Cara mempelajari sejarah matematika sesuai dengan gambar dalam "Prinsip" Euclid

Dalam buku keempat, "Awal" dari Euclid, sebuah teks tentang geometri dengan usia 2.300 tahun, ada indikasi untuk membangun poligon bersisi 15 di dalam lingkaran. Langkah pertama diketahui oleh siswa geometri: membangun segitiga sama sisi dan pentagon biasa sehingga simpul mereka terletak pada sebuah lingkaran dan kedua tokoh memiliki satu titik yang sama. Selain indikasi tekstual, "Awal" berisi gambar yang menggambarkan metode ini.


Dalam salinan lengkap tertua dari The Beginnings , sebuah manuskrip abad ke sembilan yang disimpan di Perpustakaan Vatikan, bagian-bagian garis ditarik dan dihapus. Gambar dari Library Online Congress Divisi Katalog, Cetakan dan Foto.

Tidak mungkin untuk mengetahui seperti apa skema asli Euclid sendiri, tetapi dalam manuskrip yang masih ada, variasi menakjubkan terungkap dalam tampilan tokoh geometris seperti pentagon. Variasi seperti itu tampak seperti kesalahan bagi pengamat modern: dalam beberapa versi abad pertengahan teks, segmen garis memiliki panjang yang salah. Dalam naskah abad ke-9, salinan tertua dari The Beginning , yang disimpan di Perpustakaan Vatikan, bagian-bagiannya diambil dan dihapus. Dalam teks abad kesembilan lainnya yang diadakan di Universitas Oxford, sisi-sisi pentagon di dalam lingkaran itu melengkung dan berantakan, tidak lurus. Kurva juga digunakan dalam salinan Paris abad kedua belas, tetapi mereka sedikit kurang berliku daripada di versi Oxford lama. Teks abad kesebelas atau kedua belas disimpan di Wina, di mana garis-garis aslinya memiliki panjang yang benar dan lurus, tetapi kemudian seseorang menambahkan segmen melengkung padanya (1).

Permulaannya sangat menarik, tetapi ini bukan satu-satunya teks ilmiah sejarah dengan masalah dalam gambar. Ternyata mereka ditemukan dalam salinan karya-karya Ibn al-Khaysam, Archimedes, Aristoteles dan Ptolemy. Di antara variasi adalah garis paralel yang sebenarnya tidak paralel, ditandai bentuk yang tidak benar, segmen atau sudut yang sama ditarik tidak sama, atau sudut tidak sama yang mungkin terlihat sama. Sebagai contoh, dalam naskah Palimpsest Archimedes abad kesepuluh, sebuah segitiga sama kaki digunakan untuk menunjukkan parabota. Ini mungkin tampak seperti keanehan sejarah yang sederhana, tetapi beberapa peneliti menemukan di antara gambar-gambar petunjuk menarik tentang bagaimana matematika telah berkembang selama milenium.

Visualisasi

Para peneliti mulai mempelajari variasi-variasi ini untuk mengetahui bagaimana ide-ide matematika menyebar dan untuk memahami bagaimana orang yang berbeda mendekati topik ini. Secara tradisional, sejarawan matematika yang mempelajari teks-teks Yunani kuno berfokus pada kata-kata dan angka dan melewatkan gambar sebagai ilustrasi sederhana untuk teks tersebut. Menurut sejarawan sains Nathan Sidoli dari Universitas Waseda di Tokyo dan rekannya Ken Saito dari Universitas Prefektur Osaka, yang melihat perubahan skematis dalam segi delapan dan bukti lain dalam esai 2012, karena fokus pada teks ini, kami melewatkan bagian dari cerita (1).

Matematika kaya dengan abstraksi, dan seiring waktu, orang telah menemukan banyak cara untuk memvisualisasikan abstraksi ini. "Dari masa muda kita, kita belajar untuk memahami konsep umum dalam cara visual tertentu," kata Sidoli. "Dengan melihat karya-karya ini, kita dapat mengingatkan diri sendiri bahwa ini bukan cara pandang universal."

Gambar dan diagram telah menjadi bagian dari matematika dari ribuan tahun sejarah manusia. Orang Babilonia menghitung akar kuadrat dan mengetahui prinsip teorema Pythagoras seribu tahun lagi sebelum Pythagoras atau Euclid. Sebuah tablet tanah liat yang berasal dari abad ketujuh belas SM, yang di atasnya gambar sebuah bujur sangkar dan diagonal-diagonalnya dengan angka-angka yang sesuai digambar, dapat berfungsi sebagai bukti. Pelopor visualisasi data Edward Tufty, seorang profesor ilmu politik, ilmu komputer, dan statistik di Yale, menyebut tablet itu sebagai "saksi grafis" dari pengetahuan orang Babel.

