Early Universe 5. Redshift kosmologis dan dinamika semesta yang mengembang seragam, bagian 1

Di situs kuliah gratis, MIT OpenCourseWare memposting kuliah tentang kosmologi Alan Gus, salah satu pencipta model inflasi alam semesta.

Perhatian Anda diundang pada terjemahan ceramah kelima: "Pergeseran merah kosmologis dan dinamika semesta yang meluas seragam, bagian 1".


Hari ini kita menyelesaikan pertimbangan kinematika dari alam semesta yang mengembang secara seragam, yang telah kita diskusikan terakhir kali. Satu-satunya pertanyaan dari topik ini yang belum kita bahas adalah pergeseran merah kosmologis. Kemudian kita beralih ke dinamika ekspansi seragam - bagaimana gravitasi mempengaruhi ekspansi alam semesta. Ini akan menjadi tema utama dari kuliah hari ini dan beberapa kuliah berikutnya.

Waktu kosmologis

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa pada akhir kuliah terakhir kita berbicara tentang sinkronisasi jam dalam sistem koordinat, yang akan kita gunakan untuk menggambarkan alam semesta yang meluas secara seragam. Ingatlah bahwa kami memperkenalkan koordinat yang menyertainya, yang berkembang bersama alam semesta. Kita akan mengasumsikan bahwa alam semesta sepenuhnya homogen dan isotropik, dan semua benda berada dalam sistem koordinat ini.

Di alam semesta nyata, ada beberapa pergerakan materi relatif terhadap sistem koordinat ini, karena alam semesta tidak sepenuhnya homogen. Tetapi sekarang kita akan bekerja dengan perkiraan di mana alam semesta model kita benar-benar homogen dan semua materi bertumpu relatif terhadap sistem koordinat yang berkembang.

Sekarang ingat bagaimana kita menentukan waktu kosmologis pada kuliah terakhir. Bayangkan bahwa pada setiap titik di alam semesta ada jam yang bersandar relatif terhadap materi, dan karenanya sistem koordinat yang meluas yang menyertainya. Semua jam tangan semacam itu mengukur waktu setempat, dan kami ingin menyetujui sinkronisasi mereka. Terakhir kali, kami menemukan bahwa kami dapat menyinkronkan jam jika ada fenomena kosmologis yang dapat dilihat dari mana saja di alam semesta, dan yang berubah seiring waktu. Kami memberikan dua contoh: satu adalah perubahan konstanta Hubble, yang dapat diukur secara lokal dan setuju untuk menyetel jam Anda ke nol ketika konstanta Hubble mengambil nilai tertentu.

Contoh kedua adalah suhu radiasi latar belakang gelombang mikro kosmik. Dalam semesta model kami, Anda dapat menyetujui untuk menyetel jam tangan Anda ke nol ketika suhu radiasi latar kosmik mencapai 5 derajat atau angka tertentu. Jika ada fenomena serupa, dan mereka ada di alam semesta kita, maka Anda dapat menyinkronkan semua jam. Penting untuk dipahami bahwa setelah jam disinkronkan, jam akan tetap disinkronkan karena asumsi keseragaman kami. Artinya, jika semua orang setuju bahwa suhu radiasi latar belakang kosmik pada nol waktu adalah 10 derajat, dan semua orang menunggu 15 menit, maka semua orang akan melihat penurunan suhu yang sama selama periode waktu ini, jika tidak, ini akan melanggar hipotesis kami tentang homogenitas absolut .

SISWA: Benarkah suhu radiasi latar belakangnya sama untuk semua pengamat inersia?

GURU: Tidak persis sama untuk pengamat inersia yang berbeda. Hal ini sama untuk kelas pengamat yang memiliki hak istimewa yang merasa tenang sehubungan dengan distribusi rata-rata materi dan, oleh karena itu, sehubungan dengan sistem koordinat yang menyertainya. Jika Anda mulai bergerak melalui radiasi latar kosmik, maka Anda tidak akan lagi melihat distribusi suhu yang seragam. Anda akan melihat radiasi lebih panas di satu arah dan lebih dingin di sebaliknya. Bahkan, seperti yang saya sebutkan, kita melihat efek ini di alam semesta kita yang sebenarnya. Kita tampaknya bergerak relatif terhadap radiasi latar kosmik, sekitar 1/1000 dari kecepatan cahaya. Jadi suhu radiasi tidak berubah terhadap gerakan pengamat.

Orang mungkin bertanya pertanyaan lain: apakah suhu radiasi latar sama di tempat berbeda di jagad raya yang terlihat? Sejauh yang kami bisa menilai, ya. Ada cara langsung untuk mengukur suhu radiasi latar, yang mungkin akan kita bicarakan nanti, dengan mengamati garis spektrum tertentu di galaksi jauh. Dalam beberapa galaksi di mana garis-garis ini terlihat, suhu radiasi latar gelombang mikro kosmik dapat diukur secara langsung. Dalam model kami, kami mengasumsikan homogenitas lengkap bahwa semuanya sama di mana-mana. Meskipun homogenitas di alam semesta yang sebenarnya tidak lengkap, ada bukti kuat tentang perkiraan homogenitas alam semesta kita.

SISWA: Jika beberapa pengamat tinggal di dekat lubang hitam, apakah ini akan mempengaruhi sinkronisasi jam untuk pengamat seperti itu?

GURU: tentu saja akan. Seseorang dapat menyinkronkan jam secara kosmologis, hanya dengan asumsi bahwa alam semesta benar-benar homogen. Begitu heterogenitas muncul, seperti lubang hitam, atau bahkan hanya bintang seperti Matahari, mereka menciptakan penyimpangan yang mencegah jam dari sinkronisasi satu sama lain. Begitu konsentrasi massa muncul, keseragaman menjadi hanya perkiraan. Tapi penyimpangan ini kecil. Penyimpangan yang timbul dari matahari adalah urutan satu juta. Oleh karena itu, dalam perkiraan yang sangat baik, alam semesta dijelaskan oleh model homogen kami. Meskipun, jika Anda menjadi sangat dekat dengan salah satu lubang hitam supermasif yang terletak di pusat galaksi, ternyata ia memiliki pengaruh yang sangat kuat pada kemajuan jam Anda.

