Persamaan Poisson dan distribusi Boltzmann (bagian 2.1)

Distribusi Boltzmann (bagian 1)

Sebelum mendekati kesimpulan dari distribusi Boltzmann dan memahami pengertian fisik, perlu untuk memberikan informasi awal tentang teori dasar probabilitas. Faktanya adalah bahwa sistem makro yang kami amati terdiri, seperti yang Anda tahu, dari sejumlah besar partikel yang lebih kecil, misalnya, setiap zat terdiri dari atom, dan yang terakhir, pada gilirannya, dibagi menjadi inti dan elektron, inti atom dibagi menjadi proton dan neutron dan begitu seterusnya. Dalam sistem material yang memiliki sejumlah besar partikel (dalam apa yang disebut microsystem) tidak ada gunanya untuk mempertimbangkan setiap partikel secara terpisah, pertama karena tidak ada yang bisa menggambarkan setiap partikel (bahkan superkomputer modern), dan kedua tidak akan memberi kita apa pun, pada prinsipnya, karena perilaku sistem makro dijelaskan oleh parameter rata-rata, seperti yang akan kita lihat nanti. Dengan sejumlah besar partikel, masuk akal untuk tertarik pada probabilitas bahwa suatu parameter terletak pada kisaran nilai tertentu.

Jadi, kami melanjutkan ke beberapa definisi dari teori probabilitas, dan kemudian, setelah menjelaskan distribusi Maxwell, kami akan mendekati analisis distribusi Boltzmann.

Dalam teori probabilitas, ada yang namanya peristiwa acak - ini adalah fenomena yang dalam beberapa pengalaman terjadi atau tidak. Misalnya, perhatikan kotak tertutup yang berisi molekul A dan beberapa volume yang dialokasikan $$$\ Delta \ tau$ dalam kotak ini (lihat Gambar. 1).





Fig. 1

Jadi, peristiwa acak akan mengenai molekul A dalam volume yang dialokasikan $$$\ Delta \ tau$ , atau ketiadaan molekul ini dalam volume ini (karena molekul itu bergerak, dan setiap saat waktu itu ada dalam volume tertentu atau tidak).

Probabilitas peristiwa acak dipahami sebagai rasio jumlah uji coba m, di mana peristiwa ini terjadi, terhadap jumlah uji coba M, dan jumlah uji coba total harus besar. Kami tidak dapat berbicara tentang kemungkinan suatu peristiwa dalam satu percobaan. Semakin banyak uji coba, semakin akurat probabilitas acara tersebut.

Dalam kasus kami, probabilitas bahwa molekul A akan berada dalam volume $$$\ Delta \ tau$ sama dengan:

$$

$$W (A) = \ frac {m} {M}, atau W (A) = \ lim_ {M \ to \ infty} m / M$$

Sekarang pertimbangkan dalam kotak yang sama dua volume yang dialokasikan $$$\ Delta \ tau_1$ dan $$$\ Delta \ tau_2$ (lihat gambar 2)


Gbr.2

Jika kedua volume ini tidak berpotongan (lihat Gambar. 2a), maka molekul A mungkin pada suatu titik waktu t dalam volume $$$\ Delta \ tau_1$ atau dalam volume $$$\ Delta \ tau_2$ . Pada saat yang sama, satu molekul tidak dapat berada di dua tempat yang berbeda. Dengan demikian, kita sampai pada konsep peristiwa yang tidak kompatibel ketika penerapan satu peristiwa tidak termasuk pelaksanaan acara lainnya. Dalam hal volume $$$\ Delta \ tau_1$ dan $$$\ Delta \ tau_2$ berpotongan (lihat gbr.2b), yaitu, probabilitas bahwa molekul dapat jatuh ke daerah persimpangan, dan kemudian dua peristiwa yang kompatibel .

Probabilitas bahwa molekul A akan jatuh ke dalam volume $$$\ Delta \ tau_1$ sama dengan:

$$

$$W (1) = m_1 / M$$

dimana $$$m_1$ - jumlah tes ketika molekul dalam volume $$$\ Delta \ tau_1$ . Demikian pula, kemungkinan bahwa molekul A akan jatuh ke dalam volume $$$\ Delta \ tau_2$ sama dengan:

$$

$$W (2) = m_2 / M$$

Selanjutnya, peristiwa bahwa molekul jatuh ke dalam setidaknya satu dari dua volume telah direalisasikan $$$m_1 + m_2$ kali. Oleh karena itu probabilitas dari acara ini adalah:

$$

$$W = \ frac {m_1 + m_2} {M} = \ frac {m_1} {M} + \ frac {m_2} {M} = W (1) + W (2)$$

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa probabilitas salah satu peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan jumlah probabilitas masing-masing.

Sekelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel adalah kombinasi dari peristiwa di mana penerapannya dapat diandalkan, mis. probabilitas salah satu peristiwa adalah 1.

Peristiwa disebut sama - sama mungkin jika probabilitas salah satu dari mereka memiliki nilai yang sama, yaitu probabilitas semua kejadian adalah sama.

Pertimbangkan contoh terakhir dan perkenalkan konsep acara independen . Biarkan peristiwa pertama adalah bahwa molekul A pada waktu t dalam volume $$$\ Delta \ tau_1$ , dan peristiwa kedua - bahwa molekul B lain jatuh ke dalam volume $$$\ Delta \ tau_2$ . Jika probabilitas bahwa molekul B memasuki volume $$$\ Delta \ tau_2$ Itu tidak tergantung pada apakah molekul A ada $$$\ Delta \ tau_1$ atau tidak, peristiwa ini disebut independen.

Misalkan kita menyelesaikan total n tes, dan menemukan bahwa molekul A adalah $$$m_1$ dalam volume $$$\ Delta \ tau_1$ , dan molekul B - $$$m_2$ dalam volume $$$\ Delta \ tau_2$ , maka probabilitas kejadian ini sama dengan:

$$

$$W (A) = \ frac {m_1} {n}, W (B) = \ frac {m_2} {n}$$

Kami akan mengambil dari tes $$$m_1$ dan A jatuh ke dalamnya $$$\ Delta \ tau_1$ jumlah tes di mana B juga jatuh ke dalam $$$\ Delta \ tau_2$ . Jelas, jumlah uji coba yang dipilih ini $$$m_1 (\ frac {m_2} {n})$ . Oleh karena itu probabilitas implementasi bersama dari peristiwa A dan B sama dengan:

$$

$$W (AB) = \ frac {m_1 (\ frac {m_2} {n})} {n} = \ frac {m_1} {n} \ frac {m_2} {n} = W (A) W (B)$$

Yaitu probabilitas kejadian independen dalam implementasi bersama sama dengan produk dari probabilitas setiap kejadian secara terpisah.

Jika kita mengukur jumlah tertentu, misalnya, kecepatan molekul, atau energi satu molekul, maka nilainya dapat mengambil nilai nyata apa pun pada sumbu numerik (termasuk nilai negatif), yaitu. kuantitas ini kontinu , berbeda dengan apa yang kita anggap di atas (yang disebut kuantitas diskrit). Jumlah tersebut disebut variabel acak . Untuk variabel acak kontinu, itu salah untuk tertarik pada probabilitas nilai yang diberikan. Formulasi yang benar dari pertanyaan ini adalah untuk mengetahui probabilitas bahwa jumlah ini terletak pada kisaran dari, katakanlah x hingga x + dx. Probabilitas ini secara matematis sama dengan:

$$

$$dW = w (x) dx$$

Di sini w (x) adalah beberapa fungsi yang disebut kerapatan probabilitas. Dimensinya adalah kebalikan dari dimensi variabel acak x.

Dan akhirnya, masih perlu untuk mengatakan hal yang agak jelas, bahwa probabilitas peristiwa yang dapat diandalkan, atau jumlah semua probabilitas dari kelompok lengkap peristiwa yang tidak kompatibel sama dengan satu.
Pada prinsipnya, definisi ini cukup bagi kita untuk menunjukkan derivasi dari distribusi Maxwell, dan kemudian distribusi Boltzmann.

Jadi, kita akan mempertimbangkan gas ideal (bisa juga gas elektron yang sangat jarang dijumpai sehingga interaksi elektron dapat diabaikan). Setiap partikel gas ini memiliki kecepatan v atau momentum $$$p = m_0v$ dan semua kecepatan dan impuls ini bisa apa saja. Jadi parameter ini adalah variabel acak dan kita akan tertarik pada kerapatan probabilitas $$$w_p$ .

Lebih jauh lebih mudah untuk memperkenalkan konsep ruang pulsa. Kami menunda komponen momentum partikel di sepanjang sumbu sistem koordinat (lihat Gambar 3)


Fig. 3

Kita perlu mengetahui berapa probabilitasnya bahwa setiap komponen pulsa terletak pada rentang:

$$

$$p_x \ div (p_x + dp_x); p_y \ div (p_y + dp_y); p_z \ div (p_z + dp_z)$$

Artinya, hal yang sama, ujung vektor p adalah dalam volume persegi panjang dΩ:

$$

$$d \ Omega = dp_xdp_ydp_z$$

Maxwell menempatkan dua postulat, berdasarkan di mana ia memperoleh distribusi momentum. Dia menyarankan:

A) Semua arah dalam ruang adalah sama dan sifat ini disebut isotropi, khususnya isotropi kerapatan probabilitas $$$w_p$ .

