Teorema Boshernitsan

Artikel ini memberikan bukti sederhana bahwa pemetaan ruang metrik kompak ke dalam dirinya sendiri, tidak mengurangi jarak, adalah isometri.

---

Tampilan $$$f: E \ rightarrow E$ ruang metrik dengan metrik $$$\ rho (\ cdot, \ cdot)$ disebut isometri jika ada $$$x, y \ dalam E$ kesetaraan yang adil $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ . Di sini kami membuktikan pernyataan berikut:

Teorema Jika $$$f: E \ rightarrow E$ pemetaan ruang metrik yang kompak ke dalam dirinya sendiri sehingga

$$$\ rho (x, y) \ leq \ rho (f (x), f (y)) (1)$

untuk apa saja $$$x, y \ dalam E$ lalu pemetaan $$$f$ - isometri.

Ingat beberapa pernyataan sederhana tentang kumpulan metrik dan perkenalkan beberapa konvensi dan definisi yang diperlukan untuk penjelasan lebih lanjut.

Melalui $$$| A |$ kami menunjukkan jumlah elemen dari himpunan terbatas $$$A$ .

Untuk $$$x \ dalam E$ dan $$$\ varepsilon> 0$ banyak $$$Q_ {x, \ varepsilon} = \ {y: y \ di E, \ rho (x, y) <\ varepsilon \}$ ayo telepon $$$\ varepsilon$ Poin -nokal $$$x$ (atau bola terbuka berpusat di $$$x$ dan jari-jari $$$\ varepsilon$ )

Set yang terbatas $$$A \ subset E$ akan menelepon $$$\ varepsilon$ jaringan di $$$E$ (atau adil $$$\ varepsilon$ -network) jika untuk suatu titik $$$x \ dalam E$ ada benarnya $$$y \ dalam A$ sedemikian rupa $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ . Banyak $$$B \ subset E$ akan menelepon $$$\ varepsilon$ -ditolak jika $$$\ rho (x, y) \ geq \ varepsilon$ untuk apa saja $$$x, y \ dalam B$ sedemikian rupa $$$x \ neq y$ .

Untuk setiap set yang terbatas $$$A = \ kiri \ {a_1, \ ldots, a_m \ right \} \ subset E$ dilambangkan dengan $$$l (A)$ jumlahnya $$$\ jumlah _ {i \ leq j} \ rho \ kiri (a_i, a_j \ kanan)$ . Besarnya $$$l (A)$ sebut panjang set $$$A$ .

1. Biarkan urutan $$$\ left \ {a_n \ right \}$ , $$$\ left \ {b_n \ right \}$ banyak elemen $$$E$ konvergen sesuai
ke poin $$$a, b \ dalam E$ . Lalu $$$\ rho \ kiri (a_n, b_n \ kanan) \ rightarrow \ rho (a, b)$ di $$$n \ rightarrow \ infty$ .

Bukti . Pertimbangkan ketidaksetaraan yang jelas

$$$\ rho \ kiri (a_n, b_n \ kanan) \ leq \ rho (a, b) + \ rho \ kiri (a_n, a \ kanan) + \ rho \ kiri (b_n, b \ kanan) (2)$

$$$\ rho \ kiri (a_n, b_n \ kanan) + \ rho \ kiri (a_n, a \ kanan) + \ rho \ kiri (b_n, b \ kanan) \ geq \ rho (a, b) (3)$

Sejak $$$a_n \ rightarrow a$ , $$$b_n \ rightarrow b$ di $$$n \ rightarrow \ infty$ lalu untuk $$$\ varepsilon> 0$ ada yang alami $$$N$ itu untuk semua orang $$$n> N$ akan

$$$\ rho \ kiri (a_n, a \ kanan) <\ frac {\ varepsilon} {2}, \ rho \ kiri (b_n, b \ kanan) <\ frac {\ varepsilon} {2} (4)$

Dari $$$(2), (3), (4)$ mengikuti itu $$$\ kiri | \ rho (a, b) - \ rho \ kiri (a_n, b_n \ kanan) \ kanan | <\ varepsilon$ untuk semua $$$n> N$ .

