Teori kebahagiaan. Hukum kulit semangka dan normalitas kelainan

Saya mewakili bab-bab yang tidak teratur dari buku saya "Theory of Happiness" dengan subtitle "Yayasan Matematika dari Hukum Makna" ke pengadilan pembaca Habr. Ini belum diterbitkan buku sains populer, sangat informal menceritakan tentang bagaimana matematika memungkinkan Anda untuk melihat dunia dan kehidupan orang-orang dengan tingkat kesadaran yang baru. Ini untuk mereka yang tertarik pada sains dan bagi mereka yang tertarik pada kehidupan. Dan karena kehidupan kita kompleks dan, pada umumnya, tidak dapat diprediksi, penekanan dalam buku ini terutama pada teori probabilitas dan statistik matematika. Di sini teorema tidak terbukti dan dasar-dasar sains tidak diberikan, ini sama sekali bukan buku teks, tetapi apa yang disebut ilmu rekreasi. Tetapi justru pendekatan yang hampir menyenangkan yang memungkinkan kami untuk mengembangkan intuisi, mencerahkan kuliah untuk siswa dengan contoh-contoh nyata dan, akhirnya, menjelaskan kepada non-matematikawan dan anak-anak kami bahwa kami menemukan hal-hal menarik dalam ilmu kering kami.



Dalam bab ini, kita mulai dengan menganalisis semangka dan kulitnya, mencari tahu hubungannya dengan hukum Murphy yang terkenal, dan memastikan dengan segala keparahan bahwa rasanya tidak diperdebatkan.

Apakah menurut saya sendiri bahwa saya normal?

Seberapa sering, menonton berita, atau membaca komentar tentang mereka, kita bingung: "Apakah ada orang normal di dunia ini?!" Sepertinya harus ada, karena kita banyak, dan rata-rata, kita harus normal. Tetapi pada saat yang sama, orang bijak mengatakan bahwa kita masing-masing adalah unik. Dan remaja yakin bahwa mereka tentu saja berbeda dari massa kelabu "orang normal" dan tidak seperti orang lain.

Pembaca yang akrab dengan statistik, tentu saja, telah melihat berkali-kali bagaimana, untuk berbagai distribusi asimetris, mode (maksimum pada grafik kepadatan probabilitas) tidak sesuai dengan nilai rata-rata atau ekspektasi matematis. Artinya, nilai rata-rata tidak sesuai dengan kepadatan probabilitas tertinggi, tetapi semua sama, itu diharapkan, jika bukan yang paling sering ditemui, maka paling tidak dominan. Namun, tidak semuanya begitu sederhana. Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan distribusi univariat - distribusi dalam ruang hasil satu dimensi. Tapi hidup itu beragam, dan tentu saja tidak satu dimensi! Dan ketika menambahkan dimensi ekstra, hal yang sangat tak terduga dapat terjadi.

Salah satu fitur geometri multidimensi adalah peningkatan dalam pembagian nilai batas dalam volume terbatas. Itulah yang dimaksud. Pertimbangkan masalah klasik semangka di ruang-ruang dengan dimensi yang berbeda dan bersiaplah untuk mencari tahu seberapa besar bubur gula yang akan kita dapatkan dari semangka yang besar, kuat, dan lezat ini, jika kita memotongnya, kita mengetahui bahwa ketebalan kulitnya tidak melebihi $$ dari jari-jarinya? Sepertinya begitu $$ ini sangat menyakitkan, tetapi lihat gambar di awal artikel, mungkin kita menemukan semangka dengan proporsi seperti itu cukup dapat diterima.

Mari kita mulai dengan semangka satu dimensi - ini adalah kolom merah muda, dan kulitnya adalah dua segmen putih kecil di sepanjang tepi. Panjang total kerak - ini adalah analog volume dalam dunia satu dimensi - akan menjadi $$ dari total panjang semangka. Semangka dua dimensi berbentuk pancake, kerak dalam bentuk cincin putih, akan lebih kecil di area daripada bagian dalamnya, sudah hanya tiga kali. Di dunia tiga dimensi yang biasa, kerak bumi akan seperti itu $$ volume total. Ada tangkapan.