Redshift kosmologis

Topik berikutnya, seperti yang saya janjikan, adalah pergeseran merah kosmologis. Dalam kuliah ketiga, kami berbicara tentang pergeseran Doppler untuk gelombang suara dan pergeseran Doppler relativistik untuk gelombang cahaya, dengan mempertimbangkan teori relativitas khusus. Namun, kosmologi tidak sepenuhnya dijelaskan oleh teori relativitas khusus, meskipun teori relativitas khusus digunakan untuk menggambarkan peristiwa lokal dalam kosmologi. Teori relativitas khusus tidak mencakup efek gravitasi, dan pada skala global, efek gravitasi sangat penting bagi kosmologi. Karena itu, teori relativitas khusus tidak cukup untuk memahami banyak sifat alam semesta, termasuk pergeseran merah kosmologis. Namun, ternyata ada cara untuk menggambarkan pergeseran merah kosmologis, yang menjelaskannya lebih sederhana daripada teori relativitas khusus. Pertama, saya akan menggambarkannya, dan kemudian kita akan berbicara tentang bagaimana hasil yang terlihat sangat sederhana ini dibandingkan dengan kesimpulan dari teori relativitas khusus, yang juga harus benar, setidaknya secara lokal.

Jadi, misalkan kita sedang melihat galaksi yang jauh, dan cahaya dipancarkan oleh sumber yang terletak di galaksi ini. Kami ingin memahami apa hubungan antara frekuensi cahaya dalam radiasi dan frekuensi yang akan kita lihat ketika cahaya diterima.


Untuk membayangkan situasi ini, mari kita perkenalkan sistem koordinat, $$$x$ . Ini akan menjadi sistem koordinat pendamping kami. $$$x$ diukur dalam divisi. Kita akan menempatkan diri kita pada titik asal, dan galaksi yang jauh agak jauh dari kita. Dia memiliki koordinat khusus. $$$l_c$ ( $$$c$ menunjukkan bersamaan). $$$l_c$ Apakah jarak yang menyertainya dari kita ke galaksi. Jarak fisik yang akan kami hubungi $$$l_p$ ( $$$p$ berarti fisik), tergantung pada waktu, karena alam semesta mengembang. Seperti yang kami katakan sebelumnya $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . Faktor skala $$$a (t)$ , yang tergantung pada waktu, dikalikan dengan jarak yang menyertainya, yang tidak tergantung pada waktu. Dengan demikian, jarak fisik meningkat secara proporsional dengan faktor skala $$$a (t)$ .

Anggaplah sekarang bahwa galaksi memancarkan gelombang cahaya, dan kami berusaha menentukan jarak antara puncak gelombang, yang sama dengan panjang gelombang. Karena kami hanya tertarik pada punggungan, kami hanya membayangkan bahwa setiap punggungan adalah dorongan, dan apa yang terjadi di antara mereka tidak menarik bagi kami. Kami akan mengikuti pulsa cahaya berturut-turut yang dipancarkan oleh galaksi.

Penting bagi kita untuk mengetahui model kita bagaimana gelombang cahaya merambat dalam sistem koordinat yang menyertainya. Jika $$$x$ Apakah koordinat terkait, lalu $$$dx / dt$ - Kecepatan cahaya yang menyertainya, yang sama dengan kecepatan cahaya biasa $$$c$ tetapi dibagi oleh faktor skala:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

Faktor skala di sini berperan mengubah meter menjadi divisi. $$$c$ diukur dalam meter per detik. Berbagi $$$c$ pada $$$a (t)$ kita mendapatkan kecepatan cahaya dalam pembagian per detik, seperti yang kita inginkan, karena $$$x$ tidak diukur dalam meter, tetapi dalam divisi. Divisi adalah unit arbitrer yang kami pilih untuk menggambarkan sistem koordinat pendamping kami.

Fitur penting dari persamaan ini adalah bahwa kecepatan cahaya dalam sistem koordinat yang menyertainya tergantung pada waktu, tetapi tidak tergantung pada $$$x$ . Alam semesta kita homogen, jadi semuanya menunjuk $$$x$ setara. Oleh karena itu, pada setiap saat waktu, dua pulsa cahaya akan bergerak dengan kecepatan yang sama, di mana pun mereka berada. Itu yang kita butuhkan. Impuls pertama meninggalkan galaksi yang jauh dan bergerak ke arah kita, impuls kedua mengikuti yang pertama. Impuls kedua setiap saat akan bergerak dengan kecepatan yang sama dengan impuls pertama, bahkan jika kecepatan yang menyertainya berubah seiring waktu.

Ini artinya sebagai berikut. Kecepatan yang menyertai pulsa dapat bervariasi sesuai waktu, tetapi selama keduanya bergerak pada kecepatan yang sama, pada waktu tertentu mereka akan berada pada jarak yang sama satu sama lain dalam sistem koordinat yang menyertainya. $$$Δx$ , jarak yang menyertainya antara dua pulsa tidak berubah seiring waktu. Jika jarak yang menyertainya tidak berubah dengan waktu, dan jarak fisik selalu sama dengan produk dari faktor skala dengan jarak yang menyertainya, maka panjang gelombang fisik dari pulsa cahaya hanya akan ditarik secara proporsional dengan faktor skala. Panjang gelombang akan meningkat seiring dengan perluasan alam semesta, sama seperti jarak lain dalam model alam semesta kita yang akan meningkat dengan perluasan alam semesta. Ini adalah ide kunci, sangat sederhana, dan berisi segalanya.

Itu $$$Δx$ selalu berarti demikian $$$Δl$ jarak fisik proporsional $$$a (t)$ , Yang berarti panjang gelombang cahaya $$$λ$ , sebagai fungsi dari t, adalah proporsional $$$a (t)$ .

