Teori kebahagiaan. Hukum antrian zebra dan alien

Saya terus berkenalan dengan para pembaca Habr dengan bab-bab dari bukunya "Theory of Happiness" dengan subtitle "Yayasan Matematika dari Hukum Makna." Ini belum diterbitkan buku sains populer, sangat informal menceritakan tentang bagaimana matematika memungkinkan Anda untuk melihat dunia dan kehidupan orang-orang dengan tingkat kesadaran yang baru. Ini untuk mereka yang tertarik pada sains dan bagi mereka yang tertarik pada kehidupan. Dan karena kehidupan kita kompleks dan, pada umumnya, tidak dapat diprediksi, penekanan dalam buku ini terutama pada teori probabilitas dan statistik matematika. Di sini teorema tidak terbukti dan dasar-dasar sains tidak diberikan, ini sama sekali bukan buku teks, tetapi apa yang disebut ilmu rekreasi. Tetapi justru pendekatan yang hampir menyenangkan yang memungkinkan kita untuk mengembangkan intuisi, mencerahkan kuliah untuk siswa dengan contoh-contoh nyata dan, akhirnya, menjelaskan kepada non-matematikawan dan anak-anak kita apa yang begitu menarik yang kita temukan dalam ilmu kering kita.





Kita akan berbicara tentang Fatum, gempa bumi, antrian dan proses yang luar biasa: Aliran Poisson, perjalanan acak dan sedikit tentang rantai Markov.

Hukum zebra

Mereka mengatakan bahwa hidup itu seperti zebra: garis putih atau hitam ... Dan kebetulan yang lain ditambahkan ke satu masalah, dan itu sangat sulit dalam hidup, dan kemudian kucing itu mulai melahirkan! Tebal, kosong! Satu lawan satu! Tetapi hal yang paling menyedihkan adalah ketika gelombang terang datang dengan baik dan dalam kehidupan, pikiran-pikiran buruk merayap masuk: oh, bukankah akan membawa sial, oh, bukankah perlu membayar untuk kebahagiaan ... Sensasi yang akrab? Pada kesempatan ini, salah satu hukum merfologi dirumuskan - hukum kedua Chisholm: " Ketika segalanya berjalan baik, sesuatu akan terjadi dalam waktu dekat ." Tetapi karena Francis Chisholm, dalam karya aslinya, tidak memberikan analisis terperinci atau bukti dari undang-undang ini, kami akan mencoba mencari tahu sendiri apakah ada keteraturan di balik ini, atau sepertinya bagi kami. Dan jika ini adalah kebiasaan matematika, apakah mungkin untuk menentukan durasi atau frekuensi karakteristik garis-garis pada tubuh zebra kita, dan apa itu bergantung?

Dalam hidup, peristiwa terjadi sepanjang waktu. Kadang-kadang mereka sama sekali tidak terhubung satu sama lain, kadang-kadang mereka membentuk rantai sebab dan akibat. Diskusi tentang hubungan, rantai, dan jalan kehidupan yang telah ditentukan ini dapat membawa kita sangat jauh, dan kita akan membicarakannya nanti. Sementara itu, mari kita coba, seperti biasa, untuk bertahan dengan jumlah data input terkecil untuk analisis hukum kita. Pertimbangkan urutan kejadian yang tidak terkait satu sama lain, dan lihat apa yang bisa Anda dapatkan dari itu.

Peristiwa yang sama sekali tidak terkait dan terjadi dalam waktu secara acak dijelaskan menggunakan aliran Poisson yang terkenal. Ini sesuai dengan banyak fenomena acak dari gempa bumi hingga penampilan pelanggan di toko. Aliran peristiwa Poisson ditandai oleh intensitas atau kerapatan aliran - parameter yang menentukan jumlah peristiwa yang diharapkan per satuan waktu. Misalnya, ketika mengukur waktu dalam hari, nilai parameter $$$\ lambda = 1/7$ akan ada rantai peristiwa acak, rata-rata, terjadi seminggu sekali. Ini tidak berarti bahwa acara akan terjadi dengan frekuensi seminggu sekali. Urutan kejadian mungkin tidak memiliki frekuensi yang dialokasikan sama sekali. Yang terbaik adalah membayangkan aliran Poisson dengan intensitas seminggu sekali seperti ini: 52 minggu dalam setahun, yang berarti sekitar 52 peristiwa harus terjadi per tahun (rata-rata, selama bertahun-tahun). Jika kita memilih 52 tanggal acak yang didistribusikan secara merata dalam setahun, maka itu dapat dianggap sebagai momen munculnya peristiwa Poisson yang sepenuhnya independen.