Beberapa peneliti percaya bahwa gambar itu sendiri dapat menjadi bagian integral dari matematika dan pembawa informasi antara abad, terlepas dari semua kekurangannya. Jika kesalahan yang muncul dalam satu salinan menyebar ke versi berikutnya, maka ini menunjukkan bahwa pengambil sensus tidak memahami matematika atau tidak menghargai keakuratannya. Di sisi lain, beberapa pakar menggunakan cetak biru untuk melengkapi pengetahuan yang tercantum dalam The Principles . Sebagai contoh, di mana Euclid hanya menggambarkan sifat-sifat dari sudut yang akut, penulis kemudian dapat menambahkan sifat yang serupa untuk sudut tumpul dan kanan.


Fragmen "Permulaan" ini adalah bagian dari papirus Oxirinh, sekelompok manuskrip yang ditemukan pada tahun 1897 di tempat pembuangan sampah kuno dekat kota Oxirinh di Mesir. Teks yang kira-kira berusia 2.000 tahun merujuk pada teorema kelima dari volume kedua Permulaan . Gambar milik Bill Casselman (Universitas British Columbia, Vancouver).

Intervensi pembaca

Awal , yang terdiri dari tiga belas jilid, diterbitkan dalam setidaknya ratusan publikasi, dan sampai abad terakhir itu adalah buku terbesar kedua di dunia dalam hal penjualan. (Yang pertama adalah Alkitab.) Tetapi tidak semua yang ada dalam Prinsip disimpulkan oleh Euclid. Volume berisi kumpulan pengetahuan matematika yang dikenal oleh orang Yunani kuno pada waktu itu. Fisikawan Stephen Hawking menyebut Euclid "ensiklopedis matematika terhebat sepanjang masa" dan membandingkannya dengan Noah Webster, yang menyusun kamus bahasa Inggris pertama (2).

"Awal" diterjemahkan dari bahasa Yunani Kuno, Arab, Latin, Ibrani, dan lainnya. Traktat dalam proses pertumbuhan dan migrasi telah berevolusi, serta gambar-gambar di dalamnya. Pembaca meninggalkan catatan di margin dan melakukan pengeditan. Pembaca dan penerjemah berikutnya melihat baik manuskrip maupun lampiran, dan mengedit karya sesuai dengan apa yang sesuai dengan waktu mereka. Interaksi semacam itu dicatat dalam terjemahan bukti dan gambar Awal , dan tindakan penyalinan menjadi, dalam kata-kata mahasiswa pascasarjana Universitas Stanford Yensu Lee, yang mempelajari evolusi gambar Awal , suatu tindakan transformasi.

“Kita dapat dengan mudah kehilangan peran pembaca dalam membuat gambar,” kata Lee, menekankan bahwa mereka dapat campur tangan dan berkontribusi dengan membuat catatan dalam naskah. Para juru tulis kemudian mencatat catatan-catatan ini. "Jika mereka percaya bahwa gambar margin lebih penting daripada cetak biru utama," Lee menjelaskan, "cetak biru marjinal berubah menjadi gambar utama oleh generasi berikutnya." Perubahan visual ini menyampaikan gagasan matematika dengan cara yang tidak bisa disampaikan oleh teks.

Menyebut perubahan semacam itu kesalahan akan terlalu lumrah. Beberapa perubahan seharusnya merupakan perbaikan; yang lain muncul dari praktik budaya. Misalnya, teks Arab dibaca dari kanan ke kiri, sehingga dalam versi Arab awal "Permulaan" orientasi gambar sering dicerminkan - sudut-sudut yang dibuka ke kiri dalam naskah kuno Yunani diturunkan ke kanan dalam versi Arab. Namun, ketika versi Arab ini diterjemahkan ke dalam bahasa Latin, beberapa ahli Taurat tidak membalikkan gambarnya.

Matematikawan Robin Hartshorn, yang sebelumnya bekerja di University of California di Berkeley, bahkan mengklaim bahwa tidak selalu adil untuk melihat perubahan pada gambar sebagai proses penyuntingan. Bahkan dengan semua kurva dan tekukan ini, gambar-gambar segilima menyampaikan makna yang diinginkan. Stempel "Awal" dengan gambar yang akurat mencerminkan nilai zaman, katanya, tetapi praktik ini tidak sesuai dengan versi sebelumnya. "Saya akan menyebutnya menggambar ulang dengan selera matematikawan modern yang berusaha untuk melihat akurasi metrik," kata Hartshorn.

"Ini adalah cetak biru yang digambar tangan untuk konsep-konsep yang tidak selalu mudah untuk ditulis," tambah sejarawan sains Courtney Roby, yang mempelajari teks-teks sains kuno di Cornell University. "Gambar adalah kreasi penulis dan penulis khusus, kreativitas, eksperimen, dan perubahan mereka."

Evolusi dimulai

Lee telah terlibat dalam manuskrip dari abad kesembilan hingga versi cetak pertama The Beginnings , yang muncul pada 1482 setelah penemuan mesin cetak. Sejak saat itu, kata Lee, Permulaan telah menjadi buku teks standar di banyak universitas Eropa, dan gambar mereka telah menjadi alat pengajaran. Akibatnya, "di era budaya cetak, kami mengamati jenis gambar yang sangat berbeda," kata Lee, mendigitalkan koleksi setidaknya lima papirus, 32 manuskrip Yunani kuno, 92 manuskrip terjemahan, dan 32 cetakan Beginning .

