Memahami fisika partikel: 5) gelombang kuantum

1. Bola pada pegas, versi Newton
2. Bola kuantum pada pegas
3. Gelombang, tampilan klasik
4. Gelombang, persamaan gerak klasik
5. Gelombang kuantum
6. Fields
7. Partikel adalah kuanta
8. Bagaimana partikel berinteraksi dengan bidang

Pengingat: bola kuantum di musim semi

Dalam artikel pertama dari seri, kami mempelajari bola massa M pada pegas kekakuan K, dan menemukan bahwa osilasi:

• Akan ada formula $$$z (t) = z_0 + A cos [2 \ pi \ nu t]$.
• Energi $$$E = 2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 M$.
• Persamaan gerak $$$d ^ 2z / dt ^ 2 = - K / M (z - z_0)$

Di mana persamaan gaya gerak ν = √ K / M / 2π, tetapi memungkinkan amplitudo A bernilai positif. Kemudian, pada artikel kedua, kita melihat bahwa mekanika kuantum, yang dapat diterapkan pada osilasi, membatasi amplitudo mereka - ia tidak lagi dapat apa pun. Sebagai gantinya, ia dikuantisasi, ia harus mengambil salah satu dari jumlah tak terbatas jumlah diskrit.

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {2 n h} / \ nu M$$

Di mana n = 0, 1, 2, 3, atau 44, atau secara umum bilangan bulat lebih besar dari atau sama dengan nol. Secara khusus, A mungkin sama $$$(1/2 \ pi) \ sqrt {2 h} / \ nu M$, tetapi tidak bisa kurang - hanya nol. Kita katakan bahwa n adalah jumlah kuanta dari osilasi bola. Energi bola sekarang juga terkuantisasi:

$$

$$E = (n + 1/2) h \ nu$$

Yang paling penting di sini adalah untuk menambahkan satu kuantum dari osilasi bola, diperlukan energi sebesar hν - kita dapat mengatakan bahwa setiap kuantum mentransfer energi hν.

Gelombang kuantum

Dengan ombak, semuanya pada dasarnya sama. Untuk gelombang dengan frekuensi ν dan panjang gelombang λ berosilasi dengan amplitudo A di sekitar posisi kesetimbangan Z ₀ ,

• Persamaan gerak: $$$Z (x, t) = Z_0 + A cos (2 \ pi [\ nu t - x / \ lambda])$.
• Energi per panjang gelombang: $$$2 \ pi ^ 2 \ nu ^ 2 A ^ 2 J_ \ lambda$.

(di mana J _λ adalah konstanta tergantung pada, katakanlah, seutas tali jika kita berbicara tentang gelombang pada seutas tali), beberapa persamaan gerak yang memungkinkan, di mana kita akan memilih dua untuk dipelajari:

$$

$$Kelas 0: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = 0$$

$$

$$Kelas 1: d ^ 2Z / dt ^ 2 - cw ^ 2 d ^ 2Z / dx ^ 2 = - (2 \ pi \ mu) ^ 2 (Z - Z_0)$$

Dan lagi, mekanika kuantum membatasi amplitudo A ke nilai diskrit. Sama seperti untuk getaran pada pegas,

• Satu gelombang sederhana dengan frekuensi dan panjang tertentu terdiri dari n quanta,
• Nilai amplitudo A yang diizinkan sebanding dengan √n,
• Nilai energi yang diizinkan E sebanding dengan (n + 1/2).

Lebih tepatnya, seperti untuk bola di pegas,

• Nilai energi yang diizinkan E = (n + 1/2) h ν
• Setiap kuantum gelombang mentransfer energi dari nilai h ν

Rumus untuk mengekspresikan A cukup rumit, karena kita perlu tahu berapa lama gelombang itu dan rumus yang tepat akan terlalu membingungkan - jadi mari kita menulis rumus yang menyampaikan ide yang benar. Kami memperoleh sebagian besar formula dengan mempelajari gelombang tak terbatas, tetapi untuk gelombang nyata apa pun di alam, durasinya terbatas. Jika panjang gelombang kira-kira sama dengan L, dan memiliki L / λ ridges, maka amplitudo kira-kira sama

$$

$$A = (1/2 \ pi) \ sqrt {\ frac {2 n h \ lambda} {\ nu L J_ \ lambda}}$$

Yang proporsional $$$\ sqrt {n h / \ nu}$seperti dalam kasus pegas, tetapi tergantung pada L. Semakin lama gelombang, semakin kecil amplitudo - sehingga untuk setiap kuantum gelombang energi selalu sama dengan hν.

Itu saja - itu ditunjukkan pada gambar di bawah ini.


Di sebelah kiri adalah gambar naif dari gelombang, di mana amplitudo sebanding dengan akar kuadrat dari jumlah kuanta, dan amplitudo lainnya tidak bisa ada. Di sebelah kanan adalah gambar yang sedikit kurang naif yang memperhitungkan getaran kuantum yang melekat di dunia kuantum. Bahkan dalam kasus n = 0, beberapa osilasi ada.

Konsekuensi

Apa artinya ini untuk gelombang kelas 0 dan kelas 1 kita?

Karena gelombang kelas 0 dapat dari frekuensi berapa pun, mereka dapat memiliki energi apa pun. Bahkan untuk nilai kecil ε, kita selalu bisa membuat satu kuantum gelombang kelas 0 dengan frekuensi ν = ε / jam. Untuk energi sekecil itu, gelombang kuantum ini akan memiliki frekuensi yang sangat rendah dan panjang gelombang yang sangat panjang, tetapi ia bisa ada.

Gelombang yang memenuhi persamaan Kelas 1 tidak. Karena bagi mereka ada frekuensi minimum ν _min = μ, bagi mereka ada juga kuantum energi minimum:

$$

$$E_ {min} = h \ nu_ {min} = h \ mu$$

Jika jumlah energi Anda yang kecil ε kurang dari ini, kuantum gelombang semacam itu tidak dapat dibuat. Untuk semua kuanta gelombang kelas 1 dengan panjang gelombang terbatas dan frekuensi lebih tinggi, E ≥ h μ.

Ringkasan

Sebelum kita mulai memperhitungkan mekanika kuantum, amplitudo gelombang, seperti amplitudo bola pada pegas, dapat berubah terus menerus; mereka dapat dibuat besar atau kecil secara sewenang-wenang. Tetapi mekanika kuantum menyiratkan adanya amplitudo gelombang minimum nol, seperti dalam kasus osilasi bola pada pegas. Dan biasanya amplitudo hanya dapat mengambil nilai diskrit. Amplitudo yang diijinkan sedemikian rupa sehingga baik untuk osilasi bola pada pegas, dan untuk gelombang kelas apa pun dengan frekuensi tertentu ν

• Untuk menambahkan satu kuantum getaran, energi h ν diperlukan
• Untuk osilasi n quanta, energi osilasi akan sama dengan (n + 1/2) h ν

Sekarang saatnya untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh ke bidang dan melihat kapan dan bagaimana kuanta gelombang di bidang ini dapat ditafsirkan sebagai apa yang kita sebut "partikel" dari alam.