2. Untuk masing-masing $$$\ varepsilon> 0$ masuk $$$E$ ada yang terbatas $$$\ varepsilon$ jaringan.

Bukti . Keluarga bola terbuka $$$\ left \ {Q_ {x, \ varepsilon} \ right \}$ dimana $$$x$ berjalan melalui $$$E$ adalah pelapis $$$E$ . T. untuk. $$$E$ kompak, pilih keluarga bola terbatas $$$\ left \ {Q_ {x_1, \ varepsilon}, \ ldots, Q_ {x_m, \ varepsilon} \ right \}$ juga meliputi $$$E$ . Jelas bahwa set $$$A = \ kiri \ {x_1, \ ldots, x_m \ right \}$ - final $$$\ varepsilon$ jaringan.

3. Ruang $$$E$ terbatas. Yaitu, ada nomor seperti itu $$$d> 0$ itu $$$\ rho (x, y) <d$ untuk apa saja $$$x, y \ dalam E$ .

Buktinya segera mengikuti dari 2. Memang, kami menempatkan $$$g = \ underset {i \ neq j} {\ max} \ kiri (x_i, x_j \ kanan)$ dimana $$$x_i$ , $$$x_j$ - elemen $$$\ varepsilon$ jaringan $$$A$ . Jelas itu $$$\ rho (x, y) \ leq g + 2 \ varepsilon$ .

4. Jika $$$B = \ kiri \ {a_1, \ ldots, a_n \ right \}$ - final $$$\ frac {\ varepsilon} {2}$ jaringan di $$$E$ lalu untuk apa pun $$$\ varepsilon$ set yang jarang $$$K$ akan $$$| K | \ leq | B |$ yaitu $$$| K | \ leq n$ .

Bukti . Balon$$ $ inline $ \ underset {i = 1} {\ overset {n} {\ unicode {222a}}} Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}} $ inline $ mencakup $$$E$ . Jika $$$| K |> n$ lalu dua elemen berbeda dari $$$K$ akan berada di salah satu bola $$$Q_ {a_i, \ frac {\ varepsilon} {2}}$ , Yang bertentangan dengan fakta itu $$$K$ - $$$\ varepsilon$ set yang jarang.

5. Untuk semua orang $$$\ varepsilon$ set yang jarang $$$A \ subset E$ cocokkan dengan angkanya $$$l (A)$ - panjangnya. Kami telah membuktikan bahwa fungsi yang menempatkan siapa pun $$$\ varepsilon$ set yang jarang $$$A$ nomor yang cocok $$$| A |$ terbatas. Perhatikan bahwa fungsinya masing-masing $$$\ varepsilon$ set yang jarang $$$A \ subset E$ cocok dengan panjangnya $$$l (A)$ juga terbatas.

6. Biarkan $$$c = \ sup l (A)$ dimana $$$\ sup$ diambil semua $$$\ varepsilon$ set jarang $$$A \ subset E$ . Lalu adil

Lemma 1. Ada $$$\ varepsilon$ set yang jarang $$$C = \ kiri \ {a_1, \ ldots, a_k \ right \}$ sedemikian rupa $$$l (C) = c$ , $$$C$ adalah $$$\ varepsilon$ jaringan di $$$E$ , $$$f (C)$ juga $$$\ varepsilon$ jaringan di $$$E$ dan untuk apa pun $$$a_i, a_j \ dalam C$ akan $$$\ rho \ kiri (a_i, a_j \ kanan) = \ rho \ kiri (f \ kiri (a_i \ kanan), f \ kiri (a_j \ kanan) \ kanan)$ .