B) Gerakan partikel sepanjang tiga sumbu saling tegak lurus adalah independen, mis. nilai impuls $$$p_x$ tidak tergantung pada nilai komponen lainnya $$$p_y$ dan $$$p_z$ .

Partikel bergerak ke arah yang berbeda, baik dalam arah positif dan negatif. Misalnya, di sepanjang sumbu x, nilai pulsa dapat mengambil nilai sebagai $$$p_x$ begitu dan $$$-p_x$ . Tetapi densitas probabilitas adalah fungsi genap (mis., Untuk nilai negatif dari argumen, fungsinya positif), jadi itu tergantung pada kuadrat $$$p_x$ :

$$

$$w_ {px} = \ phi (p_x ^ 2)$$

Dari sifat-sifat isotropi (lihat di atas) dapat disimpulkan bahwa kepadatan probabilitas dari dua komponen lainnya dinyatakan serupa:

$$

$$w_ {py} = \ phi (p_y ^ 2); w_ {pz} = \ phi (p_z ^ 2)$$

Menurut definisi, probabilitas bahwa momentum p memasuki volume dΩ sama dengan:

$$

$$dW = w_pd \ Omega$$

Ingatlah bahwa kami menemukan di atas bahwa untuk peristiwa independen probabilitas ini dapat diekspresikan melalui produk dari probabilitas peristiwa masing-masing komponen:

$$

$$w_pd \ Omega = w_ {px} dp_xw_ {py} dp_yw_ {pz} dp_z = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2) dp_xdp_ydp_z$$

Oleh karena itu:

$$

$$w_p = \ psi (p ^ 2) = \ phi (p_x ^ 2) \ phi (p_y ^ 2) \ phi (p_z ^ 2)$$

Mari kita logaritma ungkapan ini dan dapatkan:

$$

$$ln \ psi = ln \ phi (p_x ^ 2) + ln \ phi (p_y ^ 2) + ln \ phi (p_z ^ 2)$$

Kemudian kami membedakan identitas ini sehubungan dengan $$$p_x$ :

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'}} {\ psi} 2p_x = \ frac {\ phi ^ {'}} {\ phi} 2p_x$$

, di mana prime menunjukkan turunan dari fungsi yang sesuai sehubungan dengan argumen kompleksnya.

Setelah pengurangan ekspresi ini menjadi $$$2p_x$ kami mendapatkan:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)}$$

Hal yang sama berlaku untuk komponen pulsa lainnya, masing-masing, kami memperoleh:

$$

$$\ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} ; \ frac {\ psi ^ {'} (p ^ 2)} {\ psi (p ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

Ini menyiratkan hubungan penting:

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_y ^ 2)} {\ phi (p_y ^ 2)} = \ frac {\ phi ^ {'} (p_z ^ 2)} {\ phi (p_z ^ 2)}$$

Dari ungkapan-ungkapan ini jelas bahwa hubungan turunan dari fungsi sehubungan dengan fungsi satu atau komponen momentum lainnya adalah konstan, masing-masing, kita dapat menulis sebagai berikut (kita menyatakan konstanta sebagai $$$- \ beta$ ):

$$

$$\ frac {\ phi ^ {'} (p_x ^ 2)} {\ phi (p_x ^ 2)} = - \ beta$$

Memecahkan persamaan diferensial ini, kami memperoleh (bagaimana persamaan tersebut diselesaikan dapat ditemukan dalam buku teks tentang persamaan diferensial biasa):

$$

$$\ phi (p_x ^ 2) = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2}$$

Di mana C dan β adalah konstanta yang belum kita peroleh (dalam artikel berikutnya). Jadi, dari kondisi isotropi dan kemandirian gerakan di sepanjang sumbu koordinat, maka mengikuti probabilitas $$$dW_ {px}$ komponen momentum itu $$$p_x$ akan berada dalam interval $$$dp_x$ ditentukan oleh rasio:

$$

$$dW_ {px} = Ce ^ {- \ beta p_x ^ 2} dp_x$$

, dan probabilitas dW bahwa denyut nadi akan berada dalam volume d remember adalah (ingat produk dari probabilitas peristiwa independen):

$$

$$dW = C ^ 3e ^ {- \ beta p ^ 2} d \ Omega$$

Pada artikel selanjutnya, kami akan menyelesaikan derivasi distribusi Maxwell, mencari tahu arti fisik distribusi ini, dan langsung menuju derivasi distribusi Boltzmann.