Bagian yang ditempati kulitnya dalam semangka dari berbagai dimensi.

Untuk bola, serta untuk benda yang bentuknya sewenang-wenang, kita dapat memperoleh ketergantungan rasio volume kerak dengan total volume benda. Ini dinyatakan melalui rasio ketebalan kerak dengan ukuran karakteristik tubuh $$ dan merupakan fungsi eksponensial dari dimensi ruang $$ :

$$

Berikut ini adalah grafik pertumbuhan proporsi radius lima belas persen kerak semangka dalam volumenya, dengan peningkatan lebih lanjut dalam dimensi ruang.


Dalam ruang empat dimensi, semangka melon konvensional kita hanya akan menyisakan setengah dari daging, dan di dunia sebelas dimensi kita hanya bisa berpesta pora. $$ dari seluruh semangka, membuang kerak yang membentuk $$ jari-jarinya!

Jadi, kami siap merumuskan hukum mendalam tentang kulit semangka :

Membeli semangka multi-dimensi, Anda mendapatkan, pada dasarnya, kulitnya.

Sayang sekali, tentu saja, tetapi apa hubungannya dengan normalitas dunia kita dan hukum kekejaman? Sayangnya, dialah yang menghambat pencarian apa yang disebut "mean emas," mendevaluasi hasil jajak pendapat dan meningkatkan peran masalah yang tidak mungkin.

Faktanya adalah bahwa ruang orang dengan semua parameter mereka pada dasarnya multidimensi. Dimensi yang cukup independen dapat dianggap tinggi, berat badan, usia dan kekayaan yang jelas, serta tingkat perkembangan intelektual (IQ) dan emosional (EQ), akhirnya, dapat diamati, meskipun fitur wajah yang kurang diformalkan, atau karakter karakter, seperti tingkat banyak bicara, keras kepala atau asmara. Kita dapat dengan mudah menghitung selusin parameter yang mencirikan seseorang. Dan untuk masing-masing parameter ini ada "norma" tertentu yang ditentukan secara statistik - nilai yang paling diharapkan dan, lebih lagi, sering diamati. Berapa banyak orang dalam ruang parameter yang begitu kaya akan menjadi tipikal dalam semua hal? Ungkapan yang kami gunakan untuk menghitung rasio volume kulit dan semangka juga dapat digunakan untuk menghitung kemungkinan berada di antara paling tidak orang “abnormal”. Memang, probabilitas untuk memenuhi semua kriteria tipikal secara bersamaan sama dengan produk dari probabilitas tipikal untuk setiap kriteria secara individual.

Sekarang kita akan sangat menyederhanakan tugas agar tidak menulis formula yang menakutkan, yang menurutnya tidak ada yang bisa dihitung dengan benar. Misalkan kualitas orang-orang di setiap arah mematuhi distribusi normal (Gaussian) di sekitar nilai rata-rata tertentu. Ini, tentu saja, sangat berani, tetapi cukup masuk akal untuk tujuan kita, karena kita tidak berbicara tentang serangkaian karakteristik tertentu, tetapi, terus terang, kita berfantasi, mencoba merumuskan setidaknya sesuatu yang spesifik dalam topik yang goyah seperti itu. Karenanya, masih terlalu dini untuk memuat dengan detail sampai gambar yang paling umum terlihat. Jadi, kami menundukkan semua kriteria ke distribusi normal dengan cara dan varian kami. Jadi, kita bisa menentukan parameter orang paling tipikal di dunia, dan menghitung penyimpangan dari mereka. Selain itu, kami tidak peduli nilai dispersi spesifik apa yang muncul untuk setiap kriteria, karena kami hanya tertarik pada probabilitas melampaui deviasi standar, dan nilai ini tidak tergantung pada skala distribusi itu sendiri. Semua ini mengarah pada fakta bahwa jika kita tunjuk $$ probabilitas untuk berada di luar wilayah yang dibatasi oleh deviasi standar (untuk muncul di “kerak” distribusi luar, yang lebih mungkin tidak seperti kerak semangka, tetapi atmosfer Bumi, pergi jauh ke luar angkasa, menjadi lebih tipis dan lebih tipis), sesuatu yang abnormal ketika mempertimbangkan $$ kriteria akan dihitung oleh rumus "semangka":

$$

Untuk distribusi Gaussian $$ dimana $$ - standar deviasi.

