Kami memahami fisika partikel: 2) bola kuantum pada pegas

1. Bola pada pegas, versi Newton
2. Bola kuantum pada pegas
3. Gelombang, tampilan klasik
4. Gelombang, persamaan gerak klasik
5. Gelombang kuantum
6. Fields
7. Partikel adalah kuanta
8. Bagaimana partikel berinteraksi dengan bidang

Hasil utama dari artikel sebelumnya adalah bahwa gerak osilasi bola pada pegas dalam fisika pra-kuantum Newton dan teman-temannya mengambil bentuk

$$

$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$$

Dimana:
• z adalah posisi bola sebagai fungsi waktu t,
• z ₀ adalah posisi keseimbangan bola (di mana ia akan beristirahat jika tidak berfluktuasi),
• A - amplitudo getaran (yang dapat kita pilih secara sewenang-wenang besar atau kecil),
• ν [telanjang] - frekuensi getaran (hanya bergantung pada kekuatan pegas K dan massa bola M, dan tidak tergantung pada A).

Selain itu, total energi yang tersimpan dalam osilasi adalah

$$

$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$$

Dengan mengubah A, kita dapat menjaga jumlah energi dalam osilasi.

Dalam mekanika kuantum, semuanya berubah. Pada pandangan pertama (dan kami tidak membutuhkan yang lain), hanya satu hal yang berubah - pernyataan bahwa kami dapat memilih amplitudo osilasi sebesar atau sekecil yang kami mau. Ternyata ini tidak benar. Dengan demikian, energi yang tersimpan dalam osilasi tidak dapat dipilih secara sewenang-wenang.


Fig. 1

Kuantisasi amplitudo osilasi

Max Planck, ahli fisika terkenal pada awal abad ke-20, menemukan bahwa ada sesuatu kuantum di Semesta, dan memperkenalkan konstanta baru alam, yang disebut konstanta Planck, h. Setiap kali Anda menemukan sesuatu dalam mekanika kuantum, Anda akan melihat h. Secara kuantitatif

$$

$$h = 6.626068 \ kali 10 ^ {- 34} m ^ 2 kg / s$$

- nilai yang sangat kecil untuk kehidupan manusia biasa. Dan inilah yang keluar:

Bola kuantum pada pegas hanya dapat berosilasi dengan amplitudo

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M}$$

Di mana n adalah bilangan bulat, misalnya, 0, 1, 2, 1798 atau 2.348.979. Osilasi tidak arbitrer, tetapi terkuantisasi: kita dapat memanggil n kuantum osilasi. Definisi: kita mengatakan bahwa bola berosilasi dengan kuantum n berada dalam keadaan tereksitasi ke-n. Jika kuantum nol, kita katakan bahwa itu dalam kondisi dasar.

Untuk membuat Anda memahami apa artinya ini, lima keadaan tereksitasi pertama, dan keadaan dasar, ditunjukkan (agak naif - jangan menganggap gambar terlalu serius) pada Gambar. 1. Osilasi sekecil mungkin terjadi dalam keadaan n = 1. Ini adalah kuantum getaran; tidak ada fraksi kuantum. Bola tidak dapat berosilasi lebih sedikit, kecuali jika ia dalam keadaan tanpa osilasi, ketika n = 0.

Segala sesuatu yang lain, pada pandangan pertama, adalah sama. Tetapi sebenarnya sejarah mekanika kuantum jauh lebih rumit! Tetapi untuk sekarang, kita dapat menjauh dari kebingungan ini dan menggunakan hampir 100% fisika yang benar.

Mengapa kita tidak bisa mengatakan bahwa osilasi dikuantisasi berdasarkan pengalaman kita? Karena dalam sistem sehari-hari, kuantisasi terlalu kecil. Ambil bola nyata dan pegas - misalnya, bola memiliki berat 50 gram, dan frekuensinya osilasi sekali per detik. Maka amplitudo untuk satu kuantum, n = 1, akan sesuai dengan amplitudo

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h / \ nu M} = 1,8 \ kali 10 ^ {- 16} m$$

Ini adalah beberapa puluh ribu dari sepersejuta dari sepersejuta meter, atau 10 kali lebih kecil dari proton! Satu kuantum getaran bahkan tidak akan menggerakkan bola sejauh urutan ukuran inti atom! Tidak heran kita tidak melihat kuantisasi! Jika bola bergerak pada jarak yang terlihat, ia mengandung sejumlah besar kuanta - dan untuk n yang begitu besar, dari sudut pandang kami, kami dapat membuat A, lihat Gambar. 2. Kita tidak dapat mengukur A secara cukup akurat untuk memperhatikan batasan halus seperti itu pada besarnya.


