Mengikuti Gauss, kami mengenali status "kerajaan" matematika, dan mengingat bahwa perusahaan kami memiliki pusat kompetensi "Dukungan Algoritma", kami sering memiliki materi yang menarik tentang subjek ini: kolega kami menulis artikel mereka sendiri, artikel penulis, lalu, mempelajari yang menarik terjadi dengan rekan-rekan asing, menyiapkan ulasan singkat dan terjemahan artikel pihak ketiga. Ini mungkin akan bermanfaat bagi mereka yang memiliki minat yang sama, jadi kami memutuskan untuk membagikan materi dan pengetahuan ini.
Dalam matematika, sering terjadi bahwa itu adalah hal-hal paling sederhana yang tampaknya diketahui oleh semua orang dan semua orang, seperti bilangan rasional, sangat sulit untuk dipahami. Sebagai contoh, matematikawan telah mencari solusi rasional untuk persamaan Diophantine selama beberapa ratus tahun. Ide-ide yang dipinjam dari fisika membantu untuk lebih dekat dengan menyelesaikan tugas seribu tahun. Memperkenalkan sebuah artikel yang diterbitkan di Majalah Quanta, dengan terjemahan parsial dan tinjauan umum kami.
Minhyun Kim, seorang ahli matematika di University of Oxford, sedang mencoba untuk mencari tahu bilangan rasional mana yang dapat menyelesaikan beberapa jenis persamaan Diophantine. Masalah matematika ini diperkirakan berusia sekitar 3.000 tahun. Karena keputusan rasional tidak mematuhi pola geometris, ini memang tugas yang sulit. Begitu rumit sehingga pada tahun 1986 Gerd Falting menerima Hadiah Bidang hanya karena membuktikan bahwa beberapa kelas persamaan Diophantine memiliki sejumlah solusi rasional. Matematikawan sendiri menyebut terobosan Falting sebagai "bukti tidak efektif" karena tidak menyebutkan jumlah pasti dari solusi rasional dan tidak memungkinkan mereka untuk diidentifikasi.
Kim mencoba melihat bilangan rasional dalam konteks numerik yang diperluas di mana pola-pola tersembunyi mulai muncul. Kim berhasil menemukan konteks semacam itu dalam fisika: menurut ahli matematika, solusi rasional memiliki banyak kesamaan dengan lintasan cahaya. Untuk waktu yang lama Kim ragu apakah ia benar dan bahwa karyanya dapat meyakinkan ilmuwan lain dan baru-baru ini ia memutuskan untuk menyampaikan idenya kepada masyarakat umum. Menurut Kim sendiri, selama 15 tahun ke depan, teori bilangan akan menjadi lebih erat terkait dengan fisika.
Kevin Hartnett , penulis artikel yang diterbitkan di Quanta, menulis:
“Matematikawan sering mengatakan bahwa semakin objek simetris, semakin mudah untuk mempelajarinya. Dengan pemikiran ini, mereka ingin menempatkan studi persamaan diophantine dalam konteks yang lebih simetris daripada yang biasanya muncul masalah. Jika ini dapat dilakukan, seseorang dapat menggunakan simetri yang terdeteksi untuk mencari titik-titik rasional yang diperlukan.
Set angka juga bisa simetris, dan semakin simetris set angka, semakin mudah dipahami: Anda bisa menggunakan hubungan simetris untuk menghitung nilai yang tidak diketahui. Angka yang memiliki jenis hubungan simetris tertentu membentuk "grup", dan Anda dapat menggunakan properti grup untuk memahami semua angka di dalamnya. Tetapi himpunan solusi rasional dari persamaan tidak memiliki simetri dan tidak membentuk kelompok, yang membuat matematikawan sendirian dengan tugas yang mustahil, upaya untuk menemukan semua solusi satu per satu.
Dari tahun 1940-an, matematikawan mulai mengeksplorasi cara menempatkan persamaan Diophantine dalam konteks yang lebih simetris. Claude Chabati menemukan bahwa di dalam ruang geometris yang lebih besar yang ia bangun menggunakan bilangan p-adic, bilangan rasional membentuk subruang simetris mereka sendiri. Dia menggabungkan subruang ini dengan grafik persamaan Diophantine: titik perpotongannya sesuai dengan solusi rasional persamaan.
Pada 1980-an, Robert Coleman melengkapi pekerjaan Chabati. Selama beberapa dekade setelah ini, pendekatan Coleman-Chabati adalah alat terbaik untuk menemukan solusi rasional dari persamaan Diophantine. Namun, ini hanya berfungsi ketika grafik persamaan dalam proporsi tertentu sehubungan dengan ruang yang lebih besar. Ketika proporsi ini tidak memenuhi persyaratan, pencarian titik tepat di mana kurva persamaan berpotongan dengan bilangan rasional menjadi rumit.
Untuk memperluas kerja Chabati, Kim ingin menemukan ruang yang lebih besar di mana persamaan Diophantine dapat ditempatkan. "
Dan di sini Kim menyarankan menggunakan analog dari konsep fisik "ruang-waktu", "ruang ruang":
"Untuk memahami alasannya, pertimbangkan sinar cahaya. Fisikawan percaya bahwa cahaya bergerak melalui ruang multidimensi bidang. Di ruang ini, cahaya akan bergerak di sepanjang jalur yang sesuai dengan prinsip "aksi paling tidak", yaitu, di sepanjang jalur yang meminimalkan waktu yang diperlukan untuk bergerak dari titik A ke titik B. Prinsip ini menjelaskan mengapa cahaya membiaskan ketika bergerak dari satu media ke yang lain: jalur lengkung meminimalkan waktu yang dihabiskan. Ruang ruang yang lebih besar seperti yang ditemukan dalam fisika memiliki simetri tambahan yang tidak ada di semua ruang yang mereka wakili. Simetri ini menarik perhatian ke titik-titik tertentu, menekankan, misalnya, jalan meminimalkan waktu. Dibangun dengan cara yang berbeda atau dalam konteks yang berbeda, simetri yang sama ini dapat ditekankan oleh poin lain, misalnya, poin yang sesuai dengan solusi persamaan yang rasional.
Dalam teori bilangan, ada sesuatu seperti ruang-waktu. Sesuatu ini juga menawarkan berbagai cara untuk membentuk jalur dan membangun ruang dari semua jalur yang mungkin. Kim sedang mengembangkan skema di mana masalah menemukan lintasan cahaya dan menemukan solusi rasional dari persamaan Diophantine adalah wajah dari satu masalah.
Solusi dari persamaan Diophantine membentuk spasi, kurva yang ditentukan oleh persamaan. Kurva ini bisa satu dimensi, seperti lingkaran, atau multidimensi. Misalnya, jika Anda memplot solusi kompleks dari persamaan diophantine x4 + y4 = 1, Anda mendapatkan torus dengan tiga lubang. Titik-titik rasional torus ini tidak memiliki struktur geometris, dan ini membuat pencarian mereka menjadi tugas yang sulit, tetapi mereka dapat berhubungan dengan titik-titik dalam ruang ruang yang lebih multidimensi, yang sudah memiliki struktur tertentu. ”
Sumber