Modulasi amplitudo dari sinyal arbitrer

Seperti yang Anda ketahui, AM adalah jenis modulasi di mana amplitudo dari sinyal pembawa berubah sesuai dengan hukum sinyal (informasi) sinyal. Ada banyak sumber dengan deskripsi teoritis dan praktis tentang AM. Deskripsi diberikan, pertama-tama, untuk menunjukkan komposisi frekuensi dari sinyal AM. Sebagai sinyal modulasi, sinyal nada tunggal biasanya dipertimbangkan. Sinyal ini diatur oleh fungsi sinus sederhana. Mereka selalu bertanya kepada saya, dan saya bertanya-tanya bagaimana menggambarkan AM jika ada sinyal yang berubah-ubah sebagai sinyal modulasi. Ini adalah sinyal arbitrer, spektrum frekuensi yang terdiri dari banyak komponen, yang menarik, karena AM digunakan dalam penyiaran untuk mengirimkan suara.

Mari kita coba menggambarkan AM untuk kasus di atas, dengan mempertimbangkan bahwa sinyal modulasi dapat direpresentasikan sebagai jumlah terus menerus dari sinyal nada tunggal sederhana dari frekuensi yang berbeda dengan amplitudo dan fase yang berbeda. Tanpa masuk ke seluk-beluk analisis matematika, sinyal ini dapat ditulis sebagai jumlah yang berkelanjutan (Fourier integral):

$$

$$S (t) = \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

dimana $$$m$ - batas atas frekuensi sinyal (pita sinyal modulasi), $$$f$ Apakah variabel integrasi bertanggung jawab atas frekuensi, dan $$$f \ in (0; m]$ . Fungsi $$$A (f)$ dan $$$\ varphi (f)$ - amplitudo dan fase komponen sinyal pada frekuensi $$$f$ .

Integand formula ini adalah yang disebut konvolusi trigonometri ke dalam bentuk fase-amplitudo dari istilah deret Fourier di mana sinyal dapat diperluas. Integral dalam (1) dapat disebut integral Fourier, karena, pada kenyataannya, itu adalah jumlah yang berkesinambungan, yaitu seri Fourier kontinu di mana sinyal aslinya terurai. Perluasan sinyal dalam seri yang sama memberikan gambaran komposisi frekuensi sinyal ini. Dengan demikian, sinyal modulasi awal disajikan sebagai jumlah sinusoid yang terus menerus (dalam hal ini, untuk kenyamanan, $$$cos$ ) berbagai frekuensi $$$f$ dari $$$0$ sebelumnya $$$m$ , masing-masing memiliki amplitudo sendiri $$$A (f)$ pergeseran fase $$$\ varphi (f)$ . Fungsi $$$A (f)$ mewakili spektrum frekuensi dari sinyal asli $$$S (t)$ .

Perlu dicatat bahwa sinyal dipertimbangkan untuk jangka waktu terbatas. $$$t \ in [0; t_0]$ . Secara umum, ketika datang ke sinyal audio, maka, sebagai suatu peraturan, spektrum frekuensi masuk akal untuk mempertimbangkan fragmen sinyal yang sangat pendek. Jelas, semakin lama durasi sinyal, semakin banyak komponen frekuensi rendah (mendekati nol) akan muncul dalam komposisi spektral, yang tidak dapat dibandingkan dengan frekuensi suara dalam rentang yang dapat didengar.

Selain sinyal modulasi, ada sinyal nada, yang merupakan osilasi pembawa dengan frekuensi $$$f_c$ amplitudo $$$C$ dan nol fase awal:

$$

$$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

apalagi $$$f_c \ gg m$ . Memang, dalam penyiaran, frekuensi pembawa jauh lebih besar dari bandwidth sinyal yang ditransmisikan.

Sekarang kita beralih langsung ke proses modulasi amplitudo.

Sinyal AM diketahui $$$S_ {AM}$ ada hasil mengalikan sinyal pembawa dan sinyal modulasi, yang sebelumnya bias dan "diindeks" oleh indeks modulasi $$$k$ , yaitu

$$

$$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

Untuk menghindari overmodulation $$$k \ in (0; 1)$ .