Peluang menjadi “abnormal” untuk sejumlah kriteria perbandingan yang berbeda dan untuk “keparahan” definisi norma yang berbeda. Grafik atas dan bawah berbeda ketika menentukan "normalitas" mereka menggunakan masing-masing jari-jari satu dan dua standar deviasi.

Ya, ternyata normal setidaknya menjadi abnormal. Menilai orang berdasarkan sepuluh parameter teratas, bersiaplah untuk kenyataan bahwa hanya 2% dari total populasi akan benar-benar biasa. Terlebih lagi, begitu kita menemukan mereka, mereka akan segera menjadi selebritas, setelah kehilangan keserasiannya!

Hukum kekejaman yang sama

Salah satu hukum kekejaman klasik, yang dirumuskan dalam hati insinyur Edward Murphy, menyatakan:

"Segala sesuatu yang bisa salah akan salah."

Agak lebih dalam dari pernyataan sepele bahwa semua hasil, bahkan yang paling tidak mungkin, diamati dalam sampel lengkap.

Misalkan untuk melakukan beberapa pekerjaan diperlukan untuk melakukan serangkaian tindakan, dan untuk masing-masing ada kemungkinan kecil kegagalan. Bagaimana kemungkinan semuanya akan berjalan tanpa hambatan? Sederhana - Anda perlu melipatgandakan probabilitas keberhasilan untuk semua langkah. Dan kemudian hukum kulit semangka dihidupkan: semakin besar jumlah langkah, semakin signifikan peran perbatasan, dalam kasus kami, situasi darurat. Selusin langkah sudah cukup untuk probabilitas kesalahan 5% pada masing-masing untuk meningkatkan hingga 50% kemungkinan kegagalan semuanya! Hal yang sama berlaku untuk sistem yang kompleks dengan banyak bagian, yang masing-masingnya mungkin gagal. Dalam kasus yang paling sederhana, probabilitas kegagalan sistem dihitung dari probabilitas kegagalan masing-masing bagian sesuai dengan hukum kulit semangka yang sama.

Alasan kami sangat sederhana, dan hukum Murphy lebih emosional daripada objektif dan tampaknya seperti disangkal, tetapi bagaimanapun, dari pengamatan ini bahwa ilmu besar baru dimulai pada empat puluhan dan lima puluhan abad kedua puluh: teori reliabilitas. Dia menambahkan waktu, interkoneksi elemen sistem, ekonomi, serta faktor manusia, dan menemukan aplikasi di luar ilmu teknik: dalam ekonomi, teori kontrol, dan, akhirnya, dalam pemrograman.

Kami akan kembali ke topik ini ketika mempelajari hukum hari terakhir , yang memaksa printer untuk membuang sampah pada hari proyek selesai. Hukum Murphy, dihormati waktu - kekuatan yang benar-benar mengerikan! Sementara itu, kembali ke topik keunikan dan normalitas.

Kebahagiaan adalah menemukan teman dengan diagnosis yang sama dengan diagnosis Anda.

Kita semua berbeda, ini dapat dimengerti, tetapi apakah mungkin untuk mengajukan pertanyaan kepatuhan dengan norma apa pun, apakah kita mencoba untuk mengevaluasi dan membandingkan? Anda bertanya, apa yang salah dengan itu? Kami selalu membandingkan seseorang dengan seseorang, paling sering, diri kami dengan orang lain, tetapi kadang-kadang kami mengizinkan untuk mengevaluasi orang lain. Namun, dari sudut pandang matematika, semuanya tidak begitu sederhana.