Contoh membangun aliran Poisson dengan intensitas 1/7 (waktu diukur dalam hari). Selama interval 365 hari, 52 peristiwa yang tidak terkait satu sama lain tersebar secara acak.

Selain itu, tidak ada pertanyaan tentang periodisitas dalam peristiwa-peristiwa ini, ketika mereka menginginkannya, maka itu akan terjadi. Tetapi bahkan dalam kekacauan ini, statistik dapat menunjukkan kepada kita pola-pola tertentu. Misalnya, distribusi durasi periode antara peristiwa yang ditunjukkan pada gambar sebelumnya tidak akan seragam sama sekali.


Kepadatan distribusi durasi kesenjangan antara 52 peristiwa yang tersebar secara acak selama interval 365 hari.

Distribusi durasi kesenjangan cenderung eksponensial , hal ini ditunjukkan oleh garis yang solid. Untuk distribusi ini, maksimum (mode) adalah nol, dan nilai rata-rata tepat 7 hari. Selain itu, standar deviasi juga akan sama dengan 7 hari. Kesetaraan deviasi standar dan nilai rata-rata adalah properti karakteristik dari distribusi eksponensial. Seperti yang Anda lihat, karakteristik ini sama sekali tidak menjamin bahwa satu minggu akan berlalu antar peristiwa, rata-rata - ya, tetapi lebih sering - kurang, selain itu, interval yang cukup lama dapat diamati. Akhirnya, median menunjukkan bahwa setengah dari semua interval akan memiliki durasi tidak melebihi 5 hari. Intensitas dan frekuensi sama sekali bukan hal yang sama, ini adalah poin yang sangat penting!

Agar adil, anggaplah bahwa peristiwa baik dan buruk terjadi sama kemungkinannya, tetapi peristiwa yang cerah dan signifikan terjadi jauh lebih jarang daripada yang kecil dan tidak penting. Biarkan itu menjadi kehidupan normal di mana pewarnaan emosional peristiwa mematuhi distribusi normal (Gaussian). Inilah tahun nasib nasib sintetis, seperti serangkaian perubahan hidup yang benar-benar independen:

Serangkaian acara dari berbagai warna emosional, membentuk aliran Poisson dengan intensitas 2/7 (2 peristiwa dalam 7 hari).

Meskipun tidak ada pita yang diamati, sebaliknya ada beberapa kebisingan. Setiap peristiwa berlalu tanpa jejak, tidak meninggalkan apa pun dalam ingatan atau suasana hati. Itu tidak terjadi, mari berikan pahlawan model kita memori, sebagai permulaan, ideal. Setiap peristiwa dapat selamanya terkubur dalam ingatannya dan dalam suasana hatinya, masing-masing, baik meningkatkan atau memperburuknya. Ini adalah gambaran yang bisa kita dapatkan dengan mengamati nasib pahlawan kita selama sepuluh tahun.

Peristiwa, menyatu dalam ingatan, membentuk warna emosional "kehidupan sintetis".

Yah, well, kita sudah melihat semacam pergantian suasana hati, tetapi gambar itu keluar tidak terlalu menyenangkan. Pahlawan kita, setelah serangkaian perubahan suasana hati, jatuh ke dalam depresi yang dalam. Terlalu buruk Mari kita coba beberapa takdir lagi. Semua dari mereka mengalami serangkaian garis-garis terang dan gelap, tetapi untuk waktu yang lama mereka macet baik dalam kerinduan putus asa atau dalam kebahagiaan transenden. Ini tentu saja terjadi, tetapi ini jelas tidak normal.

Beberapa contoh "nasib sintetik" orang dengan ingatan sempurna.

Tenang, kawan!