Panjang gelombang terkait dengan periode rasio gelombang $$$λ = cΔt$ . Panjang gelombang adalah jarak yang ditempuh gelombang dalam satu periode. Karena itu, jika $$$λ$ proporsional $$$a (t)$ lalu $$$Δt$ , periode gelombang akan proporsional $$$a (t)$ . Oleh karena itu:

$$$$ menampilkan $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {sumber}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {sumber}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {sumber)}} $$ menampilkan $$

.

Jadi rasio panjang gelombang hanyalah berapa kali alam semesta membentang. Itu sama dengan rasio faktor skala pada waktu awal dan akhir. Kami menentukan pergeseran merah menggunakan periode gelombang. Rasio periode, atau rasio panjang gelombang, atau rasio faktor skala, adalah 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {sumber)}}$$

Hubungan pergeseran merah kosmologis dengan teori relativitas khusus
Bagaimana pergeseran merah kosmologis terkait dengan pergeseran merah dari teori relativitas khusus, rumus yang kita peroleh sebelumnya? Hasil kami berbeda dalam dua hal dari perhitungan yang kami lakukan pada kuliah ketiga. Alasan pertama yang penting bagi kami adalah bahwa perhitungan kosmologis memperhitungkan efek akun yang tidak diperhitungkan dengan perhitungan sebelumnya. Secara khusus, terlepas dari kenyataan bahwa kami menerima jawaban menggunakan argumen kinematik yang sangat sederhana, di mana, pada pandangan pertama, praktis tidak ada matematika, itu sebenarnya sangat kuat, karena memperhitungkan tidak hanya teori relativitas khusus, tetapi juga teori umum relativitas. Ini mencakup semua efek gravitasi. Gravitasi tidak memengaruhi fakta bahwa kecepatan cahaya yang menyertainya adalah $$$c / a (t)$ . Ini hanya konversi satuan, bersama dengan asumsi fisik mendasar bahwa kecepatan cahaya selalu sama $$$c$ tentang pengamat.

Karena itu, ketika kita mempertimbangkan gravitasi, rasio ini terus dipertahankan, dan ini adalah satu-satunya hal yang kami gunakan, sehingga gravitasi tidak dapat memengaruhi jawabannya. Sudahkah kita melewatkan sesuatu dari teori relativitas khusus? Saya tidak memperhitungkan pelebaran waktu, yang sangat penting untuk perhitungan pergeseran merah relativistik kami.

Sudahkah saya melakukan kesalahan? Apakah saya perlu menambahkan pelebaran waktu di suatu tempat? Bahkan tidak. Kami memiliki dua jam terlibat dalam perhitungan kami: jam di galaksi dan jam kami, yang kami gunakan untuk mengukur periode radiasi dan periode penerimaan. Tetapi kedua jam tangan ini relatif bersandar pada masalah lokal, meskipun mereka bergerak relatif satu sama lain. Oleh karena itu, menurut definisi, mereka mengukur waktu kosmologis. Waktu kosmologis adalah jenis waktu yang sangat aneh, ini bukan waktu dalam sistem inersia apa pun. Jam bergerak relatif satu sama lain, oleh karena itu, jika kita menentukan waktu dalam sistem inersia, jam seperti itu tidak akan pernah bisa disinkronkan dan waktu tidak akan bersamaan.

Tetapi dalam sistem waktu kosmologis, mereka menunjukkan waktu yang sama. Karena setiap jam diam relatif terhadap masalah lokal, mereka mengukur $$$t$ waktu kosmologis. Jadi, tidak perlu pelebaran waktu. Bukan karena kita melupakannya, itu tidak ada di sana. Itu tidak digunakan dalam perhitungan.

Dengan demikian, hasil yang diperoleh, tidak peduli seberapa sederhana kelihatannya, sebenarnya sepenuhnya mencakup efek dari teori relativitas dan gravitasi. Biarkan saya perhatikan bahwa tidak jelas di mana gravitasi ada di sini. Saya katakan bahwa hasilnya mencakup semua efek gravitasi. Di mana gravitasi tersembunyi? Saya ingin menanyakan pertanyaan ini kepada Anda. Bagaimana gravitasi mempengaruhi perhitungan, walaupun saya tidak menyebutkan gravitasi ketika saya melakukan perhitungan?

SISWA: Melalui faktor skala.

GURU: Benar, melalui faktor skala. Kami belum berbicara tentang cara mengubah $$$a (t)$ . Ubah $$$a (t)$ akan secara eksplisit memasukkan efek gravitasi. Inilah sebabnya mengapa hasil kami tergantung pada gravitasi, meskipun kami tidak perlu menggunakan atau menyebutkan gravitasi untuk mendapatkan jawaban. Jawaban untuk pergeseran merah kosmologis sangat sederhana karena $$$a (t)$ sudah termasuk banyak informasi. Kami hanya memanfaatkan ini untuk mendapatkan ekspresi yang sangat sederhana tergantung pada $$$a (t)$ tanpa mengatakan apa pun tentang bagaimana kami akan menghitung $$$a (t)$ . Ini perbedaan pertama.

Perbedaan penting lainnya antara kedua perhitungan adalah variabel yang digunakan dalam jawaban. Mungkin ada beberapa jawaban berbeda untuk pertanyaan yang sama, tergantung pada variabel mana yang digunakan. Dalam hal ini, kami menyatakan pergeseran merah $$$z$ untuk benda yang berada dalam sistem koordinat yang menyertainya. Perhitungan dalam teori relativitas khusus, di sisi lain, memberikan z tergantung pada kecepatan yang diukur dalam sistem koordinat inersia. Dengan demikian, hasilnya dinyatakan dalam istilah yang sama sekali berbeda.

Apa yang terjadi jika kita mencoba membandingkan jawaban yang kita terima untuk pergeseran merah relativistik dan kosmologis? Hanya ada satu kasus di mana mereka sah untuk dibandingkan. Karena perhitungan yang baru saja kita buat mencakup efek gravitasi, dan perhitungan menggunakan teori relativitas khusus tidak mencakup efek gravitasi, satu-satunya kasus di mana kita dapat membandingkannya dan memastikan bahwa keduanya bertepatan dengan kasus ketika gravitasi diabaikan.

