Konstanta ajaib

Ada kotak yang disebut sihir. Yah, mungkin semua orang tahu bahwa jumlah angka dalam kotak seperti itu secara horizontal, vertikal dan diagonal utama adalah sama, yaitu, sama dengan angka yang sama, jumlah-jumlah ini disebut konstanta ajaib (selanjutnya disebut _Mn , di mana n adalah ukuran kotak; n> 2). Bahkan di sekolah, saya ingat rumus untuk menghitung konstanta ini: M _n = n * (n ² + 1) / 2, tidak jelas bagi saya dari mana asalnya ... kami akan mencoba menyimpulkannya, mungkin seseorang sudah menyimpulkannya, mungkin seseorang sudah menyimpulkannya, mungkin sama , mungkin dengan cara yang berbeda, tidak masalah hanya menulis.

Memasuki angka sekali lagi pada kotak, begitu saya perhatikan hal seperti itu. Jika Anda memasukkan angka dari 1 ke n ² dalam kolom dari kiri ke kanan, Anda selalu mendapatkan konstanta ajaib saat menambahkan angka pada setiap diagonal utama, di sini Anda dapat melihat:

M ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

Menurut rumus:

M ₃ = n * (n ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n * (n ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

Diagonal (ditunjukkan dalam huruf tebal di atas):

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

Berbeda dengan formula, diagonal mampu memberikan jawaban apa yang terjadi. Pertimbangkan angka-angka pada diagonal:

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Kami menulis ulang secara berbeda:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 * 2 + 3) + (4 * 3 + 4)

Pernahkah Anda memperhatikan? Sekarang dalam bentuk umum dari n:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

Kelompokkan kembali (tebal)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

dan ini (disorot dengan huruf tebal)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

dan dapatkan:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

letakkan n dari braket:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

Sekarang kami memperkenalkan notasi baru,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
lalu
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

Sekarang kita menulis ulang rumus [1] dengan mempertimbangkan notasi [2] dan [3], dan mendapatkan:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

atau lebih:

M _n = S _n * (n + 1) - n ²

[5]

S _n dengan ini dalam pikiran -



jelas dihitung dengan rumus S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2,
pengganti dalam [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = n * (n ² + 1) / 2

M _n = n * (n ² + 1) / 2

Chtd