Kami menggambarkan nasib model kami sebagai proses yang sangat luar biasa, ini disebut jalan acak satu dimensi dan memiliki sejumlah sifat yang tidak biasa, di antaranya ada kemiripan diri , yaitu tidak adanya skala waktu karakteristik apa pun. Selain itu, dengan memiliki waktu yang tidak terbatas, berjalan secara acak dapat membawa Anda jauh tanpa batas, dan terlebih lagi, itu pasti akan membawa Anda ke jarak yang telah ditentukan sebelumnya tentang nilai awal! Jadi, tidak peduli seberapa bagus urusan Anda, jika mereka tunduk pada pengembaraan acak, mereka pasti akan meluncur ke nol dan pergi ke bawah, itu hanya masalah waktu! Hukum kehidupan yang terkenal dan instruktif ini, menerima kutukan nama pemain dan esensinya dapat diungkapkan dengan pepatah sederhana:

Strategi terbaik dalam judi adalah memiliki kasino, jika tidak, Anda akan kalah.

Kami tidak akan berkutat pada hasil ini, yang sudah sangat terkenal, tetapi kami masih akan menemukan sifat dari jalan acak satu dimensi ini.

Memori emosional yang sempurna tampaknya tidak terlalu baik. Pahlawan kita tidak melupakan apa pun dan dengan cermat mengingat semuanya, bahkan peristiwa paling kuno! Suasana hati mereka di usia tua dipengaruhi oleh kesedihan dari mainan yang rusak di masa kanak-kanak atau sukacita ciuman di masa muda. Selain itu, semua ciuman dan mainan berikutnya sama pentingnya bagi mereka. Penting untuk menyelamatkan orang-orang miskin ini. Emosi mereda seiring waktu, kesedihan menjadi tumpul, sukacita, sayang, juga. Lupa, dalam banyak hal, seperti pendinginan, difusi, atau memperlambat gerakan dalam cairan kental, jadi sebaiknya disimulasikan dengan cara ini. Proses yang terdaftar disebut proses relaksasi . Marilah kita memberi orang-orang miskin kemampuan untuk bersantai!

Sistem relaksasi kembali ke keadaan keseimbangan, dan semakin cepat, semakin besar penyimpangan dari keseimbangan. Properti ini dapat dimodelkan dengan perkembangan geometris, atau hukum eksponensial . Kami memperkenalkan parameter baru ke dalam model kami - tingkat lupa $$$\ mu$ . Hal ini dapat diekspresikan dalam waktu (dalam bacaan model kami), di mana tingkat emosi akan menurun cukup kuat. Misalnya, untuk $$$\ mu = 1/60$ jejak emosional dari acara tersebut akan berkurang dengan urutan besarnya dalam dua bulan. Dan sekarang hidup telah menjadi "bergaris-garis" yang bagus!

Keterbatasan ingatan mengarah pada fakta bahwa serangkaian peristiwa dan jejaknya dalam penggabungan ingatan membentuk serangkaian garis-garis berwarna secara emosional.

Mengubah "tingkat pelupa", kita bisa mendapatkan subjek eksperimental yang kurang lebih seimbang secara emosional. Sepertinya kami telah menemukan sumber seperti zebra! Ini, pertama, berjalan acak, rawan menyebar ke segala arah, dan kedua, menyembuhkan pelupa, mengembalikan suasana hati menjadi normal. Hasilnya adalah suasana hati yang berkelok-kelok seperti gelombang.

Mari kita pelajari sifat-sifat garis dunia "sintetis" yang telah kita peroleh. Kami membuat histogram yang menunjukkan distribusi durasi mereka untuk umur yang panjang (atau untuk yang biasa) dengan parameter $$$\ lambda = 1/7, \ quad \ mu = 1/60$ .

Distribusi panjang periode kebahagiaan dan kesedihan untuk sejumlah besar takdir sintetis. Garis vertikal menandai nilai rata-rata 33.