Membandingkan berarti menentukan hubungan urutan . Artinya, untuk menyatakan bahwa satu elemen dari himpunan tertentu, dalam arti tertentu, mendahului elemen lainnya. Kami belajar ini bahkan di sekolah: 2 kurang dari 20, seekor gajah lebih lemah dari pada seekor paus, kontrak lebih mahal daripada uang, dll. Tetapi di sini ada sejumlah pertanyaan. Apa yang terjadi sebelum Senin atau Selasa? Bagaimana dengan hari Minggu atau Senin? Dan apakah hari Minggu itu sebelum hari Senin, atau setelah hari Sabtu? Dan nomor mana yang lebih besar: 2 + 3i atau 3 + 2i? Kita dapat memberi nama warna pelangi secara berurutan dan bahkan mengaitkan semua warna peralihan dengan bilangan real - frekuensi cahaya, tetapi selain warna-warna ini ada banyak warna non-spektral, mereka membentuk roda warna yang akrab dengan juru ketik dan desainer, dapatkah semua warna yang terlihat dengan mata diatur secara berurutan? Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa ada kesulitan dengan hubungan urutan. Misalnya, transitivitas tidak berfungsi pada banyak hari dalam seminggu (karena $$ seharusnya $$ tapi untuk $$ seharusnya $$ tidak mengikuti itu $$ selalu mengikuti $$ ) Upaya untuk memperkenalkan konsep lebih / kurang di bidang bilangan kompleks tidak konsisten dengan aritmatika angka-angka ini, dan warna memiliki kedua kekurangan ini.

Dan bagaimana Anda bisa membandingkan orang, buku, piring, bahasa pemrograman, dan objek lain yang memiliki banyak parameter, bahkan diformalkan secara kondisional? Pada prinsipnya, itu mungkin, tetapi hanya dengan pertama-tama menyepakati definisi dan metrik, jika tidak, itu akan menjadi debat tanpa akhir, badai, dan tak berarti. Sayangnya, perdebatan sengit paling sering muncul pada tahap memilih metrik, karena mereka sendiri membentuk set tertentu, yang juga perlu untuk menentukan hubungan keteraturan.

Namun, seseorang dapat mengusulkan cara berpikir yang sepenuhnya bermakna dan tidak ambigu tentang komparabilitas objek multidimensi, misalnya, orang. Dalam ruang parameter multidimensi, setiap objek dapat diwakili oleh vektor - satu set angka - nilai kriteria yang mencirikannya. Mempertimbangkan ansambel vektor (misalnya, masyarakat manusia), kita akan melihat bahwa beberapa dari mereka ternyata diarahkan bersama, atau setidaknya dekat ke arah, sekarang mereka sudah dapat dibandingkan panjangnya. Pada saat yang sama, beberapa vektor akan menjadi ortogonal (dalam arti geometris - tegak lurus, dalam arti yang lebih luas - independen), dan orang-orang yang bersesuaian dengannya tidak akan dapat dipahami satu sama lain: mereka akan muncul dalam ruang konjugasi dalam sejumlah parameter, seperti fisikawan dan penulis lirik terkenal. Tidak masuk akal untuk berargumen bahwa penyair yang baik lebih baik atau lebih buruk daripada insinyur yang berbakat atau atlet yang berbakat alam. Satu-satunya hal yang dapat dinilai adalah panjang vektor - tingkat bakat, jarak dari rata-rata.

Dalam hal ini, pertanyaan yang aneh mungkin muncul: berapa proporsi vektor acak dalam ruang dimensi tertentu akan bersifat kodeksional, dan bagian mana yang akan ortogonal? Seberapa banyak Anda dapat menemukan orang-orang yang berpikiran sama, atau setidaknya dengan siapa Anda dapat membandingkan diri sendiri?

Dalam dunia dua dimensi, masing-masing vektor berhubungan dengan ruang satu dimensi dari collinear (codirectional) dan ruang satu dimensi dari vektor ortogonal. Jika kita menganggap vektor ortogonal "hampir" ko-directional dan "hampir", maka mereka membentuk sektor-sektor dari area yang sama dengan pilihan yang sama dari penyimpangan yang diizinkan. Artinya, benda yang mirip dan berbeda, ketika mempertimbangkan dua kriteria, akan menjadi jumlah yang sama.


Vektor hampir kollinear dan hampir ortogonal dalam ruang dua dimensi dan tiga dimensi.