Kami mengganti data awal (1) dan (2) ke dalam ekspresi (3), buka tanda kurung, masukkan ke dalam integral independen dari variabel integrasi $$$f$ beberapa faktor:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Besar (1 + k \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Besar) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df.$$

Kami menerapkan rumus trigonometri sekolah yang terkenal untuk mengubah produk untuk fungsi integrand:

$$

$$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Besar (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Besar).$$

Formula ini adalah kunci dalam AM dan menekankan ini "dua sisi" yang sama dalam komposisi spektral sinyal AM.

Melanjutkan kesetaraan, kami membagi integral dari jumlah yang dihasilkan ke dalam jumlah dari dua integral, memperluas kurung dan mengambil kurung faktor yang diperlukan dalam argumen fungsi:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Besar (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi ( f)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Besar) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ frac12kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df.$$

Tiga istilah yang dihasilkan masing-masing mewakili, seperti dapat dilihat dari persamaan, sinyal pembawa, sinyal dari sisi "bawah" dan "atas". Sebelum memberikan penjelasan konkret, kami melanjutkan kesetaraan dengan menerapkan metode penggantian variabel dalam konfigurasi berikut:

$$

$$\ begin {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

Kami akan menggunakan pengganti ini:

$$

$$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ limit_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ limit_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

Dengan menukar batas-batas integrasi pada integral pertama (sebagai akibatnya tanda di depan integral akan berubah menjadi kebalikannya), kita dapat menggabungkan dua integral menjadi satu. Selain itu, istilah pertama yang menggambarkan sinyal pembawa juga dapat diperkenalkan di sana. Dalam hal ini, secara alami, fungsi integrand dari amplitudo dan fase harus digeneralisasi. Semua ini dilakukan secara kondisional dan untuk presentasi yang lebih rinci, tanpa masuk ke seluk-beluk analisis matematika. Jadi, ternyata:

$$

$$S_ {AM} (t) = \ int \ limit_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw,$$

dimana

$$

$$B (w) = \ begin {cases} \ frac12kCA (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \; \; \; \; \; \; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (4)$$

dan

$$

$$\ psi (w) = \ begin {cases} - \ varphi (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \; \; \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {cases}. \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; ; \; \; (5)$$

Dengan demikian, fungsi yang didefinisikan secara terpisah (4) dan (5) diperkenalkan yang menggambarkan perubahan amplitudo dan fase sebagai fungsi frekuensi. Melihat komponen fungsi (4), orang dapat memperhatikan bahwa komponen ketiga diperoleh dengan transfer paralel fungsi $$$A (f)$ pada $$$f_c$ , dan yang pertama - dengan penyebaran cermin pendahuluan. Konstanta konstan di depan fungsi, yang mengurangi amplitudo, saya tidak memperhitungkannya. Yaitu, dalam spektrum sinyal AM ada tiga komponen: pembawa, sisi atas dan sisi bawah, yang tercermin dalam (4).

Sebagai kesimpulan, perlu dicatat bahwa AM dapat digambarkan menggunakan pendekatan yang lebih kompleks berdasarkan sinyal kompleks dan bilangan kompleks. Sinyal yang biasa dibahas dalam artikel ini tidak memiliki komponen imajiner. Dengan mempertimbangkan representasi menggunakan diagram vektor pada bidang kompleks, sinyal tanpa komponen imajiner terdiri dari dua sinyal kompleks dengan kedua komponen. Ini jelas jika kita merepresentasikan sinyal nada-tunggal sebagai penjumlahan dari dua vektor yang berputar berlawanan arah secara simetris sehubungan dengan sumbu x (Re). Kecepatan rotasi vektor-vektor ini setara dengan frekuensi sinyal, dan arah ke tanda frekuensi (positif atau negatif). Dari sini dapat disimpulkan bahwa spektrum frekuensi sinyal tanpa komponen imajiner tidak hanya memiliki komponen positif, tetapi juga komponen negatif. Dan, tentu saja, simetris sehubungan dengan nol. Dengan representasi ini dapat dikatakan bahwa dalam proses modulasi amplitudo, spektrum sinyal modulasi ditransfer pada skala frekuensi ke kanan dari nol ke frekuensi pembawa (dan ke kiri juga). Dalam hal ini, "sisi bawah" tidak terjadi, sudah ada dalam sinyal modulasi asli, meskipun terletak pada rentang frekuensi negatif. Kedengarannya aneh pada pandangan pertama, karena di alam, tampaknya, tidak ada frekuensi negatif. Tetapi matematika menyajikan banyak kejutan.