Hal pertama yang menarik perhatian Anda - distribusi maksimum (mode) mendekati nol, yang berarti bahwa periode kebahagiaan dan ketidakbahagiaan yang paling sering sangat pendek, namun ada juga periode yang berlangsung lebih dari setahun. Rata-rata, durasi periode adalah 33 hari, dengan standar deviasi 36 hari. Distribusi ini dekat dengan eksponensial (pada kenyataannya, ia dijelaskan dengan baik oleh distribusi gamma yang lebih umum dengan parameter yang membawanya lebih dekat ke eksponensial). Pada gilirannya, distribusi eksponensial dari panjang pita dalam kehidupan berarti bahwa perubahan suasana hati dapat dianggap sebagai aliran Poisson, yaitu, sebagai rantai peristiwa acak independen yang tidak memiliki frekuensi yang dialokasikan, tetapi terjadi dengan intensitas yang diketahui. Misalnya, dalam contoh yang telah kami teliti, garis-garis gelap dan terang berubah dengan intensitas sekali setiap 33 hari, tetapi pada saat yang sama, periode pendek paling banyak diamati dalam hidup: setengah dari mereka tidak lebih dari sepuluh hari.

Dengan tidak adanya "memori" (untuk $$$\ mu = 0$ ), distribusi tidak lagi menurun secara eksponensial dan menjadi eksponensial.

Distribusi durasi berliku-liku untuk jalan-jalan acak memiliki sifat distribusi daya.

Para ahli statistik mengatakan bahwa distribusi semacam itu memiliki ekor yang berat , yang membuat penyimpangan yang sangat besar dari nilai rata-rata menjadi sangat mungkin, kami mengamati mereka dalam bentuk "pencelupan" yang panjang dalam suasana hati yang lain. Distribusi yang kami peroleh memiliki satu, sifat yang tidak biasa dan aneh - baik nilai rata-rata (nilai rata-rata), maupun standar deviasi, atau median ditentukan untuk itu. Faktanya adalah bahwa semua karakteristik ini dihitung berdasarkan area di bawah kurva kepadatan distribusi, dan tidak terbatas. Dalam hal ini, orang dapat mendengar bahwa nilai rata-rata dalam kasus ini tidak terbatas, tetapi tidak demikian halnya. Lihat apa yang terjadi ketika Anda mencoba menghitung nilai rata-rata durasi jalan acak:

Mencoba menghitung nilai rata-rata untuk urutan lamanya periode antara perubahan suasana hati dalam ketiadaan memori. Nilai-nilai ekstrem yang muncul dari ujung distribusi yang berat mengarah pada fakta bahwa nilai rata-rata tidak konvergen ke nilai apa pun.

Lompatan besar yang berasal dari ekor yang berat terus-menerus merobohkan nilai rata-rata dan urutan rata-rata tidak menyatu ke batas mana pun. Nilai rata-rata tidak terbatas sama sekali, hanya saja integral tidak menyatu dengan angka apa pun dan tidak mungkin untuk berbicara tentang nilai tertentu. Adalah tidak mungkin menghitung nilai rata-rata dari durasi berliku-liku yang mencerminkan sifat kemiripan diri dari jalan acak, yaitu tidak adanya skala waktu yang tepat.

Kami mensimulasikan kemampuan beradaptasi terhadap kekacauan sehari-hari dengan bantuan relaksasi, atau pelemahan ledakan emosi. Proses ini dapat diartikan dengan cara lain, sebagai kemampuan beradaptasi seseorang terhadap keadaan kehidupan. Saat memproses sinyal atau urutan yang bising, metode rata-rata bergerak sering digunakan untuk menghaluskan dan memilih sinyal yang bermanfaat, mengingat pada setiap saat bukan sinyal itu sendiri, tetapi nilai rata-rata sinyal selama periode waktu tertentu. Dengan demikian, adalah mungkin untuk menghilangkan noise dan mendapatkan gambaran tren sinyal jangka panjang. Menerapkan rerata seperti itu untuk kekacauan sehari-hari, kita dapat mensimulasikan kemampuan beradaptasi manusia. Dan selama perang, orang-orang jatuh cinta dan menemukan alasan untuk bersuka cita, sama seperti kehidupan para pemalas yang kaya tidak berawan. Norma berubah, dari mana suasana menyimpang dalam satu arah atau yang lain. Mempertimbangkan perbedaan antara urutan emosi dan garis latar belakang yang halus, kita mendapatkan gambar yang sama, garis-garis, yang diberikan oleh model sebelumnya, dengan karakteristik statistik yang sama. Ini tidak mengherankan, karena secara konseptual mereka praktis tidak berbeda, menggambarkan suatu sistem dengan relaksasi.