Fig. 2. Amplitudo osilasi A untuk keadaan n. Untuk n kecil, nilai-nilai individual dari A berbohong jauh dari satu sama lain, tetapi sudah untuk n = 100 nilai-nilai yang diizinkan dari A lie begitu dekat sehingga diskrititas sudah sangat sulit untuk diperhatikan. Dalam situasi sehari-hari, nilai-nilai n begitu besar sehingga kelonggaran tidak mungkin diperhatikan.

Perhatikan bahwa secara khusus, nilai-nilai tersebut diperoleh karena massa bola yang besar. Jika bola terdiri dari 100 atom besi dan memiliki jari-jari seperseribu dari sepersejuta meter, amplitudo minimumnya adalah sepersejuta meter, yaitu, itu akan menjadi seribu kali radiusnya. Dan ini adalah nilai yang cukup besar sehingga dapat dilihat melalui mikroskop. Tetapi bola sekecil itu akan terkena kekuatan yang beroperasi pada skala atom, dan akan terombang-ambing lebih cepat daripada sekali per detik - dan frekuensi besar sesuai dengan amplitudo kecil. Jadi, bahkan dengan bola kecil, cukup sulit untuk memperhatikan kuantisasi alam.

Kuantisasi energi getaran

Sekarang ambil kuantisasi amplitudo, dan tempatkan dalam formula untuk energi getaran, yang telah kami sebutkan di awal artikel, $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$ . Mengganti nilai yang diizinkan untuk A ke dalamnya, kami mendapatkan hasil yang luar biasa:

$$

$$E = n h \ nu$$

Jawaban yang sangat sederhana! Energi yang disimpan dalam bola kuantum pada pegas (berbicara secara naif) sebanding dengan n, jumlah kuanta getaran, konstanta Planck h dan frekuensi getaran ν. Yang lebih mengejutkan, formula sederhana ini sebenarnya hampir akurat! Apa yang dia tunjukkan kan?

• Energi yang dibutuhkan untuk meningkatkan jumlah kuanta dalam osilasi per unit (n → n + 1) sama dengan h ν.
• Dalam osilator apa pun yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, energi satu kuantum akan sangat kecil sehingga kita tidak akan pernah tahu tentang kuantisasi.

Lihat itu. Untuk bola dengan pegas, berosilasi satu detik, satu kuantum energi akan sama dengan 6,6 × 10 ^-34 J, atau 0,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 66 Joule. Dan Joule adalah energi yang Anda habiskan untuk mengangkat apel dari tanah ke tingkat sabuk - tidak sebesar itu! Jadi ini adalah jumlah energi yang sangat kecil. Hanya dalam molekul kecil dan bahkan sistem yang lebih kecil frekuensi getarannya bisa begitu besar sehingga kuantisasi energi dapat dideteksi.

Ternyata rumus untuk energi tidak sepenuhnya benar. Setelah menyelesaikan perhitungan ini untuk mekanika kuantum, Anda akan menemukan bahwa rumus energi yang tepat adalah:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Kita sering tidak harus memperhatikan pergeseran n kecil ini sebesar 1/2. Namun, ini sangat menarik - dari sinilah seluruh keterikatan mekanika kuantum dimulai. Penasaran kan? Bahkan jika osilator tidak memiliki kuanta osilasi sama sekali, ketika n = 0, ia masih mengandung sedikit energi. Ini disebut energi nol getaran, atau nol energi, dan diambil dari getaran dasar, ketidakpastian dasar, yang hidup di jantung mekanika kuantum. Lihatlah foto itu. 3, yang, secara tak terelakkan secara skematis dan tidak akurat, berusaha menunjukkan bagaimana jitter bertanggung jawab atas energi nol. Bola bergerak secara acak, bahkan di kondisi dasar. Di masa depan, kita akan kembali ke nol energi, karena itu akan membawa kita ke masalah paling mendasar dari semua fisika.


Fig. 3. Ketidakpastian dasar mekanika kuantum dapat dibayangkan sebagai jitter acak yang mengubah posisi bola. Itu secara acak bergerak bahkan dalam keadaan dasar, dan juga memengaruhi yang tereksitasi, meskipun dengan meningkatnya dan pengaruhnya tidak lagi begitu terlihat. Gambarnya samar dan tidak harus dianggap terlalu serius.