yang saya harapkan, secara skematis ini
akan terlihat seperti ini.

Drinfeld menggambar diagram di papan tulis.



Drinfeld
Panah kedua jelas bagi saya. Pertanyaan utamanya adalah bagaimana membuat panah pertama. Feigin memberi tahu saya tentang karya Anda tentang representasi aljabar Kac - Moody. Saya pikir itu hanya perlu diterapkan di sini.

Edward
Tetapi kemudian representasi dari aljabar Katz - Moody untuk G entah bagaimana harus “diketahui” tentang kelompok ganda Langlands LG.

Drinfeld
Benar juga.

Edward
Tetapi bagaimana ini mungkin?

Drinfeld
Dan ini adalah pertanyaan yang harus Anda jawab.

Tirai