Meandering dan perubahan suasana hati dapat diperoleh dengan mensimulasikan rata-rata bergerak dari kemampuan beradaptasi seseorang terhadap keadaan.

Terhubung oleh satu rantai

Dalam model yang dipertimbangkan, kami menerima aliran perubahan suasana Poisson, menghasilkan peristiwa dengan aliran Poisson. Orang dapat melihat beberapa kecurangan dalam hal ini - proses acak Poisson ternyata "dijahit" ke dalam model. Seberapa universal hasil kita? Apakah mungkin untuk mendapatkannya dengan cara yang berbeda?

Pengalaman duniawi adalah hal yang tidak diformalkan dengan baik, dan dapat diadaptasi ke berbagai alat matematika, yang memungkinkan tidak hanya menyederhanakan asumsi, tetapi juga spekulasi. Dalam sains, pendekatan ini tidak dapat diterima, tetapi dalam perjalanan kami melalui metode teori proses acak, kami dapat bermain dengan mereka untuk mengenal lebih baik.

Mengamati dinamika suasana hati dan persepsi dunia, Anda dapat melihat bahwa sudah menjadi sifat manusia untuk "bertahan" dalam suasana hati tertentu. Jika semuanya berjalan baik secara keseluruhan, maka kabar buruk dapat diterima dengan optimisme. Dan, sebaliknya, suasana hati yang melankolis, yang pernah ditelan oleh seseorang, bahkan dapat merusak berita yang menggembirakan. Dari sudut pandang matematika, ini berarti bahwa probabilitas untuk tetap berada dalam suasana hati saat ini lebih dari probabilitas untuk mengubahnya. Perilaku ini dapat digambarkan menggunakan proses acak yang disebut rantai Markov . Dalam kasus umum, rantai Markov dapat direpresentasikan sebagai seperangkat keadaan tetap dengan transisi di antara mereka, dan transisi dari negara ke negara memiliki probabilitas yang berbeda tetapi diketahui. Lebih mudah mewakili rantai tersebut dalam bentuk grafik berbobot, misalnya, rantai Markov simetris elementer yang menggambarkan dinamika suasana hati dapat direpresentasikan dengan cara ini:


Rantai Markov dengan dua negara ("gembira" dan "sedih"). Panah menunjukkan transisi dan probabilitas transisi ini. Dalam kasus simetris kami, probabilitas tinggal dalam suasana hati yang ada melebihi probabilitas perubahannya, tetapi tidak tergantung pada suasana hati itu sendiri.

Rantai kami mampu menghasilkan urutan negara dan, tentu saja, pita zebra dunia akan muncul di dalamnya.



Yang paling menarik adalah mengetahui distribusi mana yang akan dikenakan durasi band-band ini. Untuk model kami yang lebih sederhana, jawabannya bisa tepat - ini adalah distribusi geometrik yang menggambarkan kemungkinan mengamati sejumlah percobaan tertentu dari percobaan acak sebelum mengamati "kesuksesan" pertama.

Histogram untuk durasi periode dengan suasana hati yang sama dalam urutan yang dihasilkan oleh rantai Markov simetris dan fungsi probabilitas distribusi geometrik dengan parameter yang sama dengan probabilitas transisi antar negara. Urutannya sepuluh tahun.

Distribusi geometrik adalah analog diskrit dari distribusi eksponensial, dalam arti bahwa nilai-nilai bulat dari variabel acak yang didistribusikan secara eksponensial mematuhinya. Ada hubungan antara parameter distribusi geometrik dan intensitas distribusi eksponensial yang sesuai. Jadi, kita kembali mendapatkan aliran perubahan suasana hati Poisson, dan untuk rantai Markov yang telah kami jelaskan, intensitasnya adalah $$$\lambda = -ln(0.75) \approx 2/7$ .

Jika kita mematahkan simetri rantai, maka kita dapat menggambarkan "optimis" atau "pesimis" yang lebih bersedia "bertahan" dalam satu suasana hati atau yang lain. Distribusi durasi strip akan menyimpang dari geometris, tetapi pada saat yang sama, bagaimanapun, sebagian besar garis akan pendek. dan periodisitas yang disorot tidak akan diamati.


Histogram untuk durasi periode mood konstan dalam urutan yang dihasilkan oleh rantai Markov asimetris. Urutannya sepuluh tahun.