Kita dapat mempertimbangkan model kosmologis, di mana gravitasi kecil, tidak ada kontradiksi dalam hal ini. Jika gravitasi dapat diabaikan, bagaimana perilakunya $$$a (t)$ ? Jika tidak ada gravitasi, $$$a (t)$ harus bergantung secara linear $$$t$ . Ini berarti bahwa semua kecepatan adalah konstan. Jadi, dalam kasus khusus tidak adanya gravitasi, $$$a (t)$ tumbuh secara linear seiring waktu. Dalam hal ini, Anda selalu dapat memastikan bahwa konstanta yang ditambahkan ke istilah linear menjadi nol, hanya menetapkan nol waktu pada saat $$$a (t)$ sama dengan nol. Jadi, dengan tidak adanya gravitasi, kita dapat mengatakan itu $$$a (t)$ harus proporsional dengan t.

Maka untuk kasus khusus ini, dua perhitungan kita harus bertepatan. Anda bisa memeriksanya sendiri. Ini tidak begitu sederhana, untuk ini Anda perlu memahami hubungan antara kedua sistem koordinat. Jawaban untuk teori relativitas khusus diberikan dalam sistem koordinat inersia, yang di hadapan gravitasi tidak ada sama sekali. Ini terhubung dengan sistem koordinat yang berkembang dengan cara yang kompleks, karena pelebaran waktu dan kontraksi Lorentz yang terkait dengan gerakan yang terjadi di alam semesta yang mengembang.

Anda perlu mengetahui hubungan antara kedua sistem koordinat ini. Ketika Anda melakukan ini dan membandingkan jawaban, Anda akan menemukan bahwa mereka benar-benar cocok. Semua ini sangat sesuai dengan teori relativitas khusus, khususnya ketika gravitasi tidak ada.

Newton dan Static Universe

Kami membahas segala sesuatu yang ingin saya ceritakan tentang kinematika dari alam semesta yang mengembang secara seragam, sekarang kami siap untuk beralih ke dinamika. Kita perlu mencari tahu bagaimana gravitasi mempengaruhi alam semesta agar dapat menghitung caranya$$$a(t)$berubah seiring waktu. Ini akan menjadi satu-satunya tujuan untuk memahami perilaku tersebut.$$$a(t)$ .

Pertanyaan ini, dalam arti tertentu, kembali ke Isaac Newton. Saya ingin mencatat bahwa salah satu hal yang menarik dalam kosmologi adalah, jika Anda melihat sejarah kosmologi, banyak fisikawan hebat membuat kesalahan besar dengan mencoba menganalisis masalah kosmologis. Hari ini kita akan membahas salah satu kesalahan Newton. Bahkan fisikawan hebat seperti Newton bisa membuat kesalahan bodoh. Dia benar-benar membuat kesalahan bodoh dalam menganalisis konsekuensi kosmologis dari teorinya tentang gravitasi.

Newton, seperti semua orang sebelum Hubble, percaya bahwa alam semesta itu statis. Dia mewakili alam semesta sebagai distribusi statis bintang yang tersebar di ruang angkasa. Pada awal karirnya, sejauh yang saya tahu sejarah, ia berasumsi bahwa distribusi bintang terbatas dalam ruang tanpa batas. Tetapi pada titik tertentu, ia menyadari bahwa jika ada distribusi massa yang terbatas di ruang kosong, dan semua zat itu saling tertarik dengan kekuatan yang menarik berbanding terbalik dengan kuadrat jarak, yang ia tahu, sejak ia membukanya, akibatnya, semuanya harus dikompresi menjadi titik. Dia memutuskan bahwa asumsinya tidak bekerja, tetapi tetap dia yakin bahwa alam semesta itu statis, karena semuanya tampak statis, bintang-bintang tidak bergerak kemana-mana.

Jadi dia bertanya-tanya apa yang bisa diubah, dan memutuskan bahwa alih-alih mengasumsikan bahwa bintang-bintang membentuk distribusi terbatas, lebih baik untuk mengasumsikan bahwa mereka didistribusikan secara tak terbatas di ruang angkasa. Dia beralasan sebagai berikut, dan inilah tepatnya kesalahan bahwa jika bintang-bintang mengisi ruang tanpa batas, maka bahkan jika mereka semua menarik satu sama lain, mereka tidak akan memiliki arah yang disukai untuk bergerak. Karena mereka tidak akan memiliki arah pergerakan yang disukai, karena mereka tertarik oleh semua pihak, mereka tetap di tempatnya. Dengan demikian, ia percaya bahwa distribusi materi yang tak terbatas dan seragam akan stabil, bahwa tidak akan ada gaya gravitasi yang muncul dalam distribusi massa yang tak terbatas.

Dia rupanya mendengar berbagai argumen yang mendukung ini. Salah satu argumen bahwa distribusi tak hingga akan stabil adalah argumen bahwa gaya tak terbatas menariknya ke kanan dan gaya tak terbatas menariknya ke aksi kiri pada partikel. Karena keduanya tidak terbatas, mereka menetralkan satu sama lain. Newton tidak menerima argumen ini. Ia cukup canggih untuk memahami bahwa tak terhingga minus tak terhingga belum tentu nol. Namun, Newton yakin bahwa distribusi massa tak terbatas akan stabil.

Argumen yang meyakinkannya bukanlah ketidakterbatasan materi di setiap sisi, tetapi simetri. Argumen yang ia ambil adalah bahwa jika Anda melihat suatu titik dari distribusi tanpa batas ini, jika Anda melihat di sekitar titik ini, semua arah akan terlihat sama, dengan substansi meluas hingga tak terbatas, dan karena itu tidak akan ada arah di mana gaya harus bertindak atas partikel tertentu. Dan jika gaya tidak memiliki arah, itu harus nol. Ini adalah argumen yang diambil Newton.