7. Lemma 2. Peta $$$f$ terus menerus $$$E$ . Lebih tepatnya: jika $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ untuk apa saja $$$x, y \ dalam E$ lalu $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Bukti . Pertimbangkan $$$\ varepsilon$ jaringan $$$C$ dari Lemma 1. Jika $$$x$ bukan milik bola $$$Q_ {a_i, \ varepsilon}$ lalu $$$x$ bukan milik $$$Q_ {f \ left (a_i \ right), \ varepsilon}$ . Ini berarti ada $$$i$ itu $$$x \ di Q_ {a_i, \ varepsilon}$ dan $$$f (x) \ di Q_ {f \ kiri (a_i \ kanan), \ varepsilon}$ . Demikian pula, ada $$$j$ itu $$$y \ di Q_ {a_j, \ varepsilon}$ dan $$$f (y) \ di Q_ {f \ kiri (a_j \ kanan), \ varepsilon}$ . Beri peringkat $$$\ rho (f (x), f (y))$ . Jelas itu $$$\ rho (f (x), f (y)) <\ rho \ kiri (f \ kiri (a_i \ kanan), f \ kiri (a_j \ kanan) \ kanan) + \ varepsilon + \ varepsilon = \ rho \ kiri (a_i, a_j \ kanan) +2 \ varepsilon$ . Dan sejak itu $$$\ rho (x, y) <\ varepsilon$ , dan $$$x \ di Q_ {a_i, \ varepsilon}$ , $$$y \ di Q_ {a_j, \ varepsilon}$ lalu $$$\ rho \ kiri (a_i, a_j \ kanan) <3 \ varepsilon$ . Oleh karena itu $$$\ rho (f (x), f (y)) <5 \ varepsilon$ .

Jadi kami telah membuktikannya $$$f$ terus menampilkan $$$E$ masuk $$$E$ . Ini mengikuti dari Lemma 1 yang untuk masing-masing $$$\ varepsilon> 0$ ada $$$\ varepsilon$ jaringan di $$$E$ sedemikian rupa $$$f$ menjaga jarak antara elemen-elemen jaringan ini. Karenanya, untuk setiap poin $$$x, y \ dalam E$ dapat menemukan urutan $$$x_n \ rightarrow x$ , $$$y_n \ rightarrow y$ sedemikian rupa $$$\ rho \ kiri (f \ kiri (x_n \ kanan), f \ kiri (y_n \ kanan) \ kanan) = \ rho \ kiri (x_n, y_n \ kanan)$ . Tapi $$$\ rho \ kiri (x_n, y_n \ kanan) \ rightarrow \ rho (x, y)$ di $$$n \ rightarrow \ infty$ . Dari kontinuitas pemetaan $$$f$ mengikuti itu $$$f \ kiri (x_n \ kanan) \ rightarrow f (x)$ , $$$f \ kiri (y_n \ kanan) \ rightarrow f (y)$ di $$$n \ rightarrow \ infty$ . Oleh karena itu $$$\ rho \ kiri (f \ kiri (x_n \ kanan), f \ kiri (y_n \ kanan) \ kanan) \ rightarrow \ rho (f (x), f (y))$ di $$$n \ rightarrow \ infty$ . Dan karena apa pun $$$n$ kesetaraan berlaku $$$\ rho \ kiri (x_n, y_n \ kanan) = \ rho \ kiri (f \ kiri (x_n \ kanan), f \ kiri (y_n \ kanan) \ kanan)$ lalu $$$\ rho (x, y) = \ rho (f (x), f (y))$ .

Komentar

Bukti teorema Boshernitsan ini didasarkan pada percakapan dengan teman murid saya, yang sekarang ahli matematika Amerika Leonid Luxemburg, selama salah satu kunjungannya ke Moskow dan merupakan presentasi saya tentang ide yang diajukannya.

---

Slobodnik Semyon Grigoryevich ,
pengembang konten untuk aplikasi "Tutor: matematika" (lihat artikel tentang Habré ), kandidat ilmu fisika dan matematika, guru matematika di sekolah 179 di Moskow