Rantai Markov adalah alat yang ampuh untuk menganalisis proses acak di mana algoritma atau skenario tertentu berada. Mereka memberi kita pandangan aneh pada proses yang dianggap siklus. Misalnya, pepatah yang terkenal: "sejarah umat manusia berjalan dalam lingkaran" sering ditafsirkan sebagai fakta bahwa ada siklus tertentu atau bahkan periodikitas dalam sejarah. Kita harus mendengar, misalnya, bahwa awal abad ini menjanjikan pergolakan dan perang. Dengan risiko masuk ke topik saya sendiri, saya akan berani berasumsi bahwa sebenarnya masuk akal untuk berbicara bukan tentang siklus literal, tetapi tentang skenario yang kurang lebih stabil - rantai reguler yang dapat dijelaskan oleh rantai Markov. Di antara rantai Markov ada kelas rantai siklik, yang, pada kenyataannya, mampu membuat urutan berulang.Namun, tidak ada periodisitas deterministik sejati dalam perilaku mereka. Terjadi secara acak dalam periode sejarah yang berbeda dan dalam konteks yang berbeda, siklus semacam itu mirip satu sama lain, dan dapat menciptakan rasa "deja vu" historis. Berguna untuk mempelajari dan mendeskripsikannya, tetapi mungkin Anda seharusnya tidak mengharapkan rencana kalender yang ketat.

Pada ini kita menutup topik zebra. Kesimpulan apa yang dapat ditarik dari penelitian sembrono kami? Serangkaian garis-garis terang dan gelap dalam hidup bukanlah ilusi, mereka sebenarnya. Tetapi tidak ada pola khusus di dalamnya. Paling sering mereka pendek, tetapi mereka juga berlarut-larut. Itu semua tergantung pada kemudahan karakter dan kemampuan untuk melepaskan masa lalu. Apalagi, jika peristiwa dalam kehidupan jarang terjadi, maka kehidupan akan menjadi serangkaian ingatan kelabu yang hilang di masa lalu. Jadi adalah kepentingan kita untuk mengingat apa yang telah dijalani, dan adalah kekuatan kita untuk memastikan bahwa hidup tidak menjadi jalan acak. Kita dapat membuat acara yang bagus menjadi lebih besar dan lebih sering terjadi, bahkan jika itu tidak signifikan. Perjalanan ski, senyum tulus seorang pejalan kaki, tiket konser, secangkir cokelat panas pada hari yang dingin,Semua ini akan membantu menciptakan tren positif dan memperpanjang garis cerah dalam kehidupan. Benar, nilai rata-rata akan mengikuti tren, sehingga peristiwa sedih yang tak terhindarkan tentu akan mengubah suasana hati. Tapi jangan salahkan kebahagiaan Anda atas ini. Ini bukan pembalasan untuknya, dan bukan mata jahat. Properti sistem relaksasi ini adalah kecenderungan berosilasi selama aksi eksternal stokastik.

Tentang menunggu bus atau gempa bumi

Perbedaan antara frekuensi (periode) dan intensitas aliran peristiwa cukup penting untuk dipahami ketika mendengarkan berita atau membaca hasil penelitian ilmiah. Sebagai contoh, hari ini, seismolog, sayangnya, tidak dapat memprediksi gempa bumi tertentu: waktu, tempat dan kekuatannya. Tetapi metode peramalan seismik jangka panjang untuk beberapa daerah telah dikembangkan, tetapi hasilnya dirumuskan dalam bahasa teori probabilitas, dan apa yang harus dilakukan dengan mereka tidak selalu jelas.