Sekarang kita akan membahas ini secara lebih rinci dan mencoba memahami bagaimana para sarjana modern berhubungan dengan argumen ini. Ngomong-ngomong, saya ingin menyebutkan fakta sejarah. Argumen Newton, sejauh yang saya tahu, belum dipertanyakan oleh siapa pun selama ratusan tahun, hingga Albert Einstein. Albert Einstein, yang mencoba menggambarkan kosmologi menggunakan teori relativitas umum yang baru, adalah orang pertama yang menyadari bahwa bahkan jika Anda memiliki distribusi massa yang tak terbatas, itu akan runtuh. Einstein menyadari bahwa hal yang sama akan terjadi dalam fisika Newton, ini bukan fitur dari teori relativitas umum. Itu hanya secara historis diperlukan penciptaan teori relativitas umum untuk membuat orang memikirkan kembali dan memahami bahwa Newton salah.

Ketidakmungkinan alam semesta statis

Kesulitan mencoba menganalisis masalah dengan cara Newton lakukan adalah bahwa Newton memandang gravitasi sebagai gaya yang bekerja pada jarak. Jika kita memiliki dua objek yang terletak di kejauhan$$$r$ terpisah, mereka akan menarik satu sama lain dengan kekuatan yang proporsional $$$1/r^2$ .Sejak zaman Newton, cara lain untuk menggambarkan gravitasi Newton telah ditemukan yang membuat situasinya jauh lebih jelas. Kesulitan dalam menggunakan deskripsi Newton adalah jika kita mencoba menambahkan semua gaya ini secara proporsional$$$1/r^2$, kita mendapatkan jumlah yang berbeda, interpretasi yang perlu kita pahami. Tetapi untuk memahami bahwa Newton salah, paling mudah untuk melihat formulasi gravitasi Newton yang lain. Saya akan menjelaskan dua di antaranya, yang keduanya mungkin sudah Anda kenal.

Saya akan menggambarkan yang pertama dengan analogi dengan hukum Coulomb. Hukum Coulomb memang sama dengan hukum gravitasi. Hukum Coulomb menyatakan bahwa setiap partikel bermuatan menciptakan medan listrik yang sama dengan muatan dibagi dengan jarak kuadrat dan dikalikan dengan vektor satuan yang diarahkan dari muatan.

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

Ini adalah hukum Coulomb. Terkadang memiliki konstanta, tergantung pada unit mana yang diukur$$$q$tetapi itu tidak penting bagi kami. Saya berasumsi bahwa kita menggunakan persamaan ini, di mana konstanta adalah 1.

Seperti yang Anda tahu, dari hukum Coulomb Anda bisa mendapatkan hukum Gauss . Jika hukum Coulomb benar, maka kita dapat dengan pasti mengatakan apa yang tidak terpisahkan dari fluks medan listrik pada permukaan tertutup. Ini sebanding dengan jumlah total muatan di dalam permukaan.

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

dimana $$$q_{}$sama dengan jumlah total muatan di dalam permukaan tertutup.

Anda dapat menuliskan hukum gravitasi Newton, hampir dengan cara yang sama seperti yang dirumuskan Newton. Anda dapat mengekspresikan percepatan gravitasi pada jarak tertentu dari objek:

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

Ini adalah hukum kuadrat terbalik yang sama dan mirip dengan hukum Coulomb, kecuali konstanta di awal. Konstanta memiliki tanda sebaliknya, yang penting dalam beberapa kasus, tetapi tidak sekarang. Yang penting adalah bahwa persamaan ini dapat dirumuskan ulang sebagai hukum Gauss, dan itu disebut hukum gravitasi Gaussian. Satu-satunya cara berbeda adalah konstan di depan:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

Sekarang mari kita ambil distribusi materi yang seragam yang dipertimbangkan Newton. Newton berpendapat bahwa adalah mungkin untuk mengambil distribusi materi yang homogen yang mengisi semua ruang tanpa batas, dan itu akan menjadi statis, yaitu, tidak akan ada percepatan. Kurangnya akselerasi dalam bahasa Newton berarti itu$$$\vec g$harus di mana-mana nol. Tetapi dari rumus terakhir itu mengikuti bahwa jika$$$\vec g$ di mana-mana sama dengan nol, maka integral dari $$$\vec g$di atas permukaan tertutup juga akan sama dengan nol, dan oleh karena itu, total massa yang tertutup di dalam permukaan ini juga harus sama dengan nol. Tetapi jika kita memiliki distribusi massa yang seragam, maka total massa tertutup, tentu saja, tidak akan nol untuk setiap volume yang bukan nol. Dengan demikian, jelas bahwa pernyataan bahwa sistem itu statis secara langsung bertentangan dengan rumusan hukum gravitasi Gauss Newton.

Hanya untuk bersenang-senang, saya akan memberikan argumen lain yang serupa, menggunakan formulasi gravitasi Newton yang lebih modern. Jika Anda belum bertemu dengannya dan tidak mengerti apa yang saya bicarakan, jangan khawatir, ini tidak begitu penting. Bagi Anda yang mengenalnya, saya akan membawanya. Cara lain untuk merumuskan gravitasi Newton adalah dengan memperkenalkan potensi gravitasi. Saya akan menggunakan surat itu$$$φ$untuk potensi gravitasi. Ini terkait dengan percepatan gravitasi sebagai berikut:$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ dimana $$→∇ φ$\vec ∇φ$Merupakan gradien $$$φ$ . Gradien $$φ sama dengan vektor satuan$φ$$$Aku ke arah x dikalikan dengan turunan dari$\hat i$$$φ oleh$φ$$$x , ditambah vektor satuan$x$$$J ke arah sumbu y, dikalikan dengan turunan dari$\hat j$$$φ oleh$φ$$$y , ditambah vektor satuan$y$$$K dikalikan dengan turunan dari$\hat k$$$φ oleh$φ$$$$z$ :

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

Setelah kita menentukan potensi gravitasi, kita dapat menulis bentuk diferensial dari hukum Gauss, yang menjadi persamaan Poisson. Klaim itu