Sampai abad kesembilan belas, risalah Euclidean dianggap sebagai model bukti matematika yang ketat dan terstruktur. Agar masuk akal, bukti-bukti ini membutuhkan gambar. "Mereka tidak berguna tanpa cetak biru," jelas filsuf John Mumma dari University of California, dengan alasan bahwa cetak biru Beginnings bukan hanya alat pengajaran visual, mereka juga penting untuk membuktikan pernyataan itu sendiri (3)

Pada akhir abad ke-19 dan awal abad ke-20, matematikawan mempertanyakan keunggulan dari Awal dan sebagian alasan untuk ini adalah ketergantungan Euclid pada gambar. Secara khusus, matematikawan Jerman David Hilbert menyerukan pendekatan yang lebih formal untuk matematika, hanya menggunakan logika dan tidak memerlukan gambar untuk bukti, yang ia anggap semacam "penopang" matematika.

"Mereka menolak" Permulaan "Euclid karena mereka tampaknya tidak terlalu ketat," kata John Mumma. "Diyakini bahwa dia menggunakan gambar secara intuitif dan terlalu longgar."

Misalnya, dalam "Awal" ada gambar yang menunjukkan titik pada garis antara dua titik lainnya. Hilbert membutuhkan deskripsi analitis tentang apa yang disebutnya "perantara", tanpa menggunakan gambar. Filsuf dan ahli logika Inggris Bertrand Russell juga mengkritik pendekatan Euclid: dia memperhatikan bahwa banyak bukti Yunani kuno lemah, karena mereka mengambil kekuatan penalaran mereka dari gambar, dan tidak hanya dari logika. "Bukti benar harus tetap valid bahkan tanpa adanya angka yang ditarik, tetapi banyak bukti Euclidean tidak lulus tes ini," tulis Russell pada tahun 1902 (4). (Bukti pertama di Awal menunjukkan bagaimana membangun segitiga sama kaki menggunakan dua lingkaran berpotongan. Namun, titik persimpangan dibenarkan dari gambar, keberadaannya tidak terbukti secara ketat.)

Namun, banyak sejarawan matematika modern menganggap pendekatan Euclid sebagai cara lain untuk melihat matematika - dan itu tidak selalu lemah hanya karena menggunakan gambar. Para sarjana ini berpendapat bahwa gambar itu adalah bukti, dan bahwa tidak ada cara universal untuk memahami matematika. "Kami benar-benar dapat memahami segala sesuatu dengan menggunakan informasi dalam gambar sebagai bukti," kata Mumma. "Ini bukan hanya ilustrasi."

Penelitian modern telah berfokus pada gambar untuk sebagian besar sejak 1990-an, ketika Revil Netz dari Stanford University dan Kenneth Manders dari University of Pittsburgh menyatakan bahwa gambar matematika kuno layak dilihat dari sudut yang berbeda. Netz mengatakan area penelitian berfokus pada dua aspek: representasi paling grafis dan bagaimana orang menggunakan gambar (5, 6). Dia berpendapat bahwa karya Lee dari Universitas Stanford dalam membandingkan gambar dari abad yang berbeda menggabungkan dua aspek ini, memungkinkan Anda untuk memperluas bidang studi.

Netz mengatakan karya Lee akan membantu para sejarawan memahami bagaimana "sains telah berpindah dari geometri teoritis orang Yunani kuno ke ... penggunaan geometri yang lebih terapan dan fisik untuk dunia nyata."

Setelah Awal, Lee ingin menganalisis cetak biru dalam Optik Euclid, sebuah karya awal tentang fisika cahaya, dan kemudian fokus pada karya Ptolemy dan Archimedes. Dia berharap penelitiannya akan menarik minat sejarawan, filsuf, dan ahli matematika untuk menganalisis bagaimana orang menggunakan (dan terus menggunakan) gambar untuk mempelajari ide-ide matematika yang mendalam. "Kami cenderung menyingkirkan cetak biru," katanya. “Tetapi beberapa ide tidak bisa disampaikan dalam teks. Mereka harus ditransmisikan secara grafis. "

Referensi

1. Saito K, Sidoli N (2012) Diagram dan argumen dalam matematika Yunani kuno: Pelajaran yang diambil dari perbandingan diagram manuskrip dengan yang ada dalam edisi kritis modern. Sejarah Bukti Matematika dalam Tradisi Kuno, ed Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, Inggris), hlm. 135–162. Sarjana Google
2. Hawking S, ed (2002) On the Shoulders of Giants (Running Press, Philadelphia). Sarjana Google
3. Mumma J (2010) Bukti, gambar, dan Euclid. Sintese 175: 255–287. CrossRef Web of Science Google Cendekia
4. Russell B (1902) Pengajaran Euclid. Matematika Gaz 2: 165–167. Sarjana Google
5. Netz R (1998) Diagram matematika Yunani: Penggunaannya dan artinya. Belajar Matematika 18: 33–39. Sarjana Google
6. Manders K (1995) praktik geometris berbasis diagram. Filsafat Praktik Matematika, ed Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), hlm. 65–79. Sarjana Google