Misalnya, untuk Teluk Avachinsky, di tepian tempat Petropavlovsk-Kamchatsky berlokasi pada tahun 2018, perkiraan berikut diberikan : “Total kemungkinan gempa bumi dengan magnitudo lebih besar dari 7,7, yang dapat memiliki kekuatan 7-9 poin di Petropavlovsk-Kamchatsky, dapat mencapai 52,3 untuk periode lima tahun ke depan. %. " Apa artinya ini?Gemetar besok? Dan kapan? Dan dimana? Sayangnya, kami belum dapat menjawab pertanyaan langsung semacam itu. Penafsiran yang tepat dari pesan ini adalah ini: intensitas aliran seismik sekarang sedemikian rupa sehingga dalam 500 tahun ke depan, sekitar 52 gempa akan terjadi (dengan asumsi aliran tetap tidak berubah). Terlebih lagi, dalam sebulan perkiraannya bisa berubah. Intensitasnya serupa, dalam arti, dengan kecepatan gerakan sesaat: untuk mengukur bahwa Anda bergerak dengan kecepatan 60 km / jam, Anda tidak perlu mengendarai seluruh jam sepanjang 60 km. Dan, yang paling penting, ramalan yang dibuat oleh para ilmuwan tidak berarti bahwa sepuluh tahun berlalu antara gempa bumi, seperti yang dapat diasumsikan, membagi 500 tahun menjadi 52 peristiwa. Jadi, jika selama sepuluh tahun tidak ada gempa bumi yang kuat, ini tidak berarti bahwa itu tidak akan terjadi hari ini atau besok. Itu akan terjadi, tentu saja, tetapi berapa banyak yang dibutuhkan untuk menunggu,tidak diketahui.

Lihatlah bagaimana tingkat aktivitas seismik wilayah Kamchatka berubah pada skala waktu yang berbeda (gambar diambil dari situs Pemantau Aktivitas Seismik cabang Kamchatka dari Unified Geophysical Survey dari Akademi Ilmu Pengetahuan Rusia) di Rusia


Tingkat aktivitas yang lebih rendah digantikan oleh aktivitas yang meningkat, aktivitas "bernafas", tetapi tidak secara berkala, tetapi seperti pengembaraan acak yang sama dengan relaksasi.

Namun, gempa bumi adalah fenomena yang tidak menyenangkan dan tidak akan terjadi lagi. Ada hal-hal yang Anda nantikan dengan sangat sabar, seperti bus. Sesampainya di halte, kami tentu saja ingin langsung mengambil rute bus atau trem yang diinginkan, tetapi kemungkinan besar ini gagal. Kemudian, jika ada jadwal yang jelas di tempat ini, kita melihatnya, lalu jam, dan kemudian terjun ke buku atau telepon. Namun seringkali, di tengah rute, bukannya jadwal, interval lalu lintas ditunjukkan, misalnya, 15 menit. Ini berarti bahwa kita sudah jauh dari stasiun bus dengan mana bus berangkat tepat pada jadwal, dan beberapa kesalahan terakumulasi, membuat kedatangan bus acak. Nah, 15, jadi 15, mari kita tunggu. Dan di sini Anda perlu diingat bahwa rata-rata Anda harus menunggu tepat 15 menit, terlepas dari kapan Anda datang.Sekarang, jika bus datangdengan frekuensi 15 menit, waktu tunggu rata-rata akan menjadi setengah periode - 7,5 menit, tetapi dengan intensitas itu tidak akan berhasil! Dengan tidak adanya kondisi tambahan, pergerakan transportasi dimodelkan oleh aliran Poisson, yang berarti bahwa waktu menunggu bus akan mematuhi hukum eksponensial dengan intensitas yang sama. Dan ekspektasi matematis untuk kuantitas terdistribusi eksponensial dengan intensitas$$λ sama$\lambda$$$1 / λ , dan dengan demikian kesimpulan kami diperoleh. Dan apa yang benar-benar menjengkelkan - berapa banyak waktu yang telah Anda habiskan di halte tidak memengaruhi kemungkinan bus akan masuk. Ini berfungsi seperti properti dari distribusi eksponensial sebagaikurangnya memori yangterkait dengan independensi peristiwa Poisson.$1/\lambda$

Untuk meringkas. Sesampainya di halte, Anda harus membuat keputusan yang jelas: menunggu, atau berjalan, dan merenungkan topik: menunggu atau berjalan kaki - hanya menemui ajal untuk memenuhi hukum kekejaman. Karena ketika Anda, setelah menunggu 17 menit, meludah dan berjalan kaki, kemungkinan besar Anda akan disalip oleh bus yang sudah lama ditunggu-tunggu, atau bahkan dua. Nah, agar menunggu bus berubah menjadi kontes yang membosankan dan tanpa harapan dengan nasib, mari kita ingat kutukan pengendara sepeda dari bab sebelumnya , yang secara efektif memperpanjang waktu tunggu yang diamati.