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

di mana ρ adalah kepadatan massa, dan $$$∇^2φ$ didefinisikan sebagai turunan kedua dari $$$φ$ oleh $$$x$ , ditambah turunan kedua dari $$$φ$ oleh $$$y$ , ditambah turunan kedua dari $$$φ$ oleh $$$z$ :

$$$$ menampilkan $$ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial y ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 φ} {\ partial z ^ 2} $$ menampilkan $$

Ini disebut persamaan Poisson. Jika kepadatan massa diberikan, maka Anda dapat menemukan potensi gravitasi, maka Anda dapat menghitung gradiennya, dan temukan $$$\ vec g$ . Ini setara dengan formulasi gravitasi lainnya. Tetapi ini memberi kita tes lain dari pernyataan Newton bahwa ada distribusi materi yang seragam tanpa gaya gravitasi. Jika tidak ada gaya gravitasi, maka $$$\ vec g$ harus nol, seperti yang kami katakan semenit yang lalu. Dan dari kenyataan itu $$$\ vec g$ sama dengan nol, maka gradien $$$φ$ sama dengan nol.

Jika Anda melihat rumus gradien, maka ini adalah vektor. Untuk vektor nol, masing-masing dari tiga komponennya harus sama dengan nol, dan, karenanya, turunan dari $$$φ$ oleh $$$x$ turunan dari $$$φ$ oleh $$$y$ turunan dari $$$φ$ oleh $$$z$ akan hilang. Ini artinya $$$φ$ harus konstan di mana-mana, tidak memiliki turunan sehubungan dengan koordinat spasial. Karena itu, jika $$$\ vec g$ sama dengan nol maka gradien $$$φ$ sama dengan nol dan $$$φ$ adalah konstan di semua ruang. Jika $$$φ$ itu konstan di mana-mana, yang terjadi tanpa adanya gravitasi, maka segera jelas itu $$$∇ ^ 2φ$ harus sama dengan nol, yang berarti ρ harus sama dengan nol, yaitu, tidak akan ada kepadatan massa. Tetapi Newton menginginkan kepadatan massa yang tidak nol, suatu zat yang terdistribusi secara seragam di ruang tak terbatas. Ini adalah demonstrasi lain bahwa argumen Newton salah.

Integral konvergen bersyarat

Jadi, kami sampai pada kesimpulan bahwa Newton salah, tetapi kita perlu lebih hati-hati menganalisis argumen Newton untuk memahami dengan tepat di mana dia membuat kesalahan. Hal berikutnya yang ingin saya diskusikan adalah ambiguitas yang terkait dengan penambahan gaya gravitasi Newton untuk alam semesta tanpa batas. Saya menyebutkan bahwa masalah sebenarnya dengan perhitungan Newton adalah bahwa jumlah yang dia hitung berbeda, dan Anda harus berhati-hati ketika mencoba menghitungnya.

Untuk memperjelas ini, saya ingin memulai dengan contoh integral yang memberikan nilai ambigu. Saya akan memperkenalkan beberapa konsep matematika. Mari kita bayangkan bahwa kita memiliki fungsi sewenang-wenang $$$f (x)$ dimana $$$x$ hanya akan menjadi satu variabel.

Kami akan menggeneralisasikannya menjadi tiga dimensi, yang menarik minat kami, tetapi kami akan mulai dengan satu variabel. Jika kita memiliki fungsi $$$f (x)$ , kita dapat mempertimbangkan integral dari minus tak terhingga ke tak terhingga dari $$$f (x)$ Saya akan memanggilnya $$$I_1$ :

$$

$$I_1 = \ int \ limit _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

Ini adalah integral yang diperoleh dengan menambahkan semua gaya gravitasi yang bekerja pada tubuh. Sekarang saya ingin mempertimbangkan kasusnya kapan $$$I_1$ terbatas.

Saya harus terlebih dahulu menentukan dengan lebih akurat apa yang saya maksud dengan $$$I_1$ , integral dari minus hingga plus infinity. Kita dapat mendefinisikan integral dari minus tak terhingga ke tak terhingga sebagai batas integral dari $$$-L$ sebelumnya $$$L$ dari $$$f (x)$ dimana $$$L$ cenderung tak terhingga:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ to \ infty} \ int \ limit _ {- L} ^ Lf (x) dx$$

Kita perlu menghitung integral dari $$$-L$ sebelumnya $$$L$ . Jika kita menganggap itu $$$f (x)$ terbatas, integral juga selalu terbatas. Saya akan menganggap bahwa fungsinya sendiri $$$f (x)$ terbatas, kita hanya akan khawatir tentang konvergensi integral $$$L$ cenderung tak terhingga. Jadi untuk yang diberikan $$$L$ integral adalah semacam nomor. Maka orang mungkin bertanya-tanya apakah angka ini cenderung ke batas kapan $$$L$ cenderung tak terhingga? Jika demikian, maka kita akan menyebutnya nilainya $$$I_1$ . Ini hanya definisi dari apa yang kita maksudkan dengan integral dari minus infinity ke infinity.

Sekarang perhatikan kasus ketika nilai ini ada, kapan $$$I_1$ kurang tak terhingga, yaitu memiliki beberapa nilai terbatas. Tapi saya ingin juga mempertimbangkan integral, yang akan saya sebut $$$I_2$ , yang juga didefinisikan sebagai integral dari minus tak terhingga ke tak terhingga tetapi dari nilai absolut $$$f (x)$ :

$$

$$I_2 = \ int \ Limit _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

Sekarang sedikit terminologi. Jika $$$I_2$ kurang tanpa batas, jika konvergen, maka $$$I_1$ disebut sangat konvergen . Konvergen absolut berarti bahwa integral bertemu, bahkan jika nilai absolut dari fungsi tersebut digunakan. Sebaliknya, jika $$$I_2$ menyimpang, tetapi pada saat yang sama $$$I_1$ bertemu kemudian $$$I_1$ disebut konvergen bersyarat . Jadi, jika integral dari suatu fungsi bertemu, tetapi integral dari nilai absolut dari fungsi yang sama tidak konvergen, maka kasus ini disebut konvergensi kondisional.

