Pertukaran Data dan Persamaan Diferensial

Dalam salah satu proyek yang saya kerjakan, mekanisme pertukaran data antara komponen jarak jauh dari sistem diimplementasikan, yang bekerja sesuai dengan skenario berikut: komponen sumber A, di sisinya, menyiapkan data yang dimaksudkan untuk transmisi; komponen-penerima B secara berkala membuka sesi komunikasi dan mengambil semua data yang A terakumulasi pada saat koneksi. Data yang sudah tiba selama sesi komunikasi tertunda hingga koneksi berikutnya.

Pada titik tertentu, saya menyadari bahwa transfer data dalam skema seperti itu dijelaskan menggunakan persamaan diferensial biasa. Deskripsi model dan kesimpulan yang diperoleh dengan bantuannya, di bawah potongan.

Kami menunjukkan $$$x (t)$- jumlah data dalam beberapa unit acak yang diakumulasikan untuk ditukar di sisi komponen A pada saat itu $$$t$. Biarkan jeda antara akhir sesi pertukaran dan awal yang sama berikutnya $$$a_0> 0$unit waktu, dan transfer satu unit data membutuhkan $$$a_1> 0$satuan waktu. Kemudian di transfer $$$x (t)$unit data yang dibutuhkan $$$a_0 + a_1x (t)$satuan waktu. Kecepatan data adalah

$$

$$\ frac {x (t)} {a_0 + a_1x (t)}. \ quad (1)$$

Jika kecepatan penyimpanan data pada sisi A ditunjuk $$$f (t)$lalu $$$x (t)$adalah solusi untuk persamaan diferensial:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = - \ frac {x} {a_0 + a_1x} + f (t). \ quad (2)$$

Karena pertumbuhan tak terbatas dalam volume data yang belum dikirim adalah situasi yang sangat tidak diinginkan, itu menjadi tugas penting untuk mendapatkan kondisi untuk keterbatasan solusi untuk persamaan ini.

Untuk kesederhanaan, kami mempertimbangkan fungsinya $$$f (t)$terus menerus. Biarkan

$$

$$f (t) = \ phi_0 + \ phi (t),$$

dimana

$$

$$\ left | \ int_0 ^ t \ phi (s) ds \ right | \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

untuk semua $$$t \ geq 0$, dan $$$\ phi_0> 0$- konstan, memainkan peran nilai rata-rata.

Mari kita lihat beberapa contoh. Biarkan $$$f (t)$periodik dan jadwalnya berbentuk:


Dalam hal ini $$$\ phi_0 = 1/3$, $$$\ phi (t) = f (t) - \ phi_0$.
Dengan mengintegrasikan persamaan numerik (1) untuk beberapa nilai parameter $$$a_0, a_1$dan nilai awal $$$x (0)$, kami memperoleh grafik solusi berikut:


Contoh menunjukkan: kapan $$$1 / a_1> \ phi_0$, solusi juga terbatas untuk berbagai nilai $$$x (0)$sistem cenderung stabil. Jeda yang lebih singkat di antara sesi $$$a_0$, semakin cepat konvergensi ini. Di $$$1 / a_1 <\ phi_0$konvergensi seperti itu tidak diamati, dan solusi tumbuh seiring waktu. Mengurangi durasi jeda memperlambat laju pertumbuhan, tetapi kecenderungannya meningkat tak terbatas $$$x (t)$masih tersimpan.

Dalam kasus umum, dapat ditunjukkan bahwa jika $$$1 / a_1> \ phi_0$, maka solusi persamaan (1) dibatasi, dan jika $$$1 / a_1 <\ phi_0$- solusi tak terbatas akan diperoleh. Artinya, keterbatasan keputusan hanya ditentukan oleh rasio tingkat akumulasi dan ekstraksi data. Durasi jeda antara sesi pertukaran $$$a_0$, satu-satunya parameter yang dapat dengan mudah dikontrol tidak secara fundamental mempengaruhi perilaku sistem. Meskipun, seperti dapat dilihat dari hubungan (1) dan contoh-contoh, dengan kenaikannya, nilai tukar menurun.

Akibatnya, analisis model memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan berikut. Jika nilai tukar tidak mencukupi, dan di sisi sumber jumlah data untuk pengiriman terus bertambah, maka tidak masuk akal untuk mencoba memperbaiki situasi dengan mengurangi jeda antar sesi. Hanya peningkatan kinerja sistem yang dapat membantu di sini.

Di sisi lain, dalam kasus ketika layanan pertukaran terus-menerus memuat komputer yang merugikan tugas-tugas lain, keputusan yang tepat adalah meningkatkan durasi jeda dalam batas yang masuk akal: ini hanya akan mempengaruhi relevansi data, tanpa risiko meluap sumber dengan data yang tidak terkirim.

Kalkulasi terperinci untuk kondisi keputusan terbatas dan beberapa masalah lain yang berkaitan dengan model yang dipertimbangkan diterbitkan dalam materi seminar-sekolah "Pemodelan Matematika, Metode Numerik dan Kompleks Program" dinamai berdasarkan E.V. Voskresensky. Anda dapat melihat dan mengunduh artikel di sini .