Menariknya, kurva Lorentz untuk distribusi eksponensial sama untuk setiap intensitas. Dengan demikian, pernyataan itu benar untuk semua proses Poisson: setengah dari total waktu pengamatan terjadi pada 20% kasus ketika acara berikutnya tertunda. Koefisien Gini untuk distribusi eksponensial persis 1/2.

Alien turn

Saya berpikir tentang hukum kekejaman, mengantre di bandara untuk check-in penumpang dan bagasi. Garisnya panjang, orang-orang berbeda dan terlihat dengan semua tas, anak-anak atau kandang mereka. Saya mendengar dengusan dari belakang: “Seperti biasa, giliran kami lambat. Lihat, lihat, yang berkumis bertopi berdiri sejajar dengan kami, dan sekarang di sana ... Itu hukum kekejaman! Giliranku selalu lambat! ” Hukum ini disebut pengamatan Ettore:

"Baris berikutnya selalu bergerak lebih cepat."

Ada seluruh bidang teori kontrol dan teori proses acak, yang berkaitan dengan dinamika antrian. Ini penting untuk desain toko dan ruang tunggu, manajemen optimal ruang operasi di bank, gerbang ke jalan tol dan manajemen dokumen. Dan titik awal untuk memodelkan antrian adalah aliran Poisson yang sama, karena memerlukan minimum asumsi tambahan. Dengan demikian, gerakan orang yang berdiri dalam antrian akan mengambil bentuk garis melangkah yang tumbuh secara monoton, dengan langkah yang sama terjadi pada interval acak. Akumulasi data dengan cara ini disebut proses Poisson .

Ini adalah bagaimana dua garis panjang dapat bergerak:

Memindahkan dua antrian yang berdekatan sebagai proses Poisson dengan intensitas yang sama.

Pada gilirannya, perbedaan antara dua proses Poisson identik, yaitu, diamati oleh seseorang yang bosan di bagian ekor, adalah semacam jalan acak. Dan jika demikian, maka kita siap untuk menarik beberapa kesimpulan. Pertama: jarak antara orang-orang yang secara bersamaan berdiri dalam antrian yang sama akan meningkat atau menurun, dan karakteristik berkelok-kelok dengan durasi yang selalu berubah akan terbentuk. Kesimpulan kedua: karena kemiripan diri dari jalan acak untuk ledakan pendek dan panjang, berkelok-kelok akan memiliki durasi yang sebanding dengan waktu mereka mengantri, yang berarti mereka akan terlihat, dan meander akan menjadi penyebab ketidakpuasan. Kesimpulan ketiga: tidak diketahui sebelumnya antrian mana yang akan berjalan lebih cepat, karena jalan acak kemungkinan besar akan naik dan turun. Dan akhirnya, kesimpulan keempat: antrian bergerak secara independen, sekarang dan kemudian di depan dan saling mengejar, rata-rata, mereka bergerak dengan cara yang sama, dan perbedaan yang diharapkan di antara mereka cenderung nol, tetapi penyebaran di sekitar rata-rata meningkat seiring waktu (dalam kasus yang dijelaskan oleh kami, nilainya) keterlambatan satu antrian dari yang lain tergantung pada distribusi Skellam ). Ternyata, atau ditebak dengan garis cepat atau tidak - tidak ada hal-hal jahat dari penjahat nasib!

Tetapi hukum kekejaman tidak akan disebut hukum jika mereka tidak mengklaim universalitas. Jika kita tidak beruntung berada di garis lagging, maka kita akan menghabiskan lebih banyak waktu di dalamnya dan kita akan memiliki lebih banyak kesempatan untuk mengeluh tentang nasib! Dan sekarang, perhatian, kabar baik: dalam setiap interval waktu yang dipilih, mereka yang beruntung masuk ke antrian cepat lebih banyak daripada orang yang kurang beruntung, karena antrian cepat dapat kehilangan lebih banyak orang! Tapi, sayangnya, ini tidak akan menghibur siapa pun yang terjebak dalam antrean.

---

Teks yang dikirimkan belum dipublikasikan, yang artinya dapat berubah. Saya harap komentar dan komentar pembaca Habr akan membantunya berubah menjadi lebih baik.