Alasan pemisahan ini adalah bahwa integral konvergen bersyarat sangat berbahaya. Mereka berbahaya karena tidak terdefinisi dengan baik. Anda bisa mendapatkan nilai apa pun yang kami inginkan dengan menambahkan integrand dalam urutan yang berbeda. Selama kita mematuhi tatanan tertentu, yang tersirat dalam simbol integral, kita mendapatkan jawaban yang unik. Tetapi, jika, misalnya, kita hanya memindahkan awal dari integrasi, kita bisa mendapatkan jawaban yang berbeda. Biasanya kita tidak mengharapkan ini. Biasanya kita hanya berintegrasi di sepanjang garis bilangan, di mana pun kita mulai menghitung integral. Dengan demikian, hasilnya menjadi kurang didefinisikan ketika kita bekerja dengan integral konvergen bersyarat.

Sebelum beralih ke integral spesifik yang menarik minat kita, dengan bantuan yang akan kita coba tambahkan gaya gravitasi dari distribusi materi yang tak terbatas, saya akan memberikan contoh fungsi yang sangat sederhana yang menggambarkan ambiguitas ini ketika integral bertemu, tetapi tidak secara absolut bertemu. Anda bisa mendapatkan jawaban yang kami inginkan dengan menambahkan bagian-bagian yang tidak terpisahkan dalam urutan yang berbeda. Contoh yang akan saya pertimbangkan adalah fungsi f (x), yaitu +1 jika x> 0 dan -1 jika x <0. Saya tidak menunjukkan apa yang sama dengan jika x = 0, ini tidak masalah selama integrasi. Satu poin saja tidak masalah. Anda dapat mengambil nilai apa pun untuk fungsi dengan x = 0, ini tidak akan mengubah apa pun.

Jika kita mengintegrasikannya secara simetris, mengikuti definisi yang kita maksud dengan integrasi dari minus tak terhingga ke tak terhingga, kita mendapatkan pengurangan total.

Ketika kami mengintegrasikan dari $$$-L$ sebelumnya $$$L$ , kami mendapatkan nol karena ada pengurangan lengkap antara bagian negatif dan bagian positif dari integral. Lalu, jika Anda mengambil batas, kapan $$$L$ cenderung tak terhingga, batas nol akan menjadi nol. Tidak ada ambiguitas dalam pernyataan ini.

Jadi, dengan menambahkan bagian-bagian integral dalam urutan yang ditunjukkan, kita mendapatkan integral, yang sama dengan nol. Tetapi hasilnya tergantung pada urutan penempatan bagian-bagian ini. Secara khusus, jika kita hanya mengubah awal integrasi, mulai menjauh dari awal yang baru, kita akan mendapatkan jawaban yang berbeda. Mari kita tengok batasnya lagi kapan $$$L$ cenderung tak terhingga, tetapi bukannya berintegrasi dari $$$-L$ sebelumnya $$$L$ kami akan mengintegrasikan dari $$$a-l$ sebelumnya $$$a + L$ .

Ini sebenarnya integral yang sama, kami hanya menggeser ke kanan mulai integrasi kami. Dalam kasus tertentu $$$a$ sama dengan nol, dan kami mendapatkan yang sama seperti sebelumnya, tetapi jika $$$a$ tidak sama dengan nol, ini berarti integral kami dihitung mulai dari $$$x = a$ bukan dari $$$x = 0$ .

Pertama kita harus menghitung integral dari $$$a-l$ sebelumnya $$$a + L$ dan kemudian ambil batasnya kapan $$$L$ berjuang untuk yang tak terbatas, dan lihat apa yang kita dapatkan.

Sangat mudah untuk memahami apa yang kita dapatkan. Begitu $$$L$ semakin besar $$$a$ , jawabannya tidak lagi berubah dengan bertambahnya $$$L$ . Ketika kita meningkat $$$L$ , kami menambahkan beberapa bagian negatif di sebelah kiri, dan bagian positif yang sama di sebelah kanan, dan mereka menetralisir satu sama lain. Kapan $$$L = a$ , integral akan dari 0 hingga 2 $$$a$ . Dalam integral hanya akan ada nilai-nilai positif dari fungsi, interval integrasi akan menjadi 2 $$$a$ , ini berarti bahwa integral akan menjadi 2 $$$a$ . Untuk nilai besar apa pun $$$L$ integral akan sama karena, seperti $$$L$ seperti yang saya katakan, kami hanya memotong menambahkan nilai-nilai positif di sebelah kanan dan nilai-nilai negatif di sebelah kiri. Oleh karena itu, batas dalam integrasi ini memiliki nilai yang pasti, yang sama dengan 2 $$$a$ .

$$$a$ - ini adalah nomor dari mana kami memulai integrasi, jadi itu bisa apa saja. Kita bisa memilih $$$a$ seperti yang kita inginkan. Dengan demikian, kita dapat memperoleh jawaban apa pun yang kita inginkan jika kita dapat menambahkan bagian-bagian integral dalam urutan yang sewenang-wenang. Ini adalah ketidakpastian mendasar integral integral yang bersyarat. Kita akan melihat bahwa suatu usaha untuk menjumlahkan gaya-gaya yang bekerja pada suatu partikel dalam suatu distribusi massa yang tak terbatas adalah suatu integral konvergen yang bersyarat. Karena itu, kita dapat memperoleh jawaban apa pun yang kita inginkan, dan itu tidak akan berarti apa-apa kecuali Anda melakukannya dengan sangat hati-hati.

Masalah penambahan gaya gravitasi

Sekarang saya ingin menghitung gaya yang bekerja pada partikel dalam distribusi materi yang tak terbatas dan menunjukkan bahwa saya bisa mendapatkan jawaban yang berbeda, tergantung pada urutan di mana saya akan menambahkan gaya gravitasi. Dalam setiap contoh, saya akan menambah kekuatan dalam urutan tertentu dan saya akan mendapatkan jawaban tertentu, namun saya akan mendapatkan jawaban yang berbeda, tergantung pada urutan penambahan yang saya pilih.