Di dunia tiga dimensi, gambar akan berubah. Vektor terarah masih membentuk ruang satu dimensi, sedangkan vektor ortogonal sudah mengisi bidang - ruang dua dimensi. Memperbaiki panjang vektor $$ dan memungkinkan sedikit penyimpangan dari arah yang ideal dengan sudut tertentu $$ , jumlah vektor yang hampir co-directional dapat dibandingkan dengan luas daerah melingkar di sekitar kutub $$ , dan jumlah vektor yang hampir ortogonal - dengan luas strip di sekitar khatulistiwa: $$ . Sikap mereka $$ sekaligus mengurangi penyimpangan $$ tumbuh tanpa batas.

Dalam dunia empat dimensi, vektor ortogonal sudah membentuk ruang tiga dimensi, sedangkan vektor kodirectional masih dalam ruang satu dimensi, dan perbedaan dalam jumlah mereka tumbuh sudah sebanding dengan kuadrat penyimpangan dari ideal. Tetapi pada tahap ini lebih baik beralih ke teori probabilitas dan mencari tahu apa peluang mendapatkan vektor ortogonal atau codirectional, mengambil dua vektor dari ruang secara acak, dimensi $$ ? Distribusi sudut antara vektor acak akan memberi tahu kita tentang hal ini. Untungnya, membahas bidang bola multidimensi, dapat dihitung secara analitis dan disajikan dalam bentuk akhir:

$$

Di sini $$ Merupakan fungsi gamma, generalisasi angka faktorial hingga nyata (dan bahkan kompleks).

Distribusi sudut vektor acak untuk ruang berbagai dimensi.

Sekarang jelas bahwa untuk ruang dua dimensi sudut didistribusikan secara merata, untuk tiga dimensi - sebanding dengan fungsi sinusoidal, dan dengan meningkatnya dimensi, distribusi cenderung normal dengan dispersi yang terus menurun. Untuk semua dimensi di atas dua, mode distribusi adalah 90 derajat dan proporsi vektor yang saling orthogonal meningkat seiring dengan meningkatnya jumlah parameter. Pengamatan yang paling penting adalah bahwa vektor co-directional (memiliki sudut sekitar 0 atau 180 derajat praktis tidak tetap dengan dimensi ruang yang cukup tinggi. Mari kita pertimbangkan lebih atau kurang mirip (co-directional, sebanding) vektor memiliki sudut kurang dari 30 derajat (ini adalah sudut yang sangat kecil: $$ ) Kemudian, ketika dibandingkan dengan dua kriteria yang mirip dengan beberapa vektor yang dipilih, hanya sepertiga dari semua vektor acak akan berubah menjadi. Menggunakan tiga kriteria akan memungkinkan Anda untuk membandingkan dengan vektor yang diberikan saja $$ seluruh set, untuk empat kriteria - sudah $$ , dan setiap penambahan dimensi selanjutnya akan mengurangi fraksi ini menjadi setengahnya. Jika kita lebih ketat dan membatasi diri kita pada sudut yang lebih kecil, proporsi vektor yang dianggap serupa akan berkurang lebih cepat.

Dengan demikian, kita memperoleh formulasi vektor dari hukum kulit semangka:

Dalam ruang dimensi tinggi, hampir semua vektor saling orthogonal.

atau setara: rasa dan warna tanpa teman.

Bandingkan dengan bijak, jangan mencari normalitas dalam hidup dan jangan takut akan kelainan. Matematika sendiri memberi tahu kita bahwa dalam dunia orang yang kompleks kita hanya dapat berbicara tentang tingkat kesamaan, tetapi bukan tentang perbandingan. Jadi tidak ada alasan untuk terlibat dalam perselisihan tanpa akhir, dalam pencarian kebenaran, sebaliknya, layak mendengarkan dan mencoba untuk mendengar pendapat yang berbeda, untuk melihat pemandangan dari ruang konjugasi lain, sehingga memperkaya persepsi Anda tentang dunia.

Orang bijak itu benar: kita semua unik dan dalam keunikan kita persis sama.

---

Saya mengundang Anda, pembaca pertama buku ini, untuk pertanyaan, tambahan, dan komentar yang, tanpa ragu, akan membuatnya lebih akurat, lebih kaya, dan lebih menarik.