Mari kita coba hitung gaya gravitasi di beberapa titik $$$P$ dalam distribusi materi yang tak terbatas. Zat mengisi slide, dan seluruh ruang, hingga tak terbatas. Kami akan menambahkan kontribusi gravitasi dari semua bahan ini dalam urutan tertentu.

Dalam perhitungan pertama kami, kami menambahkan gaya gravitasi dari suatu zat yang terletak di kulit konsentris yang berpusat pada suatu titik $$$P$ . Pertama kita ambil kulit paling dalam, lalu kulit kedua, kulit ketiga, dll. pergi lebih jauh dari pusat. Dalam hal ini, mudah dipahami bahwa gaya bekerja pada titik $$$P$ dihitung dalam urutan ini adalah 0, karena untuk setiap shell $$$P$ terletak di tengah, dan karena pertimbangan simetri, gaya harus dikompensasi. Faktanya, hal ini diketahui, dan kami akan segera mengambil keuntungan dari fakta ini bahwa medan gravitasi dari shell di dalam shell adalah nol. Ini dibuktikan oleh Newton. Dan di luar cangkang, medan gravitasi tampak persis seolah-olah semua bahan cangkang terkonsentrasi di tengahnya. Jelas bahwa dalam hal ini gaya gravitasi pada titik tersebut $$$P$ sama dengan 0.

Sekarang kita akan mempertimbangkan kasus yang lebih kompleks, di mana kita juga menghitung gaya gravitasi pada suatu titik $$$P$ . Tapi kita akan menggunakan kerang bulat yang berpusat di sekitar titik lain, $$$Q$ . Sekarang $$$Q$ mendefinisikan cangkang yang akan kita gunakan untuk menambah kekuatan. Kami juga akan menambahkan kekuatan dari semua shell dari nol hingga tak terbatas, mis. menjumlahkan semua kekuatan pada titik tersebut $$$P$ dari semua distribusi materi yang tak terbatas. Tapi kami akan menambahkan kekuatan-kekuatan ini dalam urutan yang berbeda, karena kami akan mengambil agar shell terpusat di $$$Q$ . Pertama kita melihat kontribusi dari area yang diarsir, yang merupakan semua cangkang di sekitarnya $$$Q$ memiliki jari-jari kurang dari jarak dari $$$Q$ sebelumnya $$$P$ . Untuk semua kerang ini, intinya $$$P$ terletak di luar cangkang. Oleh karena itu, setiap shell bekerja dengan cara yang persis sama dengan massa titik yang sama dengan massa total shell yang terkonsentrasi pada suatu titik $$$Q$ , pusat semua kerang. Dengan demikian, substansi yang ada di wilayah teduh berkontribusi pada gaya pada titik tersebut $$$P$ sama dengan gaya yang dihasilkan oleh massa yang diarsir jika semuanya terkonsentrasi pada suatu titik $$$Q$ .

Di sisi lain, semua cangkang lain akan menjadi cangkang untuk itu $$$P$ terletak di dalam. $$$P$ tidak lagi di tengah kerang ini, tetapi Newton menemukan bahwa itu tidak masalah. Di dalam cangkang bola, gaya gravitasi adalah nol di sembarang tempat, terlepas dari seberapa dekat itu dengan batas. Semua kekuatan dari berbagai bagian shell dikompensasi secara tepat. Jika kita mendekati perbatasan, kita dapat mengasumsikan bahwa akan ada daya tarik ke arah perbatasan ini. Memang, dalam hal ini, gaya tarik ke partikel tertentu pada batas ini menjadi lebih kuat, karena proporsional $$$1 / r ^ 2$ . Tetapi ketika kita mendekati perbatasan, semakin banyak substansi di sisi yang berlawanan. Dan dua efek ini benar-benar membatalkan satu sama lain. Omong-omong, fakta bahwa gaya yang bekerja pada partikel di dalam cangkang adalah nol dapat dengan mudah dibuktikan menggunakan hukum Gauss untuk gravitasi.

Karena itu, kulit luarnya tidak berkontribusi. Kami menemukan kekuatan pada titik tersebut $$$P$ sama dengan gaya yang diciptakan oleh massa yang diarsir. Akselerasi gravitasi pada suatu titik $$$P$ ditentukan oleh rumus sederhana: itu sama dengan G kali total massa area yang diarsir dibagi dengan $$$b ^ 2$ dimana $$$b$ sama dengan jarak antar $$$Q$ dan $$$P$ , dan dikalikan dengan vektor satuan yang diarahkan dari $$$Q$ selain itu $$$P$ :

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

Dan ini adalah nilai bukan nol. Dengan demikian, kita mendapatkan hasil nol atau non-nol tergantung pada urutan di mana kita menjumlahkan kekuatan dari distribusi materi kita yang tak terbatas. Selain itu, kami dapat memperoleh jawaban, karena kami dapat memilih $$$b$ terserahlah. Jawabannya tergantung pada $$$b$ dan menjadi besar secara sewenang-wenang saat tumbuh $$$b$ . Tampaknya responsnya menurun dengan meningkatnya $$$b$ tetapi sebenarnya itu tumbuh sebagai massa $$$M$ tumbuh seperti $$$b ^ 3$ . Kita bisa mendapatkan kekuatan ke segala arah dengan memilih $$$Q$ ke arah yang benar dari $$$P$ . Memang, kita bisa mendapatkan jawaban apa pun dengan menggunakan metode penambahan kekuatan ini.

Masalahnya adalah bahwa cangkang ini sebenarnya tidak ada. Kami hanya secara mental bekerja dengan kerang ini. Substansi didistribusikan secara merata dan tidak ada cangkang. Kerang adalah benda mental murni yang seharusnya tidak memengaruhi respons. Mereka hanya menentukan urutan di mana kita merangkum gaya gravitasi.